a) on a $m(A) \subset m(B)$; b) B domine A; c) l’idéal $Bm(A)$ engendré par $m(A)$ dans B ne contient pas 1.

Si $m(A) \subset m(B)$, $m(B) \cap A$ est un idéal de A qui ne contient pas 1 et qui contient l’idéal maximal $m(A)$; il lui est par suite égal, et a) implique $b$. Si $B$ domine $A$, l’idéal $B_m(A)$ est contenu dans $m(B)$, donc ne contient pas 1; ainsi b) implique $c$. Si c) est satisfaite, $B_m(A)$ est contenu dans l’unique idéal maximal $m(B)$ de $B$, d’où $a$.

On notera que, si $K$ est un anneau, la relation « $B$ domine $A$ » est une relation d’ordre dans l’ensemble des sous-anneaux locaux de $K$.

Soient $A$ et $B$ deux anneaux locaux tels que $B$ domine $A$. L’injection canonique $A \to B$ définit, par passage aux quotients, un isomorphisme du corps $\kappa(A)$ sur un sous-corps de $\kappa(B)$; cet isomorphisme permet d’identifier $\kappa(A)$ à un sous-corps de $\kappa(B)$.

a) $V$ est un élément maximal de l’ensemble des sous-anneaux locaux de $K$, cet ensemble étant ordonné par la relation « $B$ domine $A$ » entre $A$ et $B$.

b) Il existe un corps algébriquement clos $L$, et un homomorphisme $h$ de $V$ dans $L$ qui est maximal dans l’ensemble des homomorphismes de sous-anneaux de $K$ dans $L$, ordonné par la relation « $g$ est un prolongement de $f$ » entre $f$ et $g$.

c) Si $x \in K - V$, alors $x^{-1} \in V$.

d) Le corps des fractions de $V$ est $K$, et l’ensemble des idéaux principaux de $V$ est totalement ordonné par la relation d’inclusion.

e) Le corps des fractions de $V$ est $K$, et l’ensemble des idéaux de $V$ est totalement ordonné par la relation d’inclusion.

Nous démontrerons le théorème suivant le schéma logique

Supposons a) satisfaite. Alors $V$ est un anneau local. Soient $L$ une clôture algébrique du corps résiduel $\kappa(V)$, et $h$ l’homomorphisme canonique de V dans L. Soient V' un sous-anneau de K contenant V, et h' un homomorphisme de V' dans L prolongeant h. Si $\mathfrak{p}'$ est le noyau de h', on a $\mathfrak{p}' \cap V = m(V)$; donc (no 1, Exemple 2) $V_{\mathfrak{p}'}$ domine V, ce qui entraîne $V_{\mathfrak{p}'} = V$ et $V' = V$. Ainsi b) est satisfaite.

Supposons b) satisfaite. Soient L un corps algébriquement clos, h un homomorphisme de V dans L; supposons h maximal dans l’ensemble des homomorphismes de sous-anneaux de K dans L; soit $\mathfrak{p}$ le noyau de h. Les éléments de $h(V - \mathfrak{p})$ étant inversibles dans L, h se prolonge en un homomorphisme de $V_{\mathfrak{p}}$ dans L (Chap. II, § 2, no 1, prop. 1); donc $V = V_{\mathfrak{p}}$, ce qui montre que V est un anneau local, et que $\mathfrak{p}$ est son idéal maximal. Soit x un élément non nul de K; il nous faut montrer que l’un au moins des éléments $x, x^{-1}$ appartient à V, c’est-à-dire, en vertu du caractère maximal de h, que h peut être prolongé à $V[x]$ ou à $V[x^{-1}]$. Si x est entier sur V, ceci résulte du Chap. V, § 2, no 1, cor. 4 du th. 1. Si x n’est pas entier sur V, nous utiliserons le lemme suivant:

