là một dãy khớp các nhóm giao hoán.

Đây là Hệ quả của Mệnh đề 5 của Đại số, Chương II, § 3, no. 6.

Suy ra rằng, với mọi đồng cấu A-môđun trái $u : M \to N$,

được đồng nhất một cách chính tắc với $\operatorname{Coker}(1_E \otimes u)$, như Bổ đề 1 cho thấy khi áp dụng cho dãy khớp

Theo ký hiệu của Bổ đề 1, ta biết (loc. cit.) rằng nếu v là đơn ánh, nghĩa là nếu dãy $0 \to M' \xrightarrow{v} M \xrightarrow{w} M'' \to 0$ là khớp, thì không nhất thiết suy ra rằng $1_E \otimes v$ là đơn ánh và do đó nói chung không thể đồng nhất $E \otimes_A M'$ với một

(*) Chúng tôi báo cho những độc giả đã quen với Đại số đồng điều rằng họ sẽ gặp những đặc trưng khác của môđun phẳng trong § 4.

nhóm con của $E \otimes_A M$. Tuy nhiên, hãy nhắc lại (Đại số, Chương II, § 3, no. 7, Hệ quả 5 của Mệnh đề 7) kết quả sau đây:

(*j là đơn ánh chính tắc $M' \to M$) là đơn ánh.

Giả sử điều kiện này được thỏa mãn và gọi $N$ là một môđun con bất kỳ của $M$. Giả sử rằng ảnh chính tắc trong $E \otimes_A M$ của một phần tử

là không và cho $M'$ là môđun con sinh hữu hạn của $N$ được sinh bởi chúng.; vì theo giả thiết ánh xạ hợp $E \otimes_A M' \to E \otimes_A N \to E \otimes_A M$ là đơn ánh, tổng $z' = \sum x_i \otimes y_i$, được xem như một phần tử của $E \otimes_A M'$, là không. Vì $z$ là ảnh của $z'$, ta cũng có $z = 0$, do đó bổ đề được chứng minh.

Trường hợp $N$ là một môđun con là hiển nhiên, vì nếu $N'$ là một môđun con của $N$, đồng cấu hợp

là đơn ánh, do đó $E \otimes_A N' \to E \otimes_A N$ cũng là đơn ánh. Giả sử khi đó $N$ là một môđun thương của $M$, nghĩa là tồn tại một dãy khớp $0 \to R \xrightarrow{i} M \xrightarrow{p} N \to 0$.

Cho $N'$ là một môđun con của $N$ và $M' = \overline{p}(N')$. Ký hiệu $i'$ là ánh xạ của $R$ vào $M'$ có cùng đồ thị với $i$, $p'$ là toàn ánh $M \to N'$ có cùng đồ thị với hạn chế của $p$ lên $M'$, $r$ là ánh xạ đồng nhất của $\mathbf{R}$ vào $\mathbf{R}$, $m$ là đơn ánh chính tắc $M' \to M$ và $n$ là đơn ánh chính tắc $N' \to N$. Biểu đồ

là giao hoán và các dòng của nó là khớp.

Để đơn giản hóa cách viết, ta đặt $T(Q) = E \otimes_A Q$ với mọi $A$-môđun trái $Q$ và $T(v) = 1_E \otimes v$ với mọi đồng cấu $A$-môđun trái $v$. Biểu đồ

là giao hoán và các dòng của nó là khớp theo Bổ đề 1 của no. 1. Hơn nữa, vì $E$ là $M$-phẳng, đồng cấu $T(m)$ là đơn ánh. Vì $T(r)$ và $T(p')$ là toàn ánh, suy ra từ § 1, no. 4, Hệ quả 2 của Mệnh đề 2 rằng $T(n)$ là đơn ánh, điều này chứng minh bổ đề.

(a) Trước hết giả sử rằng $I = \{1, 2\}$, và cho $M'$ là một môđun con của $M = M_1 \oplus M_2$, $M$, và $M$, được đồng nhất một cách chính tắc với các môđun con của $M$. Ký hiệu $M'_1$ là giao $M' \cap M_1$, và $M'_2$ là ảnh của $M'$ trong $M_2$ qua phép chiếu chính tắc $p$ của $M$ lên $M_2$. Ta có một biểu đồ

trong đó $v_1, v, v_2, i, i'$ là các đơn cấu chính tắc và $p'$ là ánh xạ có cùng đồ thị với hạn chế của $p$ lên $M'$, ánh xạ này là toàn ánh. Ta kiểm tra ngay lập tức rằng biểu đồ này giao hoán và các hàng của nó là khớp. Với $T(Q)$ và $T(v)$ được dùng cùng nghĩa như trong chứng minh của Bổ đề 4, ta có một biểu đồ giao hoán

