1° les éléments de h(S) sont inversibles dans A’ ; 2° pour tout homomorphisme u de A dans un anneau B, tel que les éléments de u(S) soient inversibles dans B, il existe un homomorphisme u’ et un seul de A’ dans B tel que u = u’ ∘ h.

En d’autres termes, (A’, h) est une solution du problème d’application universelle (Ens., chap. IV, § 3, no 1) relativement aux données suivantes : l’espèce de structure Σ considérée est celle d’anneau, les morphismes sont les homomorphismes d’anneaux, et les α-applications sont les homomorphismes de A dans un anneau tels que l’image de S par un tel homomorphisme se compose d’éléments inversibles. Rappelons (loc. cit.) que, si (A’, h) et (A_1’, h_1) sont deux solutions de ce problème, il existe un isomorphisme unique j : A’ → A_1’ tel que h_1 = j ∘ h.

Soit $\overline{S}$ la partie multiplicative de A engendrée par S. Il est clair que toute solution du problème d’application universelle précédent est aussi une solution du problème d’application universelle obtenu en remplaçant S par $\overline{S}$, et inversement.

Considérons, dans l’ensemble $A \times \overline{S}$, la relation suivante entre éléments $(a, s), (a', s')$ :

(1) « Il existe $t \in \overline{S}$ tel que $t(sa' - s'a) = 0$ ».

h(a) = a/1 pour tout $a \in A$. Nous allons voir qu’on peut munir $A'$ d’une structure d’anneau telle que le couple $(A', h)$ réponde à la question.

Soient $x = a/s$ et $y = b/t$ deux éléments de $A'$. Les éléments $(ta + sb)/st$ et $ab/st$ ne dépendent que de $x$ et de $y$; en effet, si $x = a'/s'$, il existe par hypothèse $r \in \overline{S}$ tel que $r(s'a - sa') = 0$, d’où $r(s't(ta + sb) - st(ta' + s'b)) = 0$ et $r(s'tab - sta'b) = 0$. On vérifie aussitôt que les lois de composition $(x, y) \to x + y = (ta + sb)/st$ et $(x, y) \to xy = ab/st$ définissent sur $A'$ une structure d’anneau commutatif, pour laquelle $0/1$ est élément neutre pour l’addition, et $1/1$ élément unité. En outre, il est immédiat que $h$ est un homomorphisme d’anneaux et que, pour tout $s \in S$, $s/1$ est inversible dans $A'$, son inverse étant $1/s$. Enfin soient $B$ un anneau, $u : A \to B$ un homomorphisme tel que les éléments de $u(S)$ soient inversibles dans $B$; il existe une application $u' : A' \to B$ et une seule telle que

En effet, si $a/s = a'/s'$, il existe $t \in \overline{S}$ tel que $t(sa' - s'a) = 0$, d’où $u(t)(u(s)u(a') - u(s')u(a)) = 0$ et comme $u(t)$, $u(s)$ et $u(s')$ sont inversibles, on a bien $u(a)(u(s))^{-1} = u(a')(u(s'))^{-1}$. On vérifie aussitôt que $u'$ est un homomorphisme pour l’addition et la multiplication ; enfin, il est clair que $u' \circ h = u$ et que $u'$ est le seul homomorphisme vérifiant cette relation, car elle implique $u'(a/s) = u'((a/1)(1/s)) = u'(1/s)u'(a/1) = u'(1/s)u(a)$, et $1 = u'(1/1) = u'(s/1)u'(1/s) = u(s)u'(1/s)$, d’où la formule (2).

C. Q. F. D.

Supposons de plus que $T$ soit contenu dans la partie multiplicative de $B$ engendrée par $f(S)$. Alors, si $f$ est surjectif (resp. injectif) il en est de même de $f'$.

