(a) Đối với một dãy $N' \xrightarrow{v} N \xrightarrow{w} N''$ các $A$-môđun trái là khớp, điều kiện cần và đủ là dãy

là khớp.

(b) $E$ là phẳng và, với mọi $A$-môđun trái $N$, quan hệ $E \otimes_A N = 0$ kéo theo $N = 0$.

(c) $E$ là phẳng và, với mọi đồng cấu $v : N' \to N$ của các $A$-môđun trái, quan hệ $1_E \otimes v = 0$ kéo theo $v = 0$.

(d) $E$ là phẳng và, với mọi iđêan trái cực đại $m$ của $A$, $E \neq Em$.

Để đơn giản hóa cách viết, ta đặt $T(Q) = E \otimes_A Q$ đối với mọi $A$-môđun trái $Q$ và $T(v) = 1_E \otimes v$ đối với mọi đồng cấu $v$ của các $A$-môđun trái.

Trước hết ta chứng minh sự tương đương của (a), (b) và (c).

Ta chứng minh rằng (a) kéo theo (b). Nếu (a) đúng, rõ ràng $E$ là phẳng (§ 2, no. 3, Mệnh đề 1). Mặt khác, cho $N$ là một $A$-môđun trái sao cho $T(N) = 0$ và xét dãy $0 \to N \to 0$; giả thiết $T(N) = 0$ có nghĩa là dãy $0 \to T(N) \to 0$ là khớp. Theo (a), dãy $0 \to N \to 0$ là khớp, do đó $N = 0$.

Ta chứng minh rằng (b) kéo theo (c). Giả sử (b) đúng và cho $u : N' \to N$ là một đồng cấu và $I$ là ảnh của nó. Vì ảnh của $T(v)$ được đồng nhất với $T(I)$ (§ 2, no. 3, Nhận xét 2), giả thiết $T(v) = 0$ kéo theo $T(I) = 0$, do đó $I = 0$ theo (b) và do đó $v = 0$.

Ta chứng minh rằng (c) kéo theo (a). Khi đó giả sử (c) đúng và xét một dãy

các đồng cấu của các $A$-môđun trái và dãy tương ứng

Nếu dãy (1) là khớp, thì (2) cũng khớp, vì $E$ là phẳng (§ 2, no. 3, Mệnh đề 1). Ngược lại, nếu (2) là khớp, trước hết ta có $T(w \circ v) = T(w) \circ T(v) = 0$, do đó $w \circ v = 0$ theo giả thiết. Đặt $I = v(N')$ và $K = \overline{w}(0)$; khi đó $I$ được chứa trong $K$ theo điều trên. Xét dãy khớp

trong đó $i$ và $p$ là các ánh xạ chính tắc. Vì $E$ là phẳng, dãy là khớp, nói cách khác, $T(K/I)$ là đẳng cấu với $T(K)/T(I)$, mà bằng 0 theo giả thiết, vì $T(I)$ (tương ứng $T(K)$) được đồng nhất với ảnh của $T(v)$ (tương ứng hạt nhân của $T(w)$) (§ 2, no. 3, Nhận xét 2). Nhưng quan hệ $T(p) = 0$ suy ra $p = 0$ theo giả thiết, do đó $K = I$, điều này chứng minh rằng dãy (1) là khớp.

Cuối cùng ta chứng minh sự tương đương của (b) và (d). Nếu (b) đúng, thì

vì $A_s/m \neq 0$; do đó (d). Ngược lại, giả sử (d) đúng; mọi iđêan trái $a \neq A$ của $A$ đều được chứa trong một iđêan trái cực đại $m$ (Algebra, Chương I, §8, no. 7, Định lý 2), khi đó giả thiết $E \neq Em$ suy ra $E \neq Ea$, nói cách khác, $E \otimes_A (A_s/a) \neq 0$. Điều đó có nghĩa là, với mọi môđun trái $A$ đơn sinh $N \neq 0$, $T(N) \neq 0$. Nếu bây giờ $N$ là một môđun trái $A$ bất kỳ \#0, nó chứa một môđun con đơn sinh $N' \neq 0$; vì $E$ là phẳng, $T(N')$ được đồng nhất với một nhóm con của $T(N)$; ta vừa thấy rằng $T(N') \neq 0$, do đó $T(N) \neq 0$.

