Cách sử dụng
1. Bộ luận lấy toán học từ những khởi đầu của nó và đưa ra các chứng minh đầy đủ. Vì vậy, về nguyên tắc, việc đọc bộ luận không đòi hỏi một kiến thức toán học đặc biệt nào, mà chỉ đòi hỏi một sự quen thuộc nhất định với suy luận toán học và một năng lực trừu tượng hóa nhất định. Tuy nhiên, bộ luận đặc biệt dành cho những độc giả có ít nhất một kiến thức tốt về các môn học được giảng dạy trong một hoặc hai năm đầu đại học.
2. Phương pháp trình bày được sử dụng là tiên đề hóa và thường đi từ cái tổng quát đến cái riêng. Những yêu cầu của việc chứng minh đòi hỏi các chương, về nguyên tắc, phải nối tiếp nhau theo một trật tự logic được ấn định hết sức chặt chẽ. Do đó, độc giả chỉ nhận thấy ích lợi của một số xét xét nào đó khi đọc các chương sau, trừ khi đã có những kiến thức khá rộng.
3. Bộ luận được chia thành các Quyển và mỗi Quyển thành các chương. Các Quyển hiện đã được xuất bản, toàn bộ hoặc một phần, gồm có:
LÝ THUYẾT TẬP HỢP, ký hiệu là E
Đại số — A
Tôpô tổng quát — TG
Hàm của một biến thực — FVR
Không gian vectơ tôpô — EVT
Tích phân — INT
Đại số giao hoán — AC
Đa tạp khả vi và giải tích — VAR
Nhóm và Đại số Lie — LIE
Các lý thuyết phổ — TS
Tôpô đại số — TA
vii
Trong sáu Quyển đầu tiên (theo thứ tự đã chỉ ra ở trên), mỗi mệnh đề chỉ sử dụng các định nghĩa và kết quả đã được trình bày trước đó trong chương hiện tại hoặc trong các chương trước theo thứ tự sau: E ; A, các chương I đến III ; TG, các chương I đến III ; A, các chương IV và tiếp theo ; TG, các chương IV và tiếp theo ; FVR ; EVT ; INT. Kể từ Quyển thứ bảy trở đi, độc giả sẽ tìm thấy, có thể ở đầu mỗi Quyển hoặc chương, chỉ dẫn chính xác về các Quyển hoặc chương khác được sử dụng (sáu Quyển đầu tiên luôn được giả định là đã biết).
4. Tuy nhiên, một vài đoạn là ngoại lệ đối với các quy tắc trên. Chúng được đặt giữa hai dấu sao. . . . Trong một số trường hợp
chỉ là nhằm tạo thuận lợi cho việc hiểu văn bản bằng những ví dụ quy chiếu đến các sự kiện mà độc giả có thể đã biết từ những nguồn khác. Đôi khi, người ta cũng sử dụng không chỉ các kết quả được giả định là đã biết trong toàn bộ chương hiện tại, mà cả những kết quả đã được chứng minh ở nơi khác trong bộ luận. Các đoạn này sẽ được sử dụng tự do trong những phần giả định là đã biết các chương có chứa các đoạn này và các chương được các đoạn này quy chiếu đến. Chúng tôi hy vọng rằng độc giả có thể kiểm tra được rằng không có vòng luẩn quẩn nào.
5. Một số Quyển (dù đã xuất bản hay đang được chuẩn bị) có kèm theo các tập kết quả. Các tập này chứa những điều cốt yếu của các định nghĩa và kết quả của Quyển, nhưng không có chứng minh nào.
6. Khung logic của mỗi chương được tạo thành bởi các định nghĩa, các tiên đề và các định lý của chương đó; đó là những điều chủ yếu cần ghi nhớ nhằm phục vụ cho những gì tiếp theo. Những kết quả ít quan trọng hơn, hoặc có thể dễ dàng tìm lại được từ các định lý, được trình bày dưới tên gọi « mệnh đề », « bổ đề », « hệ quả », « nhận xét »; v.v.; những kết quả có thể bỏ qua khi đọc lần đầu được in bằng chữ nhỏ. Dưới tên gọi « chú giải », đôi khi ta sẽ gặp một lời bình về một định lý đặc biệt quan trọng.