Comme x n’est pas entier sur A, il n’est pas nilpotent et on a donc $B_x \neq 0$; en outre, on a $x/1 \notin A[1/x]$, sans quoi on aurait une relation de la forme $x/1 = a_0/1 + a_1/x + \cdots + a_n/x^n$ pour un $n \geqslant 0$ (avec $a_i \in A$ pour $0 \leqslant i \leqslant n$), ce qui équivaut à

pour un $h \geqslant 1$ convenable; mais une telle relation entraînerait que x est entier sur A, contrairement à l’hypothèse. L’existence d’un idéal maximal de $A[1/x]$ contenant $1/x$ résulte donc de ce que $1/x$ n’est pas inversible dans $A[1/x]$ (Alg., chap. I, § 8, no 7, th. 2).

Soit alors $\mathfrak{M}$ un idéal maximal de $A[1/x]$ contenant $1/x$; soient $\varphi : A \to A[1/x]$, $p : A[1/x] \to A[1/x]/\mathfrak{M}$ les homomorphismes canoniques; on a $p(A[1/x]) = p(\varphi(A))[p(1/x)] = p(\varphi(A))$ puisque $p(1/x) = 0$; cela prouve que $p(\varphi(A))$ est un corps, donc l’image réciproque $\overline{\varphi}^{-1}(\mathfrak{M})$ est un idéal maximal de A.

Appliquons ce lemme pour $A = V$ et $B = K$; il y a donc un idéal maximal $\mathfrak{M}$ de $V[x^{-1}]$ contenant $x^{-1}$, et $\mathfrak{M} \cap V$ est un idéal maximal de $V$; on a $\mathfrak{M} \cap V = \mathfrak{p}$ puisque $V$ est local; notant $f$ l’homomorphisme canonique de $V[x^{-1}]$ sur $V[x^{-1}]/\mathfrak{M}$, on a $f(x^{-1}) = 0$, d’où $V/\mathfrak{p} = f(V) = f(V[x^{-1}])$; comme $h$ définit par passage au quotient un homomorphisme injectif $\bar{h}$ de $V/\mathfrak{p}$ dans $L$, $\bar{h} \circ f$ est un homomorphisme de $V[x^{-1}]$ dans $L$ prolongeant $h$. Donc c) est satisfaite.

Supposons maintenant c) satisfaite. Il est clair que $K$ est le corps des fractions de $V$. Soient $a$ et $b$ des éléments de $V$ tels que $Va \not\subset Vb$; montrons que $Vb \subset Va$. C’est vrai si $b = 0$; sinon la relation $a \notin Vb$ entraîne $b^{-1}a \notin V$, d’où, en vertu de c), $a^{-1}b \in V$, et par suite $Vb \subset Va$. Donc d) est satisfaite.

Supposons d) satisfaite. Soient $a$ et $b$ des idéaux de $V$ tels que $a \not\subset b$. Il existe $a \in a$ tel que $a \notin b$. Pour tout $b \in b$ on a $a \notin Vb$, d’où $Va \not\subset Vb$, et par suite $Vb \subset Va \subset a$ (d’après c)), et $b \in a$. On a donc $b \subset a$, ce qui montre que la condition e) est satisfaite.

Supposons enfin e) satisfaite. Comme $V$ possède un idéal maximal, il n’en possède qu’un seul, et est donc un anneau local. Soit $V'$ un sous-anneau local de $K$ dominant $V$, et soit $x$ un élément non nul de $V'$; posons $x = ab^{-1}$ avec $a \in V, \ b \in V$. L’un des idéaux $Va, \ Vb$ est contenu dans l’autre. Si $Va \subset Vb$, on a $x \in V$. Si $Vb \subset Va$, on a $x^{-1} \in V$; comme l’idéal $V'm(V)$ ne contient pas 1 (no 1, prop. 1), on a $x^{-1} \notin m(V)$, d’où de nouveau $x \in V$ puisque $V$ est local. Tout élément de $V'$ appartient donc à $V$; on en conclut que a) est satisfaite.

