Giới thiệu

Hầu hết các ngành của toán học đều bao gồm những cấu trúc thuộc một kiểu khác với các cấu trúc đại số (nhóm, vành, trường, v.v.) là đối tượng của cuốn Đại số trong bộ sách này: cụ thể là những cấu trúc đem lại một nội dung toán học cho các khái niệm trực giác về giới hạn, tính liên tục và lân cận. Các cấu trúc này là đối tượng của cuốn sách hiện tại.

Về mặt lịch sử, các ý niệm về giới hạn và tính liên tục đã xuất hiện rất sớm trong toán học, đặc biệt trong hình học, và vai trò của chúng đã không ngừng tăng lên cùng với sự phát triển của giải tích và các ứng dụng của nó vào các khoa học thực nghiệm, vì các ý niệm này liên quan chặt chẽ đến những ý niệm về xác định thực nghiệm và xấp xỉ. Nhưng vì phần lớn các xác định thực nghiệm là các phép đo, nghĩa là các xác định của một hay nhiều số, nên không có gì đáng ngạc nhiên khi các khái niệm về giới hạn và tính liên tục trong toán học ban đầu chỉ xuất hiện trong lý thuyết các số thực và những mở rộng cùng các lĩnh vực áp dụng của nó (các số phức, các hàm thực hoặc phức của các biến thực hoặc phức, hình học Euclid và các hình học liên quan).

Trong những thời gian gần đây, người ta đã nhận ra rằng miền áp dụng của các ý tưởng này vượt xa các số thực và số phức của giải tích cổ điển (xem Ghi chú lịch sử cho Chương I). Nội dung cốt yếu của chúng đã được rút ra bằng một nỗ lực phân tích và trừu tượng hóa, và kết quả là một công cụ mà tính hữu ích của nó đã trở nên rõ ràng trong nhiều ngành của toán học.

Để làm nổi bật điều cốt yếu trong các ý tưởng về giới hạn, tính liên tục và lân cận, chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc phân tích khái niệm lân cận (mặc dù về mặt lịch sử nó xuất hiện muộn hơn hai khái niệm kia). Nếu bắt đầu từ khái niệm vật lý về xấp xỉ, ta có thể nói một cách tự nhiên rằng một tập con $A$ của một tập hợp $E$ là một lân cận của một phần tử $a$ của $A$ nếu, mỗi khi ta thay $a$ bởi một phần tử "xấp xỉ" $a$, phần tử mới này cũng thuộc $A$, với điều kiện dĩ nhiên là "sai số" liên quan đủ nhỏ; hay nói cách khác, nếu mọi điểm của E "đủ gần" $a$ đều thuộc A. Định nghĩa này có ý nghĩa bất cứ khi nào có thể gán độ chính xác cho khái niệm sai số đủ nhỏ hoặc một phần tử đủ gần một phần tử khác. Theo hướng này, ý tưởng đầu tiên là giả sử rằng "khoảng cách" giữa hai phần tử có thể được đo bằng một số thực (dương). Một khi "khoảng cách" giữa hai phần tử bất kỳ của một tập hợp đã được định nghĩa, ta thấy rõ cách định nghĩa các "lân cận" của một phần tử $a$: một tập con sẽ là một lân cận của $a$ nếu nó chứa mọi phần tử có khoảng cách đến $a$ nhỏ hơn một số dương ngặt cho trước. Dĩ nhiên, ta không thể mong đợi xây dựng một lý thuyết thú vị từ định nghĩa này trừ khi áp đặt một số điều kiện hoặc tiên đề nhất định lên "khoảng cách" (chẳng hạn, các bất đẳng thức liên hệ các khoảng cách giữa ba đỉnh của một tam giác vốn đúng trong hình học Euclid vẫn phải tiếp tục đúng đối với khoảng cách tổng quát hóa của chúng ta). Theo cách này ta đi đến một phép tổng quát hóa rộng lớn của hình học Euclid. Thuận tiện là tiếp tục sử dụng ngôn ngữ của hình học: do đó các phần tử của một tập hợp trên đó một "khoảng cách" đã được định nghĩa được gọi là các điểm, và bản thân tập hợp đó được gọi là một không gian. Chúng ta sẽ nghiên cứu các không gian như vậy trong Chương IX.

Cho đến nay chúng ta vẫn chưa thành công trong việc giải phóng mình khỏi các số thực. Tuy nhiên, các không gian được định nghĩa như vậy có rất nhiều tính chất có thể phát biểu mà không cần tham chiếu đến "khoảng cách" đã sinh ra chúng. Chẳng hạn, mọi tập con chứa một lân cận của $a$ lại là một lân cận của $a$, và giao của hai lân cận của $a$ là một lân cận của $a$. Các tính chất này và những tính chất khác có vô số hệ quả có thể được suy ra mà không cần dùng thêm đến "khoảng cách" vốn ban đầu cho phép ta định nghĩa các lân cận. Ta thu được những phát biểu trong đó không có sự đề cập nào đến độ lớn hay khoảng cách.

