a) Pour qu’une suite $N' \xrightarrow{v} N \xrightarrow{w} N''$ de A-modules à gauche soit exacte, il faut et il suffit que la suite

b) E est plat, et pour tout A-module à gauche N, la relation $E \otimes_A N = 0$ entraîne $N = 0$.

c) E est plat, et pour tout homomorphisme $v : N' \to N$ de A-modules à gauche, la relation $1_E \otimes v = 0$ entraîne $v = 0$.

d) E est plat, et pour tout idéal à gauche maximal $m$ de A, on a $E \neq Em$.

Pour simplifier l’écriture, nous poserons $T(Q) = E \otimes_A Q$ pour tout A-module à gauche Q, et $T(v) = 1_E \otimes v$ pour tout homomorphisme $v$ de A-modules à gauche.

Nous allons d’abord prouver l’équivalence de $a$, $b$ et $c$.

Prouvons que $a$ implique $b$. Si $a$ est vérifiée, il est clair que E est plat ($§\ 2$, no 3, prop. 1). D’autre part, soit N un A-module à gauche tel que $T(N) = 0$, et considérons la suite $0 \to N \to 0$; l’hypothèse $T(N) = 0$ signifie que la suite $0 \to T(N) \to 0$ est exacte. Par $a$, la suite $0 \to N \to 0$ est exacte, d’où $N = 0$.

Montrons que $b$ implique $c$. Supposons $b$ vérifiée, et soient $v : N' \to N$ un homomorphisme, I son image. Comme l’image de $T(v)$ s’identifie à $T(I)$ ($§\ 2$, no 3, Remarque 2), l’hypothèse $T(v) = 0$ entraîne $T(I) = 0$, donc $I = 0$ d’après $b$ et par suite $v = 0$.

Démontrons que $c$ entraîne $a$. Supposons donc $c$ vérifiée et considérons une suite

d’homomorphismes de A-modules à gauche, et la suite correspondante

Si la suite (1) est exacte, il en est de même de (2), puisque E est plat ($§\ 2$, no 3, prop. 1). Inversement, si (2) est exacte, on a d’abord $T(w \circ v) = T(w) \circ T(v) = 0$, donc $w \circ v = 0$ par hypothèse. Posons $I = v(N')$ et $K = w^{-1}(0)$; on a $I \subset K$ d’après ce qui précède. Considérons la suite exacte

$i$ et $p$ étant les applications canoniques. Comme E est plat, la suite

est exacte, autrement dit, $T(K/I)$ est isomorphe à $T(K)/T(I)$, qui est 0 par hypothèse, puisque $T(I)$ (resp. $T(K)$) s’identifie à l’image de $T(v)$ (resp. au noyau de $T(w)$) ($§\ 2$, no 3, Remarque 2). Mais la relation $T(p) = 0$ entraîne $p = 0$ par hypothèse, donc on a $K = I$, ce qui prouve que la suite (1) est exacte.

Démontrons enfin l’équivalence de $b$ et $d$. Si $b$ est vérifiée, on a $E/E_m = E \otimes_A (A_s/m) \neq 0$ puisque $A_s/m \neq 0$; d’où $d$. Inversement, supposons $d$ vérifiée; tout idéal à gauche $a \neq A$ de A est contenu dans un idéal à gauche maximal $m$ (Alg., chap. I, § 8, n° 7, th. 2), donc l’hypothèse E ≠ Em entraîne E ≠ Ea, autrement dit E ⊗_A (A_s/a) ≠ 0. En d’autres termes, pour tout A-module à gauche monogène N ≠ 0, on a T(N) ≠ 0. Si maintenant N est un A-module à gauche ≠ 0 quelconque, il contient un sous-module monogène N′ ≠ 0 ; puisque E est plat, T(N′) s’identifie à un sous-groupe de T(N) ; on vient de voir que T(N′) ≠ 0, donc T(N) ≠ 0.

C. Q. F. D.

On applique la prop. 4 avec $R = S = C$.

On applique la prop. 4 du n° 2 avec $R = A, S = F = B$, en remarquant que le B-module $B_d$ est fidèlement plat.

On applique la prop. 5 avec $B = A/a$, $\rho$ étant l’homomorphisme canonique.

