§ 4. Modules plats et foncteurs « Tor »

A l’usage des lecteurs au courant de l’Algèbre homologique (*), nous allons indiquer rapidement comment la théorie des modules plats se relie à celle des foncteurs Tor.

Proposition 1

Soit E un A-module à droite. Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes :

(*) Voir la partie de ce Traité consacrée aux catégories, et, plus particulièrement, aux catégories abéliennes (en préparation). En attendant la parution de cette partie, le lecteur pourra consulter H. CARTAN-S. EILENBERG, Homological Algebra, Princeton, 1956, ou R. GODEMENT, Théorie des Faisceaux, Paris (Hermann), 1958.

a) $E$ est plat.

b) Pour tout $A$ -module à gauche $F$ et tout entier $n \geqslant 1$ , on a $\operatorname{Tor}_n^A(E, F) = 0$ .

c) Pour tout $A$ -module à gauche $F$ , on a $\operatorname{Tor}_1^A(E, F) = 0$ .

d) Pour tout idéal à gauche de type fini $a$ de $A$ , on a

\operatorname{Tor}_1^A(E, A_s/a) = 0.

Montrons que a) implique b). Soit

\cdots \to L_n \to L_{n-1} \to \cdots \to L_0 \to F \to 0

une résolution libre de

F

. Comme

E

est plat, la suite

(1)

\cdots \to E \otimes L_n \to E \otimes L_{n-1} \to \cdots \to E \otimes L_0 \to E \otimes F \to 0

est exacte. Comme les

\operatorname{Tor}_n^A(E, F)

sont isomorphes aux groupes d’homologie du complexe (1), ils sont nuls pour

n \geqslant 1

Il est trivial que b) entraîne c) et que c) entraîne d). Montrons enfin que d) implique a). La suite exacte

0 \to a \to A_s \to A_s/a \to 0

donne la suite exacte

\operatorname{Tor}_1^A(E, A_s/a) \to E \otimes_A a \to E \otimes_A A.

Comme d) est vérifiée, l’homomorphisme canonique

E \otimes_A a \to E \otimes_A A = E

est injectif, ce qui signifie que

E

est plat (

§ 2

, no 3, prop. 1).

La prop. 1 fournit une caractérisation des modules plats qui est souvent utile dans les applications. Nous nous bornerons, à titre d’exemple, à donner une nouvelle démonstration de la prop. 5 du $§ 2$ , no 5. Si $E'$ et $E''$ sont plats, la suite exacte

\operatorname{Tor}_1^A(E', F) \to \operatorname{Tor}_1^A(E, F) \to \operatorname{Tor}_1^A(E'', F)

montre que

\operatorname{Tor}_1^A(E, F) = 0

pour tout

A

-module à gauche

F

, donc

E

est plat. Si

E

E''

sont plats, la suite exacte

\operatorname{Tor}_2^A(E'', F) \to \operatorname{Tor}_1^A(E', F) \to \operatorname{Tor}_1^A(E, F)

montre que

\operatorname{Tor}_1^A(E', F) = 0

, donc

E'

est plat.

Proposition 2

Soient R, S deux anneaux, $\rho : R \to S$ un homomorphisme et F un R-module à gauche. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

a) On a $\mathrm{Tor}_1^R(\rho_*(E), F) = 0$ pour tout S-module à droite E. b) Le S-module à gauche $\rho^*(F) = F_{(s)} = S \otimes_R F$ est plat, et on a $\mathrm{Tor}_1^R(\rho_*(S_d), F) = 0$ .

Supposons a) vérifiée. Prenant $E = S_d$ , on voit que $\mathrm{Tor}_1^R(\rho_*(S_d), F) = 0$ . Montrons en outre que $F_{(s)}$ est un S-module plat. Pour cela, notons que si E est un S-module à droite, le groupe additif $E \otimes_S F_{(s)}$ s’identifie à $\rho_*(E) \otimes_R F$ . Si l’on a donc une suite exacte de S-modules à droite

0 \to E' \to E \to E'' \to 0

on en déduit, vu a), une suite exacte

0 \to \rho_*(E') \otimes_R F \to \rho_*(E) \otimes_R F \to \rho_*(E'') \otimes_R F \to 0

ou encore

0 \to E' \otimes_S F_{(s)} \to E \otimes_S F_{(s)} \to E'' \otimes_S F_{(s)} \to 0

ce qui prouve que $F_{(s)}$ est plat.

Réciproquement, si b) est vérifiée, on a tout d’abord, pour tout S-module à droite libre $L = S_d^{(i)}$ , $\mathrm{Tor}_1^R(\rho_*(L), F) = (\mathrm{Tor}_1^R(\rho_*(S_d), F))^{(i)} = 0$ . Tout S-module à droite E s’écrit sous la forme $E = L/H$ pour un S-module libre L convenable ; on a donc la suite exacte

(2) $0 = \mathrm{Tor}_1^R(\rho_*(L), F) \to \mathrm{Tor}_1^R(\rho_*(E), F) \to \rho_*(H) \otimes_R F \to \rho_*(L) \otimes_R F.$

Mais comme $F_{(s)}$ est plat, l’homomorphisme $H \otimes_S F_{(s)} \to L \otimes_S F_{(s)}$ est injectif, et il s’identifie à l’homomorphisme

\rho_*(H) \otimes_R F \to \rho_*(L) \otimes_R F.

On déduit alors de (2) que $\mathrm{Tor}_1^R(\rho_*(E), F) = 0$ .

Remarque

La proposition 2 découle aussi de l’existence de la suite exacte

E \otimes_S \mathrm{Tor}_1^R(\rho_*(S_d), F) \to \mathrm{Tor}_1^R(\rho_*(E), F) \to \mathrm{Tor}_1^S(E, S_d \otimes_R F) \to 0

provenant de la suite spectrale d’« associativité » des foncteurs Tor.

Exercices

See the exercises for § 4.