Do đó cuối cùng ta được dẫn đến khái niệm tổng quát về một không gian tôpô, không phụ thuộc vào bất kỳ lý thuyết sơ bộ nào về các số thực. Ta sẽ nói rằng một tập hợp E mang một cấu trúc tôpô khi ta đã liên kết với mỗi phần tử của E, bằng cách này hay cách khác, một họ các tập con của E được gọi là các lân cận của phần tử này — với điều kiện dĩ nhiên rằng các lân cận này thỏa mãn những điều kiện nhất định (các tiên đề của các cấu trúc tôpô). Hiển nhiên việc lựa chọn các tiên đề cần áp đặt là tùy ý ở một mức độ nào đó, và về mặt lịch sử đã là đối tượng của rất nhiều thử nghiệm (xem Ghi chú lịch sử cho Chương I). Hệ các tiên đề cuối cùng thu được đủ rộng cho các nhu cầu hiện tại của toán học, mà không rơi vào sự tổng quát hóa quá mức và vô nghĩa.

Một tập hợp mang một cấu trúc tôpô được gọi là một không gian tôpô và các phần tử của nó được gọi là các điểm. Ngành toán học nghiên cứu các cấu trúc tôpô mang tên là Tôpô (về mặt từ nguyên, "khoa học về nơi chốn", một cái tên không đặc biệt biểu đạt), ngày nay được ưa dùng hơn tên gọi trước đây (và đồng nghĩa) là giải tích situs.

Để phát biểu ý tưởng về lân cận, chúng ta đã bắt đầu từ khái niệm mơ hồ về một phần tử "đủ gần" một phần tử khác. Ngược lại, một cấu trúc tôpô giờ đây cho phép ta gán ý nghĩa chính xác cho cụm từ "một tính chất nào đó đúng đối với mọi điểm đủ gần $a$" : theo định nghĩa, điều này có nghĩa là tập hợp các điểm có tính chất này là một lân cận của $a$ đối với cấu trúc tôpô đang xét.

Từ khái niệm lân cận suy ra một loạt khái niệm khác mà việc nghiên cứu chúng là thuộc về tôpô: phần trong của một tập hợp, bao đóng của một tập hợp, biên của một tập hợp, các tập hợp mở, các tập hợp đóng, v.v. (xem Chương I, § 1). Ví dụ, một tập con $A$ là một tập hợp mở nếu, bất cứ khi nào một điểm $a$ thuộc $A$, mọi điểm đủ gần $a$ đều thuộc $A$; nói cách khác, nếu $A$ là một lân cận của mỗi điểm của nó. Các tiên đề về các lân cận có những hệ quả nhất định đối với tất cả các khái niệm này; chẳng hạn, giao của hai tập hợp mở là một tập hợp mở (vì ta đã giả sử rằng giao của hai lân cận của $a$ là một lân cận của $a$). Ngược lại, ta có thể bắt đầu từ một trong những khái niệm dẫn xuất này thay vì bắt đầu từ khái niệm lân cận; chẳng hạn, ta có thể giả sử rằng các tập hợp mở đã biết, và lấy làm tiên đề các tính chất của họ các tập hợp mở (một trong các tính chất này vừa được phát biểu, như một ví dụ). Khi đó ta có thể kiểm chứng rằng, từ sự hiểu biết về các tập hợp mở, các lân cận có thể được xây dựng lại; các tiên đề về lân cận bây giờ là những hệ quả của các tiên đề mới về các tập hợp mở mà ta đã chọn làm điểm xuất phát. Như vậy một cấu trúc tôpô có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau mà về cơ bản là tương đương. Trong sách này chúng ta sẽ bắt đầu từ khái niệm tập hợp mở, bởi vì các tiên đề tương ứng là đơn giản nhất.

Một khi các cấu trúc tôpô đã được định nghĩa, việc làm chính xác ý niệm về tính liên tục trở nên dễ dàng. Theo trực giác, một hàm là liên tục tại một điểm nếu giá trị của nó biến đổi ít tùy ý nhỏ bao nhiêu cũng được mỗi khi đối số vẫn đủ gần điểm đang xét. Vì vậy tính liên tục sẽ có một ý nghĩa khớp bất cứ khi nào không gian của các đối số và không gian của các giá trị của hàm là các không gian tôpô. Định nghĩa chính xác được cho trong Chương I, § 2.