La première assertion revient à dire qu’il existe un homomorphisme $f' : A[S^{-1}] \to B[T^{-1}]$ et un seul rendant commutatif le diagramme

Or, la relation $f(S) \subset T$ entraîne que $i_B^r(f(s))$ est inversible dans $B[T^{-1}]$ pour tout $s \in S$, et il suffit d’appliquer la prop. 1 à $i_B^T \circ f$. Il résulte aussitôt de (2) que, pour $a \in A$ et $s \in \overline{S}$ (partie multiplicative de $A$ engendrée par $S$), on a

(3)

Supposons que $T$ soit contenue dans la partie multiplicative engendrée par $f(S)$, qui n’est autre que $f(\overline{S})$. Il résulte alors de (3) que, si $f$ est surjectif, il en est de même de $f'$. Supposons maintenant $f$ injectif. Soit $a/s$ un élément du noyau de $f'$. Comme la partie multiplicative engendrée par $T$ est $f(\overline{S})$, il y a un élément $s_1 \in \overline{S}$ tel que $f(s_1)f(a) = 0$, d’où $f(s_1a) = 0$ et, par suite, $s_1a = 0$ puisque $f$ est injectif ; on a donc $a/s = 0$, ce qui montre que $f'$ est injectif.

Remarque 6). — Si les éléments de $T$ sont inversibles dans $B$, $B[T^{-1}]$ s’identifie à $B$ au moyen de l’isomorphisme $i_B^T$, et $f'$ devient alors identique à l’unique homomorphisme $u'$ de $A[S^{-1}]$ dans $B$ tel que $u' \circ i_A^S = f$.

C’est une conséquence immédiate de la prop. 2 et de la Remarque 6.

Pour tout $a \in A$, $i_{A}^{T,s}$ applique donc l’élément $a/s$ de $A[S^{-1}]$ sur l’élément $a/s$ de $A[T^{-1}]$.

Remarque 7). — On notera que si $i_{A}^{T}$ est injectif, il en est de même de $i_{A}^{T,s}$ (cor. 1). C’est ce qui se produit si T est l’ensemble R des éléments non diviseurs de 0 de A ; on peut alors identifier $A[S^{-1}]$ au sous-anneau de l’anneau total des fractions $A[R^{-1}]$ engendré par A et par les inverses dans $A[R^{-1}]$ des éléments de S.

Cela résulte aussitôt des définitions.

En particulier, si S, T, U sont trois parties multiplicatives de A telles que $S \subset T \subset U$, on a $i_{A}^{U,s} = i_{A}^{U,T} \circ i_{A}^{T,s}$.

L’application g est injective en vertu du cor. 1 ; l’anneau $g(B[{S'}^{-1}])$ contient $i_{A}^{S}(A)$ et les inverses des éléments de S’; il est donc égal à $A[S^{-1}]$.

Lorsque A est intègre et $0 \notin S$, la notation $A[S^{-1}]$ est conforme à celle d’Alg., chap. IV, § 2, no 1 ; en outre, si S est multiplicative, $A[S^{-1}]$ coïncide dans ce cas avec l’ensemble noté $S^{-1}A$ dans Alg., chap. I, § 1, no 1.

Par extension de notation, pour toute partie multiplicative S d’un anneau A, nous noterons désormais $S^{-1}A$ l’anneau de fractions $A[S^{-1}]$. Lorsque S est le complémentaire d’un idéal premier p de A, nous écrirons $A_{p}$ au lieu de $S^{-1}A$.

Si A est intègre et $0 \notin S$, $S^{-1}A$ est toujours identifié à un sous-anneau du corps des fractions de A, contenant A (Remarque 7).

1° Pour tout $s \in S$, l’homothétie $z \to sz$ de $M'$ est bijective.

2° Pour tout $A$-module $N$ tel que, pour tout $s \in S$, l’homothétie $y \to sy$ de $N$ soit bijective, et tout homomorphisme $u$ de $M$ dans $N$, il existe un homomorphisme et un seul $u'$ de $M'$ dans $N$ tel que $u = u' \circ f$.

En d’autres termes, $(M', f)$ est une solution du problème d’application universelle ($Ens.$, chap. IV, § 3, no 1) relativement aux données suivantes : l’espèce de structure $\Sigma$ est celle de $A$-module dans lequel les homothéties produites par les éléments de $S$ sont bijectives, les morphismes sont les homomorphismes de $A$-modules, et les $\alpha$-applications sont aussi les homomorphismes de $A$-modules.

Pour tout $A$-module $N$ et tout $a \in A$, désignons par $h_a$ l’homothétie $y \to ay$ dans $N$; $a \to h_a$ est donc un homomorphisme d’anneaux de $A$ dans $\mathrm{End}_A(N)$. Dire que $h_a$ est bijective signifie que $h_a$ est un élément inversible de $\mathrm{End}_A(N)$. Supposons que, pour tout $s \in S$, $h_s$ soit inversible dans $\mathrm{End}_A(N)$; les éléments $h_a$ pour $a \in A$ et les inverses des éléments $h_s$ pour $s \in S$ engendrent alors dans $\mathrm{End}_A(N)$ un sous-anneau commutatif $B$, et l’homomorphisme $a \to h_a$ de $A$ dans $B$ est tel que les images des éléments de $S$ soient inversibles. On en conclut (no 1, prop. 1) qu’il existe un homomorphisme unique $h'$ de $A[S^{-1}]$ dans $B$ tel que $h'(a/s) = h_a(h_s)^{-1}$; on sait ($Alg.$, chap. II, 3e éd., § 1, no 14) qu’un tel homomorphisme définit sur $N$ une structure de $A[S^{-1}]$-module telle que $(a/s).y = (h_s)^{-1}(a.y)$; la structure de $A$-module déduite de cette structure de $A[S^{-1}]$-module au moyen de l’homomorphisme $i_A^s$ n’est autre que la structure initialement donnée.

Inversement, si $N$ est un $A[S^{-1}]$-module, et si on le considère comme $A$-module au moyen de $i_A^s$, les homothéties $y \to sy$, pour s \in S, sont bijectives, car $y \to (1/s)y$ est l’application réciproque de $y \to sy$; et la structure de $A[S^{-1}]$-module sur $N$ déduite de sa structure de $A$-module par le procédé décrit ci-dessus est la structure de $A[S^{-1}]$-module initialement donnée. Il y a donc correspondance biunivoque canonique entre $A[S^{-1}]$-modules et $A$-modules dans lesquels les homothéties produites par les éléments de $S$ sont bijectives; en outre, si $N, N'$ sont deux $A$-modules ayant cette propriété, tout homomorphisme $u : N \to N'$ de $A$-modules est aussi un homomorphisme pour les structures de $A[S^{-1}]$-modules de $N$ et $N'$, car pour tout $y \in N$ et tout $s \in S$, on peut écrire $u(y) = u(s.((1/s)y))) = s.u((1/s)y)$, d’où $u((1/s)y) = (1/s)u(y)$; la réciproque est évidente.

Cela étant, l’énoncé de la prop. 3 n’est autre que la caractérisation du module obtenu à partir de $M$ par extension des scalaires à $A[S^{-1}]$, compte tenu de l’interprétation précédente (Alg., chap. II, 3e éd., § 5, no 1, Remarque 1).

Si s' \in S est tel que s'm = 0, il est clair que m/s = (s'm)/(s's) = 0. Inversement, supposons que m/s = 0. Comme 1/s est inversible dans S^{-1}A, on a m/1 = 0. Pour tout sous-A-module P de S^{-1}A contenant 1, notons \beta(P, m) l’image de (m, 1) par l’application canonique de M \times P dans M \otimes_A P ; on a donc \beta(S^{-1}A, m) = 0. On sait (Alg., chap. II, 3e éd., § 6, no 7, cor. 4 de la prop. 12) qu’il existe un sous-module P de type fini de S^{-1}A contenant 1 et tel que \beta(P, m) = 0. Pour tout t \in S, désignons par A_t l’ensemble des a/t pour a \in A ; comme P est de type fini, il existe un t \in S tel que P \subset A_t (no 1, Remarque 2), d’où \beta(A_t, m) = 0. L’application a \to a/t de A dans A_t est surjective ; soit B son noyau. Elle définit une application surjective h : M \otimes_A A \to M \otimes_A A_t, dont le noyau est BM (M étant identifié à M \otimes A) ; on a \beta(A_t, m) = h(tm) et par suite tm se met sous la forme \sum_{i=1}^r b_i m_i avec b_i \in B, m_i \in M (1 \leq i \leq r). Comme b_i/t = 0 pour 1 \leq i \leq r, il existe un t' \in S tel que t'b_i = 0 pour 1 \leq i \leq r, d’où t'tm = 0, ce qui démontre la prop. 4.

En effet (m/s) - (m'/s') = (s'm - sm')/ss'.

Sans hypothèse sur M, il est clair que la relation sM = 0 pour un s \in S entraîne S^{-1}M = 0. Réciproquement, supposons que

$S^{-1}M = 0$, et soit $(m_i)_{1 \leq i \leq n}$ un système de générateurs de $M$; les $m_i/1$ engendrent le $S^{-1}A$-module $S^{-1}M$, donc dire que $S^{-1}M = 0$ revient à dire que $m_i/1 = 0$ pour $1 \leq i \leq n$; en vertu de la prop. 4, il y a des $s_i \in S$ tels que $s_i m_i = 0$, et en prenant $s = s_1 s_2 \ldots s_n \in S$, on a $s m_i = 0$ pour tout $i$, donc $sM = 0$.

Il est clair que la relation $(1 + a)M = 0$ entraîne $M = aM$. Pour démontrer la réciproque, nous utiliserons le lemme suivant :

Lemme 1. — Pour tout idéal a de A, l’ensemble S des éléments $1 + a$ pour $a \in a$, est une partie multiplicative de A, et l’ensemble $a'$ des éléments de $S^{-1}A$ de la forme $a/s$, où $a \in a$ et $s \in S$, est un idéal contenu dans le radical de $S^{-1}A$.

La première assertion est évidente, ainsi que le fait que $a'$ est un idéal de $S^{-1}A$. D’autre part, $(1/1) + (a/s) = (s + a)/s$ et on a $s + a \in S$ pour $s \in S$ et $a \in a$ par définition de S ; donc $(1/1) + (a/s)$ est inversible dans $S^{-1}A$ pour tout $a/s \in a'$, ce qui achève de prouver le lemme (Alg., chap. VIII, § 6, no 3, th. 1).

Cela étant, si on pose $N = S^{-1}M$, il est clair que N est un $S^{-1}A$-module de type fini ; si $aM = M$, on a $a'N = N$ et on en conclut que $N = 0$ par le lemme de Nakayama (Alg., chap. VIII, § 6, no 3, cor. de la prop. 6) ; le corollaire résulte alors du cor. 2.

En effet, l’application $i_N^{T} \circ u$ de M dans $T^{-1}N$ est A-linéaire. En outre, si $s \in S$, on a $f(s) \in T$, donc l’homothétie produite par s dans $T^{-1}N$ est bijective. L’existence et l’unicité de $u'$ résultent alors de la prop. 3. On a, pour $m \in M$ et $s \in S$,

Avec les mêmes notations, soient C un troisième anneau, U une partie multiplicative de C, g un homomorphisme de B dans C tel que $g(T) \subset U$, P un C-module, $v$ une application B-linéaire de N dans P, et $v'$ l’application $T^{-1}B$-linéaire de $T^{-1}N$ dans $U^{-1}P$ associée à $v$. On a alors

où le premier membre est l’application A-linéaire $S^{-1}M \to U^{-1}P$ associée à $v \circ u$. De même, si $u_1$ est une seconde application A-linéaire de M dans N, on a

le premier membre étant l’application A-linéaire $S^{-1}M \to T^{-1}N$ associée à $u + u_1$.

Remarque 5). — Si, dans la prop. 5, on prend $B = A$, $T = S$ et $f = 1_A$, on voit aussitôt que $u'$ n’est autre que l’application $u \otimes 1 : M \otimes S^{-1}A \to N \otimes S^{-1}A$. Nous la noterons désormais $S^{-1}u$; lorsque S est le complémentaire d’un idéal premier p de A, nous écrirons $u_p$ au lieu de $S^{-1}u$.

Si $b, b'$ sont dans B, $s, s'$ dans S, les conditions $b/s = b'/s'$ et $b/f(s) = b'/f(s')$ sont équivalentes comme il résulte du cor. 1 de la prop. 4, ce qui établit l’existence de j et montre que j est bijective ; l’unicité de j est évidente. Il est clair que j est un isomorphisme de groupes additifs. Si $a \in A, b \in B, s \in S, t \in S$, on a $(a/s).(b/f(t)) = f'(a/s)(b/f(t)) = (f(a)/f(s))(b/f(t)) = (f(a)b)/f(st)$, d’où il résulte que j est $(S^{-1}A)$-linéaire. Il est clair que $j \circ f' = S^{-1}f$. Enfin, si $b \in B, b' \in B, s \in S$, on a $j(b.(b'/f(s))) = j(bb'/f(s)) = bb'/s = b.(b'/s)$, ce qui démontre la dernière assertion.

L’application $j$ de la prop. 6 s’appelle l’isomorphisme canonique de $(f(S))^{-1}B$ sur $S^{-1}B$. On identifie en général ces deux ensembles au moyen de $j$; on a alors $f' = S^{-1}f, i_B^s = i_B^{f(s)}$.

(i) Il existe un isomorphisme $j$ et un seul de l’anneau $(ST)^{-1}A$ sur l’anneau ${T'}^{-1}(S^{-1}A)$ tel que le diagramme

soit commutatif.

(ii) Soit $M$ un $A$-module. Il existe un $(ST)^{-1}A$-isomorphisme $k$ du $(ST)^{-1}A$-module $(ST)^{-1}M$ sur le ${T'}^{-1}(S^{-1}A)$-module ${T'}^{-1}(S^{-1}M)$ tel que le diagramme

soit commutatif.

(i) Utilisons la définition de (ST)^{-1}A comme solution d’un problème d’application universelle. Soient B un anneau et f un homomorphisme de A dans B tel que f(ST) se compose d’éléments inversibles. Comme f(S) se compose par suite d’éléments inversibles, il existe un homomorphisme et un seul f' : S^{-1}A → B tel que f = f' ∘ i_A^S (n° 1, prop. 1). Pour tout t ∈ T, f'(i_A^S(t)) = f(t) est inversible dans B par hypothèse, donc f'(T') se compose d’éléments inversibles ; il existe alors, en vertu du n° 1, prop. 1, un homomorphisme et un seul f'' de T'^{-1}(S^{-1}A) dans B tel que f' = f'' ∘ i_{S^{-1}A}^{T'}, d’où f = f'' ∘ u en posant u = i_{S^{-1}A}^{T'} ∘ i_A^S.

En outre, si f''_1 : T'^{-1}(S^{-1}A) → B est un second homomorphisme tel que f''_1 ∘ u = f, on a (f''_1 ∘ i_{S^{-1}A}^{T'}) ∘ i_A^S = (f'' ∘ i_{S^{-1}A}^{T'}) ∘ i_A^S, d’où f''_1 ∘ i_{S^{-1}A}^{T'} = f'' ∘ i_{S^{-1}A}^{T'} et par suite f''_1 = f''.

Comme les images par u des éléments de ST dans T'^{-1}(S^{-1}A) sont inversibles, le couple (T'^{-1}(S^{-1}A), u) est solution du problème d’application universelle (relatif à A et ST) considéré au n° 1. Ceci démontre l’existence et l’unicité de j.

(ii) La démonstration est tout à fait analogue à celle de (i), en utilisant cette fois le n° 2, prop. 3, et elle est laissée au lecteur.

a) L’homomorphisme i_A^{T,S} : S^{-1}A → T^{-1}A est bijectif.

b) Pour tout A-module M, l’homomorphisme i_M^{T,S} : S^{-1}M → T^{-1}M est bijectif.

c) Pour tout t ∈ T, il existe a ∈ A tel que at ∈ S (autrement dit, tout élément de T divise un élément de S).

d) Tout idéal premier qui rencontre T rencontre S.

On a vu ci-dessus que i_A^{T,S} = 1_M ⊗ i_A^{T,S}, ce qui prouve aussitôt l’équivalence de a) et b). Posons T' = i_A^S(T) ; alors (prop. 7) T^{-1}A s’identifie à T'^{-1}(S^{-1}A), et a) équivaut à dire que les éléments de T' sont inversibles dans S^{-1}A (n° 1, Remarque 5). Or, dire que (t/1)(a/s) = 1/1 (t ∈ T, a ∈ A, s ∈ S) signifie qu’il existe s' ∈ S tel que tas' = ss', ce qui montre l’équivalence de a) et c). Montrons que d) entraîne c). Soit t un élément de T et supposons que t/1 ne soit pas inversible dans S^{-1}A ; il existe alors un idéal maximal m' de

S^{-1}A contenant t/1 (Alg., chap. I, § 8, no 7, th. 2), et $p = (i_A^{S})^{-1}(m')$ est un idéal premier de A contenant t et ne rencontrant pas S (puisque l’image par $i_A^S$ d’un élément de S est inversible). Réciproquement, s’il existe un idéal premier p qui rencontre T sans rencontrer S, aucun élément de $p \cap T$ ne peut diviser un élément de S ; ceci prouve que c) entraîne d), et termine la démonstration.

On déduit de la prop. 8 que parmi les parties multiplicatives T de A, contenant S et vérifiant les conditions équivalentes de la prop. 8, il y en a une plus grande, formée de tous les éléments de A qui divisent un élément de S (cf. exerc. 1).