Theo Bổ đề 1 của no. 1, hai hàng của biểu đồ này là khớp; vì E phẳng đối với $M_1$ và $M_n$, $T(v_1)$ và $T(v_2)$ là đơn ánh; hơn nữa, theo Bổ đề 2 của no. 1, $T(i)$ là đơn ánh. Hệ quả 2 của Mệnh đề 2 của § 1, no. 4 khi đó cho thấy rằng $T(v)$ là đơn ánh và do đó E là M-phẳng.

(b) Nếu I là một tập con hữu hạn có n phần tử, bổ đề suy ra bằng quy nạp theo n sử dụng (a).

(c) Trong trường hợp tổng quát, cho $M'$ là một môđun con sinh hữu hạn của M. Khi đó tồn tại một tập con hữu hạn J của tập chỉ số I sao cho $M'$ được chứa trong tổng trực tiếp $M_J = \bigoplus_{i \in J} M_i$. Theo (b) E phẳng đối với $M_J$; đồng cấu chính tắc $E \otimes_A M' \to E \otimes_A M$, do đó là đơn ánh. Mặt khác, vì $M_J$ là một nhân tử trực tiếp của M, đồng cấu chính tắc $E \otimes_A M_J \to E \otimes_A M$ là đơn ánh (no. 1, Bổ đề 2). Lấy hợp thành, suy ra rằng $E \otimes_A M, \to E \otimes_A M$ là đơn ánh và E phẳng đối với M theo Bổ đề 3.

(a) E phẳng đối với A, (nói cách khác, với mọi iđêan trái $a$ của A, đồng cấu chính tắc $E \otimes_A a \to E \otimes_A A, = E$ là đơn ánh). (b) E là M-phẳng đối với mọi A-môđun trái M. (c) Với mọi dãy khớp của các A-môđun trái và các đồng cấu

dãy

là khớp.

Hiển nhiên rằng (b) kéo theo (a). Ngược lại, giả sử rằng (a) đúng; theo Bổ đề 5 của no. 2, E phẳng đối với mọi A-môđun trái tự do; vì mọi A-môđun trái đều đẳng cấu với một thương của một môđun tự do (Đại số, Chương 11, § 1, no. 11, Mệnh đề 20), suy ra từ Bổ đề 4 của no. 2 rằng E phẳng đối với M.

Ta chứng minh rằng (c) kéo theo (b). Nếu $v : M' \to M$ là một đơn cấu, dãy $0 \to M' \xrightarrow{v} M$ là khớp; theo (c) dãy

là khớp; điều này có nghĩa là $1 \otimes v$ là đơn ánh, nói cách khác, E là M-phẳng.

Cuối cùng, kéo theo (b) $\Rightarrow$ (c) là một hệ quả của bổ đề chính xác hơn sau đây:

là khớp.

Ta dùng ký hiệu $T(Q)$ và $T(v)$ theo cùng nghĩa như trong chứng minh của Bổ đề 4 của no. 2. Ta viết $M_1'' = w(M)$ và gọi $i : M_1'' \to M''$ là đơn ánh chính tắc và $p$ là ánh xạ của M vào $M_1''$ có cùng đồ thị với w. Dãy $M' \xrightarrow{v} M \xrightarrow{p} M_1'' \to 0$ là khớp và từ Bổ đề 1 của no. 1 suy ra rằng dãy

là khớp. Hơn nữa, vì E là $M''$-phẳng, ánh xạ $T(i) : T(M_1'') \to T(M'')$ là đơn ánh, và vì $T(i) \circ T(p) = T(w)$, dãy

là khớp. (§ 1, no. 3.)

(ii) Cho $I$ là một tập hợp có thứ tự và $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ là một hệ trực tiếp các $A$-môđun phải (Đại số, Chương II, § 6, no. 2). Nếu mỗi $E_\alpha$ đều phẳng, thì $E = \lim_{\longrightarrow} E_\alpha$ là phẳng.

Cho $M' \to M$ là một đồng cấu đơn ánh của các $A$-môđun trái.

(i) Để đồng cấu tổng trực tiếp

là khớp, điều kiện cần và đủ là mỗi đồng cấu $E_t \otimes_A M' \to E_t \otimes_A M$ đều như vậy (Đại số, Chương II, § 1, no. 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 7), điều này chứng minh (i) vì $\bigoplus_{t \in I} (E_t \otimes_A M)$ được đồng nhất một cách chính tắc với $E \otimes_A M$ (Đại số, Chương II, § 3, no. 7, Mệnh đề 7).

