Exercice 11, § 2

Soit E un A-module à droite. On dit que E est pseudo-cohérent si tout sous-module de type fini de E est de présentation finie ; tout sous-module d’un module pseudo-cohérent est pseudo-cohérent. On dit que E est cohérent s’il est pseudo-cohérent et de type fini (donc de présentation finie). a) Soit $0 \to E' \to E \to E'' \to 0$ une suite exacte de A-modules à droite. Montrer que, si E est pseudo-cohérent (resp. cohérent) et $E'$ de type fini, $E''$ est pseudo-cohérent (resp. cohérent). Montrer que, si $E'$ et $E''$ sont pseudo-cohérents (resp. cohérents), il en est de même de E. Montrer que, si E et $E''$ sont cohérents, il en est de même de $E'$ (utiliser l’exerc. 6 et le lemme 9 du no 8). b) Soient E un A-module cohérent, $E'$ un A-module pseudo-cohérent (resp. cohérent). Montrer que, pour tout homomorphisme $u : E \to E'$, $\operatorname{Im}(u)$ et $\operatorname{Ker}(u)$ sont cohérents et que $\operatorname{Coker}(u)$ est pseudo-cohérent (resp. cohérent) (utiliser a)). c) Montrer que toute somme directe (resp. tout somme directe finie) de modules pseudo-cohérents (resp. cohérents) est un module pseudo-cohérent (resp. cohérent). d) Si E est un module pseudo-cohérent et si M, N sont des sous-modules cohérents de E, montrer que $M + N$ et $M \cap N$ sont cohérents (utiliser a) et c)). e) On suppose A commutatif. Montrer que, si E est un A-module cohérent et F un A-module cohérent (resp. pseudo-cohérent), $\operatorname{Hom}_A(E, F)$ est un A-module cohérent (resp. pseudo-cohérent). (Se ramener au cas où F est cohérent, et considérer une présentation finie de E, puis utiliser b).)