Bài tập 14, § 4

, nhưng tích $X \times Y$ không là chuẩn (dùng Bài tập 12 của I, p. 106).

¶ 13) Cho L là một tập hợp không đếm được; xét không gian hoàn toàn chính quy $X = \mathbf{N}^L$ ($\mathbf{N}$ được trang bị tôpô rời rạc). Cho A (tương ứng B) là tập hợp các $x = (x(\lambda))_{\lambda \in L}$ trong X sao cho, với mọi số nguyên $k \neq 0$ (tương ứng $k \neq 1$), tập hợp các $\lambda \in L$ sao cho $x(\lambda) = k$ có nhiều nhất một phần tử. (a) Chứng minh rằng A và B là đóng và không có điểm chung nào trong X. (b) Cho U, V là hai tập hợp mở trong X sao cho $A \subset U, B \subset V$. Ký hiệu bởi $\Phi$ tập hợp các tập hợp sơ cấp (I, p. 24) trong X mà các phép chiếu khác $\mathbf{N}$ được rút gọn thành một phần tử duy nhất; với mọi $W \in \Phi$, cho $H(W)$ là tập hợp các $\lambda \in L$ sao cho $\operatorname{pr}_\lambda(W)$ được rút gọn thành một phần tử duy nhất. Chứng minh rằng tồn tại một dãy $(x_n)$ các điểm của A, một dãy $(U_n)$ các tập hợp của $\Phi$, một dãy $(\lambda_n)$ các phần tử phân biệt của L và một dãy tăng ngặt $(m(n))_{n \in \mathbf{N}}$ các số nguyên, có các tính chất sau: $1^\circ U_n \subset U$ là một lân cận của $x_n$; $2^\circ H(U_n)$ là tập hợp các $\lambda_k$ sao cho $k \leq m(n)$; $3^\circ$ ta có $x_0(\lambda) = 0$ với mọi $\lambda \in L$ và với mọi $n > 0$, $x_n(\lambda_k) = k$ nếu $k \leq m(n - 1)$ và $x_n(\lambda) = 0$ đối với các $\lambda$ khác trong L.

(c) Cho $y \in B$ là điểm sao cho $y(\lambda_k) = k$ với mọi số nguyên $k$ và $y(\lambda) = 1$ đối với các $\lambda \in L$ phân biệt với các $\lambda_k$. Cho $V_0 \subset V$ là một tập hợp của $\Phi$ chứa y và cho n là một số nguyên sao cho $\lambda_k \in L - H(V_0)$ với mọi $k > m(n)$. Chứng minh rằng $U_{n+1} \cap V_0 \neq \varnothing$, và kết luận rằng $X$ không là chuẩn.

14) Suy ra từ Bài tập 13 rằng: (a) Nếu một tích $\prod_{i \in I} X_i$ của các không gian phân tách là chuẩn, thì $X_i$ là nửa compact (IX, p. 93, Bài tập 13) trừ khi đối với một tập hợp đếm được các chỉ số. (b) Để một tích $\prod_{i \in I} X_i$ của các không gian mêtric là chuẩn thì điều kiện cần và đủ là $X_i$ compact trừ khi đối với một tập hợp đếm được các chỉ số; khi đó không gian tích là paracompact.