(*) Signalons aux lecteurs déjà au courant de l’Algèbre homologique qu’ils trouveront au § 4 d’autres caractérisations des modules plats.

C’est le cor. de la prop. 5 d’Alg., chap. II, 3e éd., § 3, n° 6.

On en conclut que pour tout homomorphisme $u : M \to N$ de A-modules à gauche, $E \otimes_A (\mathrm{Coker}\ u)$ s’identifie canoniquement à $\mathrm{Coker}\ (1_E \otimes u)$, comme le montre le lemme 1 appliqué à la suite exacte

Les notations étant celles du lemme 1, on sait (loc. cit.) que si $v$ est injectif, c’est-à-dire si la suite $0 \to M' \xrightarrow{v} M \xrightarrow{v} M'' \to 0$ est exacte, il n’en résulte pas nécessairement que $1_E \otimes v$ soit injectif et l’on ne peut donc pas en général identifier $E \otimes_A M'$ à un sous-groupe de $E \otimes_A M$. Rappelons toutefois (Alg., chap. II, 3e éd., § 3, n° 7, cor. 5 de la prop. 7) le résultat suivant :

En effet, supposons cette condition vérifiée et soit N un sous-module quelconque de M. Supposons que l’image canonique dans $E \otimes_A M$ d’un élément $z = \sum_i x_i \otimes y_i \in E \otimes_A N$ ($x_i \in E,\ y_i \in N$) soit nulle, et soit $M'$ le sous-module de type fini de N engendré par les $y_i$; comme par hypothèse l’application composée $E \otimes_A M' \to E \otimes_A N \to E \otimes_A M$ est injective, la somme $z' = \sum_i x_i \otimes y_i$, considérée comme élément de $E \otimes_A M'$, est nulle. Comme $z$ est l’image de $z'$, on a aussi $z = 0$, d’où le lemme.

Le cas où N est un sous-module est facile, car si N’ est un sous-module de N, l’homomorphisme composé

est injectif, donc il en est de même de $E \otimes_A N' \to E \otimes_A N$. Supposons donc que N soit un module quotient de M, c’est-à-dire qu’il existe une suite exacte $0 \to R \xrightarrow{i} M \xrightarrow{p} N \to 0$. Soient N’ un sous-module de N, et $M' = p^{-1}(N')$. Notons $i'$ l’application de R dans M’ ayant même graphe que $i$, $p'$ la surjection $M' \to N'$, ayant même graphe que la restriction de $p$ à $M'$, $r$ l’application identique de R sur R, $m$ l’injection canonique $M' \to M$, $n$ l’injection canonique $N' \to N$. Le diagramme

est commutatif, et ses lignes sont exactes.

Pour simplifier l’écriture, posons $T(Q) = E \otimes_A Q$ pour tout A-module à gauche Q et $T(v) = 1_E \otimes v$ pour tout homomorphisme $v$ de A-modules à gauche. Le diagramme

est commutatif, et ses lignes sont exactes en vertu du no 1, lemme 1.

n° 2

De plus, puisque E est M-plat, l’homomorphisme T(m) est injectif. Comme T(r) et T(p') sont surjectifs, il résulte du § 1, n° 4, cor. 2 de la prop. 2, que T(n) est injectif, ce qui démontre le lemme.

a) Supposons d’abord que $I = \{1, 2\}$, et soit $M'$ un sous-module de $M = M_1 \oplus M_2$, $M_1$ et $M_2$ étant canoniquement identifiés à des sous-modules de M. Désignons par $M'_1$ l’intersection $M' \cap M_1$, par $M'_2$ l’image de $M'$ dans $M_2$ par la projection canonique $p$ de M sur $M_2$. On a un diagramme

où $v_1$, $v$, $v_2$, $i$, $i'$ sont les injections canoniques et $p'$ l’application ayant même graphe que la restriction de $p$ à $M'$, qui est surjective. On vérifie aussitôt que ce diagramme est commutatif et que ses lignes sont exactes. Les notations T(Q) et T($v$) ayant le même sens que dans la démonstration du lemme 4, on a un diagramme commutatif

En vertu du lemme 1 du n° 1, les deux lignes de ce diagramme sont exactes ; comme E est plat pour $M_1$ et $M_2$, $T(v_1)$ et $T(v_2)$ sont injectifs ; en outre, en vertu du lemme 2 du n° 1, $T(i)$ est injectif. Le cor. 1 de la prop. 2 du § 1, n° 4 montre alors que $T(v)$ est injectif et par suite E est M-plat.

