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介绍

大多数数学分支涉及型的结构，与代数结构（群、环、域等）不同，它们是本书的主题级数的代数：即结构，它为直觉提供了数学内容极限的概念，连续性和邻域。这些结构就是本书的主题。

从历史上看，极限和连续性的思想很早就出现在数学中，特别是在几何中，并且随着数学分析的发展及其在实验科学中的应用，它们的作用稳步增强，因为这些思想与实验测定和近似密切相关。但是，由于大多数实验测定都是测量，也就是说测定一个或多个数，因此，极限的概念和数学中的连续性最初仅在实数及其衍生理论和域应用中出现（复数，实变量或复变量函数， 欧氏几何及相关几何）。

近年来人们认识到这些思想的适用范围远远超出了经典数学分析的真实和复数（参见历史注记到章I）。它们的基本内容是通过数学分析和抽象的努力提取出来的，其结果是一种工具，其用途在数学的许多分支中都变得显而易见。

在阶中，为了阐明极限、连续性和邻域思想的本质，我们首先要分析邻域的概念（虽然历史上它出现得比其他两个晚）。 If we start from the physical concept of approximation, it is natural to say that a subset $A$ of a set $E$ is a neighbourhood of an element $a$ of $A$ if, whenever we replace $a$ by an element that "approximates" $a$, this new element will also belong to $A$, provided of course that the "error" involved is small enough; or, in other words, if all the points of E which are "sufficiently near" $a$ belong to A. 只要可以为足够小的误差或元素足够接近另一个的概念赋予精度，这个定义就有意义。 在这个方向上，第一个想法是假设两个元素之间的“距离”可以通过（正）实数来测量。 Once the "distance" between any two elements of a set has been defined, it is clear how the "neighbourhoods" of an element $a$ should be defined: a subset will be a neighbourhood of $a$ if it contains all elements whose distance from $a$ is less than some preassigned strictly positive number. 当然，我们不能期望由此定义除非发展出一个有趣的理论，我们将某些条件或公理强加于“距离”（对于例，与欧氏几何中的三角形三个顶点之间的距离相关的不等式应该继续适用于我们的广义距离）。 这样我们就得到了一个巨大的推广欧氏几何形状。 继续使用几何语言是方便的：因此定义了“距离”的元素或集合称为点，集合本身称为空间。 我们将在章IX中研究这样的空间。

到目前为止，我们还没有成功地摆脱实数。 然而，这样定义的空间有很多属性，可以在不参考产生它们的“距离”的情况下陈述这些属性。 For example, every subset which contains a neighbourhood of $a$ is again a neighbourhood of $a$, and the intersection of two neighbourhoods of $a$ is a neighbourhood of $a$. 这些属性和其他属性具有大量的推论，可以在不进一步求助于最初使我们能够定义邻域的“距离”的情况下推导出来。 我们得到叙述，其中没有提及幅度或距离。

因此，我们最终得到了拓扑空间的一般概念，它不依赖于实数的任何初步理论。我们可以说，每当我们通过某种方式将E的每个元素与E的子集族相关联时，集合E就带有拓扑结构，这些子集被称为该元素的邻域——当然前提是这些邻域满足某些条件 （拓扑结构的公理）。显然，要强加的公理选择在某种程度上是任意的，并且历史上一直是大量实验的主题（参见历史注记到章I）。最终得出的系统公理足够广泛，足以满足当前数学的需要，而不会陷入过度和无意义的概括。

带有拓扑结构的集合称为拓扑空间，其元素称为点。研究拓扑结构的数学分支被命名为拓扑（从词源学上来说，“地点科学”，不是一个特别具有表达力的名称），如今它比早期（同义）名称数学分析位置更受欢迎。

为了阐述邻域的想法，我们从元素“足够接近”另一个元素的模糊概念开始。相反，拓扑结构现在使我们能够为短语“这样那样的性质对所有足够接近$a$的点成立”给出精确的含义：通过定义，这意味着点的集合有这个性质是邻域 $a$ 为所讨论的拓扑结构。

从邻域的概念流向概念的级数，其研究适合于拓扑：集合的内部，集合的封闭，集合的边界，开放集合，封闭集合，依此类推（参见章I, § 1）。对于例，子集$A$是开集合，如果每当点$a$属于到$A$，所有点充分接近$a$属于到$A$；在其他字中，如果$A$是其每个点的邻域。 公理对于邻域来说，对于所有这些概念都有一定的推论；对于例，两个开集合的交是一个开集合（因为我们已经假设$a$的两个邻域的交是$a$的邻域）。相反，我们可以从这些派生的概念之一开始，而不是从邻域的概念开始；对于例，我们可以假设开集合是已知的，并将开集合族的性质作为公理（刚刚通过例陈述了这些性质之一）。然后我们可以验证，根据开放的集合的知识，可以重建邻域； 邻域的公理现在是开放集合的新公理的推论，我们将其作为起始点。因此，拓扑结构可以用各种不同的方式定义，但基本上是等价的。在本书中，我们将从开集合的概念开始，因为相应的公理是最简单的。

