Instructions for use
1. Le traité prend les mathématiques à leur début et donne des démonstrations complètes. Sa lecture ne suppose donc, en principe, aucune connaissance mathématique particulière, mais seulement une certaine habitude du raisonnement mathématique et un certain pouvoir d’abstraction. Néanmoins, le traité est destiné plus particulièrement à des lecteurs possédant au moins une bonne connaissance des matières enseignées dans la première ou les deux premières années de l’université.
2. Le mode d’exposition suivi est axiomatique et procède le plus souvent du général au particulier. Les nécessités de la démonstration exigent que les chapitres se suivent, en principe, dans un ordre logique rigoureusement fixé. L’utilité de certaines considérations n’apparaîtra donc au lecteur qu’à la lecture de chapitres ultérieurs, à moins qu’il ne possède déjà des connaissances assez étendues.
3. Le traité est divisé en Livres et chaque Livre en chapitres. Les Livres actuellement publiés, en totalité ou en partie, sont les suivants :
Theory of Sets designated by E
Algebra — A
General Topology — TG
Functions of a Real Variable — FVR
Topological Vector Spaces — EVT
Integration — INT
Commutative Algebra — AC
Differentiable and Analytic Manifolds — VAR
Lie Groups and Lie Algebras — LIE
Spectral Theories — TS
Algebraic Topology — TA
vii
In the first six Books (in the order indicated above), each statement makes use only of definitions and results set forth previously in the current chapter or in earlier chapters in the following order: E; A, chapters I to III; TG, chapters I to III; A, chapters IV and following; TG, chapters IV and following; FVR; EVT; INT. Beginning with the seventh Book, the reader will find, where appropriate, at the beginning of each Book or chapter, a precise indication of the other Books or chapters used (the first six Books being always supposed known).
4. Cependant, quelques passages font exception aux règles précédentes. Ils sont placés entre deux astérisques. . . . Dans certains
cases, it is merely a matter of facilitating the understanding of the text by examples which refer to facts that the reader may already know from other sources. Sometimes also, not only the results supposed known throughout the current chapter are used, but results proved elsewhere in the treatise. These passages will be used freely in the parts which suppose known the chapters in which these passages are inserted and the chapters to which these passages refer. The reader will, we hope, be able to verify the absence of any vicious circle.
5. À certains Livres (soit publiés, soit en préparation) sont annexés des fascicules de résultats. Ces fascicules contiennent l’essentiel des définitions et des résultats du Livre, mais aucune démonstration.
6. L’armature logique de chaque chapitre est constituée par les définitions, les axiomes et les théorèmes de ce chapitre ; c’est là ce qu’il est principalement nécessaire de retenir en vue de ce qui doit suivre. Les résultats moins importants, ou qui peuvent être facilement retrouvés à partir des théorèmes, figurent sous le nom de « propositions », « lemmes », « corollaires », « remarques » ; etc. ; ceux qui peuvent être omis en première lecture sont imprimés en petits caractères. Sous le nom de « scholie », on trouvera quelquefois un commentaire d’un théo-rème particulièrement important.
To avoid wearisome repetitions, it is sometimes agreed to introduce certain notations or certain abbreviations which are valid only within a single chapter or a single paragraph (for example, in a chapter where all rings are commutative, it may be agreed that the word “ring” always means “commutative ring”). Such conventions are explicitly mentioned at the head of the chapter or paragraph in which they apply.
7. Certains passages sont destinés à prémunir le lecteur contre des erreurs graves, où il risquerait de tomber ; ces passages sont signalés en marge par le signe (« tournant dangereux »).
8. Les exercices sont destinés, d’une part, à permettre au lecteur de vérifier qu’il a bien assimilé le texte ; d’autre part à lui faire connaître des résultats qui n’avaient pas leur place dans le texte ; les plus difficiles sont marqués du signe .
9. La terminologie suivie dans ce traité a fait l’objet d’une attention particulière. On s’est efforcé de ne jamais s’écarter de la terminologie reçue sans de très sérieuses raisons.
10. On a cherché à utiliser, sans sacrifier la simplicité de l’exposé, un langage rigoureusement correct. Autant qu’il a été possible, les abus de langage ou de notation, sans lesquels tout texte mathématique risque de devenir pédantesque et même illisible, ont été signalés au passage.
11. Le texte étant consacré à l’exposé dogmatique d’une théorie, on n’y trouvera qu’exceptionnellement des références bibliographiques ; celles-ci sont parfois groupées dans des Notes historiques. La bibliographie qui suit chacune de ces Notes ne comporte le plus souvent que les livres et mémoires originaux qui ont eu le plus d’importance dans l’évolution de la théorie considérée ; elle ne vise nullement à être complète.
As to the exercises, it has not in general been thought useful to indicate their origin, which is very diverse (original memoirs, didactic works, collections of exercises).
12. Dans la nouvelle édition, les renvois à des théorèmes, axiomes, définitions, remarques, etc. sont donnés en principe en indiquant successivement le Livre (par l’abbréviation qui lui correspond dans la liste donnée au n), le chapitre et la page où ils se trouvent. À l’intérieur d’un même Livre, la mention de ce Livre est supprimée ; par exemple, dans le Livre d’Algèbre,
E, III, p. 32, cor. 3
refers to corollary 3 occurring in the Book on Theory of Sets, chapter III, page 32 of this chapter;
II, p. 24, prop. 17
refers to proposition 17 of the Book on Algebra, chapter II, page 24 of this chapter.
The result booklets are designated by the letter R; for example: EVT, R means "booklet of results of the Book on Topological Vector Spaces".
As certain Books are to be published later in the new edition, references to these Books are made by indicating successively the Book, the chapter, the paragraph and the number where the result in question should occur; for example:
AC, III, § 4, n, cor. of prop. 6.