(ii) Theo giả thiết mỗi dãy

đều khớp; do đó dãy cũng khớp, vì lấy giới hạn trực tiếp giao hoán với tích tenxơ (Đại số, Chương II, § 6, no. 3, Mệnh đề 7) và bảo toàn tính khớp (ibid., § 6, no. 2, Mệnh đề 3).

(i) Giả sử rằng $E$ là phẳng. Với mọi phần tử $a \in A$ không phải là một ước phải của $0(*)$, các quan hệ $x \in E,\ xa = 0$ kéo theo $x = 0$.

(*) Nhắc lại rằng một ước phải (tương ứng, trái) của 0 trong một vành $A$ là một phần tử $b \in A$ sao cho ánh xạ $x \mapsto xb$ (tương ứng, $x \mapsto bx$) không là đơn ánh.

Ta chứng minh (i). Cho $v : A, \to A$, là đồng cấu $A$-môđun trái $t \mapsto ta$; giả thiết kéo theo rằng $v$ là đơn ánh. Vì $E$ là phẳng, đồng cấu $1_E \otimes v : E \otimes_A A, \to E \otimes_A A$, cũng là đơn ánh. Khi $E \otimes_A A$, được đồng nhất một cách chính tắc với $E$, $1, \otimes v$ trở thành tự đồng cấu $x \mapsto xa$ của $E$. Do đó quan hệ $xa = 0$ kéo theo $x = 0$.

Ta chứng minh (ii). Theo (i), nếu $E$ là phẳng, $E$ là không xoắn. Ngược lại, cho $E$ là một $A$-môđun không xoắn; ta kiểm tra rằng, với mọi iđêan sinh hữu hạn $a$ của $A$, đồng cấu chính tắc $E \otimes_A a \to E$ là đơn ánh (no. 3, Nhận xét 1). Mệnh đề này là hiển nhiên nếu $a = (0)$; nếu không, theo giả thiết $a = Aa$ với một số $a \in A, a \neq 0$, và $t \mapsto ta$ khi đó là một đẳng cấu $v$ của $A$ lên $a$; dùng $i$ để ký hiệu đơn ánh chính tắc $a \to A$, $i \circ v$ là phép vị tự với tỉ số $a$ trên $E$ và là đơn ánh vì $E$ được giả sử là không xoắn. Khi đó $1, \otimes (i \circ v) = (1, \otimes i) \circ (1_E \otimes v)$; vì $1_E \otimes v$ là một đẳng cấu, $1, \otimes i$ là đơn ánh, điều này hoàn tất chứng minh.

(a) $E$ là phẳng. (b) Với mọi dãy khớp các A-môđun phải có dạng

(1)

và mọi A-môđun trái $F$, dãy

(2)

là khớp.

(c) Tồn tại một dãy khớp (1), trong đó $H$ là phẳng, sao cho dãy (2) là khớp với mọi A-môđun trái $F$ có dạng $A_s/a$, trong đó $a$ là một iđêan trái sinh hữu hạn của $A$.

Trước hết ta chứng minh rằng (a) kéo theo (b). A-môđun trái $F$ đẳng cấu với một môđun thương của một môđun tự do (Đại số, Chương II, § 1, no. 11, Mệnh đề 20); nói cách khác, ta có một dãy khớp

trong đó L là tự do. Xét biểu đồ

(3)

Ngay lập tức suy ra rằng biểu đồ này là giao hoán, và các hàng và các cột của nó là khớp theo Bổ đề 1 của no. 1; hơn nữa, vì $l_G \otimes p$ và $l_H \otimes p$ là toàn ánh (no. 1, Bổ đề 1), ta có $G \otimes F = \operatorname{Coker}(l_G \otimes i)$,

$w \otimes 1_1$ là toàn ánh (no. 1, Bổ đề 1); sau cùng, vì L là tự do và do đó phẳng, $v \otimes 1_L$ là đơn ánh. Vậy có thể áp dụng biểu đồ con rắn (§ 1, no. 4, Mệnh đề 2, (iii)) để chứng minh sự tồn tại của một dãy khớp

(4)

Do đó, nếu E là phẳng thì $l_E \otimes i$ là đơn ánh, nói cách khác $\operatorname{Ker}(l_E \otimes i) = 0$, và dãy khớp (4) cho thấy rằng $v \otimes 1_F$ là đơn ánh, vì thế dãy (2) là khớp (có tính đến Bổ đề 1 của no. 1).

