6. Bộ lọc

1. Định nghĩa một bộ lọc

$(\mathrm{F}_1)$ Mọi tập con của $X$ chứa một tập hợp của $\mathfrak{F}$ đều thuộc $\mathfrak{F}$. $(\mathrm{F}_\mathrm{II})$ Mọi giao hữu hạn của các tập hợp của $\mathfrak{F}$ đều thuộc $\mathfrak{F}$. $(\mathrm{F}_\mathrm{III})$ Tập rỗng không thuộc $\mathfrak{F}$.

Suy ra từ $(\mathrm{F}_\mathrm{II})$ và $(\mathrm{F}_\mathrm{III})$ rằng mọi giao hữu hạn của các tập hợp của $\mathfrak{F}$ đều không rỗng.

Một bộ lọc $\mathfrak{F}$ trên $X$ xác định một cấu trúc trên $X$, các tiên đề của nó là $(\mathrm{F}_1)$, $(\mathrm{F}_\mathrm{II})$ và $(\mathrm{F}_\mathrm{III})$; cấu trúc này được gọi là một cấu trúc của tập hợp được lọc, và tập hợp $X$ được trang bị cấu trúc này được gọi là một tập hợp được lọc bởi $\mathfrak{F}$.

Tiên đề $(\mathrm{F}_\mathrm{II})$ tương đương với phép hội của hai tiên đề sau: $(\mathrm{F}_{\mathrm{II}\,\mathrm{a}})$ Giao của hai tập hợp của $\mathfrak{F}$ thuộc $\mathfrak{F}$. $(\mathrm{F}_{\mathrm{II}\,\mathrm{b}})$ $X$ thuộc $\mathfrak{F}$.

Các tiên đề $(\mathrm{F}_{\mathrm{II}\,\mathrm{b}})$ và $(\mathrm{F}_\mathrm{III})$ cho thấy rằng không có bộ lọc nào trên tập rỗng.

Để một tập hợp các tập con thỏa mãn $(\mathrm{F}_1)$ cũng thỏa mãn $(\mathrm{F}_{\mathrm{II}\,\mathrm{b}})$ thì điều kiện cần và đủ là nó không rỗng. Một tập hợp các tập con thỏa mãn $(\mathrm{F}_1)$ cũng thỏa mãn $(\mathrm{F}_\mathrm{III})$ khi và chỉ khi nó khác $\mathfrak{P}(X)$.

Các ví dụ về bộ lọc. 1) Nếu $X \neq \varnothing$, tập hợp các tập con gồm riêng $X$ là một bộ lọc trên $X$. Tổng quát hơn, tập hợp tất cả các tập con của $X$ chứa một tập con khác rỗng cho trước $A$ của $X$ là một bộ lọc trên $X$.

2) Trong một không gian tôpô $X$, tập hợp tất cả các lân cận của một tập con tùy ý khác rỗng $A$ của $X$ (và đặc biệt là tập hợp tất cả các lân cận của một điểm của $X$) là một bộ lọc, được gọi là bộ lọc lân cận của $A$.

3) Nếu $X$ là một tập hợp vô hạn, các phần bù của các tập con hữu hạn của $X$ là các phần tử của một bộ lọc. Bộ lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của tập hợp $\mathbf{N}$ các số nguyên $\geqslant 0$ được gọi là bộ lọc Fréchet.

2. So sánh các bộ lọc

Hai lọc được gọi là so sánh được nếu một lọc mịn hơn lọc kia. Tập hợp tất cả các lọc trên $X$ được sắp thứ tự bởi quan hệ " $\mathfrak{F}$ thô hơn $\mathfrak{F}'$"; quan hệ này được cảm sinh bởi quan hệ bao hàm trong $\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(X))$.