Đây là một hệ quả ngay lập tức của tiêu chuẩn (a) của Mệnh đề 1.

Ta đã biết rằng $E$ là phẳng ($§ 2$, no. 5, Mệnh đề 5). Ta kiểm tra rằng $E$ có tính chất (b) của Mệnh đề 1. Cho $N$ là một $A$-môđun trái. Vì $E''$ là phẳng, có một dãy khớp

($§ 2$, no. 5, Mệnh đề 4). Nếu $E \otimes_A N = 0$, suy ra rằng $E' \otimes_A N$ và $E'' \otimes_A N$ bằng không; vì một trong các môđun $E'$, $E''$ là phẳng trung thành, điều này kéo theo $N = 0$.

(1) Nếu $F$ là phẳng, $E \otimes_R F$ là phẳng ($§ 2$, no. 7, Mệnh đề 8).

(2) Giả sử rằng $E \otimes_R F$ là phẳng và cho $\nu : N' \to N$ là một đồng cấu $S$-môđun trái đơn ánh. Đồng cấu

khi đó là đơn ánh ($§ 2$, no. 3, Mệnh đề 1). Suy ra từ Mệnh đề 2 của no. 1 rằng $l_F \otimes \nu : F \otimes_S N' \to F \otimes_S N$ là đơn ánh; khi đó $F$ là một $S$-môđun phẳng ($§ 2$, no. 3, Mệnh đề 1).

(3) Giả sử $F$ phẳng trung thành và cho $N$ là một môđun trái $S$ sao cho $E \otimes_R F \otimes_S N = 0$. Vì $E$ phẳng trung thành, điều này suy ra rằng $F \otimes_S N = 0$, do đó $N = 0$ vì $F$ phẳng trung thành; điều này chứng tỏ rằng $E \otimes_R F$ phẳng trung thành.

(4) Giả sử $E \otimes_R F$ phẳng trung thành và cho $N$ là một môđun trái $S$ sao cho $F \otimes_S N = 0$. Khi đó $E \otimes_R F \otimes_S N = 0$, do đó $N = 0$, điều đó cho thấy rằng $F$ phẳng trung thành.

Áp dụng Mệnh đề 4 với $R = S = C$.

Áp dụng Mệnh đề 4 của no. 2 với $R = A, S = F = B$, chú ý rằng $B$-môđun $B_d$ phẳng trung thành.

Áp dụng Mệnh đề 5 với $B = A/a, \rho$ là đồng cấu chính tắc.

(1) Nếu $E$ phẳng (tương ứng phẳng trung thành), thì $E_{(B)}$ phẳng (tương ứng phẳng trung thành) theo § 2, no. 7, Hệ quả 2 của Mệnh đề 8 (tương ứng bởi Mệnh đề 5).

(2) Giả sử rằng $E_{(B)}$ là phẳng và cho $\nu : N' \to N$ là một đồng cấu A-môđun đơn ánh. Theo § 2, no. 7, Hệ quả 3, $A$-môđun $E \otimes_A B$ là phẳng, do đó đồng cấu $1, \otimes 1_B \otimes \nu : E \otimes_A B \otimes_A N' \to E \otimes_A B \otimes_A N$ là đơn ánh. Vì các cấu trúc A-môđun phải và trái trên B trùng nhau, đồng cấu này được đồng nhất với

Vì $B$ là một A-môđun phẳng trung thành, suy ra $1_E \otimes \nu : E \otimes_A N' \to E \otimes_A N$ là đơn ánh (no. 1, Mệnh đề 2), điều đó cho thấy $E$ là phẳng.

(3) Cuối cùng, giả sử $E_{(B)}$ là phẳng trung thành. Trước hết $E$ là phẳng theo (2). Đồng thời, cho $N$ là một A-môđun sao cho $E \otimes_A N = 0$. Khi đó $E \otimes_A N \otimes_A B = 0$, do đó, vì các cấu trúc A-môđun phải và trái trên B trùng nhau, $E \otimes_A B \otimes_A N = 0$, cũng có thể viết là $(E \otimes_A B) \otimes_B (B \otimes_A N) = 0$. Vì $E_{(B)}$ là một B-môđun phẳng trung thành, suy ra $B \otimes_A N = 0$ (no. 1, Mệnh đề 1), do đó $N = 0$ vì $B$ là một A-môđun phẳng trung thành (no. 1, Mệnh đề 1).