Vì (b) hiển nhiên kéo theo (c), còn lại phải chứng minh rằng (c) kéo theo (a). Xét biểu đồ (3) trong trường hợp $\mathbf{R} = \mathbf{a}, \mathbf{L} = \mathbf{A}_s, \mathbf{F} = \mathbf{A}_s/\mathbf{a}$ và áp dụng dãy khớp (4). Theo giả thiết $v \otimes 1_F$ là đơn ánh, nên $\operatorname{Im}(d) = 0$; hơn nữa, vì H là phẳng, ta có $\operatorname{Ker}(1, @i) = 0$; khi đó tính khớp của dãy (4) kéo theo $\operatorname{Ker}(l_E \otimes i) = 0$, nói cách khác, $1, \otimes i$ là đơn ánh và điều này chứng minh rằng E là phẳng (no. 3, Nhận xét 1).

Cho $u : F' \to F$ là một đồng cấu đơn cấu của các $\mathbf{A}$-môđun trái. Xét biểu đồ

Nó là giao hoán và các hàng của nó là khớp (no. 1, Bổ đề 1). Vì $E''$ là phẳng, l_{E''} \otimes u là đơn ánh; hơn nữa, Mệnh đề 4 chứng minh rằng v \otimes 1_{F'}, và v \otimes 1, là đơn ánh. Do đó, nếu E là phẳng thì l_E \otimes u là đơn ánh, nên cũng có

suy ra l_{E'} \otimes u là đơn ánh và vì thế E' là phẳng. Ngược lại, nếu E' là phẳng thì l_{E'} \otimes u là đơn ánh; khi đó, từ § 1, no. 4, Hệ quả 1 của Mệnh đề 2 suy ra l_E \otimes u là đơn ánh và do đó E là phẳng.

Nhận xét (1) Có thể xảy ra trường hợp E và E' phẳng mà E'' thì không, như ví dụ các $\mathbf{Z}$-môđun E = \mathbf{Z}, E' = n\mathbf{Z}, E'' = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} (n \geq 2) cho thấy. (2) Một môđun con của một môđun phẳng không nhất thiết là một môđun phẳng (Bài tập 3).

Xét biểu đồ

trong đó các mũi tên không được chỉ rõ là các đơn cấu và toàn ánh chính tắc, và j là đẳng cấu chính tắc được định nghĩa trong Đại số, Chương I, § 6, no. 13, Định lý 6. Biểu đồ này là giao hoán và các hàng của nó là khớp. Ta suy ra (vì F = F' + F'') một biểu đồ giao hoán

Các hàng của biểu đồ này là khớp (no. 1, Bổ đề 1) và 1 \otimes j là một đẳng cấu. Mệnh đề của chúng ta khi đó là một trường hợp đặc biệt của § 1, no. 4, Mệnh đề 1, (i) (xem Bài tập 5).

Vì E là F-phẳng, $\phi(F' + F'')$ được đồng nhất với $E \otimes (F' + F'')$, và các môđun con $\phi(F')$, $\phi(F'')$ và $\phi(F' \cap F'')$ được đồng nhất tương ứng với các ảnh chính tắc của $E \otimes F'$, $E \otimes F''$ và $E \otimes (F' \cap F'')$ trong $E \otimes (F' + F'')$. Mệnh đề 6 suy ra từ Bổ đề 7.

Giả sử chẳng hạn rằng $E/E'$ là phẳng và xét biểu đồ

trong đó các mũi tên là các đồng cấu chính tắc. Biểu đồ này là giao hoán và các hàng của nó là khớp (no. 1, Bổ đề 1). Vì $E/E'$ là phẳng, $u$ là đơn ánh. Khi đó mệnh đề của chúng ta là một trường hợp đặc biệt của § 1, no. 4, Mệnh đề 1, (i).

(i) *Giả sử rằng E/E' là phẳng. Khi đó, với mọi iđêan trái a của A,

(ii) Ngược lại, giả sử rằng E là phẳng và, với mọi iđêan trái sinh hữu hạn a của A, quan hệ (5) được thỏa mãn. Khi đó E/E' là phẳng.

(i) Chỉ cần áp dụng Mệnh đề cho trường hợp $F = A$, $F' = a$. (ii) Để chứng minh rằng $E/E'$ là phẳng, áp dụng tiêu chuẩn (c) của Mệnh đề 4 của no. 5; khi đó cần thiết lập rằng dãy

là khớp tại $E'/E'a$ đối với mọi iđêan trái sinh hữu hạn a của A. Bây giờ đây chính xác là điều mà quan hệ (5) biểu thị.