Để tránh những sự lặp lại tẻ nhạt, đôi khi người ta quy ước đưa vào một số ký hiệu hoặc một số chữ viết tắt chỉ có giá trị trong một chương hoặc một đoạn duy nhất (chẳng hạn, trong một chương mà mọi vành đều giao hoán, người ta có thể quy ước rằng từ “vành” luôn có nghĩa là “vành giao hoán”). Những quy ước như vậy được nêu tường minh ở đầu chương hoặc đoạn mà chúng được áp dụng.
7. Một số đoạn nhằm giúp độc giả tránh những sai lầm nghiêm trọng mà họ có nguy cơ mắc phải; các đoạn này được đánh dấu ở lề bằng dấu hiệu (« khúc quanh nguy hiểm »).
8. Các bài tập nhằm, một mặt, cho phép độc giả kiểm tra rằng mình đã lĩnh hội đúng văn bản; mặt khác, giúp độc giả biết đến những kết quả không có chỗ trong văn bản; những bài tập khó nhất được đánh dấu bằng dấu .
9. Thuật ngữ được sử dụng trong bộ luận này đã được đặc biệt chú ý. Người ta đã cố gắng không bao giờ đi chệch khỏi thuật ngữ được thừa nhận nếu không có những lý do hết sức nghiêm túc.
10. Người ta đã cố gắng sử dụng, không hy sinh tính đơn giản của cách trình bày, một ngôn ngữ hoàn toàn chính xác. Trong chừng mực có thể, những cách dùng ngôn ngữ hoặc ký hiệu không chính xác, nếu không có chúng thì mọi văn bản toán học đều có nguy cơ trở nên kiểu cách và thậm chí không thể đọc được, đều được chỉ ra ngay tại chỗ.
11. Vì văn bản dành cho việc trình bày giáo điều một lý thuyết, nên chỉ trong những trường hợp ngoại lệ mới có các tài liệu tham khảo; đôi khi chúng được tập hợp trong các Ghi chú lịch sử. Thư mục theo sau mỗi Ghi chú này phần lớn chỉ gồm những sách và hồi ký nguyên bản có tầm quan trọng lớn nhất đối với sự phát triển của lý thuyết đang xét; nó hoàn toàn không nhằm mục đích đầy đủ.
Một số ghi chú lịch sử đã được tập hợp trong một Quyển về Các yếu tố của lịch sử toán học, được quy chiếu bằng chữ viết tắt ÉHM.
Đối với các bài tập, nói chung người ta không thấy cần thiết phải chỉ ra nguồn gốc của chúng, vốn rất đa dạng (các hồi ký nguyên bản, các tác phẩm giáo khoa, các tuyển tập bài tập).
12. Trong ấn bản mới, các dẫn chiếu đến các định lý, tiên đề, định nghĩa, nhận xét, v.v. về nguyên tắc được nêu bằng cách lần lượt chỉ rõ Quyển (bằng chữ viết tắt tương ứng với Quyển đó trong danh sách cho ở số ), chương và trang nơi chúng được trình bày. Trong cùng một Quyển, tên của Quyển đó được lược bỏ; chẳng hạn, trong Quyển Đại số,
E, III, p. 32, cor. 3
chỉ hệ quả 3 trong Quyển Lý thuyết tập hợp, chương III, trang 32 của chương này;
II, p. 24, prop. 17
chỉ mệnh đề 17 của Quyển Đại số, chương II, trang 24 của chương này.
Các tập kết quả được ký hiệu bằng chữ R; chẳng hạn: EVT, R có nghĩa là “tập kết quả của Quyển về các Không gian vectơ tôpô”.
Vì một số Quyển phải được xuất bản muộn hơn trong ấn bản mới, các dẫn chiếu đến những Quyển này được thực hiện bằng cách lần lượt chỉ rõ Quyển, chương, đoạn và số nơi cần tìm kết quả được xét; chẳng hạn:
AC, III, § 4, n, cor. của mệnh đề 6.
Trong tập này, chúng tôi còn thêm số trang của các dẫn chiếu đến ấn bản cũ của Quyển INT để thuận tiện cho việc đọc; chẳng hạn:
INT, VII, p. 46, § 2, n, prop. 5.