a) I est un idéal. b) L’ensemble des idéaux de A distincts de A possède un plus grand élément. c) A possède un idéal maximal unique.

En effet, la relation $x \in I$ équivaut à $1 \notin xA$, donc à $xA \neq A$. Si $a$ est un idéal de A distinct de A et si $x \in a$, on a $xA \subset a$, donc $xA \neq A$ et $x \in I$. Donc tout idéal distinct de A est contenu dans I et tout élément $x \in I$ appartient à un idéal principal $xA \neq A$. Ceci prouve la première assertion, et celle-ci entraîne aussitôt l’équivalence des propriétés a), b), c).

Remarque 1). — On notera que, si c) est vérifiée, I est le radical de l’anneau A (Alg., chap. VIII, § 6, no 3, déf. 3).

En effet, soit $S = A - p$, et soit $j : A \to A_p$ l’homomorphisme canonique ; l’hypothèse que $p$ est premier entraîne que $p$ est saturé pour $S$, donc $j^{-1}(pA_p) = p$ ($§ 2$, no 4, prop. 10), et comme les idéaux de $A$ disjoints de $S$ sont ceux contenus dans $p$, les deux premières assertions sont des cas particuliers du § 2, n° 5, prop. 11, (ii). En outre, si $f$ est l’homomorphisme canonique $A \to A/p$, $f(S)$ est l’ensemble des éléments $\neq 0$ de l’anneau intègre $A/p$, donc la dernière assertion est un cas particulier du § 2, n° 5, prop. 11, (i).

(i) Soit $f$ l’homomorphisme canonique $A \to A/b$. L’homomorphisme de $A_p$ dans $(A/b)_{p/b}$ canoniquement associé à $f$ ($§ 2$, n° 1, prop. 2) est surjectif et son noyau est $b'$, ce qui définit par passage aux quotients un isomorphisme canonique de $A_p/b'$ sur $(A/b)_{p/b}$.

(ii) L’application $b' \to b = (i_A^S)^{-1}(b')$, restreinte à l’ensemble des idéaux premiers de $A_p$, est un isomorphisme (pour la relation d’inclusion) de cet ensemble sur l’ensemble des idéaux premiers de $A$ contenus dans $p$. Si $b'$ est premier dans $A_p$ il existe un isomorphisme de l’anneau $A_b$ sur l’anneau $(A_p)_{b'}$ qui applique $a/s$ sur $(a/1)/(s/1)$ pour $a \in A, s \in A - b$.

Ceci n’est qu’un cas particulier du § 2, n° 5, prop. 11.

(i) $M$ est de type fini ; (ii) $m$ est nilpotent.

Alors la relation $(A_d/m) \otimes_A M = 0$ entraîne $M = 0$.

L’assertion relative à l’hypothèse (i) n’est autre que le cor. 3 de la prop. 6 d’Alg., chap. VIII, $§ 6$, no 3. D’autre part, la relation $(A_d/m) \otimes_A M = 0$ équivaut à $M = mM$ et entraîne donc $M = m^nM$ pour tout entier $n > 0$; d’où l’assertion relative à l’hypothèse (ii).

En effet, $(A_d/m) \otimes_A (N/u(M))$ est canoniquement isomorphe à $((A_d/m) \otimes_A N)/\mathrm{Im}\,(1 \otimes u)$ (Alg., chap. II, 3e éd., $§ 3$, no 6, cor. 1 de la prop. 6); l’hypothèse entraîne donc $(A_d/m) \otimes_A (N/u(M)) = 0$, donc $N/u(M) = 0$ en vertu de la prop. 4.

Soit en effet (e_t)_{t \in I} la base canonique du A-module à gauche $A_s^{(I)}$ : il suffit d’appliquer le cor. 1 à l’application A-linéaire $u : A_s^{(I)} \to M$ telle que $u(e_t^i) = x_t$ pour tout $t \in I$.

(i) M admet une présentation finie ; (ii) m est nilpotent.

Alors, si $(A/m) \otimes_A M = M/mM$ est un (A/m)-module à gauche libre et si l’homomorphisme canonique de $m \otimes_A M$ dans M est injectif, M est un A-module libre. De façon précise, si $(x_t)_{t \in I}$ est une famille d’éléments de M telle que $(1 \otimes x_t)$ soit une base du (A/m)-module $M/mM$, $(x_t)$ est une base de M.

Si $a \in A$, $x \in M$ et si $\bar{a}$ est la classe de a dans $A/m$, on a $\bar{a} \otimes x = 1 \otimes (ax)$, donc l’hypothèse entraîne qu’il existe une famille $(x_t)_{t \in I}$ d’éléments de M telle que $(1 \otimes x_t)$ soit une base du (A/m)-module $(A/m) \otimes_A M$. On sait déjà que les $x_t$ engendrent M (cor. 2 de la prop. 4) ; nous allons voir qu’ils sont linéairement indépendants sur A. Pour cela, considérons le A-module libre $L = A_s^{(I)}$; soit $(e_t)$ sa base canonique, et soit $u : A_s^{(I)} \to M$ l’application A-linéaire telle que $u(e_t) = x_t$ pour tout $t \in I$; si R est le noyau de u, nous allons prouver que $R = 0$. Dans l’hypothèse (i), $(A/m) \otimes_A M$ est un (A/m)-module de type fini, donc I est nécessairement fini et R est un A-module de type fini en vertu du chap. I, § 2, n° 8, lemme 9. D’après la prop. 4, il suffira donc de prouver (dans l’une ou l’autre hypothèse) que l’on a $R = mR$.

Soit j l’injection canonique $R \to L$; on a donc le diagramme commutatif

dans lequel les deux lignes sont exactes, j est injectif et $1 \otimes u$ est surjectif (chap. I, § 2, n° 1, lemme 1); comme par hypothèse Ker (c) = 0, on a donc une suite exacte

(chap. I, § 1, n° 4, prop. 2); il suffit de vérifier que $v$ est bijectif, car on en déduira Coker (a) = 0, autrement dit que a est surjectif et par suite R = mR. Or, Coker (b) = (A/m) \otimes_A L et Coker (c) = (A/m) \otimes_A M, et par définition $v(1 \otimes e_i) = 1 \otimes x_i$; comme $(1 \otimes e_i)$ est une base de (A/m) \otimes_A L, la définition des $x_i$ montre que $v$ est bijectif.

En effet, si cette condition est vérifiée, on peut supposer que $(y_\lambda)$ est une sous-famille d’une famille $(x_i)$ d’éléments de M telle que $(1 \otimes x_i)$ soit une base de M/mM (Alg., chap. II, 3e éd., § 7, n° 1, th. 2), et la prop. 5 prouve alors que $(x_i)$ est une base de M.

(i) M admet une présentation finie ; (ii) m est nilpotent.

Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : a) M est libre ; b) M est projectif ; c) M est plat ; d) l’homomorphisme canonique $m \otimes_A M \to M$ est injectif ; e) on a $\mathrm{Tor}_1^A(A/m, M) = 0.$

Les implications $a \Rightarrow b) \Rightarrow c) \Rightarrow d)$ sont immédiates. Comme A/m est un corps, $(A/m) \otimes_A M$ est un (A/m)-module libre, et la prop. 5 montre que d) implique a).

Enfin, on sait que Tor$_1^A(A, M) = 0$, et de la suite exacte $0 \to m \to A \to A/m \to 0$, on déduit donc la suite exacte

cela prouve que Tor$_1^A(A/m, M)$ est isomorphe au noyau de l'homomorphisme canonique $m \otimes_A M \to M$; d'où l'équivalence de d) et e).

On peut montrer que, pour tout anneau $A$ ayant un radical $m$ tel que $A/m$ soit un corps, tout $A$-module projectif est libre (exerc. 3).

On sait (Alg., chap. II, 3e éd., § 1, no 11, prop. 21) que, si $N/u(M)$ est libre, $u(M)$ est facteur direct dans $N$, donc c) implique a) ; inversement, a) implique que $\operatorname{Coker}(u)$, isomorphe à un supplémentaire de $u(M)$ dans $N$, est un $A$-module projectif de type fini, et a fortiori de présentation finie (chap. I, § 2, no 8, lemme 8) ; donc ce module est libre en vertu du cor. 2 de la prop. 5, et a) implique c). Il est évident d'autre part que a) entraîne b). Posons pour simplifier $M' = (A/m) \otimes_A M,\ N' = (A/m) \otimes_A N$ ; comme $M$ et $N$ sont de type fini, les duals ${M'}^*$ et ${N'}^*$ des $(A/m)$-modules $M'$ et $N'$ s'identifient canoniquement à $M^* \otimes_A (A/m)$ et $N^* \otimes_A (A/m)$ et $t(1 \otimes u)$ à $(t u) \otimes 1$ (Alg., chap. II, 3e éd., § 5, no 4, prop. 8) ; comme $M'$ et $N'$ sont des espaces vectoriels sur le corps $A/m$, l'hypothèse que $1 \otimes u$ est injectif entraîne que $t(1 \otimes u)$ est surjectif (Alg., chap. II, 3e éd., § 7, no 5, prop. 10) ; le cor. 1 de la prop. 4 montre alors que $t u$ est surjectif, et nous avons ainsi prouvé que b) entraîne d). Montrons enfin que d) entraîne a). Supposons $t u$ surjectif ; comme $M^*$ est libre, il existe un homomorphisme $f$ de $M^*$ dans $N^*$ tel que $1_{M^*} = t u \circ f$ (Alg., chap. II, 3e éd., § 1, no 11, prop. 21) ; comme $M$ et $N$ sont libres de type fini, il existe un homomorphisme g de N dans M tel que $f = ^t g$; on a donc $^t 1_M = 1_{M^*} = ^t u \circ ^t g = t(g \circ u)$, d'où $1_M = g \circ u$; ceci prouve que $u$ est un isomorphisme de M sur un sous-module facteur direct de N (Alg., chap. II, 3e éd., § 1, n° 9, cor. 2 de la prop. 15).

Il est clair que a) entraîne b) ; b) entraîne que $1 \otimes u$ est surjectif ; en outre l'hypothèse que M et N ont même rang entraîne qu'il en est de même des espaces vectoriels $(A/m) \otimes_A M$ et $(A/m) \otimes_A N$ sur $A/m$, donc $1 \otimes u$ est bijectif (Alg., chap. II, 3e éd., § 7, n° 4, cor. de la prop. 9) et b) entraîne c). Enfin, la condition c) entraîne, en vertu de la prop. 6, que N est somme directe de $u(M)$ et d'un sous-module libre P et $u$ un isomorphisme de $u$ sur $u(M)$; si on avait $P \neq 0$, on aurait $(A/m) \otimes_A P \neq 0$, et $1 \otimes u$ ne serait pas surjectif ; donc c) entraîne a).

Les propositions démontrées ci-dessus dans ce n° seront le plus souvent appliquées lorsque A est un anneau local et m son idéal maximal. Le cor. 2 de la prop. 5 se complète alors par la

(1)

Si M est libre, il est clair que les deux membres de (1) sont égaux au rang de M pour tout $i \in I$. Supposons maintenant la condition satisfaite, et notons n la valeur commune des deux membres de (1); en vertu du cor. 2 de la prop. 4, M possède un système de n générateurs $x_j$ ($1 \leq j \leq n$). Supposons d'abord A intègre, auquel cas $\mathfrak{p}_i = 0$ pour tout $i \in I$. Les éléments $1 \otimes x_j$ ($1 \leq j \leq n$) engendrent l'espace vectoriel $K \otimes M$ sur le corps des fractions K de A ; mais comme par hypothèse cet espace est de rang n sur K, les éléments $1 \otimes x_j$ sont linéairement indépendants sur K. On en déduit (Alg., chap. II, 3e éd., § 1, no 13, Remarque 1) que les $x_j$ sont linéairement indépendants sur A, donc forment une base de M.

Passons au cas général ; il existe un homomorphisme surjectif $v$ de $L = A^n$ sur M. Considérons le diagramme commutatif

où $u$ (resp. $u'$) est l’application $x \to (\varphi_l(x))$ (resp. $y \to (\psi_l(y))$), $\varphi_l : L \to (A/p_l) \otimes L$ (resp. $\psi_l : M \to (A/p_l) \otimes M$) étant l’application canonique, et $v'$ est l’application produit des $1_{A/p_l} \otimes v$. On a $(A/p_l)/(m/p_l) \otimes_{A/p_l} ((A/p_l) \otimes_A M) = (A/m) \otimes_A M$, et comme $A/p_l$ est un anneau local intègre, il résulte de la première partie du raisonnement que chacun des $1_{A/p_l} \otimes v$ est un isomorphisme ; il en est donc de même de $v'$. D’autre part, comme A est réduit, on a

d’où $\bigcap_l (p_l L) = 0$ puisque L est libre (Alg., chap. II, 3e éd., § 3, no 7, Remarque) ; comme $p_l L$ est le noyau de $\varphi_l$, cela montre que $u$ est injectif. On en conclut que $v' \circ u = u' \circ v$ est injectif, donc $v$ est injectif, et comme $v$ est surjectif par définition, cela montre que M est libre.

En effet, $A/a$ est alors un anneau local d’idéal maximal $m/a$; on peut considérer M comme un $(A/a)$-module ; pour tout $s \in A - m$, l’image canonique de s dans $A/a$ est inversible, donc l’homothétie $x \to sx$ de M est bijective d’après la définition de $M_m$ comme solution d’un problème universel (§ 2, no 2) ; d’où la proposition.

En particulier, s’il existe $k \geqslant 0$ tel que $m^k M = 0$, l’homomorphisme $M \to M_m$ est bijectif ($§ 1$, n° 1, cor. de la prop. 1).

Le cas où $k = 0$ étant trivial, supposons $k \geqslant 1$. Il résulte de la prop. 8 que l’homomorphisme canonique $M / m^k M \to (M / m^k M)_m$ est bijectif. D’autre part $(M / m^k M)_m$ s’identifie canoniquement à $M_m / (m^k M)_m$ ($§ 2$, n° 4, th. 1) et on a $(m^k M)_m = m^k M_m$ ($§ 2$, n° 7, cor. de la prop. 18), d’où un isomorphisme de $M / m^k M$ sur $M_m / m^k M_m$ qui transforme la classe d’un élément $x \in M$ en la classe de $x/1$.

Cela résulte aussitôt de la prop. 9 et du $§ 1$, n° 2, prop. 6, les $m_i^{k_i}$ étant deux à deux étrangers ($§ 1$, n° 2, prop. 3).

Dans la suite de ce n°, $A$ désigne un anneau, et $\Omega(A)$ (ou $\Omega$) l’ensemble des idéaux maximaux de $A$.

En effet, chacun des $A_m$ est un $A$-module plat ($§ 2$, n° 4, th. 1), donc $E = \bigoplus_{m \in \Omega} A_m$ est plat (chap. I, $§ 2$, n° 3, prop. 2). En outre, pour tout idéal maximal $m$ de $A$, $mA_m$ est l’unique idéal maximal de $A_m$, donc $mA_m \neq A_m$, d’où on conclut que $mE \neq E$, et par suite $E$ est fidèlement plat (chap. I, $§ 3$, n° 1, prop. 1, d)).

En effet, dire que pour tout $m \in \Omega$, $u_{m}$ est injectif (resp. surjectif, bijectif, nul) équivaut à dire que l’homomorphisme $\bigoplus_{m} u_{m} : \bigoplus_{m} M_{m} \to \bigoplus_{m} N_{m}$ a la même propriété. Mais $\bigoplus_{m} M_{m} = M \otimes_{A} E$, $\bigoplus_{m} N_{m} = N \otimes_{A} E$ et $\bigoplus_{m} u_{m} = u \otimes 1$, avec $E = \bigoplus_{m} A_{m}$; comme $E$ est fidèlement plat (prop. 10), le théorème résulte du chap. I, § 3, no 1, prop. 1 c) et prop. 2.

Soit $\overline{x}$ la classe de $x$ dans $M/N$; dire que $x \in N$ signifie que l’application $A$-linéaire $u : \alpha \to \alpha \overline{x}$ de $A$ dans $M/N$ est nulle. Or $(M/N)_{m}$ s’identifie à $M_{m}/N_{m}$ (§ 2, no 4, th. 1) et $u_{m} : A_{m} \to M_{m}/N_{m}$ à l’application $\lambda \to \lambda \overline{x}_{m}$, où $\overline{x}_{m}$ est la classe mod. $N_{m}$ de l’image canonique de $x$ dans $M_{m}$. Comme la relation $u = 0$ équivaut à $u_{m} = 0$ pour tout $m$ en vertu du th. 1, cela prouve le corollaire.

En effet, en appliquant le cor. 1 à $N = 0$, on voit que la relation $x = 0$ équivaut à $f_{m}(x) = 0$ pour tout $m \in \Omega$.

(ii) En particulier, soient $b$ et $c$ deux éléments de $A$. Pour que $c$ soit multiple de $b$, il faut et il suffit que, pour tout $m \in \Omega$, l’image canonique de $c$ dans $A_{m}$ soit multiple de celle de $b$.

Comme $bA_{m} = b_{m}$ (§ 2, no 7, cor. de la prop. 18), (i) est un cas particulier du cor. 1 ; (ii) résulte de (i) appliqué à l’idéal $Ab$.

En effet, comme $M$ est identifié à un sous-module de $K \otimes_A M$, $M_m$ l’est à un sous-$A_m$-module de $(K \otimes_A M)_m = K_m \otimes_A M$ (§ 2, no 4, th. 1); comme $K_m = K$, on voit déjà que $M_m$ est sans torsion; en outre, la commutativité du diagramme

prouve que l’application canonique $M \to M_m$ est injective. Le corollaire résulte donc du cor. 1 appliqué au A-module $K \otimes_A M$ et à son sous-module $M$.

En particulier, pour tout anneau intègre $A$, on a

Soient $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ la base canonique de $A^n$, $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ un système de générateurs de $A^n$ ayant $n$ éléments, $u : A^n \to A^n$ l’application $A$-linéaire telle que $u(e_i) = x_i$ pour $1 \leq i \leq n$. Par hypothèse $u$ est surjective et il faut montrer que $u$ est injective. On se ramène aussitôt, en vertu du th. 1, au cas où $A$ est un anneau local; si $m$ est l’idéal maximal de $A$, les éléments $1 \otimes x_i (1 \leq i \leq n)$ dans $(A/m)^n$ forment alors un système de générateurs du $(A/m)$-module libre $(A/m)^n$; comme $A/m$ est un corps, ce système est une base de $(A/m)^n$; comme $A^n$ est un $A$-module libre, on déduit de la prop. 5 que $(x_i)$ est une base de $A^n$.

En effet, il résulte du th. 1 que, pour que $u$ soit surjectif, il faut et il suffit que $u_m : M_m \to N_m$ soit surjectif pour tout $m \in \Omega$. Comme $A_m$ est un anneau local et que $N_m$ est un $A_m$-module de type fini, il revient au même de dire que l’homomorphisme $u'_m : M_m / mM_m \to N_m / mN_m$, obtenu par passage aux quotients, est surjectif (no 2, cor. 1 de la prop. 4); mais $M_m / mM_m$ (resp. $N_m / mN_m$) s’identifie à $M / mM$ (resp. $N / mN$) (prop. 9), d’où la proposition.

L’existence de $w$ vérifiant l’énoncé est équivalente à la propriété suivante : $u$ appartient à l’image $P$ de l’application $r = \mathrm{Hom}(1_E, v) : \mathrm{Hom}_A(E, G) \to \mathrm{Hom}_A(E, F)$. Or, $(\mathrm{Hom}_A(E, F))_m$ (resp. $(\mathrm{Hom}_A(E, G))_m$) s’identifie canoniquement à $\mathrm{Hom}_{A_m}(E_m, F_m)$ (resp. $\mathrm{Hom}_{A_m}(E_m, G_m)$) (§ 2, no 7, prop. 19, (i)), l’image canonique de $u$ dans $(\mathrm{Hom}_A(E, F))_m$ s’identifie à $u_m$, $r_m$ s’identifie à $\mathrm{Hom}_{A_m}(1_{E_m}, v_m)$ et $P_m$ à l’image de $r_m$. La proposition résulte alors du cor. 1 du th. 1 appliqué à $\mathrm{Hom}_A(E, F)$ et à son sous-module $P$.

En effet, dire que $N$ est facteur direct de $M$ signifie que l’homomorphisme identique de $M/N$ se factorise en $M/N \xrightarrow{w} M \xrightarrow{\varphi} M/N$ où $\varphi$ est l’homomorphisme canonique et $w$ un homomorphisme ($Alg.$, chap. II, 3e éd., § 1, no 9, prop. 14); comme $(M/N)_m = M_m / N_m$ et que $\varphi_m$ est l’homomorphisme canonique $M_m \to M_m / N_m$, le corollaire résulte aussitôt de la prop. 12.