Lời khuyên đối với người đọc

1. Chuỗi các tập sách này, danh sách được đưa ra ở các trang 9 và 10, bắt đầu nghiên cứu toán học ngay từ đầu và đưa ra các chứng minh đầy đủ. Về nguyên tắc, nó không đòi hỏi người đọc có kiến thức toán học đặc biệt nào, mà chỉ cần một sự quen thuộc nhất định với lập luận toán học và một khả năng nhất định về tư duy trừu tượng. Tuy nhiên, nó đặc biệt hướng đến những người có kiến thức tốt về ít nhất là nội dung của một hoặc hai năm đầu của một khóa học toán đại học.

2. Phương pháp trình bày mà chúng tôi đã chọn là tiên đề và trừu tượng, và thông thường đi từ cái tổng quát đến cái cụ thể. Sự lựa chọn này được quyết định bởi mục đích chính của chuyên luận, đó là cung cấp một nền tảng vững chắc cho toàn bộ toán học hiện đại. Để đạt được điều này, điều không thể thiếu là làm quen với một số lượng khá lớn các ý tưởng và nguyên lý rất tổng quát. Hơn nữa, những yêu cầu của chứng minh áp đặt một cấp hoàn toàn xác định lên nội dung. Do đó, ích lợi của một số xem xét nhất định sẽ không ngay lập tức hiển nhiên đối với người đọc, trừ khi người đó đã có một kiến thức toán học khá rộng; nếu không, người đó phải có đủ kiên nhẫn để tạm hoãn phán xét cho đến khi có dịp cần đến.

3. Để giảm bớt nhược điểm này, chúng tôi thường xuyên đưa vào văn bản các ví dụ liên quan đến những sự kiện mà người đọc có thể đã biết nhưng chưa được thảo luận trong chuỗi này. Những ví dụ như vậy luôn được đặt giữa hai dấu sao: \* ... *. Phần lớn người đọc chắc chắn sẽ thấy rằng những ví dụ này giúp họ hiểu văn bản, và sẽ thích không bỏ qua chúng, ngay cả khi đọc lần đầu. Việc bỏ qua chúng dĩ nhiên không gây bất lợi nào, xét từ quan điểm lôgic thuần túy.

4. Chuỗi này được chia thành các tập sách (ở đây gọi là “Sách”). Sáu Sách đầu tiên được đánh số và, nói chung, mỗi mệnh đề trong văn bản chỉ giả sử đã biết những kết quả đã được thảo luận trong các tập sách trước đó. Quy tắc này đúng trong mỗi Sách, nhưng để thuận tiện cho việc trình bày, các Sách này không còn được sắp xếp theo một thứ tự liên tiếp nữa. Ở đầu mỗi Sách này (hoặc mỗi chương này), người đọc sẽ tìm thấy một chỉ dẫn chính xác về quan hệ lôgic của nó với các Sách khác và do đó có thể tự xác nhận rằng không có vòng tròn luẩn quẩn nào.

5. Khung lôgic của mỗi chương gồm các định nghĩa, các tiên đề và các định lý của chương đó. Đây là những phần chủ yếu cần ghi nhớ để sử dụng về sau. Những kết quả ít quan trọng hơn và những kết quả có thể dễ dàng suy ra từ các định lý được gọi là "mệnh đề", "bổ đề", "hệ quả", "nhận xét", v.v. Những phần có thể bỏ qua khi đọc lần đầu được in bằng kiểu chữ nhỏ. Một lời bình về một định lý đặc biệt quan trọng đôi khi xuất hiện dưới tên "chú giải".

Để tránh những sự lặp lại tẻ nhạt, đôi khi thuận tiện khi đưa vào các ký hiệu hoặc các chữ viết tắt chỉ có hiệu lực trong một chương nhất định hoặc một tiết diện nhất định của một chương (chẳng hạn, trong một chương chỉ xét các vành giao hoán, từ "vành" sẽ luôn có nghĩa là "vành giao hoán"). Những quy ước như vậy luôn được nêu rõ, nói chung là ở đầu chương mà chúng xuất hiện.

6. Một số đoạn trong văn bản được thiết kế để cảnh báo trước cho người đọc về những sai lầm nghiêm trọng. Những đoạn này được đánh dấu ở lề bằng ký hiệu ☡ ("đoạn nguy hiểm").

7. Các Bài tập được thiết kế vừa để giúp người đọc tự kiểm tra rằng mình đã tiếp thu văn bản, vừa để đưa đến sự chú ý của người đọc những kết quả không có chỗ trong văn bản nhưng vẫn đáng quan tâm. Những bài tập khó nhất mang ký hiệu ¶.

8. Nói chung, chúng tôi đã tuân theo thuật ngữ được chấp nhận rộng rãi, trừ khi có những lý do chính đáng để đi lệch khỏi nó.

9. Chúng tôi đã đặc biệt cố gắng luôn sử dụng ngôn ngữ chính xác một cách nghiêm ngặt, mà không hy sinh tính đơn giản. Trong khả năng có thể, chúng tôi đã chỉ ra trong văn bản những sự lạm dụng ngôn ngữ, bởi vì nếu không có những điều này thì bất kỳ văn bản toán học nào cũng có nguy cơ trở nên mô phạm, thậm chí khó đọc.

10. Vì về nguyên tắc văn bản gồm sự trình bày giáo điều của một lý thuyết, nên nói chung nó không chứa các tham chiếu đến tài liệu. Các tham chiếu thư mục được tập hợp trong các Ghi chú lịch sử, thường ở cuối mỗi chương. Những ghi chú này cũng chứa các chỉ dẫn, khi thích hợp, về những bài toán chưa giải của lý thuyết.

Thư mục theo sau mỗi ghi chú lịch sử nói chung chỉ chứa những cuốn sách và các hồi ký nguyên bản có tầm quan trọng lớn nhất trong sự phát triển của lý thuyết đang được thảo luận. Nó không hề nhằm mục đích đầy đủ; đặc biệt, các tham chiếu chỉ dùng để xác định các vấn đề về quyền ưu tiên hầu như luôn bị bỏ qua.

Đối với các bài tập, chúng tôi không thấy đáng để nói chung chỉ ra nguồn gốc của chúng, vì chúng được lấy từ nhiều nguồn khác nhau (các bài báo nguyên bản, sách giáo khoa, các tuyển tập bài tập).

11. Các tham chiếu đến một phần của chuỗi này được đưa ra như sau: a) Nếu tham chiếu đến các định lý, tiên đề hoặc định nghĩa được trình bày trong cùng một tiết diện, chúng được trích dẫn bằng số của chúng. b) Nếu chúng xuất hiện trong một tiết diện khác của cùng một chương, tiết diện này cũng được trích dẫn trong tham chiếu. c) Nếu chúng xuất hiện trong một chương khác của cùng một Sách, chương và tiết diện được trích dẫn. d) Nếu chúng xuất hiện trong một Sách khác, Sách này trước hết được trích dẫn bằng nhan đề của nó.

Các Tóm tắt kết quả được trích dẫn bằng chữ R: do đó, Lý thuyết tập hợp, R có nghĩa là "Tóm tắt kết quả của Lý thuyết tập hợp".