$G \cap P$ là compact và rời rạc, do đó hữu hạn. Cho $x$ là một điểm bất kỳ của $G$; nó bằng một tổ hợp tuyến tính $\sum_{i=1}^p t_i a_i$ của các $a_i$ với các hệ số thực. Với mỗi số nguyên $m > 0$, xét điểm

nó thuộc $G$, và vì $0 \leq mt_i - [mt_i] < 1$, nó nằm trong $P$. Do đó, thứ nhất, $x = z_1 + \sum_{i=1}^p [t_i] a_i$, suy ra $G$ được sinh bởi $G \cap P$; và thứ hai, vì $G \cap P$ là hữu hạn, tồn tại hai số nguyên phân biệt $h, k$ sao cho $z_h = z_k$, do đó $(h - k)t_i = [ht_i] - [kt_i]$ less ($1 \leq i \leq p$), và vì vậy các $t_i$ là các số hữu tỉ.

(*) Ta nhắc lại (Chương IV, § 8, no. 2) rằng, với mỗi số thực $x, [x]$ là phần nguyên của $x$, nghĩa là số nguyên hữu tỉ lớn nhất $\leq x$.

Mệnh đề 1 chỉ ra rằng điều kiện là cần thiết. Nó cũng đủ, vì nếu điều kiện đó được thỏa mãn ta có thể viết $t_i = m_i/d$, trong đó $d$ và các $m_i$ là các số nguyên ($1 \leq i \leq p$); do đó $b$ là một tổ hợp tuyến tính, với các hệ số nguyên, của $p$ điểm $(1/d)a_i$; vì vậy $G$ là một nhóm con của nhóm rời rạc được sinh bởi $p$ điểm này, và do đó chính nó cũng rời rạc.

Kết quả của Mệnh đề 1 có thể được phát biểu như sau: nếu $q$ điểm $x_i$ ($1 \leq i \leq q$) của một nhóm con rời rạc $G$ của $\mathbf{R}^n$ tạo thành một hệ phụ thuộc tuyến tính đối với $\mathbf{R}$, thì chúng tạo thành một hệ phụ thuộc tuyến tính đối với $\mathbf{Q}$. Suy ra ngay rằng hạng hữu tỉ của một nhóm con rời rạc của $\mathbf{R}^n$ bằng hạng của nó.

Hệ quả của Mệnh đề 1, khi áp dụng cho trường hợp các $a_i$ là $n$ vectơ $e_i$ của cơ sở chính tắc của $\mathbf{R}^n$, cho ta mệnh đề sau:

Mệnh đề 2 (Kronecker). Cho $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n$ là $n$ số thực. Để với mỗi $\varepsilon > 0$, tồn tại một số nguyên $q$ và $n$ số nguyên

sao cho với vế trái của ít nhất một trong các bất đẳng thức này không bằng 0, thì điều kiện cần và đủ là ít nhất một trong các $\theta_i$ là vô tỉ.

Nhờ các tính chất của những nhóm đẳng cấu với $\mathbf{Z}^p$ đã nhắc lại ở trên, chỉ cần chứng minh rằng $G$ là một nhóm con của một nhóm rời rạc được sinh bởi một hệ tự do gồm $p$ điểm. Nay vì $G$ có hạng $p$ nên tồn tại một hệ tự do gồm $p$ điểm $a_i$ ($1 \leq i \leq p$) của $G$ sao cho mọi $x \in G$ đều bằng một tổ hợp tuyến tính $\sum_{i=1}^p t_i a_i$ của các $a_i$ với hệ số thực; vì $G$ rời rạc, Mệnh đề 1 cho thấy các $t_i$ là hữu tỉ. Hơn nữa, Mệnh đề 1 cho thấy $G$ được sinh bởi một số hữu hạn các điểm; vì các điểm này là những tổ hợp tuyến tính của các $a_i$ với hệ số hữu tỉ, tồn tại một số nguyên $d$ sao cho chúng là những tổ hợp tuyến tính với số nguyên của $p$ điểm $(1/d)a_i = a'_i$. Suy ra $G$ là một nhóm con của nhóm được sinh bởi các $a'_i$.

Định lý 1 cũng có thể được chứng minh mà không cần viện đến lý thuyết các nhân tử bất biến (xem Bài tập 1).

Các nhóm con rời rạc của $\mathbf{R}^n$ có hạng $n$ còn được gọi là mạng trong $\mathbf{R}^n$.

và vì $\lim_{p \to \infty} x_p = o$, suy ra rằng $a$ cũng là một điểm tụ của dãy $((k_p + 1)x_p)$, mà các điểm của dãy này thuộc tập đóng $\mathbf{C}P$, theo định nghĩa của $k_p$; do đó $a \in \overline{P} \cap \mathbf{C}P$ (biên của $P$, Hình 5), suy ra $a \neq o$. Hơn nữa, vì $G$ là tập đóng, ta có $a \in G$. Cho $t$ là một số thực tùy ý; vì $|tk_p - [tk_p]| < 1$, quan hệ $\| k_p x_p - a \| \leq \varepsilon$ suy ra rằng $\| [tk_p]x_p - ta \| \leq |t| \varepsilon + \| x_p \|$; vì $\lim_{p \to \infty} x_p = o$, $ta$ là một điểm tụ của dãy ([tk_p]x_p); nhưng các điểm của dãy này thuộc $G$, và do đó ta ∈ G, vì $G$ đóng. Điều này kết thúc chứng minh.

