Mode d’emploi
1. Le traité prend les mathématiques à leur début et donne des démonstrations complètes. Sa lecture ne suppose donc, en principe, aucune connaissance mathématique particulière, mais seulement une certaine habitude du raisonnement mathématique et un certain pouvoir d’abstraction. Néanmoins, le traité est destiné plus particulièrement à des lecteurs possédant au moins une bonne connaissance des matières enseignées dans la première ou les deux premières années de l’université.
2. Le mode d’exposition suivi est axiomatique et procède le plus souvent du général au particulier. Les nécessités de la démonstration exigent que les chapitres se suivent, en principe, dans un ordre logique rigoureusement fixé. L’utilité de certaines considérations n’apparaîtra donc au lecteur qu’à la lecture de chapitres ultérieurs, à moins qu’il ne possède déjà des connaissances assez étendues.
3. Le traité est divisé en Livres et chaque Livre en chapitres. Les Livres actuellement publiés, en totalité ou en partie, sont les suivants :
Théorie des ensembles désigné par E
Algèbre — A
Topologie générale — TG
Fonctions d’une variable réelle — FVR
Espaces vectoriels topologiques — EVT
Intégration — INT
Algèbre commutative — AC
Variétés différentiables et analytiques — VAR
Groupes et algèbres de Lie — LIE
Théories spectrales — TS
Topologie algébrique — TA
vii
Dans les six premiers Livres (pour l’ordre indiqué ci-dessus), chaque énoncé ne fait appel qu’aux définitions et résultats exposés précédemment dans le chapitre en cours ou dans les chapitres antérieurs dans l’ordre suivant : E ; A, chapitres I à III ; TG, chapitres I à III ; A, chapitres IV et suivants ; TG, chapitres IV et suivants ; FVR ; EVT ; INT. À partir du septième Livre, le lecteur trouvera éventuellement, au début de chaque Livre ou chapitre, l’indication précise des autres Livres ou chapitres utilisés (les six premiers Livres étant toujours supposés connus).
4. Cependant, quelques passages font exception aux règles précédentes. Ils sont placés entre deux astérisques. . . . Dans certains
cas, il s’agit seulement de faciliter la compréhension du texte par des exemples qui se réfèrent à des faits que le lecteur peut déjà connaître par ailleurs. Parfois aussi, on utilise, non seulement les résultats supposés connus dans tout le chapitre en cours, mais des résultats démontrés ailleurs dans le traité. Ces passages seront employés librement dans les parties qui supposent connus les chapitres où ces passages sont insérés et les chapitres auxquels ces passages font appel. Le lecteur pourra, nous l’espérons, vérifier l’absence de tout cercle vicieux.
5. À certains Livres (soit publiés, soit en préparation) sont annexés des fascicules de résultats. Ces fascicules contiennent l’essentiel des définitions et des résultats du Livre, mais aucune démonstration.
6. L’armature logique de chaque chapitre est constituée par les définitions, les axiomes et les théorèmes de ce chapitre ; c’est là ce qu’il est principalement nécessaire de retenir en vue de ce qui doit suivre. Les résultats moins importants, ou qui peuvent être facilement retrouvés à partir des théorèmes, figurent sous le nom de « propositions », « lemmes », « corollaires », « remarques » ; etc. ; ceux qui peuvent être omis en première lecture sont imprimés en petits caractères. Sous le nom de « scholie », on trouvera quelquefois un commentaire d’un théo-rème particulièrement important.
Pour éviter des répétitions fastidieuses, on convient parfois d’introduire certaines notations ou certaines abréviations qui ne sont valables qu’à l’intérieur d’un seul chapitre ou d’un seul paragraphe (par exemple, dans un chapitre où tous les anneaux sont commutatifs, on peut convenir que le mot « anneau » signifie toujours « anneau commutatif »). De telles conventions sont explicitement mentionnées à la tête du chapitre ou du paragraphe dans lequel elles s’appliquent.
7. Certains passages sont destinés à prémunir le lecteur contre des erreurs graves, où il risquerait de tomber ; ces passages sont signalés en marge par le signe (« tournant dangereux »).
8. Les exercices sont destinés, d’une part, à permettre au lecteur de vérifier qu’il a bien assimilé le texte ; d’autre part à lui faire connaître des résultats qui n’avaient pas leur place dans le texte ; les plus difficiles sont marqués du signe .
9. La terminologie suivie dans ce traité a fait l’objet d’une attention particulière. On s’est efforcé de ne jamais s’écarter de la terminologie reçue sans de très sérieuses raisons.
10. On a cherché à utiliser, sans sacrifier la simplicité de l’exposé, un langage rigoureusement correct. Autant qu’il a été possible, les abus de langage ou de notation, sans lesquels tout texte mathématique risque de devenir pédantesque et même illisible, ont été signalés au passage.
11. Le texte étant consacré à l’exposé dogmatique d’une théorie, on n’y trouvera qu’exceptionnellement des références bibliographiques ; celles-ci sont parfois groupées dans des Notes historiques. La bibliographie qui suit chacune de ces Notes ne comporte le plus souvent que les livres et mémoires originaux qui ont eu le plus d’importance dans l’évolution de la théorie considérée ; elle ne vise nullement à être complète.
Quant aux exercices, il n’a pas été jugé utile en général d’indiquer leur provenance, qui est très diverse (mémoires originaux, ouvrages didactiques, recueils d’exercices).
12. Dans la nouvelle édition, les renvois à des théorèmes, axiomes, définitions, remarques, etc. sont donnés en principe en indiquant successivement le Livre (par l’abbréviation qui lui correspond dans la liste donnée au n), le chapitre et la page où ils se trouvent. À l’intérieur d’un même Livre, la mention de ce Livre est supprimée ; par exemple, dans le Livre d’Algèbre,
E, III, p. 32, cor. 3
renvoie au corollaire 3 se trouvant au Livre de Théorie des Ensembles, chapitre III, page 32 de ce chapitre ;
II, p. 24, prop. 17
renvoie à la proposition 17 du Livre d’Algèbre, chapitre II, page 24 de ce chapitre.
Les fascicules de résultats sont désignés par la lettre R ; par exemple : EVT, R signifie « fascicule de résultats du Livre sur les Espaces Vectoriels Topologiques ».
Comme certains Livres doivent être publiés plus tard dans la nouvelle édition, les renvois à ces Livres se font en indiquant successivement le Livre, le chapitre, le paragraphe et le numéro où devrait se trouver le résultat en question ; par exemple :
AC, III, § 4, n, cor. de la prop. 6.