Cho $(\mathfrak{F}_i)_{i \in I}$ là một họ không rỗng bất kỳ các lọc trên một tập hợp $X$ (do đó phải là không rỗng); khi đó tập hợp

thỏa mãn các tiên đề $(F_I), (F_{II})$ và $(F_{III})$ và do đó là một lọc; $\mathfrak{F}$ được gọi là giao của họ các lọc $(\mathfrak{F}_i)_{i \in I}$ và hiển nhiên là cận dưới lớn nhất của tập hợp các $\mathfrak{F}_i$ trong tập hợp có thứ tự của tất cả các lọc trên $X$.

Lọc được tạo bởi tập hợp duy nhất $X$ là phần tử nhỏ nhất của tập hợp có thứ tự của tất cả các lọc. Ta sẽ thấy ở no. 4 rằng, nếu $X$ có nhiều hơn một phần tử, tập hợp tất cả các lọc trên $X$ không có phần tử lớn nhất.

Cho một tập hợp $\mathfrak{G}$ các tập con của một tập hợp $X$, ta hãy xét xem có những lọc nào trên $X$ chứa $\mathfrak{G}$ hay không. Nếu tồn tại một lọc như vậy thì theo $(F_{II})$ nó cũng chứa tập hợp $\mathfrak{G}'$ gồm các giao hữu hạn của các tập hợp của $\mathfrak{G}$ (bao gồm $X$, là giao của tập con rỗng của $\mathfrak{G}$); do đó điều kiện cần để một lọc như vậy tồn tại là tập con rỗng của $X$ không thuộc $\mathfrak{G}'$. Điều kiện này cũng đủ, vì theo $(F_I)$ mọi lọc chứa $\mathfrak{G}'$ cũng chứa tập hợp $\mathfrak{G}''$ gồm các tập con của $X$ chứa một tập hợp của $\mathfrak{G}'$. Hiện nay $\mathfrak{G}''$ rõ ràng thỏa mãn $(F_I)$; nó thỏa mãn $(F_{II})$ do định nghĩa của $\mathfrak{G}'$; và cuối cùng nó thỏa mãn $(F_{III})$ vì tập con rỗng của $X$ không thuộc $\mathfrak{G}'$. Vậy $\mathfrak{G}''$ là lọc thô nhất chứa $\mathfrak{G}$, và ta đã chứng minh:

3. Cơ sở của một bộ lọc

Nếu $\mathfrak{G}$ là một cơ sở con của một bộ lọc $\mathfrak{F}$ trên $X$ (no. 2), thì $\mathfrak{F}$ nói chung không phải là tập hợp các tập con của $X$ chứa một tập hợp của $\mathfrak{G}$; để $\mathfrak{G}$ có tính chất này thì điều kiện cần và đủ là mọi giao hữu hạn của các tập hợp của $\mathfrak{G}$ đều chứa một tập hợp của $\mathfrak{G}$. Do đó có mệnh đề sau:

Nếu $\mathfrak{G}$ là một dưới cơ sở của một lọc $\mathfrak{F}$, thì tập $\mathfrak{G}'$ gồm các giao hữu hạn của các tập của $\mathfrak{G}$ là một cơ sở của $\mathfrak{F}$ (no. 2).

4. Các lọc siêu

Vì tập hợp có thứ tự của tất cả các lọc trên $X$ là quy nạp (no. 2, Mệnh đề 1, Hệ quả 3), bổ đề Zorn (Lý thuyết tập hợp, R, § 6, no. 10) chỉ ra rằng:

5. Bộ lọc cảm sinh

Nếu một lọc $\mathfrak{F}$ trên $X$ cảm sinh một lọc trên $A \subset X$, thì vết trên $A$ của một cơ sở của $\mathfrak{F}$ là một cơ sở của $\mathfrak{F}_A$, do Mệnh đề 3 của no. 3.

6. Ảnh trực tiếp và ảnh ngược của cơ sở lọc

Cho $\mathfrak{B}$ là một cơ sở lọc trên một tập hợp $X$, và cho $f$ là một ánh xạ từ $X$ vào một tập hợp $X'$; khi đó $f(\mathfrak{B})$ là một cơ sở lọc trên $X'$, vì quan hệ $M \neq \emptyset$ kéo theo $f(M) \neq \emptyset$, và ta có $f(M \cap N) \subset f(M) \cap f(N)$. Nếu $\mathfrak{B}_1$ là một cơ sở của một lọc mịn hơn lọc có cơ sở $\mathfrak{B}$, thì $f(\mathfrak{B}_1)$ là một cơ sở của một lọc mịn hơn lọc có cơ sở $f(\mathfrak{B})$ (no. 3, Mệnh đề 4).