Soit $\mathscr{H}$ l’ensemble des homomorphismes de sous-anneaux de $K$ dans $L$, ordonné par la relation de prolongement. Cet ensemble est inductif; en effet, si $(h_\alpha)_{\alpha \in I}$ est une famille totalement ordonnée non vide d’éléments de $\mathfrak{H}$, et si $B_\alpha$ est l’anneau de définition de $h_\alpha$, les $B_\alpha$ forment une famille totalement ordonnée de sous-anneaux de $K$, et leur réunion $B$ est donc un sous-anneau de $K$; il existe donc une application $\bar{h}$ et une seule de $B$ dans $L$ qui prolonge les $h_\alpha$ (Ens., chap. II, , n° 6, prop. 7) et l’on voit aussitôt que $\bar{h}$ est un homomorphisme de $B$ dans $L$. Le théorème de Zorn montre donc qu’il existe un élément maximal $h'$ de $\mathfrak{H}$ qui prolonge $h$. L’anneau de définition $V$ de $h'$ est un anneau de valuation pour $K$ (th. 1); si $\mathfrak{p}$ est le noyau de $h'$, $h'$ se prolonge en un homomorphisme de $V_{\mathfrak{p}}$ dans $L$ (Chap. II, § 2, n° 1, prop. 1), d’où $V_{\mathfrak{p}} = V$ et $\mathfrak{p} = m(V)$

On applique le th. 2 à l’homomorphisme canonique $h$ de $A$ dans une clôture algébrique $L$ de $A/m(A)$.

Soient $x$ un élément de $A'$, et $V$ un anneau de valuation pour $K$ contenant $A$; comme $x$ est entier sur $V$, il existe un idéal premier $\mathfrak{p}'$ de $V[x]$ tel que $\mathfrak{p}' \cap V = m(V)$ (Chap. V, § 2, n° 1, th. 1); il est clair qu’alors l’anneau local $(V[x])_{\mathfrak{p}'}$ domine $V$, donc lui est égal; d’où $x \in V$. Inversement soit $y$ un élément de $K$ qui ne soit pas entier sur $A$; il existe alors un idéal maximal $\mathfrak{M}$ de $A[y^{-1}]$ qui contient $y^{-1}$ (n° 2, lemme 1); il existe aussi un anneau de valuation $V$ pour $K$ qui domine $(A[y^{-1}])_{\mathfrak{M}}$ (n° 2, cor. du th. 2); comme $y^{-1} \in m(V)$, on a $y \notin V$. De plus $\mathfrak{M} \cap A$ est un idéal maximal de $A$ (n° 2, lemme 1); donc, si $A$ est local, on a $\mathfrak{M} \cap A = m(A)$, et $V$ domine $A$. C.Q.F.D.

Dans le cas d’un anneau noethérien, le cor. 2 peut être précisé (chap. VII, , no 3, cor. du th. 1)

En effet le th. 1, c) montre que, si V’ est un anneau de valuation pour K’, V’ ∩ K est un anneau de valuation pour K, et V’ domine V’ ∩ K. Pour que V’ domine A, il est nécessaire et suffisant que V’ ∩ K domine A, donc lui soit égal.

Filtrons en effet A par les Ap^n, et notons $v$ la fonction d’ordre correspondante (chap. III, § 2, no 2). Comme

la relation $v(x) = + \infty$ implique $x = 0$. Soient $a$ un idéal $\neq (0)$ de A, et $a$ un élément de $a$ pour lequel $v$ prenne sa plus petite valeur; posons $v(a) = s$ ($s \neq + \infty$). On a $a \subset Ap^s$. En particulier, il existe $u \in A$ tel que $a = up^s$; comme $a \notin Ap^{s+1}$, on a $u \notin Ap$; donc $u$ est inversible et l’on a $p^s \in Aa \subset a$. Il en résulte que $a = Ap^s$, d’où notre première assertion. On voit aussi que tout élément $a \neq 0$ de A s’écrit sous la forme $a = up^{v(a)}$ avec $u$ inversible. Si $a' = u'p^{v(a')}$ ($u'$ inversible) est un autre élément non nul de A, on a $aa' = uu'p^{v(a)+v(a')}$; donc, si $p$ n’est pas nilpotent, on a $aa' \neq 0$, et $A$ est intègre. Alors, comme l’ensemble des idéaux de $A$ est totalement ordonné par inclusion, on en conclut que $A$ est un anneau de valuation (th. 1, e)).

C.Q.F.D.

Par exemple, si $p$ est un nombre premier, l’anneau local $\mathbf{Z}_{(p)}$ est un anneau de valuation. Soit $B = K[X_1, \ldots, X_n]$ l’anneau des polynômes en $n$ lettres sur un corps $K$; l’idéal $BX_1$ est premier, puisque $B/BX_1$ est isomorphe à $K[X_2, \ldots, X_n]$; donc $B_{BX_1}$ est un anneau de valuation; il se compose des fractions rationnelles $PQ^{-1}$, où $P$ et $Q$ sont des polynômes et où $Q(0, X_2, \ldots, X_n) \neq 0$.

\* Plus généralement, on verra que, si $F$ est un élément extrémal de $B = K[X_1, \ldots, X_n]$, $B_{BF}$ est un anneau de valuation (cf. Chap. VII, § 3, no 5).*

L’anneau de séries formelles $K[[T]]$ en une indéterminée sur un corps $K$ est un anneau local intègre et noethérien dont l’idéal maximal est principal; c’est donc un anneau de valuation. Par contre l’anneau $K[[T_1, T_2]]$ des séries formelles en deux indéterminées, qui est un anneau local intègre et noethérien, n’est pas un anneau de valuation, car aucun des éléments $T_1, T_2$ n’y est multiple de l’autre.

Il est clair que $A_{Ap}$ ($p$ extrémal) est un anneau de valuation contenant $A$ et distinct de $K$ (prop. 2). Inversement, soit $V$ un anneau de valuation distinct de $K$ et contenant $A$. Comme $V \neq K$, $m(V)$ contient un élément $x \neq 0$; écrivant $x = a/b$ avec $a \in A$ et $b \in A$ on voit que $A \cap m(V)$ contient l’élément non nul $a$. Comme $A \cap m(V)$ est premier, il est de la forme $Ap$ avec $p$ extrémal dans $A$. On a alors $A_{Ap} \subset V$, $pA_{Ap} \subset m(V)$, de sorte que $V$ domine $A_{Ap}$; comme $A_{Ap}$ est un anneau de valuation pour $K$ (prop. 2), on a $V = A_{Ap}$.

En effet tout sous-anneau de $\mathbf{Q}$ contient $\mathbf{Z}$.

Si $X \in V$, on a $K[X] \subset V$, et l’assertion faite résulte de la prop. 3. Si $X \notin V$, on a $X^{-1} \in V$, d’où $K[X^{-1}] \subset V$; alors $V$ est l’anneau local de $K[X^{-1}]$ en un idéal premier $\mathfrak{p}$ (prop. 3), et cet idéal contient $X^{-1}$ puisque $X^{-1}$ n’est pas inversible dans $V$; on a donc $\mathfrak{p} = X^{-1}K[X^{-1}]$ puisque ce dernier idéal est maximal. Enfin considérons une fraction rationnelle $A(X)/B(X)$, où $A$ et $B$ sont des polynômes, de degrés respectifs $a$ et $b$; on a $A(X) = X^a A'(X^{-1})$ et $B(X) = X^b B'(X^{-1})$, où $A'$ et $B'$ sont des polynômes tels que $A'(0) \neq 0$ et $B'(0) \neq 0$; donc, pour que $A(X)/B(X)$ appartienne à l’anneau local de $K[X^{-1}]$ en $X^{-1}K[X^{-1}]$, il faut et il suffit qu’on ait $a \leq b$.