Cũng như tính liên tục, ý niệm về một giới hạn liên quan đến hai tập hợp, mỗi tập hợp được trang bị các cấu trúc thích hợp, và một ánh xạ từ một tập hợp vào tập hợp kia. Ví dụ, giới hạn của một dãy các số thực $a_n$ liên quan đến tập hợp $\mathbf{N}$ các số tự nhiên, tập hợp $\mathbf{R}$ các số thực, và một ánh xạ của tập hợp thứ nhất vào tập hợp thứ hai. Một số thực $a$ khi đó được gọi là một giới hạn của dãy nếu, với bất kỳ lân cận $V$ nào của $a$ mà ta lấy, lân cận này chứa tất cả các $a_n$ ngoại trừ một số hữu hạn giá trị của $n$; nghĩa là, nếu tập hợp các số tự nhiên $n$ mà với chúng $a_n$ thuộc $V$ là một tập con của $\mathbf{N}$ có phần bù là hữu hạn. Chú ý rằng $\mathbf{R}$ được giả sử mang một cấu trúc tôpô, vì ta đang nói về các lân cận; còn đối với tập hợp $\mathbf{N}$, ta đã làm cho một họ nhất định các tập con đóng một vai trò đặc biệt

Việc nghiên cứu tổng quát tất cả các khái niệm này là mục đích cốt yếu của Chương I. Ngoài ra, ở đó người ta xét các lớp đặc biệt của các không gian tôpô, các không gian thỏa mãn những tiên đề hạn chế hơn, hoặc các không gian thu được bằng những thủ tục đặc biệt từ các không gian đã cho khác.

Như chúng ta đã nói, một cấu trúc tôpô trên một tập hợp cho phép ta gán một ý nghĩa khớp cho mệnh đề "bất cứ khi nào $x$ đủ gần $a$, $x$ có tính chất $P\{x\}$". Nhưng, ngoài trường hợp trong đó một "khoảng cách" đã được định nghĩa, không rõ nên gán ý nghĩa nào cho mệnh đề "mọi cặp điểm $x, y$ đủ gần nhau đều có tính chất $P\{x, y\}$", vì a priori ta không có phương tiện nào để so sánh các lân cận của hai điểm khác nhau. Bây giờ khái niệm một cặp điểm gần nhau xuất hiện thường xuyên trong giải tích cổ điển (chẳng hạn, trong các mệnh đề liên quan đến tính liên tục đều). Vì vậy điều quan trọng là ta có thể gán một ý nghĩa chính xác cho khái niệm này trong tính tổng quát đầy đủ, và do đó ta được dẫn đến việc định nghĩa những cấu trúc phong phú hơn các cấu trúc tôpô, cụ thể là các cấu trúc đều. Chúng là đối tượng của Chương II.

Các chương khác của Sách này dành cho những vấn đề trong đó, ngoài một cấu trúc tôpô hoặc đều, còn có một cấu trúc khác hiện diện. Ví dụ một nhóm mang một tôpô thích hợp (tương thích theo một nghĩa nào đó với cấu trúc nhóm) được gọi là một nhóm tôpô. Các nhóm tôpô được nghiên cứu trong Chương III, và ở đó chúng ta sẽ thấy đặc biệt cách mọi nhóm tôpô có thể được trang bị những cấu trúc đều nhất định.

Trong Chương IV chúng ta áp dụng các nguyên lý trước đó cho trường các số hữu tỉ. Điều này cho phép ta định nghĩa trường các số thực; do tầm quan trọng của nó, ta nghiên cứu nó với nhiều chi tiết. Trong các chương tiếp theo, bắt đầu từ các số thực, ta định nghĩa một số không gian tôpô đặc biệt đáng chú ý trong các ứng dụng của tôpô vào hình học cổ điển: các không gian vectơ hữu hạn chiều, các mặt cầu, các không gian xạ ảnh, v.v. Ta cũng xét một số nhóm tôpô liên quan chặt chẽ đến nhóm cộng của các số thực, mà ta đặc trưng bằng tiên đề, và điều này dẫn ta đến định nghĩa và các tính chất sơ cấp của những hàm quan trọng nhất của giải tích cổ điển: các hàm mũ, lôgarit và lượng giác.

Trong Chương IX chúng ta quay lại các không gian tôpô tổng quát, nhưng bây giờ với một công cụ mới, cụ thể là các số thực, trong tay. Đặc biệt ta nghiên cứu các không gian mà tôpô của chúng được định nghĩa bằng một "khoảng cách"; các không gian này có những tính chất, trong đó một số không thể mở rộng đến các không gian tổng quát hơn. Trong Chương X chúng ta nghiên cứu các tập hợp các ánh xạ từ một không gian tôpô vào một không gian đều (các không gian hàm); các tập hợp này, được tôpô hóa một cách thích hợp, có những tính chất thú vị mà ngay từ bây giờ đã đóng một vai trò quan trọng trong giải tích cổ điển.