Si $\mathbf{B}$ est un anneau tel que $\mathbf{A} \subset \mathbf{B} \subset \mathbf{K}$, et si $x \in \mathbf{K} - \mathbf{B}$, on a $x \in K - A$, d'où $x^{-1} \in m(A) \subset B$, ce qui prouve à la fois que $B$ est un anneau de valuation pour $K$, et que $m(B) \subset m(A)$; comme $m(B) = m(B) \cap A$ est un idéal premier de $A$, on a démontré $a)$ et $b)$. En outre, on a $A_{m(B)} \subset B$; inversement, si $x \in B - A$, on a $x^{-1} \in A$ et $x^{-1} \notin m(B)$, donc $x \in A_{m(B)}$; ainsi $A_{m(B)} = B$. Soit enfin $\mathfrak{p}$ un idéal premier de $A$; posons $B = A_{\mathfrak{p}}$; on a $m(B) \cap A = \mathfrak{p}$ (Chap. II, , no 5; prop. 11), et $m(B) \subset A$ d'après $b)$; donc $m(B) = \mathfrak{p}$, ce qui montre que les applications $\mathfrak{p} \to A_{\mathfrak{p}}$ et $B \to m(B)$ de l'énoncé sont des bijections réciproques

En effet, l’ensemble des idéaux premiers de $A$ est totalement ordonné par inclusion ($§ 1$, no 2, th. 1 e)), et l’application $\mathfrak{p} \to A_{\mathfrak{p}}$ renverse les relations d’inclusion.

Si $A \in \mathscr{A}$, on a $h_B(A) \in \mathscr{A}'$: en effet, si $x' = h_B(x)$ (où $x \in B$) est un élément de $\kappa(B) - h_B(A)$, on a $x \notin A$, donc $x^{-1} \in A$ et $h_B(x)^{-1} \in h_B(A)$. D’autre part, pour $A \in \mathscr{A}$, on a $A \supset m(B)$ (prop. 1, b)), donc l’application $A \to h_B(A)$ est injective. Enfin, soient $A' \in \mathscr{A}'$ et $A = \overline{h_B}(A') \subset B$; on va montrer, ce qui achèvera la démonstration, que $A \in \mathscr{A}$; en effet, si $x \in K - A$, on a, soit $x \notin B$, soit $x \in B$; si $x \notin B$, on a $x^{-1} \in m(B) \subset A$; si $x \in B$, on a $h_B(x) \in \kappa(B)$ et $h_B(x) \notin A'$, donc $h_B(x^{-1}) \in A'$, et on en conclut encore que $x^{-1} \in A$; donc $A \in \mathscr{A}$.

En effet, puisque l’anneau local $A'$ est un quotient de l’anneau local $A$, leurs corps résiduels sont canoniquement isomorphes, et l’égalité $h_A(x) = h_{A'}(h_B(x))$ est vraie pour $x \in A$. D’autre part, si $x \in B - A$, on a $h_B(x) \notin A'$, et les deux membres de l’égalité sont égaux à $\infty$; il en est de même si $x \in K - B$.

a) Le noyau d’un homomorphisme croissant de $G$ dans un groupe ordonné est un sous-groupe isolé de $G$.

b) Réciproquement, soient $H$ un sous-groupe isolé de $G$, et $g$ l’homomorphisme canonique de $G$ sur $G/H$. Alors $g(P)$ est l’ensemble des éléments positifs pour une structure de groupe ordonné sur $G/H$. En outre, si $G$ est totalement ordonné, il en est de même de $G/H$.

a) Soit $f$ un homomorphisme croissant de $G$ dans un groupe ordonné ; notons $H$ le noyau de $f$. Si $0 \leq y \leq x$ et $x \in H$, on a $0 \leq f(y) \leq f(x) = 0$, d’où $f(y) = 0$, c’est-à-dire $y \in H$. Donc $H$ est isolé.

b) Soient $H$ un sous-groupe isolé de $G$ et $g : G \to G/H$. Posons $P' = g(P)$. Il est clair que $P' + P' \subset P'$. On a

car, si $x$ et $y$ sont des éléments de $P$ tels que $g(x) = -g(y)$, on a $x + y \in H$, d’où $x \in H$ et $y \in H$ puisque $H$ est isolé ; donc $g(x) = g(y) = 0$. Ainsi $P'$ est l’ensemble des éléments positifs pour une structure de groupe ordonné sur $G/H$ (Alg. chap. VI, § 1, n° 3, prop. 3). Enfin, si $G$ est totalement ordonné, on a $P \cup (-P) = G$, d’où $P' \cup (-P') = G/H$, donc $G/H$ est totalement ordonné (loc. cit.).