1° Si E est plat (resp. fidèlement plat), $E_{(B)}$ est plat (resp. fidèlement plat) en vertu du § 2, n° 7, cor. 2 de la prop. 8 (resp. de la prop. 5).

2° Supposons que $E_{(B)}$ soit plat, et soit $v : N' \to N$ un homomorphisme injectif de A-modules. En vertu du § 2, n° 7, cor. 3, le A-module $E \otimes_A B$ est plat, donc l’homomorphisme $1_E \otimes 1_B \otimes v : E \otimes_A B \otimes_A N' \to E \otimes_A B \otimes_A N$ est injectif. Comme les structures de A-module à droite et de A-module à gauche sur B coïncident, cet homomorphisme s’identifie à

Comme B est un A-module fidèlement plat, on en déduit que

$1_E \otimes v : E \otimes_A N' \to E \otimes_A N$ est injectif (n° 1, prop. 2), ce qui montre que E est plat.

3° Supposons enfin que $E_{(B)}$ soit fidèlement plat. Tout d’abord E est plat en vertu du 2°. Soit en outre N un A-module tel que $E \otimes_A N = 0$. On a alors $E \otimes_A N \otimes_A B = 0$, d’où, puisque les structures de A-module à droite et de A-module à gauche sur B coïncident, $E \otimes_A B \otimes_A N = 0$, ce qui s’écrit aussi $(E \otimes_A B) \otimes_B (B \otimes_A N) = 0$. Comme $E_{(B)}$ est un B-module fidèlement plat, cela entraîne $B \otimes_A N = 0$ (n° 1, prop. 1), d’où $N = 0$ puisque B est un A-module fidèlement plat (n° 1, prop. 1).

C. Q. F. D.

On applique la prop. 4 du n° 2, en remplaçant R, S, E, F respectivement par B, A, E, B, la structure de A-module à droite de B étant définie par $\rho$ ; on voit ainsi que B est un A-module plat (resp. fidèlement plat) si et seulement si $E \otimes_B B = \rho_*(E)$ est un A-module plat (resp. fidèlement plat).

(i) Pour tout A-module à gauche F, l’homomorphisme canonique $j : F \to F_{(B)} = B \otimes_A F$ (tel que $j(x) = 1 \otimes x$ pour $x \in F$) est injectif.

(ii) Pour tout idéal à gauche $a$ de A, on a $\rho^{-1}(Ba) = a$.

(iii) L’homomorphisme $\rho$ est injectif.

(iv) Pour tout idéal à gauche maximal $m$ de A, il existe un idéal à gauche maximal $n$ de B tel que $\rho^{-1}(n) = m$.

Démontrons (i). On sait (Alg., chap. II, 3e éd., § 5, no 2, cor. de la prop. 5) que pour tout B-module à droite M, le A-homomorphisme canonique $i : M \to \rho_*(M) \otimes_A B = \rho^*(\rho_*(M))$ défini par $i(y) = y \otimes 1$ est injectif et que le A-module $i(M)$ est facteur direct de $\rho_*(M) \otimes_A B$. Donc, pour tout A-module à gauche F,

est injectif (§ 2, no 1, lemme 2). Si on prend $M = E$, on en déduit (puisque $i \otimes 1_F = 1_M \otimes j$) que $j$ est injectif (no 1, prop. 2).

L’assertion (ii) résulte de (i) en prenant $F = A_s/a$, et (iii) résulte de (ii) en prenant $a = \{0\}$.

Enfin, si $m$ est un idéal à gauche maximal de A, on a $\rho^{-1}(Bm) = m$ en vertu de (ii), et par suite $Bm \neq B$. Il existe donc un idéal maximal à gauche $n$ de B contenant $Bm$ (Alg., chap. I, § 8, no 7, th. 2); on a $m \subset \rho^{-1}(n)$ et comme $\rho(1) \notin n$, 1 n’appartient pas à $\rho^{-1}(n)$. Par suite $\rho^{-1}(n) = m$.

Lorsque A et B vérifient les conditions de la prop. 8, on identifie d’ordinaire A à un sous-anneau de B au moyen de $\rho$.

En effet, si $(a_n)$ était une suite croissante (resp. décroissante) non stationnaire d’idéaux à gauche de A, la suite $(Ba_n)$ d’idéaux de B serait croissante (resp. décroissante) non stationnaire puisque $\rho^{-1}(Ba_n) = a_n$, contrairement à l’hypothèse.