Áp dụng Mệnh đề 4 của no. 2 với $B, A, E, B$ lần lượt thay cho $R, S, E, F$, và với cấu trúc A-môđun phải trên $B$ được xác định bởi $\rho$, ta thấy rằng

B là một A-môđun phẳng (tương ứng phẳng trung thành) khi và chỉ khi $E \otimes_B B = \rho^*(E)$ là một A-môđun phẳng (tương ứng phẳng trung thành).

Nhận xét (1) Mệnh đề 7 cho thấy rằng, để $B$ là một A-môđun phẳng trung thành, chỉ cần tồn tại một B-môđun phẳng trung thành cũng là một A-môđun phẳng trung thành. (2) Cho $A, B, C$ là ba vành và $\rho : A \to B, \sigma : B \to C$ là hai đồng cấu vành. Mệnh đề 7 cho thấy rằng nếu $C$ là một B-môđun phẳng trung thành và $B$ là một A-môđun phẳng trung thành, thì $C$ là một A-môđun phẳng trung thành. Nếu $C$ là một B-môđun phẳng trung thành và một A-môđun phẳng trung thành, thì $B$ là một A-môđun phẳng trung thành (lấy các môđun là môđun phải, để cố định ý tưởng). Mặt khác $B$ và $C$ có thể là các A-môđun phẳng trung thành mà $C$ không là một B-môđun phẳng trung thành (Bài tập 7).

Chứng minh (i). Ta biết (Đại số, Chương 11, § 5, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 5) rằng với mọi B-môđun phải $M$, đồng cấu chính tắc của $A$-môđun $i : M \to \rho_*(M) \otimes_A B = \rho^*(\rho_*(M))$ được định nghĩa bởi $i(y) = y \otimes 1$ là đơn ánh và rằng A-môđun $i(M)$ là một nhân tử trực tiếp của $\rho_*(M) \otimes_A B$. Do đó, với mọi A-môđun trái $F$,

là đơn ánh (§ 2, no. 1, Bổ đề 2). Lấy $M = E$, suy ra (vì $i \otimes 1_F = 1_M \otimes j$) rằng $j$ là đơn ánh (no. 1, Mệnh đề 2).

Mệnh đề (ii) suy ra từ (i) bằng cách lấy $F = A_s/a$ và (iii) suy ra từ (ii) bằng cách lấy $a = \{0\}$.

Cuối cùng, nếu m là một iđêan trái cực đại của A, thì $\overline{\rho}^{-1}(Bm) = m$ theo (ii), và do đó $Bm \# B$. Khi đó tồn tại một iđêan trái cực đại n của B chứa Bm (Đại số, Chương I, § 8, no. 7, Định lý 2); khi đó $m \subset \overline{\rho}^{-1}(n)$ và vì $\rho(1) \notin n$, $1 \notin \overline{\rho}^{-1}(n)$. Do đó $\overline{\rho}^{-1}(n) = m$.

Nếu $A$ và $B$ thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 8, thì $A$ thường được đồng nhất với một vành con của $B$ nhờ $\rho$.

Nếu (a) là một dãy tăng (resp. giảm) không dừng của các iđêan trái của $A$, thì dãy $(\mathrm{Ba}_n)$ các iđêan của $B$ cũng không dừng và tăng (resp. giảm), vì $\rho^{-1}(\mathrm{Ba}_n) = a_n$ trái với giả thiết.

Nhận xét (1). Nếu $A$ và $B$ giao hoán, ta sẽ thấy trong Chương II, § 2, no. 5, Hệ quả 4 của Mệnh đề 11, rằng giả thiết của Mệnh đề 8 suy ra rằng với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$, tồn tại một iđêan nguyên tố $q$ của $B$ sao cho $\rho^{-1}(q) = p$ (trong đó $p = A \cap q$ khi $A$ được đồng nhất với một vành con của $B$).

Một áp dụng quan trọng của Mệnh đề 8 là trường hợp $B$ tự nó là một $A$-môđun phẳng trung thành. Nhưng trong trường hợp này ta có mệnh đề chính xác hơn sau:

Theo Mệnh đề 8, (a) kéo theo mỗi một trong các tính chất (c), (d), (e). Mặt khác, nếu (e) đúng, thì $Bm \# B$ với mọi iđêan trái cực đại $m$ của $A$ (vì tồn tại một iđêan trái cực đại $n$ của $B$ sao cho $Bm \subset n$), và $B$ là một A-môđun phẳng trung thành theo tiêu chuẩn (d) của Mệnh đề 1 của no. 1; do đó (e) kéo theo (a).

