Il est clair qu’on a $h_A(1) = 1$.

Montrons que $h_A$ est un morphisme pour l’addition. Soient $x, y$ deux éléments de $\widetilde{K}$ tels que $h_A(x) + h_A(y)$ soit défini. L’un des deux éléments $x, y$ appartient alors à A, donc $x + y$ est défini. Si $x \in A$ et $y \in A$, il est clair que

est vérifiée. Si $x \in A$ et $y \notin A$, on a $x + y \notin A$, et les deux membres de la formule ci-dessus valent $\infty$.

Montrons enfin que $h_A$ est un morphisme pour la multiplication. Soient $x \in \overline{K}$, $y \in \overline{K}$ tels que $h_A(x)h_A(y)$ soit défini. Si $x \in A$ et $y \in A$, il est clair que $xy$ est défini, et qu’on a $h_A(x)h_A(y) = h_A(xy)$. Supposons maintenant que l’un des éléments $x, y$, par exemple $y$, n’appartienne pas à $A$; comme $h_A(y) = \infty$, on a $h_A(x) \neq 0$, c’est-à-dire $x \notin m(A)$, d’où $x^{-1} \in A$; il s’ensuit que $xy$ est défini et que $xy \notin A$, d’où $h_A(xy) = \infty = h_A(x)h_A(y)$. Ceci démontre la prop. 1.

Si $j$ est un isomorphisme de $\kappa(A)$ sur un sous-corps d’un corps $L$, $j \circ h_A : \overline{K} \to \overline{L}$ est une place de $K$ à valeurs dans $L$. Ce procédé fournit en fait toutes les places de $K$. De façon plus précise :

Si l’on a $f = j \circ h_A$, la condition $f(x) \neq \infty$ (resp. $f(x) = 0$) équivaut à la condition $h_A(x) \neq \infty$ (resp. $h_A(x) = 0$), donc à la condition $x \in A$ (resp. $x \in m(A)$). Donc $A$ est déterminé de manière unique, et, comme $h_A$ est surjectif, $j$ est aussi unique.

Soit maintenant $f$ une place quelconque de $K$ à valeurs dans $L$; notons $A$ l’ensemble des $x \in K$ tels que $f(x) \neq \infty$. Si $x \in A$ et $y \in A$, les composés $f(x) - f(y)$ et $f(x)f(y)$ sont définis et $\neq \infty$, ce qui montre que $x - y \in A$ et $xy \in A$; donc $A$ est un sous-anneau de $K$. Si $x \notin A$, on a $f(x) = \infty$, donc $f(x^{-1}) = 0$ et $x^{-1}$ appartient au noyau $m$ de l’homomorphisme $f'$ obtenu en restreignant $f$ à $A$. Inversement, si $y \in m$, on a $y^{-1} \notin A$. Ceci montre que $A$ est un anneau de valuation pour $K$, et que $m$ est son idéal maximal. Soit $j$ l’homomorphisme injectif de $\kappa(A)$ dans $L$ déduit de $f'$ par passage au quotient. On a $f(x) = j(h_A(x))$ pour tout $x \in A$, et cette égalité reste vraie pour $x \notin A$, les deux membres étant alors égaux à $\infty$.

C.Q.F.D.

La décomposition $f = j \circ h_A$ est appelée la décomposition canonique de la place $f$. On dit que $A$ est l’anneau de $f$, que $m(A)$ est l’idéal de $f$, et que $\kappa(A)$ est le corps résiduel de $f$. Pour que deux places $f : \overline{K} \to \overline{L}$ et $f' : \overline{K} \to \overline{L}'$ aient même anneau, il faut et il suffit qu’il existe un isomorphisme $s$ du corps des valeurs de $f$ sur celui de $f'$ tel que $f' = s \circ f$; on dit alors que $f$ et $f'$ sont équivalentes. On voit qu’on peut traduire tout résultat sur les anneaux de valuation en un résultat sur les places, et inversement; c’est ce que nous ferons dans les numéros suivants.

Exemples de places. — 1) Soit K un corps. L’application identique de K est une place triviale, d’anneau K et d’idéal (0).

2) Soit $k$ un corps. Pour tout $u \in k((T))^\sim$, posons $f(u) = \infty$ si $u \notin k[[T]]$ et définissons $f(u)$ comme étant le terme constant de $u$ si $u \in k[[T]]$. Alors $f$ est une place de $k((T))$, de corps résiduel $k$, d’anneau $k[[T]]$. En effet, $k[[T]]$ est un anneau de valuation pour $k((T))$ (§ 1, no 4, Exemple 3), et la restriction de $f$ à $k[[T]]$ s’identifie à l’homomorphisme canonique de $k[[T]]$ sur son corps résiduel.

3) Soient $k$ un corps, $a$ un élément de $k$, et A l’ensemble des $u \in k(X)$ tels que $a$ soit substituable dans $u$ (Alg., chap. IV, § 3, no 2). Si $\mathfrak{p}$ désigne l’idéal premier $(X - a)$ de $k[X]$, on a $A = k[X]_{\mathfrak{p}}$, de sorte que A est un anneau de valuation pour $k(X)$ (§ 1, no 4, prop. 2). Pour tout $u \in k(X)^\sim$, posons $f(u) = \infty$ si $u \notin A$, et $f(u) = u(a)$ si $u \in A$. Alors $f$ est une place de $k(X)$, de corps résiduel $k$ et d’anneau A; en effet la restriction de $f$ à A est un homomorphisme de A sur $k$ (Alg., chap. IV, § 3, prop. 2), de noyau $\mathfrak{p}A = m(A)$. On dit que l’élément $f(u) \in \overline{k}$ s’obtient en faisant $X = a$ dans $u$.

4) Soient S une variété analytique complexe connexe de dimension 1, et K le corps des fonctions méromorphes sur S. Pour tout $z_0 \in S$, l’application $f \mapsto f(z_0)$ de K dans $\overline{\mathbf{C}}$ est une place de K, dont l’anneau est l’ensemble des $f \in K$ qui sont holomorphes en $z_0$, et dont l’idéal est l’ensemble des $f \in K$ qui sont nulles en $z_0$. C’est cet exemple, et d’autres analogues, qui sont à l’origine de la terminologie de « place ».

Soient V l’anneau de f, g la restriction de f à V, et g' le prolongement de g à V[x_1, ..., x_n] tel que g'(x_i) = a_i pour 1 \leq i \leq n. Il suffit de prendre pour L' une clôture algébrique de L, et d’appliquer la prop. 3 à g' et L': on obtient une place f': \bar{K}' \to \bar{L}' qui prolonge g'; si x \in \bar{K} - V, on a x^{-1} \in m(V), d’où f'(x^{-1}) = g(x^{-1}) = 0, et f'(x) = \infty = f(x); donc f' prolonge f.

Si f est une place de K prolongeant h, f est finie sur S_p et nulle sur pS_p, donc l’anneau de la place f domine S_p. Réciproquement, si V est un anneau de valuation pour K qui domine S_p, V est l’anneau d’une place f dont la restriction à S est un homomorphisme ayant même noyau que h; remplaçant f par une place équivalente, on voit que V est l’anneau d’une place de K qui prolonge h. Dire que toute place de K prolongeant h est finie en x équivaut à dire que x appartient à tous les anneaux de valuation pour K qui dominent S_p. La proposition résulte alors du th. 3 du § 1, n° 3.

C’est aussi une conséquence du th. 3 du § 1, n° 3.