Chapitre I

Modules plats

Sauf mention expresse du contraire, tous les anneaux considérés dans ce chapitre sont supposés avoir un élément unité ; tous les homomorphismes d’anneaux sont supposés transformer l’élément unité en l’élément unité. Par un sous-anneau d’un anneau A, on entend un sous-anneau contenant l’élément unité de A.

Si A est un anneau, M un A-module à gauche, U (resp. V) un sous-groupe additif de A (resp. M), on rappelle qu’on note UV ou U.V le sous-groupe additif de M engendré par les produits uv, où $u \in U,\ v \in V$ (Alg., chap. VIII, § 6, no 1). Si a est un idéal de A, on pose $a^0 = A$. Pour tout ensemble E, on désigne par $1_E$ (ou par 1 quand aucune confusion n’est à craindre) l’application identique de E sur lui-même.

On rappelle que les axiomes des modules impliquent que si E est un module à gauche (resp. à droite) sur un anneau A, et si 1 désigne l’élément unité de A, on a $1.x = x$ (resp. $x.1 = x$) pour tout $x \in E$ (Alg., chap. II, 3e éd., § 1, no 1). Si E et F sont deux A-modules à gauche (resp. à droite), on rappelle qu’on désigne par $\mathrm{Hom}_A(E, F)$ (ou simplement $\mathrm{Hom}(E, F)$) le groupe additif des homomorphismes de E dans F (loc. cit., § 1, no 2). Par abus de notation, on désignera souvent par 0 un module réduit à son élément neutre.

(*) A l’exception du § 4, les résultats de ce chapitre ne dépendent d’aucun autre livre de la deuxième partie.