7. Tích của các cơ sở lọc

Cho $(X_i)_{i \in I}$ là một họ các tập hợp, và với mỗi $i \in I$ cho $\mathfrak{B}_i$ là một cơ sở lọc trên $X_i$. Cho $\mathfrak{B}$ là tập hợp các tập con của tập tích $X = \prod_{i \in I} X_i$ có dạng $\prod_{i \in I} M_i$, trong đó $M_i = X_i$ ngoại trừ một số hữu hạn các chỉ số và $M_i \in \mathfrak{B}_i$ với mỗi $i$ sao cho $M_i \neq X_i$. Công thức $\left( \prod_{i \in I} M_i \right) \cap \left( \prod_{i \in I} N_i \right) = \prod_{i \in I} (M_i \cap N_i)$ chỉ ra rằng $\mathfrak{B}$ là một cơ sở lọc trên $X$. Chú ý rằng lọc có cơ sở $\mathfrak{B}$ cũng được sinh bởi các

tập hợp $\overline{\mathrm{pr}}_x^{-1}(M_x)$, trong đó $M_x \in \mathfrak{B}_x$ và $x$ chạy qua $I$, vì

Người đọc có thể dễ dàng kiểm tra rằng tích của các lọc $\mathfrak{F}_i$ cũng có thể được định nghĩa như lọc thô nhất $\mathfrak{G}$ trên $X$ sao cho $\mathrm{pr}_i(\mathfrak{G}) = \mathfrak{F}_i$ với mỗi $i \in I$.

Các nhận xét trước đó chỉ ra rằng nếu $\mathfrak{B}_i$ là một cơ sở của $\mathfrak{F}_i$ với mỗi $i \in I$, thì $\mathfrak{B}$ là một cơ sở của lọc tích $\prod_{i \in I} \mathfrak{F}_i$ (no. 3, Mệnh đề 3).

Trên một tích $X = \prod_{i \in I} X_i$ của các không gian tôpô, lọc lân cận của mọi điểm $x = (x_i)$ là tích của các lọc lân cận của các $x_i$ (§ 4, no. 1).

Phép dựng của một tích bộ lọc $\mathfrak{F} = \prod_{i \in I} \mathfrak{F}_i$ đơn giản hơn khi tập hợp chỉ số $I$ là hữu hạn: một cơ sở của $\mathfrak{F}$ khi đó được tạo bởi tất cả các tích $\prod_{i \in I} M_i$, trong đó $M_i \in \mathfrak{F}_i$ với mỗi $i \in I$. Nếu $I = \{ 1, 2, \ldots, n \}$ ta viết

8. Các bộ lọc sơ cấp

Điều này cũng tương tự như nói rằng bộ lọc sơ cấp liên kết với $(x_n)$ là tập hợp các tập con $M$ của $X$ sao cho $x_n \in M$ ngoại trừ một số hữu hạn giá trị của $n$. Nếu $S_n$ chỉ tập hợp tất cả các $x_p$ sao cho $p \geq n$, thì các tập hợp $S_n$ tạo thành một cơ sở của bộ lọc sơ cấp liên kết với dãy $(x_n)$.

Bộ lọc sơ cấp liên kết với một dãy con vô hạn của một dãy $(x_n)$ là mịn hơn bộ lọc sơ cấp liên kết với $(x_n)$ (xem Bài tập 15).