b) Si I est un ensemble fini à n éléments, on procède par récurrence sur n en utilisant a).

c) Dans le cas général, soit $M'$ un sous-module de type fini de M. Il existe alors une partie finie J de l’ensemble d’indices I telle que $M'$ soit contenu dans la somme directe $M_J = \bigoplus_{i \in J} M_i$. En vertu de b), E est plat pour $M_J$ ; l’homomorphisme canonique

E \otimes_A M' \to E \otimes_A M_j est donc injectif. D’autre part, comme M_j est facteur direct de M, l’homomorphisme canonique E \otimes_A M_j \to E \otimes_A M est injectif (n° 1, lemme 2). Par composition, on en déduit que E \otimes_A M' \to E \otimes_A M est injectif, et E est plat pour M en vertu du lemme 3.

a) E est plat pour A_s (autrement dit, pour tout idéal à gauche a de A, l’homomorphisme canonique E \otimes_A a \to E \otimes_A A_s = E est injectif).

b) E est M-plat pour tout A-module à gauche M.

c) Pour toute suite exacte de A-modules à gauche et d’homomorphismes

la suite

est exacte.

Il est immédiat que b) entraîne a). Inversement supposons a) vérifiée ; en vertu du n° 2, lemme 5, E est plat pour tout A-module à gauche libre ; comme tout A-module à gauche est isomorphe à un quotient d’un module libre (Alg., chap. II, 3e éd., § 1, n° 11, prop. 20), il résulte du n° 2, lemme 4 que E est plat pour M.

Montrons que c) implique b). Si v : M' \to M est un homomorphisme injectif, la suite 0 \to M' \xrightarrow{v} M est exacte ; en vertu de c), la suite 0 \to E \otimes_A M' \xrightarrow{1 \otimes v} E \otimes_A M est exacte ; cela signifie que 1 \otimes v est injectif, autrement dit que E est M-plat.

Enfin, l’implication b) \Rightarrow c) est la conséquence du lemme plus précis suivant :

Utilisons les notations T(Q) et T(v) avec le même sens que dans la démonstration du lemme 4 du n° 2. Posons M''_i = w(M) et soient i : M''_i → M'' l’injection canonique et p l’application de M dans M''_i ayant même graphe que w. La suite M' → M → M''_i → 0 étant exacte, il résulte du n° 1, lemme 1 que la suite

est exacte. Par ailleurs, comme E est M''-plat, l’application T(i) : T(M''_i) → T(M'') est injective, et comme T(i) ∘ T(p) = T(w), la suite

est exacte (§ 1, n° 3).

(ii) Soient $I$ un ensemble ordonné, $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ un système inductif de $A$-modules à droite ($Alg.$, chap. II, 3e éd., § 6, no 6). Si chacun des $E_\alpha$ est plat, alors $E = \lim_{\rightarrow} E_\alpha$ est plat.

Soit $M' \to M$ un homomorphisme injectif de $A$-modules à gauche.

(i) Pour que l’homomorphisme somme directe

soit injectif, il faut et il suffit que chacun des homomorphismes $E_i \otimes_A M' \to E_i \otimes_A M$ le soit ($Alg.$, chap. II, 3e éd., § 1, no 6, cor. 1 de la prop. 7), ce qui démontre (i), puisque $\bigoplus_{i \in I} (E_i \otimes_A M)$ s’identifie canoniquement à $E \otimes_A M$ ($Alg.$, chap. II, 3e éd., § 3, no 7, prop. 7).

(ii) Par hypothèse, chacune des suites

est exacte ; il en est donc de même de la suite puisque le passage à la limite inductive commute avec le produit tensoriel ($Alg.$, chap. II, 3e éd., § 6, no 7, prop. 12) et conserve l’exactitude ($ibid.$, § 6, no 6, prop. 8).

(i) Supposons que E soit plat. Pour tout élément a de A qui n’est pas diviseur à droite de 0 (), les relations $x \in E,\ xa = 0$ entraînent $x = 0$.

(ii) *On suppose que A est un anneau commutatif intègre dans lequel tout idéal de type fini est principal (par exemple un anneau principal (Alg., chap. VII, § 1, no 1)). Alors, pour que E soit plat, il faut et il suffit que E soit sans torsion.