Remarque 1). — Lorsque A et B sont commutatifs, nous verrons au chap. II, § 2, n° 5, cor. 4 de la prop. 11, que l’hypothèse de la prop. 8 entraîne que pour tout idéal premier $p$ de A, il existe un idéal premier $q$ de B tel que $\rho^{-1}(q) = p$ (ou $p = A \cap q$ quand on identifie A à un sous-anneau de B).

La prop. 8 s’applique notamment lorsque B est lui-même un A-module fidèlement plat. Mais on a dans ce cas la proposition plus précise suivante :

a) Le A-module à droite B est fidèlement plat.

b) L’homomorphisme $\rho$ est injectif et le A-module à droite $B/\rho(A)$ est plat.

c) Le A-module à droite B est plat, et pour tout A-module à gauche F, l’homomorphisme canonique $x \to 1 \otimes x$ de F dans $B \otimes_A F$ est injectif.

d) Le A-module à droite B est plat, et pour tout idéal à gauche $a$ de A, on a $\rho^{-1}(Ba) = a$.

e) Le A-module à droite B est plat, et pour tout idéal à gauche maximal $m$ de A, il existe un idéal à gauche maximal $n$ de B tel que $\rho^{-1}(n) = m$.

D’après la prop. 8, a) implique chacune des propriétés c), d), e). D’autre part, si e) est vérifiée, on a $Bm \neq B$ pour tout idéal à gauche maximal $m$ de A (puisqu’il existe un idéal à gauche maximal $n$ de B tel que $Bm \subset n$), et B est un A-module fidèlement plat par le critère d) du n° 1, prop. 1 ; donc e) entraîne a).

Nous allons maintenant prouver que c) $\Rightarrow$ d) $\Rightarrow$ b) $\Rightarrow$ a), ce qui achèvera la démonstration. En premier lieu, c) entraîne d), en prenant $F = A_s/a$ dans c). Si d) est vérifiée, en prenant $a = \{0\}$, on voit que $\rho$ est injectif ; il résulte de d) et du § 2, n° 6, cor. de la prop. 7, que $B/\rho(A)$ est un A-module à droite plat, donc d) entraîne b). Enfin, si b) est vérifiée, la prop. 3 du n° 1 appliquée à la suite exacte

montre que B est un A-module à droite fidèlement plat, puisque $A_d$ est fidèlement plat.

C. Q. F. D.

*Remarque 2). — Lorsque A et B sont commutatifs, nous verrons au chap. II, § 2, n° 5, cor. 4 de la prop. 11 que les conditions de la prop. 9 sont équivalentes à la suivante :

f) B est un A-module plat, et pour tout idéal premier $p$ de A, il existe un idéal $q$ de B tel que $\rho^{-1}(q) = p.$*

Sous les conditions de la prop. 9, identifions A à un sous-anneau de B au moyen de $\rho$. La relation $\rho^{-1}(Ba) = a$ s’écrit alors $A \cap Ba = a$. D’autre part, si F est un A-module à gauche, on identifie F à son image dans $B \otimes_A F$ par l’application canonique $x \to 1 \otimes x$; si X est un sous-groupe additif de F, on note alors BX le sous-B-module à gauche de $B \otimes_A F$ engendré par X. Avec ces notations, on a :

En effet, comme B est un A-module à droite plat, l’application canonique $B \otimes_A F' \to B \otimes_A F$ est injective ; compte tenu des identifications faites, son image est $BF'$, ce qui démontre (i). L’assertion (ii) résulte du § 2, n° 6, prop. 7, appliquée avec $E = B$, $E' = A$, et compte tenu des formules $A \otimes_A F = F$ et $A \otimes_A F' = F'$. L’assertion (iii) est triviale, et (iv) résulte du § 2, n° 6, prop. 6.

A-module à gauche F soit de type fini (resp. de présentation finie), il faut et il suffit que le B-module $B \otimes_A F$ soit de type fini (resp. de présentation finie).

1° Sans hypothèse sur B, il est clair que si F est un A-module à gauche de type fini, $B \otimes_A F$ est un B-module à gauche de type fini. Inversement, si $B \otimes_A F$ est un B-module de type fini, il est engendré par un nombre fini d’éléments de la forme $1 \otimes x_i$ avec $x_i \in F$; si M est le sous-A-module de F engendré par les $x_i$, et j l’injection canonique $M \to F$, $1_B \otimes j : B \otimes_A M \to B \otimes_A F$ est un homomorphisme surjectif, donc j est surjectif (n° 1, prop. 2), ce qui prouve que F est de type fini.