Bây giờ ta chứng minh rằng (c) $\Rightarrow$ (d) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (a), điều này sẽ hoàn tất chứng minh. Trước hết, (c) kéo theo (d) bằng cách lấy $F = A_s/a$ trong (c). Nếu (d) đúng, bằng cách lấy $a = \{0\}$ suy ra rằng $\rho$ là đơn ánh; (d) và § 2, no. 6, Hệ quả của Mệnh đề 7 suy ra rằng $B/\rho(A)$ là một A-môđun phải phẳng, tức là (d) kéo theo (b). Cuối cùng, nếu (b) đúng, Mệnh đề 3 của no. 1 áp dụng cho dãy khớp

cho thấy rằng $B$ là một A-môđun phải phẳng trung thành, vì $A_a$ là phẳng trung thành.

Nhận xét (2). Nếu $A$ và $B$ là giao hoán, ta sẽ thấy trong Chương II, § 2 no. 5, Hệ quả 4 của Mệnh đề 11 rằng các điều kiện của Mệnh đề 9 tương đương với điều sau:

(f) B là một A-môđun phẳng và, với mọi iđêan nguyên tố $\mathfrak{p}$ của $A$, tồn tại một iđêan $q$ của $B$ sao cho $\bar{\rho}^{-1}(q) = \mathfrak{p}$.

Dưới các điều kiện của Mệnh đề 9, ta đồng nhất $A$ với một vành con của $B$ bằng $\mathfrak{p}$. Khi đó quan hệ $\bar{\rho}^{-1}(Ba) = a$ viết thành $A \cap Ba = a$. Mặt khác, nếu $F$ là một môđun trái $A$, thì $F$ được đồng nhất với ảnh của nó trong $B \otimes_A F$ qua ánh xạ chính tắc $x \mapsto 1 @ x$; nếu $X$ là một nhóm con cộng tính của $F$, thì ta ký hiệu bởi $BX$ môđun con trái của $B \otimes_A F$ sinh bởi $X$. Với ký hiệu này, ta có:

Vì $B$ là một môđun phải phẳng trên $A$, ánh xạ chính tắc

là đơn ánh; xét các sự đồng nhất đã thực hiện, ảnh của nó là $BF'$, điều đó chứng minh (i). Mệnh đề (ii) suy ra từ § 2, no. 6, Mệnh đề 7, áp dụng với $E = B$, $E' = A$, và dùng các công thức $A \otimes_A F = F$ và $A \otimes_A F' = F'$. Mệnh đề (iii) là tầm thường và (iv) suy ra từ § 2, no. 6, Mệnh đề 6.

(1) Không cần giả thiết nào về $B$, hiển nhiên nếu $F$ là một $A$-môđun trái sinh hữu hạn, thì $B \otimes_A F$ là một $B$-môđun trái sinh hữu hạn. Ngược lại, nếu $B \otimes_A F$ là một $B$-môđun sinh hữu hạn, thì nó được sinh bởi một số hữu hạn các phần tử dạng $1 \otimes x_i$ với $x_i \in F$; nếu $M$ là một A-môđun con của $F$ được sinh bởi các $x_i$ và $j$ là đơn ánh chính tắc $M \to F$, $1, \otimes j : B \otimes_A M \to B \otimes_A F$ là một đồng cấu toàn ánh, do đó $j$ là toàn ánh (no. 1, Mệnh đề 2), điều này chứng tỏ rằng $F$ là sinh hữu hạn.