Prouvons (i). Soit $v : A_s \to A_s$ l’homomorphisme $t \to ta$ de A-modules à gauche ; l’hypothèse signifie que $v$ est injectif. Comme E est plat, l’homomorphisme $1_E \otimes v : E \otimes_A A_s \to E \otimes_A A_s$ est aussi injectif. Lorsque l’on identifie canoniquement $E \otimes_A A_s$ à E, $1_E \otimes v$ devient l’endomorphisme $x \to xa$ de E. Donc la relation $xa = 0$ entraîne $x = 0$.

Prouvons (ii). D’après (i), si E est plat, E est sans torsion. Inversement, soit E un A-module sans torsion ; vérifions que, pour tout idéal de type fini $a$ de A, l’homomorphisme canonique $E \otimes_A a \to E$ est injectif (no 3, Remarque 1). Cette assertion est évidente si $a = (0)$ ; sinon, on a par hypothèse $a = Aa$ avec $a \in A$ et $a \neq 0$, et $t \to ta$ est alors un isomorphisme $v$ de A sur $a$ ; notant $i$ l’injection canonique $a \to A$, $i \circ v$ est l’homothétie de rapport $a$ dans A. Alors $1_E \otimes (i \circ v)$ est l’homothétie de rapport $a$ dans E, et est injective puisque E est supposé sans torsion. Or, on a $1_E \otimes (i \circ v) = (1_E \otimes i) \circ (1_E \otimes v)$ ; comme $1_E \otimes v$ est un isomorphisme, $1_E \otimes i$ est injective, ce qui achève la démonstration.

(*) Rappelons qu’un diviseur à droite (resp. à gauche) de 0 dans un anneau A est un élément $b \in A$ tel que l’application $x \to xb$ (resp. $x \to bx$) ne soit pas injective.

Montrons d’abord que a) implique b). Le A-module à gauche F est isomorphe à un quotient d’un module libre (Alg., chap. II, 3e éd., § 1, no 11, prop. 20); autrement dit, on a une suite exacte

où L est libre. Considérons le diagramme (3) Il est immédiat que ce diagramme est commutatif, et ses lignes et colonnes sont exactes en vertu du no 1, lemme 1; en outre, comme $1_G \otimes p$ et $1_H \otimes p$ sont surjectifs (no 1, lemme 1), on a $G \otimes F = \mathrm{Coker}\,(1_G \otimes i)$, $H \otimes F = \mathrm{Coker}\,(1_H \otimes i)$; $w \otimes 1_R$ est surjectif (no 1, lemme 1); enfin, comme L est libre, donc plat, $v \otimes 1_L$ est injectif. On peut donc appliquer le diagramme du serpent (§ 1, n° 4, prop. 2, (iii)) qui prouve l’existence d’une suite exacte

(4) $\mathrm{Ker}\,(1_H \otimes i) \longrightarrow \mathrm{Ker}\,(1_E \otimes i) \xrightarrow{d} G \otimes F \xrightarrow{v \otimes 1_F} H \otimes F.$

Cela étant, si E est plat, $1_E \otimes i$ est injectif, autrement dit $\mathrm{Ker}\,(1_E \otimes i) = 0$, et la suite exacte (4) montre que $v \otimes 1_F$ est injectif, donc la suite (2) est exacte (compte tenu du n° 1, lemme 1).

Comme b) implique évidemment c), il nous reste à prouver que c) entraîne a). Considérons le diagramme (3) dans le cas $R = a$, $L = A_s$, $F = A_s/a$, et appliquons la suite exacte (4). Par hypothèse, $v \otimes 1_F$ est injectif, donc $\mathrm{Im}\,(d) = 0$; en outre, comme H est plat, on a $\mathrm{Ker}\,(1_H \otimes i) = 0$; l’exactitude de la suite (4) entraîne donc $\mathrm{Ker}\,(1_E \otimes i) = 0$, autrement dit $1_E \otimes i$ est injectif et cela prouve que E est plat (n° 3, Remarque 1).

Soit $u : F' \to F$ un homomorphisme injectif de A-modules à gauche. Considérons le diagramme

Il est commutatif et ses lignes sont exactes (n° 1, lemme 1). Puisque $E''$ est plat, $1_{E''} \otimes u$ est injectif ; en outre, la prop. 4 prouve que $v \otimes 1_{F'}$ et $v \otimes 1_F$ sont injectifs. Cela étant, si E est plat, $1_E \otimes u$ est injectif, donc aussi $(1_E \otimes u) \circ (v \otimes 1_{F'}) = (v \otimes 1_F) \circ (1_{E'} \otimes u)$; on en conclut que $1_{E'} \otimes u$ est injectif, et par suite $E'$ est plat. Réciproquement, si $E'$ est plat, $1_{E'} \otimes u$ est injectif ; on conclut alors du § 1, n° 4, cor. 1 de la prop. 2, que $1_E \otimes u$ est injectif, et par suite E est plat.