Cho $G$ là một $B$-môđun trái và $G'$ là một môđun con của $G$. Vì $F$ là phẳng như một $B$-môđun phải, đồng cấu chính tắc $F \otimes_B G' \to F \otimes_B G$ là đơn ánh. Vì $E$ là phẳng, đồng cấu chính tắc

là đơn ánh. Vì $E \otimes_A (F \otimes_B G')$ và $E \otimes_A (F \otimes_B G)$ lần lượt được đồng nhất một cách chính tắc với $(E \otimes_A F) \otimes_B G'$ và $(E \otimes_A F) \otimes_B G$ (Đại số, Chương II, § 3, no. 8, Mệnh đề 8), nên đồng cấu chính tắc

là đơn ánh, điều này chứng tỏ rằng $E \otimes_A F$ là một $B$-môđun phẳng.

$F$ là một $(C, C)$-song môđun và chỉ cần áp dụng Mệnh đề 8 với $B = A = C$.

Theo định nghĩa, $E_{(B)} = E \otimes_A B$, trong đó $B$ được xét như một $(A,B)$-song môđun thông qua $\rho$. Vì $B$-môđun phải $B_d$ là phẳng, chỉ cần áp dụng Mệnh đề 8.

Nhắc lại rằng $\phi_*(M)$ là $R$-môđun phải được xác định bởi $x.r = x.\phi(r)$ với mọi $x \in M$ và mọi $r \in R$ (Đại số, Chương II, § 1, no. 13). Khi đó áp dụng Mệnh đề 8 với $A = S, B = R, E = M$ và $F = S, S$ mang cấu trúc của một $(S, R)$-song môđun được xác định bởi $\phi$; khi đó $R$-môđun phải $M \otimes_S S$ chính xác là $\phi_*(M)$.

Cho $E'_\alpha = E_\alpha \otimes_{A_\alpha} A$, trong đó $A$ được xét như một $A_\alpha$-môđun trái nhờ đồng cấu chính tắc $A_\alpha \to A$; ta biết rằng $A$-môđun phải $E$ đẳng cấu một cách chính tắc với $\lim E'_\alpha$ (loc. cit., Hệ quả 2 của Mệnh đề 7). Từ Hệ quả 2 của Mệnh đề 8 suy ra rằng $E'_\alpha$ là một $A$-môđun phải phẳng với mọi $\alpha$, do đó $E$ là một $A$-môđun phẳng theo Mệnh đề 2 của no. 3.

Sau cùng, giả sử rằng $E$ là một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh; khi đó nó là một nhân tử trực tiếp của một môđun tự do sinh hữu hạn $L_0$ (Đại số, Chương II, §2, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 4); hạt nhân $R$ của đồng cấu toàn ánh $L_0 \to E$ khi đó đẳng cấu với một thương của $L_0$ và vì thế sinh hữu hạn, và chứng minh được hoàn tất như trong (ii).

trong đó $G$ sinh hữu hạn, thì môđun $F$ sinh hữu hạn.

Cho $L, \xrightarrow{r} L_0 \xrightarrow{s} E \to 0$ là một trình bày hữu hạn; nếu $(e_i)$ là một cơ sở của $L_0$, thì với mỗi $i$ tồn tại một phần tử $g_i \in G$ sao cho $p(g_i) = s(e_i)$; khi đó đồng cấu $u : L_0 \to G$ sao cho $u(e_i) = g_i$ với mọi $i$ thỏa mãn $s = p \circ u$. Vì $s \circ r = 0$, ta có $u(r(L_1)) \subset \mathrm{Ker}\, p$, và vì $\mathrm{Ker}\, p$ đẳng cấu với $F$, suy ra tồn tại một đồng cấu $v : L, \to F$ sao cho biểu đồ

là giao hoán. Vì $j$ là đơn ánh và $s$ là toàn ánh, ta có thể áp dụng biểu đồ con rắn ($\S$ 1, no. 4, Mệnh đề 4), nói cách khác, có một dãy khớp

Điều này cho thấy $\mathrm{Coker}\, v$ đẳng cấu với $G / u(L_0)$, mà theo giả thiết là sinh hữu hạn. Hơn nữa, ta có dãy khớp

và vì $v(L_1)$ và $\mathrm{Coker}\, v$ là sinh hữu hạn, nên $F$ cũng vậy (Đại số, Chương II, § 1, no. 7, Hệ quả 5 của Mệnh đề 9).