Theo định nghĩa, mọi bộ lọc sơ cấp đều có một cơ sở đếm được. Ngược lại:

9. Mầm đối với một bộ lọc

Cho $\mathfrak{F}$ là một lọc trên một tập hợp $X$. Trên tập hợp $\mathfrak{P}(X)$ gồm mọi tập con của $X$, quan hệ

"tồn tại $V \in \mathfrak{F}$ sao cho $M \cap V = N \cap V$"

giữa $M$ và $N$ là một quan hệ tương đương $R$, vì $R$ hiển nhiên phản xạ và đối xứng, và nếu $M, N, P$ là ba tập con của $X$ sao cho $M \cap V = N \cap V$ và $N \cap W = P \cap W$, trong đó $V$ và $W$ thuộc $\mathfrak{F}$, thì suy ra $M \cap (V \cap W) = N \cap (V \cap W) = P \cap (V \cap W)$ và $V \cap W \in \mathfrak{F}$, do đó $R$ là bắc cầu. Lớp tương đương mod $R$ của một tập con $M$ của $X$ được gọi là mầm của $M$ đối với $\mathfrak{F}$; tập thương $\mathfrak{P}(X)/R$ được gọi là tập hợp các mầm của các tập con của $X$ (đối với $\mathfrak{F}$). Các ánh xạ $(M, N) \to M \cap N$ và $(M, N) \to M \cup N$ từ

vào $\mathfrak{P}(X)$ là tương thích với các quan hệ tương đương $R \times R$ và $R$

Chuyển qua các tập thương, các ánh xạ này cảm sinh hai ánh xạ từ $(\mathfrak{P}(X)/R) \times (\mathfrak{P}(X)/R)$ vào $\mathfrak{P}(X)/R$, mà ta ký hiệu (do lạm dụng ngôn ngữ) lần lượt là $(\xi, \eta) \to \xi \cap \eta$ và $(\xi, \eta) \to \xi \cup \eta$. Đây là một bài tập đơn giản để kiểm tra rằng đối với các luật hợp thành này [được xác định trên toàn bộ $\mathfrak{P}(X)/R$] mọi phần tử đều lũy đẳng, và mỗi luật đều giao hoán và kết hợp và phân phối đối với luật kia. Hơn nữa, các quan hệ $\xi = \xi \cap \eta$ và $\eta = \xi \cup \eta$ là tương đương; nếu ta ký hiệu chúng (do lạm dụng ngôn ngữ) là $\xi \subset \eta$, thì dễ dàng kiểm tra rằng quan hệ này là một thứ tự trên $\mathfrak{P}(X)/R$, theo đó $\mathfrak{P}(X)/R$ là một dàn có phần tử nhỏ nhất là mầm của $\varnothing$ và phần tử lớn nhất là mầm của $X$. Chú ý rằng quan hệ $\xi \subset \eta$ có nghĩa là tồn tại $M \in \xi$, $N \in \eta$ và $V \in \mathfrak{F}$ sao cho $M \cap V \subset N \cap V$.

Bây giờ cho $X'$ là một tập hợp khác, và cho $\Phi$ là tập hợp tất cả các ánh xạ của một tập hợp thuộc $\mathfrak{F}$ vào $X'$. Quan hệ trên $\Phi$

"tồn tại $V \in \mathfrak{F}$ sao cho $f$ và $g$ được xác định và trùng nhau trên $V$"

giữa $f$ và $g$ là một quan hệ tương đương $S$; hiển nhiên rằng $S$ là phản xạ và đối xứng, và nếu $f, g, h$ là ba phần tử của $\Phi$ sao cho $f$ và $g$ được xác định trên $V \in \mathfrak{F}$, còn $g$ và $h$ được xác định và trùng nhau trên $W \in \mathfrak{F}$, thì $f$ và $h$ được xác định và trùng nhau trên $V \cap W \in \mathfrak{F}$, do đó $S$ là bắc cầu. Lớp tương đương mod $S$ của một ánh xạ $f$ của một tập hợp $V \in \mathfrak{F}$ vào $X'$ được gọi là mầm của $f$ (đối với $\mathfrak{F}$), và tập thương $\tilde{\Phi} = \Phi/S$ được gọi là tập hợp các mầm của các ánh xạ từ $X$ vào $X'$ (đối với $\mathfrak{F}$).