Chỉ cần chứng minh rằng $f(tx) = tf(x)$ với mọi $x \in \mathbf{R}^n$ và mọi $t \in \mathbf{R}$. Lập luận cũng giống như lập luận của Mệnh đề 5 của Chương V, § i, no. 3 nếu ta thay $x$ bởi $x$ và $\mathbf{R}$ bởi $\mathbf{R}^m$.

Theo cùng lập luận như trong Mệnh đề 6 của Chương V, § i, no. 4 ta chứng minh rằng đồng cấu mở rộng $f$, nếu tồn tại, là duy nhất. Tiếp theo, nhóm con $G_1$ của $G$, sinh bởi $f(A)$, là giao hoán; vì nếu $x$ và $y$ là hai điểm bất kỳ của $A$, thì $\frac{1}{2} x, \frac{1}{2} y$ và $\frac{1}{2} (x + y)$ thuộc $A$, do đó

điều này cho thấy rằng $f \left( \frac{1}{2} x \right)$ và $f \left( \frac{1}{2} y \right)$ giao hoán; do đó $f(x) = (f \left( \frac{1}{2} x \right))^2$ và $f(y) = (f \left( \frac{1}{2} y \right))^2$ cũng vậy, điều này chứng minh mệnh đề.

Cho $a_1, a_2, \ldots, a_n$ là $n$ vectơ khác không thuộc $A$ và tỉ lệ với các vectơ cơ sở của hình hộp song song, và với mỗi chỉ số $i$ gọi $D_i$ là đường thẳng đi qua $o$ và $a_i$, nghĩa là tập hợp các điểm $ta_i$ khi $t$ chạy qua $\mathbf{R}$. Gọi $A_i$ là tập hợp mọi $t \in \mathbf{R}$ sao cho $ta_i \in A$; khi đó $A_i$ là một khoảng của $\mathbf{R}$ chứa $[0, 1]$, và hàm

được xác định và liên tục trên $A_i$ và thỏa mãn quan hệ

khi $t, t'$ và $t + t'$ đều thuộc $A_i$. Theo Mệnh đề 6 của Chương V, § 1, no. 4, tồn tại một đồng cấu liên tục $\bar{f}_i$ của $\mathbf{R}$ vào $G$ mở rộng $f_i$. Vì $\mathbf{R}^n$ là tổng trực tiếp của các nhóm con $D_i$, ta có thể định nghĩa một đồng cấu $\bar{f}$ của $\mathbf{R}^n$ vào nhóm Abel $G_1$ bởi quy tắc $\bar{f}(x) = \prod_{i=1}^n \bar{f}_i(t_i)$ trong đó $x = \sum_{i=1}^n t_i a_i$; $\bar{f}$ là một mở rộng của $f$ vì, nếu $x \in A$, mọi thành phần $x_i$ của $x$ trên các đường thẳng $D_i$ cũng thuộc $A$, do sự lựa chọn các $a_i$; hơn nữa, $\bar{f}$ liên tục trên $\mathbf{R}^n$, vì nó liên tục trên mỗi đường thẳng $D_i$, và $x_i$ là một hàm tuyến tính của $x$ (và do đó liên tục).

đối với mỗi cặp phần tử $x, y$ sao cho $x \in V, y \in V$ và $x + y \in V$. Khi đó tồn tại một đồng cấu liên tục duy nhất của $\mathbf{R}^n$ vào $G$ trùng với $f$ tại mọi điểm của một lân cận $W$ của $o$.

Lấy $W$ là một hộp mở có tâm $o$, được chứa trong $V$, và áp dụng Mệnh đề 2 cho $W$.

Sau này ta sẽ thấy rằng tính chất này của $\mathbf{R}^n$ mở rộng đến một lớp lớn hơn các nhóm tôpô, các nhóm "liên thông đơn".

Gọi $\overline{f}$ là đồng cấu liên tục của $\mathbf{R}^n$ vào $G$ trùng với $f$ tại mọi điểm của một lân cận của $o$; theo giả thiết, $\overline{f}(\mathbf{R}^n)$ chứa một lân cận của phần tử đơn vị của $G$ và do đó (Chương III, § 2, no. 1, Hệ quả của Mệnh đề 4) là một nhóm con mở của $G$; hơn nữa $\overline{f}$ là một cấu xạ ngặt của $\mathbf{R}^n$ lên $\overline{f}(\mathbf{R}^n)$, theo Chương III, § 2, no. 8, Mệnh đề 24.

Một đẳng cấu địa phương $f$ được chọn thích hợp của $\mathbf{R}^n$ với $G$ mở rộng thành một cấu xạ ngặt của $\mathbf{R}^n$ lên một nhóm con mở của $G$ (Mệnh đề 2, Hệ quả 2) và do đó lên chính $G$, vì $G$ liên thông. Suy ra $G$ đẳng cấu với một nhóm thương $\mathbf{R}^n/H$ của $\mathbf{R}^n$: $H$ là rời rạc, nếu không sẽ tồn tại các điểm $x \neq o$ của $H$ tùy ý gần $o$ và sao cho $f(x) = f(o)$, trái với giả thiết rằng $f$ là một đẳng cấu địa phương. Vì vậy định lý là một hệ quả của Định lý 1 của § 1, no. 1.

Cho $f$ là một đồng cấu liên tục từ $\mathbf{R}^m$ vào $\mathbf{T}^n$. Ta sẽ chứng minh rằng có một ánh xạ tuyến tính $u$ từ $\mathbf{R}^m$ vào $\mathbf{R}^n$ sao cho các đồng cấu $x \to f(x)$ và $x \to \varphi(u(x))$ trùng nhau tại mọi điểm của một lân cận của $o$ trong $\mathbf{R}^m$; khi đó mệnh đề sẽ suy ra từ Hệ quả 1 của Mệnh đề 2 ở no. 2. Bây giờ cho $V$ là một lân cận của $o$ trong $\mathbf{R}^n$ sao cho $\varphi$, hạn chế trên $V$, là một đẳng cấu địa phương của $\mathbf{R}^n$ với $\mathbf{T}^n$, và cho $\psi$ là nghịch đảo của $\varphi$, được xác định trên $\varphi(V)$. Vì $f$ liên tục, $V' = \overline{f}^{-1}(\varphi(V))$ là một lân cận của $o$ trong $\mathbf{R}^m$; ánh xạ

hạn chế trên $V'$, là một ánh xạ liên tục từ $V'$ vào $\mathbf{R}^n$ sao cho $\psi(f(x+y)) = \psi(f(x)) + \psi(f(y))$ với mỗi cặp điểm $x, y$ trong $\mathbf{R}^m$ sao cho $x \in V', y \in V'$ và $x + y \in V'$; do đó (no. 2, Hệ quả 1 của Mệnh đề 2) ánh xạ này trùng với một đồng cấu liên tục $u$ được xác định duy nhất từ $\mathbf{R}^m$ vào $\mathbf{R}^n$ tại mọi điểm của một lân cận $W$ của o trong $\mathbf{R}^m$. Theo Mệnh đề 1 (no. 1) $u$ là một ánh xạ tuyến tính từ $\mathbf{R}^m$ vào $\mathbf{R}^n$; do đó với mọi $x \in W$ ta có $f(x) = \varphi(u(x))$, điều này hoàn thành chứng minh.

Tương đương (§ 1, no. 1), nếu $u(e_i) = \sum_{j=1}^n a_{ij} e_j$, thì các $a_{ij}$ phải là các số nguyên sao cho $\det(a_{ij}) = \pm 1$. Đặc biệt, với $n = 1$: