En outre, s’il existe un seul indice $k$ tel que $v(x_k) = \inf_{1 \leq i \leq n} v(x_i)$, les deux membres de (1) sont égaux. En particulier, si $v(x) \neq v(y)$, on a $v(x + y) = \inf (v(x), v(y))$.

La relation (1) se déduit de l’axiome (VL$_{\text{II}}$) par récurrence sur $n$. S’il existe un seul indice $k$ tel que $v(x_k) = \inf_{1 \leq i \leq n} v(x_i)$, on a, en posant $y = \sum_{i \neq k} x_i$ et $z = \sum_{i=1}^n x_i$, $v(y) > v(x_k)$ et $v(z) \geq v(x_k)$ d’après (1); si l’on avait $v(z) > v(x_k)$, la relation $x_k = z - y$ donnerait $v(x_k) \geq \inf (v(z), v(y)) > v(x_k)$, ce qui est absurde; d’où $v(z) = v(x_k)$, ce qui démontre la seconde assertion.

S’il n’y avait qu’un seul indice $k$ tel que $v(x_k) = \inf_{1 \leq i \leq n} v(x_i)$, la prop. 1 montrerait que $v(x_k) = v(0) = +\infty$, d’où $v(x_i) = +\infty$ pour tout $i$, contrairement à la relation $n \geq 2$ et à l’hypothèse faite sur $k$.

(i) Pour $x \neq 0$, on a $v(x) \neq +\infty$.

(ii) L’ensemble $A$ des $x \in K$ tels que $v(x) \geqslant 0$ est un sous-anneau de $K$.

(iii) Pour tout $\alpha \geqslant 0$ dans $\Gamma$, l’ensemble $V_{\alpha}$ (resp. $V'_{\alpha}$) des $x \in A$ tels que $v(x) > \alpha$ (resp. $v(x) \geqslant \alpha$) est un idéal bilatère de $A$, et tout idéal $\neq (0)$ de $A$ (à gauche ou à droite) contient un des $V'_{\alpha}$.

(iv) L’ensemble $m(A)$ des $x \in A$ tels que $v(x) > 0$ est le plus grand idéal $\neq A$ de $A$; $U(A) = A - m(A)$ est l’ensemble des éléments inversibles de $A$ et $\kappa(A) = A/m(A)$ est un corps (non nécessairement commutatif).

(v) Pour tout $x \in K - A$, on a $x^{-1} \in m(A)$.

L’assertion (i) résulte de ce que $v(-1)$ est un idéal de $K$ non égal à $K$. La vérification du fait que $A$ est un anneau et les $V_{\alpha}$ et $V'_{\alpha}$ des idéaux bilatères est triviale en vertu des axiomes (VL_I), (VL_II) et (VL_III). Si $a$ est un idéal (à gauche, par exemple) de $A$ et si $x \neq 0$ appartient à $A$, tout $y \in A$ tel que $v(y) \geqslant v(x)$ peut s’écrire $y = zx$ avec $z = yx^{-1}$, donc $v(z) = v(y) - v(x) \geqslant 0$, et par suite $z \in A$; autrement dit l’idéal à gauche $Ax$ contient les $V'_{\alpha}$ pour $x \geqslant v(x)$. L’ensemble $U(A) = A - m(A)$ est l’ensemble des $x \in K$ tels que $v(x) = 0$; si $x \in U(A)$ on a

d’où $x^{-1} \in U(A)$; réciproquement, si $y \in A$ est inversible dans $A$, on a $v(y) \geqslant 0$, $v(y^{-1}) \geqslant 0$ et $v(y) + v(y^{-1}) = 0$, d’où $v(y) = 0$ et $y \in U(A)$; ceci prouve (iv), et (v) découle aussitôt des définitions.

On dit que $A$ (resp. $m(A)$, $\kappa(A)$) est l’anneau (resp. l’idéal, le corps résiduel) de la valuation $v$ sur $K$.

Il est clair que $U(A)$ est le noyau de l’homomorphisme $v : K^* \to \Gamma$, et que l’image $v(K^*)$ par $v$ du groupe multiplicatif $K^*$ est un sous-groupe du groupe additif $\Gamma$, dit groupe des ordres ou groupe des valeurs de $v$, qui est donc isomorphe à $K^*/U(A)$; pour un $x \in K$, l’élément $v(x)$ de $\Gamma_\infty$ est parfois appelé la valuation ou l’ordre de $x$ pour $v$. On dit que deux valuations $v, v'$ de $K$ sont équivalentes si elles ont même anneau.

En effet, supposons $v$ et $v'$ équivalentes; par hypothèse, l’anneau $A$ de la valuation $v$ étant le même que celui de $v'$, $v$ et $v'$ (restreints à $K^*$) se factorisent en des homomorphismes $K^* \to K^*/U(A) \xrightarrow{\mu} v(K^*)$, $K^* \to K^*/U(A) \xrightarrow{v'} v'(K^*)$, où $\mu$ et $v$ sont des isomorphismes; en outre, l’ensemble des éléments positifs de $v(K^*)$ (resp. $v'(K^*)$) est l’image par $\mu$ (resp. $v$) de l’ensemble des classes mod. $U(A)$ des éléments $\neq 0$ de $m(A)$; on en conclut que $\lambda = v \circ \mu^{-1}$ répond à la question, la réciproque étant évidente.

Supposons maintenant que $K$ soit un corps commutatif; alors, pour toute valuation $v$ de $K$, l’anneau $A$ de la valuation $v$ est un anneau de valuation pour $K$ au sens du § 1, no 2, déf. 2 (ce qui justifie la terminologie); cela résulte aussitôt de la prop. 2, c) et du § 1, no 2, th. 1, c). Inversement, rappelons que pour tout anneau intègre $B$ dont $K$ est le corps des fractions, la relation de divisibilité $x|y$ (équivalente à $y \in Bx$) fait de $K^*$ un groupe préordonné, dont le groupe ordonné associé $\Gamma_B$ est le quotient $K^*/U(B)$ de $K^*$ par le groupe $U(B)$ des éléments inversibles de $B$, les éléments positifs de ce groupe étant ceux de $B^*/U(B)$ (où $B^* = B - \{0\}$); l’application $x \to Bx$ définit, par passage au quotient, un isomorphisme du groupe ordonné $K^*/U(B)$ sur le groupe (ordonné par la relation $\supseteq$) des idéaux fractionnaires principaux non nuls de $K$ (Alg., chap. VI, § 1, no5). Les anneaux $A$ ayant pour corps des fractions $K$ et pour lesquels le groupe $\Gamma_A = K^*/U(A)$ est totalement ordonné sont précisément les anneaux de valuation pour $K$ (§ 1, no 2, th. 1, d)). Si l’on désigne par $v_A$ l’homomorphisme canonique de $K^*$ sur $\Gamma_A$, il est immédiat que $v_A$ (prolongé par $v_A(0) = +\infty$) est une valuation (dite canonique) de $K$ dont l’anneau est $A$; toute valuation équivalente à $v_A$ s’écrit $v = \sigma \circ v_A$, où $\sigma$ est un isomorphisme de $\Gamma_A$ sur un sous-groupe du groupe où $v$ prend ses valeurs (prop. 3); on dit que $\sigma \circ v_A$ est la factorisation canonique de $v$.

D’après le th. 2 d’*Alg.*, chap. I, § 2, no 7, il existe un homomorphisme $w$ et un seul de $K^*$ dans $\Gamma$ qui prolonge $v|C^*$, et $w(K^*)$ est engendré par $v(C^*)$. Il reste à prouver que $w$ vérifie l’axiome (VL$_\mathrm{II}$). Soient donc $x \in K^*$, $y \in K^*$ tels que $x + y \in K^*$; il

existe $a \in C^*$ tel que $ax \in C^*$ et $ay \in C^*$, d’où $a(x + y) \in C^*$. Puisque la restriction de $w$ à $C^*$ vérifie (VL$_{\text{II}}$) on a

Retranchant $w(a)$ des deux membres, on obtient bien

Soient $\Gamma_v$ et $\Gamma_{v'}$ les groupes des ordres de $v$ et $v'$. Puisque la restriction de $v'$ à K est équivalente à $v$, il existe un isomorphisme $\lambda$ de $\Gamma_v$ sur un sous-groupe de $\Gamma_{v'}$, tel que $v' = \lambda \circ v$ sur K. Si l’on identifie $\Gamma_v$ à $\lambda(\Gamma_v)$ au moyen de $\lambda$, on voit que $v'$ prolonge $v$.

On notera que $\Gamma_{v'}$ est en général distinct de $\lambda(\Gamma_v)$, et que la classe d’équivalence de $v'$ n’est pas nécessairement unique. Nous reviendrons là-dessus au § 8.

En traduisant le th. 3 du § 1, no 3 (ou la prop. 6 du § 2, no 5) on obtient :

A partir de maintenant, nous laisserons en général au lecteur le soin d’effectuer des traductions analogues aux précédentes.

Soit $b$ un sous-A-module de K. L’ensemble des $v(x)$ pour $x \in b - (0)$ est un sous-ensemble majeur $M(b)$ de G. La prop. 7 sera démontrée si l’on prouve les formules : (2) $M(a(N)) = N$ pour tout sous-ensemble majeur N de G; (3) $a(M(b)) = b$ pour tout sous-A-module $b$ de K.

La formule (2) est facile, car, pour tout $m \in N$, il existe $x \in K$ tel que $v(x) = m$. On a évidemment $b \subset a(M(b))$; inversement, soit $x \in a(M(b))$ et supposons $x \neq 0$; on a $v(x) \in M(b)$, donc il existe $y \in b$ tel que $v(x) = v(y)$; d’où $x = uy$ avec $v(u) = 0$, ce qui prouve qu’on a $x \in Ay \subset b$, et termine la démonstration.

En effet, comme $A = a(G_+)$, $a(M) \subset A$ équivaut à $M \subset G_+$.

Par exemple l’idéal maximal $m(A)$ est égal à $a(S)$, où S désigne l’ensemble des éléments strictement positifs de G.

On peut supposer $v$ normée, de sorte que $v(u) = 1$. Pour tout $x \in K^*$, il y a un entier $n \in \mathbf{Z}$ tel que $v(x) = n = v(u^n)$, donc on peut écrire $x = zu^n = u^n z'$, où $z, z'$ sont deux éléments inversibles de l’anneau A; d’où la proposition.

a) A est l’anneau d’une valuation discrète. b) A est principal. c) L’idéal $m(A)$ est principal, et on a $\bigcap_{n=1}^{\infty} m(A)^n = (0)$. d) A est un anneau noethérien et $m(A)$ est principal. e) A est un anneau de valuation noethérien.

La prop. 8 montre que a) entraîne b), d) et e). Si A est principal, on a $m(A) = Au$ et tout idéal non nul de A est de la forme $Au^n$ puisque A est local (Alg., chap. VII, § 1, no 3, th. 2); on a donc $\bigcap_{n=0}^{\infty} m(A)^n = 0$; ceci montre que b) implique c). D’autre part d) implique c) (chap. III, § 3, no 2, cor. de la prop. 5);

d’après la prop. 2 du , n° 4, c) implique a). Ainsi les conditions a), b), c), d) sont équivalentes et entraînent e). Enfin, supposons e) vraie et montrons que b) est vraie; il suffira de prouver le lemme suivant

Soit E un $\mathbf{A}$-module sans torsion de type fini, et soient $x_1, \ldots, x_n$ des générateurs de E en nombre minimum; montrons qu’ils sont linéairement indépendants. Si $\sum_{i=1}^n a_i x_i = 0$ ($a_i \in \mathbf{A}$) est une relation non triviale entre les $x_i$, l’un des $a_i$, soit $a_1$, divise tous les autres puisque l’ensemble des idéaux principaux de $\mathbf{A}$ est totalement ordonné par inclusion ($§ 1$, n° 2, th. 1); on a $a_1 \neq 0$ puisque la relation est non triviale. Comme E est sans torsion, on peut diviser par $a_1$, ce qui revient à supposer qu’on a $a_1 = 1$. Mais alors $x_1$ est combinaison linéaire de $x_2, \ldots, x_n$, contrairement au caractère minimal de $n$. Donc E est libre.

En particulier tout idéal $a$ de type fini de $\mathbf{A}$ est principal, tous les éléments d’un système de générateurs de $a$ étant multiples de l’un d’eux. La prop. 3 du chap. I, § 2, n° 4 montre alors que tout $\mathbf{A}$-module sans torsion est plat.