Bài tập 11, § 2

Cho $E$ là một $A$-môđun phải. $E$ được gọi là giả khớp nếu mọi môđun con sinh hữu hạn của $E$ đều có trình bày hữu hạn; mọi môđun con của một môđun giả khớp đều giả khớp. $E$ được gọi là khớp nếu nó giả khớp và sinh hữu hạn (và do đó có trình bày hữu hạn).

(a) Cho $0 \to E' \to E \to E'' \to 0$ là một dãy khớp các $A$-môđun phải. Chứng minh rằng, nếu $E$ là giả khớp (resp. khớp) và $E'$ sinh hữu hạn thì $E''$ là giả khớp (resp. khớp). Chứng minh rằng, nếu $E'$ và $E''$ là giả khớp (resp. khớp), thì $E$ cũng vậy. Chứng minh rằng, nếu $E$ và $E''$ là khớp, thì $E'$ cũng vậy (dùng Bài tập 6 và Bổ đề 9 của no. 8).

(b) Cho $E$ là một $A$-môđun khớp và $E'$ là một $A$-môđun giả khớp (resp. khớp). Chứng minh rằng, với mọi đồng cấu $u : E \to E'$, $\operatorname{Im}(u)$ và $\operatorname{Ker}(u)$ là khớp và $\operatorname{Coker}(u)$ là giả khớp (resp. khớp) (dùng (a)).

(c) Chứng minh rằng mọi tổng trực tiếp (resp. mọi tổng trực tiếp hữu hạn) của các môđun giả khớp (resp. khớp) là một môđun giả khớp (resp. khớp).

(d) Nếu $E$ là một môđun giả khớp và $M, N$ là các môđun con khớp của $E$, chứng minh rằng $M + N$ và $M \cap N$ là khớp (dùng (a) và (c)).

(e) Giả sử rằng $A$ là giao hoán. Chứng minh rằng, nếu $E$ là một $A$-môđun khớp và $F$ là một $A$-môđun khớp (resp. giả khớp), $\operatorname{Hom}_A(E, F)$ là một $A$-môđun khớp (resp. giả khớp). (Rút gọn về trường hợp $F$ khớp và xét một trình bày hữu hạn của $E$, rồi dùng (b).)