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历史注记

（括号内的数指本注末尾的参考书目。）

我们不会在这里重复复数和四元数理论的完整发展历史，因为这些理论属于本质上是代数；但我们要谈谈复数的几何表示，它在许多方面都是数学史上的决定性一步。

毫无疑问，第一个对飞机上复数和点之间的一对一对应有清晰概念的是C。 F. 高斯 ()，他还将这一想法应用于复数理论，并预见了 19 世纪分析家将对其进行的用途。在 17 世纪和 18 世纪，数学家们逐渐相信，虚数数使他们能够求解所有二次方程，也可以用来求解任何次数的代数方程。 18 世纪期间发表了许多证明这一点定理的尝试；但是，不说那些仅仅基于恶性循环的做法，没有一个不受到严重反对的。高斯，之后对这些尝试进行了详细的检查，并对它们的缺陷进行了严密的批评，并在他的就职论文（写于1797年，发表于1799年）中提出，最终给出了严格的证明。采纳 d'Alembert 在经过中提出的想法 [在他于 1746 年发表的证明 (*)] 中，

(*) 第一个提出对应想法的人无疑是沃利斯，他在1685年发表的关于代数的论文中；但他在这个话题上的思想很混乱，对他的同时代人没有影响。

(**) 这个证明（事实上，达朗贝尔没有使用注，它作为高斯的起始点）是历史上第一个不使用约化来公然回避这个问题的。高斯公正地批评了它的缺陷，但仍然认识到达朗贝尔基本思想的值：“证明的本质

高斯指出，使得多项式$P(x + iy) = X(x, y) + iY(x, y)$的$a + ib$为根的平面的点$(a, b)$是曲线$X = 0$和$Y = 0$的交；通过对这些曲线的定性研究，他随后表明，其中一条曲线的连续弧连接了由另一条曲线界定的两个不同区域的点，并由此得出曲线相交的结论（[I]，第 3 卷，p. 3；另请参见 [I a]）。就其清晰度和独创性而言，这个证明比之前的尝试有了相当大的进步，并且无疑是应用于代数的问题的纯拓扑推理的第一个例之一（*）。

在他的论文中，高斯并没有明确指出平面的点和复数之间的定义对应；对于后者，以及它们引起了两百年的“存在”问题，他保留了自己的立场，并刻意在仅涉及实数的形式中提出了他的所有论点。但是，如果他的证明中的思想进展不是以完全有意识地识别飞机的点与复数为前提的话，那么它的思想进展将是完全不可理解的；而他同时期的数理论中的研究和椭圆函数，其中也涉及复数，则强化了这一假设。 注（最近才出版）清楚地展示了他熟悉虚数几何概念的方式，以及它可能导致的结果，其中他将初等几何的问题的复数应用于解（[I]，第4卷，p. 396和第8卷， p. 307）。更明确的是 1811 年写给贝塞尔的信（[I]，第 8 卷，p. 90-91），其中他概述了复变量函数积分理论的要点：“正如实数的整个域可以用无限直线来表示一样，所有实数和虚数的完整域也可以通过无限平面来实现，其中每个点由其横坐标$a$和纵坐标$b$决定，同时代表数量$a + ib$。因而，从$x$中的一个值到另一个的连续过渡是沿着曲线进行的，因此可以通过无数种方式实现......“”。

但直到1831年，高斯（建议引入“高斯整数”$a + ib$，其中$a$和$b$为整数）才如此精确地公开阐述了他对这个点的想法（[I]，第2卷，Theoria Residuo-

在我看来，他并没有受到所有这些反对意见的影响”（[I]，第3卷，p. 11）；稍后，他勾勒出方法，这将使达朗贝尔的论证变得严格，这实际上是柯西在他的证明与定理（cf.）中使用的论证路线§ 2、习题2)。

(*) 高斯共发表了《达朗贝尔-高斯的定理》的四篇证明；其中，最后一个是第一个的变体，并且像它一样，诉诸平面的直观拓扑属性；但第二个和第三个是基于完全不同的原理。我们在§ 1中给出的证明本质上是高斯的第二个证明，它本身就是Euler和de Foncenex思想的实现。

朗姆酒 Biquadraticorum，Commentatis Secunda，艺术。 38、p. 109、Anzeige、p. 174 等）。在随后的几年里，用几何表示复数的想法被两位谦虚的业余爱好者独立地重新发现，他们俩或多或少都是自学成才的，他们对数学没有做出任何其他贡献，而且都与当时的科学界没有太多联系。因此，他们的工作面临着完全不被注意的危险经过；这正是点日期中的第一本丹麦人写的小册子C 所发生的情况。韦塞尔。该书于 1798 年出版，构思和写作都很清晰，但直到一个世纪后才被人们从遗忘中拯救出来。同样的不幸也可能发生在瑞士人 J. Argand 身上，他看到自己 1806 年出版的作品在 7 年后被挖掘出来（*），这完全是偶然的。这项工作在《热尔贡年鉴》中引起了热烈的讨论，并且是 1820 年至 1830 年间法国和英国一些默默无闻的作者发表的几本出版物的主题。但是，需要一个伟大名字的权威来结束这些争议，并让数学家们接受新的点观点，直到本世纪中叶，几何表示才被采用。继德国高斯（上面提到的）的发表，英国汉密尔顿和凯莱关于超复数系统的工作，以及法国柯西（**）的支持之后，复数终于被普遍采用，仅仅几年之前黎曼的天才就进一步推动了扩展几何在解析理论中的作用函数，同时创造了拓扑的科学。

