Mode of use
1. Le traité prend les mathématiques à leur début et donne des démonstrations complètes. Sa lecture ne suppose donc, en principe, aucune connaissance mathématique particulière, mais seulement une certaine habitude du raisonnement mathématique et un certain pouvoir d’abstraction. Néanmoins, le traité est destiné plus particulièrement à des lecteurs possédant au moins une bonne connaissance des matières enseignées dans la première ou les deux premières années de l’université.
2. Le mode d’exposition suivi est axiomatique et procède le plus souvent du général au particulier. Les nécessités de la démonstration exigent que les chapitres se suivent, en principe, dans un ordre logique rigoureusement fixé. L’utilité de certaines considérations n’apparaîtra donc au lecteur qu’à la lecture de chapitres ultérieurs, à moins qu’il ne possède déjà des connaissances assez étendues.
3. Le traité est divisé en Livres et chaque Livre en chapitres. Les Livres actuellement publiés, en totalité ou en partie, sont les suivants :
Theory of Sets designated by E
Algebra — A
General Topology — TG
Functions of a Real Variable — FVR
Topological Vector Spaces — EVT
Integration — INT
Commutative Algebra — AC
Differentiable and Analytic Manifolds — VAR
Groups and Lie Algebras — LIE
Spectral Theories — TS
Algebraic Topology — TA
vii
In the first six Books (in the order indicated above), each statement only calls upon the definitions and results previously presented in the current chapter or in earlier chapters in the following order: E ; A, chapters I to III ; TG, chapters I to III ; A, chapters IV and following ; TG, chapters IV and following ; FVR ; EVT ; INT. From the seventh Book onwards, the reader will find, possibly at the beginning of each Book or chapter, the precise indication of the other Books or chapters used (the first six Books always being assumed known).
4. Cependant, quelques passages font exception aux règles précédentes. Ils sont placés entre deux astérisques. . . . Dans certains
case, it is only a matter of facilitating the understanding of the text by examples which refer to facts that the reader may already know from elsewhere. Sometimes also, one uses, not only the results assumed known throughout the current chapter, but results proved elsewhere in the treatise. These passages will be used freely in the parts which assume known the chapters in which these passages are inserted and the chapters to which these passages refer. The reader will, we hope, be able to verify the absence of any vicious circle.
5. À certains Livres (soit publiés, soit en préparation) sont annexés des fascicules de résultats. Ces fascicules contiennent l’essentiel des définitions et des résultats du Livre, mais aucune démonstration.
6. L’armature logique de chaque chapitre est constituée par les définitions, les axiomes et les théorèmes de ce chapitre ; c’est là ce qu’il est principalement nécessaire de retenir en vue de ce qui doit suivre. Les résultats moins importants, ou qui peuvent être facilement retrouvés à partir des théorèmes, figurent sous le nom de « propositions », « lemmes », « corollaires », « remarques » ; etc. ; ceux qui peuvent être omis en première lecture sont imprimés en petits caractères. Sous le nom de « scholie », on trouvera quelquefois un commentaire d’un théorème particulièrement important.
To avoid tedious repetitions, one sometimes agrees to introduce certain notations or certain abbreviations which are valid only within a single chapter or a single paragraph (for example, in a chapter where all rings are commutative, one may agree that the word “ring” always means “commutative ring”). Such conventions are explicitly mentioned at the head of the chapter or paragraph in which they apply.
7. Certains passages sont destinés à prémunir le lecteur contre des erreurs graves, où il risquerait de tomber ; ces passages sont signalés en marge par le signe (« tournant dangereux »).
8. Les exercices sont destinés, d’une part, à permettre au lecteur de vérifier qu’il a bien assimilé le texte ; d’autre part, à lui faire connaître des résultats qui n’avaient pas leur place dans le texte ; les plus difficiles sont marqués du signe .
9. La terminologie suivie dans ce traité a fait l’objet d’une attention particulière. On s’est efforcé de ne jamais s’écarter de la terminologie reçue sans de très sérieuses raisons.
10. On a cherché à utiliser, sans sacrifier la simplicité de l’exposé, un langage rigoureusement correct. Autant qu’il a été possible, les abus de langage ou de notation, sans lesquels tout texte mathématique risque de devenir pédantesque et même illisible, ont été signalés au passage.
11. Le texte étant consacré à l’exposé dogmatique d’une théorie, on n’y trouvera qu’exceptionnellement des références bibliographiques ; celles-ci sont parfois groupées dans des Notes historiques. La bibliographie qui suit chacune de ces Notes ne comporte le plus souvent que les livres et mémoires originaux qui ont eu le plus d’importance dans l’évolution de la théorie considérée ; elle ne vise nullement à être complète.
Certain historical notes have been collected in a Book of Elements of History of Mathematics, to which reference is made by the abbreviation ÉHM.
As for the exercises, it has not generally been considered useful to indicate their origin, which is very diverse (original memoirs, didactic works, collections of exercises).
12. Dans la nouvelle édition, les renvois à des théorèmes, axiomes, définitions, remarques, etc. sont donnés en principe en indiquant successivement le Livre (par l’abréviation qui lui correspond dans la liste donnée au n), le chapitre et la page où ils se trouvent. À l’intérieur d’un même Livre, la mention de ce Livre est supprimée ; par exemple, dans le Livre d’Algèbre,
E, III, p. 32, cor. 3
refers to corollary 3 found in the Book of Theory of Sets, chapter III, page 32 of this chapter ;
II, p. 24, prop. 17
refers to proposition 17 of the Book of Algebra, chapter II, page 24 of this chapter.
The result fascicles are designated by the letter R ; for example : EVT, R means “result fascicle of the Book on Topological Vector Spaces”.
Since certain Books must be published later in the new edition, references to these Books are made by indicating successively the Book, the chapter, the paragraph and the number where the result in question should be found ; for example :
AC, III, § 4, n, cor. of the proposition 6.
In this volume, we shall moreover add the page numbers of the references to the old edition of the book INT to facilitate reading ; for example :
INT, VII, p. 46, § 2, n, prop. 5.