Bài tập 22, § 2

Cho E là một A-môđun trái. Với mọi iđêan phải a của A và mọi phần tử $a \in A$, ký hiệu $a : a$ là tập hợp các $x \in A$ sao cho $ax \in a$ và $aE : a$ là tập hợp các $y \in E$ sao cho $ay \in aE$. Khi đó rõ ràng $(a : a)E \subset aE : a$. Chứng minh rằng, để E là phẳng, điều kiện cần và đủ là, với mọi iđêan phải a của A và mọi phần tử $a \in A$, $(a : a)E = aE : a$. (Để thấy rằng điều kiện là cần, xét dãy khớp các A-môđun phải $0 \to (a : a)/a \xrightarrow{\psi} A_a/a \xrightarrow{\phi} A_a/a$, trong đó $\psi$ là đơn ánh chính tắc và $\phi$ là ánh xạ thu được bằng cách lấy thương theo phép nhân trái bởi a. Để thấy rằng điều kiện là đủ, áp dụng tiêu chuẩn của Hệ quả 1 cho Mệnh đề 13 của no. 11: bắt đầu với một quan hệ $\sum_{i=1}^n a_i x_i = 0$, trong đó $a_i \in A, x_i \in E$, áp dụng giả thiết cho iđêan $a_2 = \sum_{t=a}^n a_t A$ và phần tử $a$, và lập luận bằng quy nạp trên $n$.)