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通过在圆上切下的弧来测量角度的历史与角度本身的概念一样古老，并且巴比伦人已经知道了：他们的角度测量方法单位是次数，我们仍在使用。巴比伦人仅使用 0 到 $360^\circ$ 之间的角度测量；这

(*) 与高斯不同，Wessel 和 Argand 更关心用复数证明运算，而不是用应用来证明他们向新研究提出的几何表示；韦塞尔没有给出任何应用，阿尔冈给出的唯一一个是达朗贝尔-高斯的定理的证明，它只不过是达朗贝尔的证明的变体，并且也受到同样的反对。

(**) 在他对复变量函数积分的首次研究中（1814 年至 1826 年间），柯西将复数视为“符号”表达式，而没有将认同与平面的点进行积分；但这并不妨碍他不断地将数$x + iy$与点$(x, y)$联系起来，并在此语境中自由地运用几何语言。

足以满足他们的目的，主要是将天体对象的位置固定在其明显的轨道的确定的点上，以及这些轨道的构造表上，以用于科学或占星学目的。

在古典时代的希腊几何学家中，角的概念（欧几里得的元素、I、定义8和9）受到更大的限制，因为它只适用于小于两个直角的角；另一方面，由于他们的比例和测量理论是基于对被测量的任意大的倍数进行比较，因此角度对他们来说不能是可测量的量，尽管他们当然有等角、一个角大于或小于另一个的概念，以及两个角的和的概念，前提是和不超过两个直角。就像加法或分数一样，角度的测量在他们眼中一定是一种经验程序，缺乏科学性的值。阿基米德关于螺旋的令人钦佩的文章（[3]，第 2 卷，第 1-121 页）很好地说明了这种态度，其中，由于他通过半径向量与角度的比例来计算不能定义，因此他给出了运动学定义 (定义 1, p. 44; cf. 叙述命题 12, p. 46），正如作品的其余部分所示，他成功地从中提取了如果他拥有角度测量的一般概念将给他的一切。至于希腊天文学家，他们似乎满足于在这个点上追随他们的巴比伦前辈，就像在许多其他天文学家上一样。

在这里，正如实数概念的演变（cf.历史注记在章IV）一样，希腊科学衰落期间严谨精神的放松带来了“天真的”点观点的回归，在某些方面，它比严格的欧氏更接近我们自己的观点。构想。因此，一个不明智的插值者在欧几里得中插入了以下著名的命题（欧几里得的元素，VI，33）：“角度与它们在圆上切出的弧成正比”（*），而一位匿名学者在评论这个命题的“证明”时毫不犹豫地介绍，当然没有理由，弧等于任意大的圆周倍数，以及这些弧的角度相应的 (**)。但即使是 16 世纪的 Vietà，尽管他看起来很接近我们现代的角度概念

(*) That this really is an interpolation is shown without doubt by the absurdity of 证明, which is ineptly based on the classical paradigms of 方法 of Eudoxus;而且，很明显，这个结果与第VI书的结尾无关。 It is amusing to see Theon, in the 4th century A.D., congratulate himself for having grafted, onto this interpolation, 另一个 in which he purports to prove that “the areas of sectors of a circle are proportional to their angles at 中心” (Euclid’s 元素, edited by Heiberg, vol. 5, p. XXIV).六个世纪之后阿基米德确定了螺旋扇形的面积。

(**) 欧几里得的元素，编辑。海伯格，卷。 5, p. 357.

when he discovered that the equation $\sin nx = \sin \alpha$ has several 根, obtained only those 根相应的 to angles smaller than two right angles ([4], p. 305). Only in the 17th century was this 点 of view definitively superseded; and, 之后 the discovery by Newton of the power-series 展开 for $\sin x$ and $\cos x$ had furnished expressions of these 函数 which were valid for all 值 of the variable, Euler finally formulated the precise conception of 概念 of angular measure, in connection with logarithms of "imaginary" 数（[5]，（1），第 17 卷，p. 220）。

当然，经典的圆弧长度项角度测量定义不仅直观，而且本质上是正确的；然而，为了使其严格，它需要曲线的长度的概念，即积分演算。从点来看，结构发挥作用，这是一个非常冗长的过程，正如我们在文本中所看到的，除了拓扑群理论之外，没有其他方法可以达到相同的目的；以这种方式，实指数和复指数似乎来自同一来源，定理，其特征在于“单参数群”（章V, § 3，定理1）。

[1]C。 F.高斯，Werke，卷。 2（第 2 版，哥廷根，1876 年）；卷。 3（第二版，同上，1876 年）；卷。 4（同上，1873 年）和卷。 8（同上，1900）。

[1a] Die vier Gauss’schen Beweise für die Zerlegung ganzer algebraischer Funktionen in reelle Factoren ersten oder zweiten Grades [Ostwald’s Klassiker, no. 14, Leipzig (Teubner), 1904]。

[2] Euclidis Elementa，5卷，J.L编辑。海伯格 (Teubner)，莱比锡，1883-1888 年。

[3] 阿基米迪歌剧 Omnia，第 3 卷，第 1 卷。 2，第 1-121 页，J. L 编辑。海伯格，第二版，莱比锡 (Teubner) 1913-15。

[3 a] Les Œuvres complètes d’Archimède，由 P. Ver Eecke 翻译，巴黎-布鲁塞尔 (Declée de Brouwer)，1921 年。

[4] Francisci Vietae，Opera Mathematica，p. 305，Leyden（Bonaventure et Abraham Elzevir），1646。

[5] L.欧拉，《全能歌剧》(1)，卷。 17，p. 220，莱比锡（托伊布纳），1915 年。