Exercice 22, § 2

Soit E un A-module à gauche. Pour tout idéal à droite α de A, et tout élément $a \in A$, on note $\alpha : a$ l’ensemble des $x \in A$ tels que $ax \in \alpha$, et $\alpha E : a$ l’ensemble des $y \in E$ tels que $ay \in \alpha E$. On a évidemment $(\alpha : a)E \subset \alpha E : a$. Montrer que, pour que E soit plat, il faut et il suffit que, pour tout idéal à droite α de A et tout élément $a \in A$, on ait l’égalité $(\alpha : a)E = \alpha E : a$. (Pour voir que la condition est nécessaire, considérer la suite exacte de A-modules à droite $0 \to (\alpha : a)/\alpha \xrightarrow{\psi} A_d/\alpha \xrightarrow{\varphi} A_d/\alpha$, où $\psi$ est l’injection canonique et $\varphi$ l’application déduite par passage aux quotients de la multiplication à gauche par $a$. Pour voir que la condition est suffisante, appliquer le critère du cor. 1 de la prop. 13 du n° 11 : partir d’une relation $\sum_{i=1}^n a_i x_i = 0$ avec $a_i \in A$, $x_i \in E$, appliquer l’hypothèse à l’idéal $\alpha_2 = \sum_{i=2}^n a_i A$ et à l’élément $a_1$, et raisonner par récurrence sur $n$.)