2° Si F admet une présentation finie, il en est de même de $B \otimes_A F$ sans hypothèse sur B (§ 2, n° 8). Reste à prouver que si $B \otimes_A F$ admet une présentation finie, il en est de même de F. On sait déjà par 1° que F est de type fini, donc il existe un homomorphisme surjectif $u : L \to F$, où L est un A-module libre de type fini. Soit R le noyau de u, de sorte que $B \otimes_A R$ s’identifie au noyau de l’homomorphisme surjectif $1_B \otimes u : B \otimes_A L \to B \otimes_A F$ (§ 2, n° 3, Remarque 2). Comme $B \otimes_A F$ admet une présentation finie par hypothèse, on en conclut (§ 2, n° 8, lemme 9) que $B \otimes_A R$ est de type fini ; il résulte alors de 1° que R est un A-module de type fini, et par suite F admet une présentation finie.

La condition est évidemment nécessaire sans hypothèses sur A ni B (Alg., chap. II, 3e éd., § 5, n° 1, cor. de la prop. 4); prouvons qu’elle est suffisante. Un module projectif de type fini admettant une présentation finie (§ 2, n° 8, lemme 8), l’hypothèse entraîne que F admet une présentation finie en vertu de la prop. 11, donc, pour tout A-module M on a un isomorphisme canonique

(§ 2, no 10, prop. 11). Soit alors $v : M \to M''$ un homomorphisme surjectif de A-modules et considérons le diagramme commutatif

Comme $1_B \otimes v$ est surjectif, et que $B \otimes_A F$ est supposé projectif, $\mathrm{Hom}(1_B \otimes_F, 1_B \otimes v)$ est surjectif (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, no 2, prop. 4), et il en est donc de même de $1_B \otimes \mathrm{Hom}(1_F, v)$. Mais comme B est un A-module fidèlement plat, $\mathrm{Hom}(1_F, v)$ est lui-même surjectif (no 1, prop. 2), donc F est un A-module projectif (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, no 2, prop. 4).

La condition est suffisante. En effet, comme B est un A-module plat, toute solution à éléments dans B du système linéaire homogène associé à (3) est combinaison linéaire à coefficients dans B de solutions formées d’éléments de A (§ 2, no 11, cor. 2 de la prop. 13). Tout revient donc à prouver que l’existence d’une solution de (3) à éléments dans B entraîne l’existence d’une solution à éléments dans A. Or si on pose $c_k = (c_{ki})_{1 \leq i \leq m} \in A_s^m$, $d = (d_i) \in A_s^m$, le système (3) équivaut à l’équation $\sum_{k=1}^n y_k \otimes c_k = 1 \otimes d$ dans $B \otimes_A A_s^m = B_s^m$. Autrement dit, si M est le sous-A-module de $A_s^m$ engendré par les $c_k (1 \leq k \leq n)$, l’existence de la solution $(y_k)$ de (3) équivaut (avec les identifications faites au no 5) à la relation $d \in BM \cap A_s^m$; mais comme $BM \cap A_s^m = M$ (no 5, prop. 10, (ii)), elle entraîne $d \in M$, c’est-à-dire l’existence d’une solution $(x_k)$ du système (3) à éléments dans A.

La condition est nécessaire. Supposons en effet que (A, B) vérifie la propriété d’extension linéaire ; on sait déjà que B est un A-module à droite plat (§ 2, no 11, cor. 2 de la prop. 13) ; prouvons que pour tout idéal à gauche $\alpha$ de A, on a $B \alpha \cap A = \alpha$, ce qui démontrera que B est un A-module à droite fidèlement plat (no 5, prop. 9, d)). Or, soit $x \in B \alpha \cap A$; il existe par hypothèse des $y_i \in B$ et des $a_i \in \alpha$ tels que $\sum_i y_i a_i = x$; la propriété (E) appliquée à cette équation linéaire à coefficients et second membre dans A montre qu’il existe des $x_i \in A$ tels que $x = \sum_i x_i a_i$, donc $x \in \alpha$.

C. Q. F. D.