En effet, la donnée de $H_B$ définit $v_B$ à une équivalence près, donc détermine $B$ sans ambiguïté. D’autre part, soit $H$ un sous-groupe isolé de $\Gamma_A$; considérant $\Gamma_A/H$ comme un groupe totalement ordonné (prop. 3), l’application composée

est une valuation de $K$ dont l’anneau contient $A$.

La prop. 5 du n° 4 montre que a) implique b), et la prop. 1 du n° 1 montre que b) implique c). Reste à montrer que c) implique a). Supposons $A$ maximal parmi les sous-anneaux de $K$ distincts de $K$. Soient $m$ un idéal maximal de $A$, et $V$ un anneau de valuation pour $K$ dominant $A_m$ ($§ 1$, n° 2, cor. du th. 2); comme $m(V) \cap A = m$ et que $m \neq (0)$ (puisque $A$ n’est pas un corps), on a $V \neq K$, d’où $V = A$, ce qui montre que $A$ est l’anneau d’une valuation $v$ de $K$. Ceci étant, $v$ est de hauteur 1 d’après les prop. 1 (n° 1) et 5 (n° 4).

Cela résulte en effet de la proposition suivante :

Soit $x$ un élément positif de $G$, et soit $H_x$ l’ensemble des $y \in G$ tels qu’il existe un entier $n \geqslant 0$ vérifiant $|y| \leqslant nx$. On vérifie aisément que $H_x$ est un sous-groupe isolé de $G$, et que tout sous-groupe isolé de $G$ contenant $x$ contient $H_x$. La condition a) équivaut donc à « $H_x = G$ pour tout $x > 0$ », c’est-à-dire à la condition b).

Il est clair que c) implique b). Réciproquement, supposons vérifiée la condition b), et notons $Q$ l’ensemble des éléments $> 0$ de $G$. Supposons d’abord que $Q$ ait un plus petit élément $x$; pour tout $y \in Q$, soit $n$ le plus petit entier tel que $y \leqslant nx$; si l’on avait $y < nx$, on aurait aussi $nx - y \geqslant x$, d’où $y \leqslant (n - 1)x$ contrairement au choix de $n$; on a donc $y = nx$, ce qui montre que $G = \mathbf{Z}x$ est isomorphe à $\mathbf{Z} \subset \mathbf{R}$. Supposons maintenant que $Q$ n’ait pas de plus petit élément; appliquons à l’ensemble ordonné $P = Q \cup \{0\}$ la prop. 1 de Top. Gén., chap. V, § 2 (ce qui est possible, puisque la condition b) n’est autre que « l’axiome d’Archimède »); on voit qu’il existe une application strictement croissante $f$ de $P$ dans $\mathbf{R}_+$ telle que

pour $x \in P$ et $y \in P$; par linéarité $f$ se prolonge en un isomorphisme de $G$ sur un sous-groupe de $\mathbf{R}$, ce qui prouve que b) implique c).

Supposons $v$ de hauteur 1. Soit $x \in K$ tel que les $x^n (n \geq 0)$ soient tous contenus dans un sous-A-module de type fini de $K$. Il existe $d \in A - \{0\}$ tel que $dx^n \in A$ pour tout $n \geq 0$. On a donc $v(d) + n v(x) \geq 0$, c’est-à-dire $n(-v(x)) \leq v(d)$ pour tout $n \geq 0$, d’où $-v(x) \leq 0$ (prop. 8, b)) et $x \in A$. Ainsi $A$ est complètement intégralement clos.

Supposons maintenant que $v$ ne soit pas de hauteur 1. Il existe alors $y \in m(A)$ et $t \in A$ tels que $n v(y) < v(t)$ pour tout $n \geq 0$ (prop. 8, b)). On a donc $ty^{-n} \in A$ pour tout $n \geq 0$, mais $y^{-1} \notin A$. Donc $A$ n’est pas complètement intégralement clos.

Un anneau complètement intégralement clos n’est pas toujours intersection d’anneaux de valuations de hauteur 1 (exerc. 6).