Considérons en effet le diagramme

où les flèches non spécifiées sont les injections et surjections canoniques et j est l’isomorphisme canonique défini dans (Alg., chap. I, § 6, no 13, th. 6). Ce diagramme est commutatif et ses lignes sont exactes. On en déduit (puisque F = F' + F'') un diagramme commutatif

Les lignes de ce diagramme sont exactes (no 1, lemme 1) et $1_E \otimes j$ est un isomorphisme. Notre assertion est alors un cas particulier du § 1, no 4, prop. 1, (i). (Cf. exerc. 5.)

En effet, comme E est plat pour F, $v(F' + F'')$ s’identifie à $E \otimes (F' + F'')$, et les sous-modules $v(F')$, $v(F'')$ et $v(F' \cap F'')$ s’identifient aux images canoniques de $E \otimes F'$, $E \otimes F''$ et $E \otimes (F' \cap F'')$ dans $E \otimes (F' + F'')$ respectivement. La prop. 6 résulte alors du lemme 7.

n° 6

Supposons par exemple que $E/E'$ soit plat, et considérons le diagramme

où les flèches sont les homomorphismes canoniques. Ce diagramme est commutatif et ses lignes sont exactes (n° 1, lemme 1). Comme $E/E'$ est plat, $u$ est injectif. Notre assertion est alors un cas particulier du § 1, n° 4, prop. 1, (i).

(i) Supposons que $E/E'$ soit plat. Alors, pour tout idéal à gauche $a$ de $A$, on a

(ii) Inversement, supposons que $E$ soit plat et que pour tout idéal à gauche de type fini $a$ de $A$, on ait la relation (5). Alors $E/E'$ est plat.

(i) Il suffit d’appliquer la prop. 7 au cas où $F = A_s, F' = a$.

(ii) Pour prouver que $E/E'$ est plat, appliquons le critère c) de la prop. 4 du n° 5 ; il faut donc établir que la suite

est exacte en $E'/E'a$ pour tout idéal à gauche $a$ de type fini de $A$. Or, c’est exactement ce qu’exprime la relation (5).

Soient en effet G un B-module à gauche et G’ un sous-module de G. Puisque F est plat en tant que B-module à droite, l’homomorphisme canonique $F \otimes_B G' \to F \otimes_B G$ est injectif. Puisque E est plat, l’homomorphisme canonique

est injectif. Comme $E \otimes_A (F \otimes_B G')$ et $E \otimes_A (F \otimes_B G)$ s’identifient canoniquement à $(E \otimes_A F) \otimes_B G'$ et $(E \otimes_A F) \otimes_B G$ respectivement (Alg., chap. II, 3e éd., § 3, no 8, prop. 8), l’homomorphisme canonique $(E \otimes_A F) \otimes_B G' \to (E \otimes_A F) \otimes_B G$ est injectif, ce qui prouve que $E \otimes_A F$ est un B-module plat.

En effet, F est un (C, C)-bimodule et il suffit d’appliquer la prop. 8 avec $B = A = C$.

En effet, on a par définition $E_{(B)} = E \otimes_A B$, où B est considéré comme (A, B)-bimodule au moyen de ρ. Comme le B-module à droite B_d est plat, il suffit d’appliquer la prop. 8.

Rappelons que φ_*(M) est le R-module à droite défini par x.r = x.φ(r) pour tout x ∈ M et tout r ∈ R (Alg., chap. II, 3e éd., § 1, no 13). On applique alors la prop. 8 avec A = S, B = R, E = M et F = S, S étant muni de la structure de (S, R)-bimodule définie par φ ; le R-module à droite M ⊗_S S n’est autre alors que φ_*(M).

En effet, soit E'_α = E_α ⊗_{A_α} A, où A est considéré comme A_α-module à gauche au moyen de l’homomorphisme canonique A_α → A ; on sait que le A-module à droite E est canoniquement isomorphe à lim → E'_α (loc. cit., cor. 2 de la prop. 12). Il résulte du cor. 2 de la prop. 8 que E'_α est un A-module à droite plat pour tout α, donc E est un A-module plat en vertu du no 3, prop. 2.