一旦定义了拓扑结构，就很容易精确地表达连续性的概念。直观上，只要论证足够接近所讨论的点，如果值变化尽可能小，函数在点连续。因此，只要参数的空间和值的空间是函数的拓扑空间，连续性就具有精确的含义。精确的定义在章 I, § 2 中给出。

与连续性一样，极限的概念涉及两个集合，每个结构都被赋予适当的结构，以及一个集合到另一个的映射。 对于例，实数$a_n$序列极限涉及自然数的集合$\mathbf{N}$，实数的集合$\mathbf{R}$，以及前者的映射集合进入后者。 那么实数$a$就被称为序列的极限，如果无论我们取$a$的邻域$V$，这个邻域包含除了有限的数之外的所有$a_n$ 值共$n$；也就是说，如果自然数 $n$的集合，其中$a_n$属于到$V$是$\mathbf{N}$的子集，其补集是有限的。 注假设$\mathbf{R}$带有拓扑结构，因为我们谈论的是邻域；至于集合$\mathbf{N}$，我们让子集的某个家族扮演一个特定的部分，即那些补集有限的子集。 这是一个普遍事实：每当我们谈到极限时，我们都会将集合$E$的映射$f$考虑为拓扑空间$F$，并且我们说$f$有点$a$ $F$作为极限如果$E$的元素$x$集合其像$f(x)$属于到$a$的邻域$V$[这个集合只是“逆像”$f^{-1}(V)$]属于，无论邻域$V$，对于$E$的子集的某个家庭$\mathfrak{F}$，事先给出。 为了使极限的概念具有通常归因于它的基本属性，族$\mathfrak{F}$必须满足某些公理，这些公理在章I，中陈述。 这样的$\mathfrak{F}$子集$E$被称为$E$上的*过滤器*。 过滤器的概念与极限密不可分，也出现在拓扑的其他上下文中；对于拓扑空间形式过滤器中的例、邻域或点

对这些概念的综合研究是章I的本质目的。在加法中，考虑了拓扑空间的特定类，空间其中满足更具限制性的公理，或者通过特定过程从其他给定的空间获得的空间。

正如我们已经说过的，集合上的拓扑结构使人们能够为短语“每当$x$足够接近$a$，$x$有性质$P\{x\}$”赋予准确的含义。但是，除了定义了“距离”的情况之外，还不清楚应该赋予短语“点$x, y$中每一个足够接近的对都有性质$P\{x, y\}$”的含义，因为*先验*我们无法比较两个不同的邻域点。现在，点、对彼此接近的概念经常出现在古典数学分析中（对于例，在涉及一致连续性的命题中）。因此，重要的是我们应该能够在完全普遍的情况下给这个概念一个精确的含义，从而我们得到定义结构，它们比拓扑结构更丰富，即*均匀结构*。它们是章II的主题。

本书的其他章专门讨论在加法到拓扑或均匀结构中存在其他一些结构的问题。对于例，带有合适的拓扑（在某种意义上与群结构兼容）的*群*被称为*拓扑群*。拓扑群在章III中进行了研究，我们将在其中特别看到如何为每个拓扑群赋予某些一致的结构。

在章IV中，我们将前面的原理应用到有理数数的域。这使我们能够定义域或实数；由于其重要性，我们对其进行了相当详细的研究。在接下来的章中，从实数开始，我们定义某些拓扑空间，这些拓扑对于拓扑在经典几何中的应用特别感兴趣：有限维向量空间、球体、射影空间等。我们还认为某些拓扑群与实数的加法群，我们用公理化的方式描述它，这导致我们得到定义以及经典数学分析最重要的函数的基本性质：指数、对数和三角函数。

在章IX，我们恢复到一般拓扑空间，但现在有了一个新的工具，即实数，可供我们使用。我们特别研究空间，其中拓扑是通过“距离”定义的；这些空间具有属性，其中一些不能可以扩展到更通用的空间。在章X中，我们将拓扑空间的映射的集合研究为均匀的空间（函数空间）；这些集合经过适当的拓扑化，具有有趣的属性，这些属性已经在经典的数学分析中发挥着重要的部分的作用。