(2) Nếu F có một trình bày hữu hạn, thì $B \otimes_A F$ cũng vậy mà không cần giả thiết nào về B (§ 2, no. 8). Còn phải chứng minh rằng, nếu $B \otimes_A F$ có một trình bày hữu hạn, thì F cũng vậy. Ta đã biết từ (1) rằng F sinh hữu hạn, do đó tồn tại một đồng cấu toàn ánh $u : L \to F$, trong đó L là một A-môđun tự do sinh hữu hạn. Cho R là hạt nhân của u, khi đó $B \otimes_A R$ được đồng nhất với hạt nhân của đồng cấu toàn ánh $l_B \otimes u : B \otimes_A L \to B \otimes_A F$ (§ 2, no. 3, Nhận xét 2). Vì $B \otimes_A F$ theo giả thiết có một trình bày hữu hạn, suy ra (§ 2, no. 8, Bổ đề 9) rằng $B \otimes_A R$ sinh hữu hạn; rồi từ (1) suy ra R là một A-môđun sinh hữu hạn và do đó F có một trình bày hữu hạn.

Điều kiện này hiển nhiên là cần mà không cần giả thiết nào về A hoặc B (Đại số, Chương II, § 5, no. 1, Hệ quả của Mệnh đề 4); ta chứng minh rằng nó là đủ. Nếu một môđun xạ ảnh sinh hữu hạn có một trình bày hữu hạn (§ 2, no. 8, Bổ đề 8), thì giả thiết suy ra F có một trình bày hữu hạn nhờ Mệnh đề 11, do đó, với mọi A-môđun M, ta có một đẳng cấu chính tắc

(§ 2, no. 10, Mệnh đề 11). Khi đó, cho $v : M \to M''$ là một đồng cấu A-môđun toàn ánh và xét biểu đồ giao hoán

Vì $1_B \otimes v$ là toàn ánh và $B \otimes_A F$ được giả sử là xạ ảnh, $\operatorname{Hom}(1_{B \otimes F}, 1_B \otimes v)$ là toàn ánh (Đại số, Chương II, § 2, no. 2, Mệnh đề 4) và do đó $1_B \otimes \operatorname{Hom}(1_F, v)$ cũng vậy. Nhưng vì B là một A-môđun phẳng trung thực, $\operatorname{Hom}(1_F, v)$ tự nó là toàn ánh (no. 1, Mệnh đề 2), do đó F là một A-môđun xạ ảnh (Đại số, Chương II, § 2, no. 2, Mệnh đề 4).

Điều kiện này là đủ. Thật vậy, vì B là một A-môđun phẳng, mọi nghiệm với các phần tử trong B của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với (3) đều là một tổ hợp tuyến tính với hệ số trong B của các nghiệm gồm các phần tử của A (§ 2, no. 11, Hệ quả 2 của Mệnh đề 13). Bài toán khi đó quy về chứng minh rằng sự tồn tại của một nghiệm của (3) với các phần tử trong B kéo theo sự tồn tại của một nghiệm với các phần tử trong A. Bây giờ, nếu ta đặt

Hệ (3) tương đương với phương trình $\sum_{k=1}^n y_k \otimes c_k = 1 \otimes \mathrm{din}\, B \otimes_A A_s^m = B_s^m$.

Nói cách khác, nếu $M$ là môđun con-$A$ của $A_s^m$ được sinh bởi các $c_k$ $(1 \leq k \leq n)$, thì sự tồn tại của nghiệm $(y_k)$ của (3) tương đương (với các đồng nhất đã thực hiện ở no. 5) với quan hệ $d \in BM \cap A_s^m$; nhưng vì $BM \cap A_s^m = M$ (no. 5, Mệnh đề 10, (ii)), điều đó suy ra $d \in M$, tức là, sự tồn tại của một nghiệm $(x_k)$ của hệ (3) với các phần tử trong $A$.

Điều kiện là cần thiết. Thật vậy, giả sử $(A, B)$ thỏa mãn tính chất mở rộng tuyến tính; ta đã biết rằng $B$ là một A-môđun phải phẳng (§ 2, no. 11, Hệ quả 2 của Mệnh đề 13); ta chứng minh rằng, với mọi iđêan trái $a$ của $A$, $Ba \cap A = a$, điều đó cho thấy rằng $B$ là một A-môđun phải phẳng trung thành (no. 5, Mệnh đề 9, (d)). Bây giờ, lấy $x \in Ba \cap A$; theo giả thiết tồn tại $y_i \in B$ và $a_i \in a$ sao cho $\sum_i y_i a_i = x$; tính chất (E) áp dụng cho phương trình tuyến tính này với các hệ số và vế phải trong $A$ cho thấy rằng tồn tại $x_i \in A$ sao cho $x = \sum_i x_i a_i$, do đó $x \in a$.