(ii) Si $A$ est un anneau noethérien à gauche, tout $A$-module à gauche de type fini admet une présentation finie.

(iii) Tout module projectif de type fini admet une présentation finie.

L’assertion (i) résulte trivialement des définitions. Si $A$ est noethérien à gauche et s’il existe un homomorphisme surjectif $u : L_0 \to E$, où $L_0$ est un $A$-module à gauche libre ayant une base finie, le noyau $R$ de $u$ est de type fini (Alg., chap. VIII, § 2, no 1, prop. 1 et no 3, prop. 7), donc il y a un homomorphisme surjectif $v : L_1 \to R$ où $L_1$ est libre de base finie, et la suite exacte $L_1 \xrightarrow{v} L_0 \xrightarrow{u} E \to 0$ est une présentation finie de $E$; d’où (ii).

Enfin, supposons que $E$ soit un module projectif de type fini ; il est alors facteur direct d’un module libre de type fini $L_0$ (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, no 2, cor. de la prop. 4) ; le noyau $R$ de l’homomorphisme surjectif $L_0 \to E$ est alors isomorphe à un quotient de $L_0$, donc est de type fini, et on termine comme ci-dessus.

Soit $L_1 \xrightarrow{r} L_0 \xrightarrow{s} E \to 0$ une présentation finie ; si $(e_i)$ est une base de $L_0$, il existe pour chaque $i$ un élément $g_i \in G$ tel que $p(g_i) = s(e_i)$; l’homomorphisme $u : L_0 \to G$ tel que $u(e_i) = g_i$ pour tout $i$ est donc tel que $s = p \circ u$. Comme $s \circ r = 0$, on a $u(r(L_1)) \subset \mathrm{Ker}\, p$, et comme $\mathrm{Ker}\, p$ est isomorphe à $F$, on voit qu’il y a un homomorphisme $v : L_1 \to F$ tel que le diagramme

soit commutatif. Comme $j$ est injectif et $s$ surjectif, on peut appliquer le diagramme du serpent ($§ 1$, no 4, prop. 2), autrement dit il y a une suite exacte

Ceci montre que $\mathrm{Coker}\, v$ est isomorphe à $G/u(L_0)$, qui est de type fini par hypothèse. On a en outre la suite exacte

et comme $v(L_1)$ et $\mathrm{Coker}\, v$ sont de type fini, il en est de même de $F$ (Alg., chap. II, 3e éd., $§ 1$, no 7, cor. 5 de la prop. 9).

Considérons $A, B, F, G$ comme fixés, et, pour tout $A$-module à droite $E$, posons

et notons $\nu_E$ l’homomorphisme (8) ; pour tout homomorphisme $v : E \to E'$ de $A$-modules à droite, posons $T(v) = 1_F \otimes \mathrm{Hom}(v, 1_G)$ et $T'(v) = \mathrm{Hom}(v, 1_F \otimes 1_G)$. Soit $L_1 \xrightarrow{\psi} L_0 \xrightarrow{w} E \to 0$ une présentation de $E$; nous supposons le module libre $L_0$ (resp. les modules libres $L_0$ et $L_1$) de type fini. On a le diagramme

qui est commutatif, et dont la seconde ligne est exacte ($Alg.$, chap. II, 3e éd., § 2, no 1, th. 1) ; en outre, la suite

est exacte (loc. cit.), et comme $F$ est plat, la première ligne de (9) est aussi une suite exacte (no 3, prop. 1). Cela étant, on sait que $\nu_{L_0}$ (resp. $\nu_{L_0}$ et $\nu_{L_1}$) est bijectif (resp. sont bijectifs) ($Alg.$, chap. II, 3e éd., § 4, no 2, prop. 2). Si on suppose seulement $\nu_{L_0}$ bijectif, il résulte de (9) que $\nu_{L_0} \circ T(w) = T'(w) \circ \nu_E$ est injectif, donc $\nu_E$ l’est aussi. Si on suppose que $\nu_{L_0}$ et $\nu_{L_1}$ sont tous deux bijectifs, on déduit du § 1, no 4, cor. 2, (ii) de la prop. 2 que $\nu_E$ est surjectif, et comme on vient de voir que $\nu_E$ est injectif, il est bijectif.

C. Q. F. D.