!Hình 5 Hình 5.

!Hình 6 Hình 6.

Cho $G$ là một nhóm con đóng của $\mathbf{R}^n$, có hạng $r$ ($0 \leq r \leq n$). Khi đó tồn tại một không gian con vectơ lớn nhất $V$ được chứa trong $G$; với mọi không gian con vectơ $W$ bổ sung cho $V$, $W \cap G$ là rời rạc và $G$ là tổng trực tiếp của $V$ và $W \cap G$.

Trước hết ta chứng minh sự tồn tại của $V$ bằng cách chỉ ra rằng hợp của mọi đường thẳng đi qua $o$ và nằm trong $G$ là một không gian con vectơ: thật vậy, không gian con vectơ sinh bởi hợp các đường thẳng này cũng chính là nhóm con do chúng sinh ra. Nhóm $G$ là tổng trực tiếp của $V$ và $W \cap G$; vì nếu $x \in G$, ta có $x = y + z$ với $y \in V$ và $z \in W$; do $V \subset G$, $z = x - y \in G$ và do đó $z \in W \cap G$. Còn lại phải chứng minh rằng $W \cap G$ là rời rạc; điều này suy ra từ Mệnh đề 3, vì $W \cap G$ là một nhóm con đóng không chứa đường thẳng nào, theo định nghĩa của $V$.

Nếu $G \neq V$, ta có thể nói rằng $G$ là hợp của một vô hạn đếm được các đa tạp tuyến tính, song song với $V$ và đi qua các điểm của nhóm rời rạc $W \cap G$ (Hình 6).

Nếu $p$ là chiều của không gian con vectơ $V$, ta có $p \leq r$, và $W \cap G$ là một nhóm rời rạc có hạng $r - p$.

Điều này suy ra từ Định lý 2, và Định lý 1 của mục 1 được áp dụng cho nhóm rời rạc $W \cap G$.

Đây là một hệ quả ngay lập tức của Hệ quả 1. Hệ quả 2 của Định lý 2 cho thấy rằng một nhóm con đóng G của $\mathbf{R}^n$ được xác định hoàn toàn, tới đẳng cấu, bởi hai số nguyên $\geq 0$: hạng của nó, mà ta ký hiệu là $r(G)$, và chiều của không gian con vectơ lớn nhất được chứa trong G, mà ta gọi là chiều của G và ký hiệu là $d(G)$.

Các điều kiện duy nhất mà những số nguyên này phải thỏa mãn là các bất đẳng thức $0 \leq d(G) \leq r(G) \leq n$.

Với mỗi $x \in G$, ký hiệu $f_x(u)$ là $(u|x)$; $f_x$ là một dạng tuyến tính, do đó liên tục. Vì $G^*$ là giao của các tập $f_x^{-1}(z)$ khi $x$ chạy qua G, và vì mỗi tập ấy đều đóng, suy ra $G^*$ là đóng. Mặt khác, nếu $u \in G^*$, ta có $(u|x) \in \mathbf{Z}$ với mọi $x \in G$, và do đó, vì $\mathbf{Z}$ là đóng trong $\mathbf{R}$, $(u|y) \in \mathbf{Z}$ với mọi $y \in \overline{G}$; do đó $u \in (G)^*$. Nhưng ta có $(\overline{G})^* \subset G^*$ (vì $G \subset \overline{G}$), nên $(\overline{G})^* = G^*$.

Xét cấu trúc của $G^*$ khi $G$ là đóng. Theo Hệ quả 1 của Định lý 2 ở mục 2, tồn tại một cơ sở $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ của $\mathbf{R}^n$ sao cho G trùng với tập hợp các điểm

trong đó các $t_i$ nhận mọi giá trị thực và các $n_j$ nhận mọi giá trị nguyên. Do đó $(u|x)$ là một số nguyên cho mọi điểm $x$ này khi và chỉ khi $(u|a_i) = 0$ đối với $1 \leq i \leq p$ và $(u|a_i)$ là một số nguyên đối với $p+1 \leq i \leq p+q$. Ta ký hiệu bởi $(a'_i)_{1 \leq i \leq n}$ cơ sở của $\mathbf{R}^n$ sao cho $(a'_i|a_j) = 0$ đối với $i \neq j$ và

(*) Khái niệm này là một trường hợp riêng, tương ứng với nhóm $\mathbf{R}^n$, của một khái niệm tổng quát trong lý thuyết đối ngẫu của các nhóm Abel compact địa phương (xem, chẳng hạn, A. Weil, "L'integration dans les groupes topologiques et ses applications", Act. Sci. et Ind. no. 869, Paris, Hermann, 1950, pp. 108-109). Người đọc sẽ nhận thấy sự tương tự gần gũi tồn tại giữa các tính chất của các nhóm con liên kết trong $\mathbf{R}^n$ và các tính chất của các không gian con vectơ trực giao của một không gian vectơ và không gian đối ngẫu của nó.

[cơ sở "đối ngẫu" với $(\mathbf{a}_i)$]; nếu ta đặt $u = \sum_{i=1}^n u_i a'_i$, thì rõ ràng các điểm $u \in G^*$ được đặc trưng bởi các điều kiện sau: $u_i = 0$ đối với $1 \leq i \leq p$, và $u_i \in \mathbf{Z}$ đối với

do đó $G^*$ là tổng trực tiếp của một không gian con vectơ $W$ có một cơ sở gồm các $a'_i$ sao cho $p + q + 1 \leq i \leq n$, và một nhóm con rời rạc sinh bởi các $a'_i$ sao cho $p + 1 \leq i \leq p + q$. Nói cách khác:

Ta áp dụng đặc trưng hóa này của các điểm nằm trong bao đóng của một nhóm con $G$ vào trường hợp nhóm con $G$ sinh bởi $n$ vectơ $e_j$ của cơ sở chính tắc $(1 \leq j \leq n)$ và bởi một số tùy ý $m$ điểm $a_i$ $(1 \leq i \leq m)$ của $\mathbf{R}^n$. Nói rằng $(u|e_j)$ là một số nguyên đối với $1 \leq j \leq n$ có nghĩa là $n$ tọa độ của $u$ là các số nguyên; do đó:

thì điều kiện cần và đủ là không tồn tại dãy hữu hạn $(r_j)$ gồm $n$ số nguyên, không phải tất cả đều bằng không, sao cho mỗi một trong $m$ số $\sum_{j=1}^n a_{ij} r_j$ là một số nguyên.

Vì nếu $G$ là trù mật trong $\mathbf{R}^n$, nghĩa là nếu $\overline{G} = \mathbf{R}^n$, thì $G^* = \{0\}$, và ngược lại.

Đặc biệt $(m = 1)$:

thì điều kiện cần và đủ là không tồn tại một quan hệ có dạng $\sum_{j=1}^n r_j \theta_j = h$, trong đó các $r_j$ là $n$ số nguyên không phải tất cả đều bằng không, và $h$ là một số nguyên [điều này suy ra, đặc biệt, rằng các $\theta_j$ và các tỉ số $\theta_j / \theta_k$ ($j \neq k$) phải là vô tỉ].

Ta có thể hiểu kết quả này như sau: với mỗi số nguyên $q \in \mathbf{Z}$, đặt $x_q$ là điểm có tọa độ $q \theta_j - [q \theta_j]$ ($1 \leq j \leq n$); khi đó Hệ quả 2 cho một điều kiện cần và đủ để tập hợp các điểm $x_q$ là trù mật trong khối lập phương là tích của $n$ khoảng $[0, 1]$ trong các thừa số của $\mathbf{R}^n$.

Số thực $(u|x + y)$ là một số nguyên với mọi $x \in G_1$ và mọi $y \in G_2$ khi và chỉ khi $(u|x)$ là một số nguyên với mọi $x \in G_1$ và $(u|y)$ là một số nguyên với mọi $y \in G_2$, vì $(u|x + y) = (u|x) + (u|y)$; do đó

cho mọi hai nhóm con $G_1, G_2$ của $\mathbf{R}^n$. Nếu bây giờ ta giả sử rằng $G_1$ và $G_2$ là đóng, ta có $(G_1^* + G_2^*)^* = G_1 \cap G_2$ theo Mệnh đề 6; do đó, lấy các nhóm con liên kết và áp dụng Mệnh đề 6 một lần nữa,

Không gian tích $T^n$ (và, theo lối nói lạm dụng, nhóm tôpô $T^n$) được gọi là xuyến n chiều; theo Mệnh đề 4 của Chương V, § 1, no. 2, $T^n$ là compact, liên thông và liên thông địa phương.

Hơn nữa, nếu $C$ là một khối lập phương đóng cạnh 1 trong $\mathbf{R}^n$, thì $T^n$ đồng phôi với không gian thương của $C$ theo quan hệ tương đương " $x_i \equiv y_i \pmod{1}$ ($1 \leq i \leq n$)" giữa các điểm $x = (x_i)$ và $y = (y_i)$ của $C$. Như vậy $T^n$ được tạo thành từ khối lập phương $C$ bằng "sự đồng nhất các mặt đối diện".

Vì $T^n = (R/Z)^n$ đẳng cấu với $R^n/Z^n$ (Chương III, § 2, no. 9, Hệ quả của Mệnh đề 26) và $Z^n$ là một nhóm con rời rạc của $R^n$ (Chương III, § 2, no. 6, Mệnh đề 19).

Suy ra các nhóm $R^p \times T^{n-p}$ đều đẳng cấu địa phương với $R^n$ ($0 \geq p \geq n$); trong § 2, no. 2, ta sẽ thấy rằng chúng là những nhóm liên thông duy nhất có tính chất này.