(i) L’image par $f$ d’une partie stable de $E$ est une partie stable de $F$. (ii) L’image réciproque par $f$ d’une partie stable de $F$ est une partie stable de $E$. (iii) Soit $X$ une partie de $E$. L’image par $f$ de la partie stable de $E$ engendrée par $X$ est la partie stable de $F$ engendrée par $f(X)$. (iv) Si $g$ est un second homomorphisme de $E$ dans $F$, l’ensemble des éléments $x$ de $E$ tels que $f(x) = g(x)$ est une partie stable de $E$.

Les assertions (i), (ii) et (iv) sont évidentes; démontrons (iii). Soient $\overline{X}$ la partie stable de $E$ engendrée par $X$ et $\overline{f(X)}$ la partie stable de $F$ engendrée par $f(X)$. D’après (i), on a $\overline{f(X)} \subset f(\overline{X})$, et d’après (ii), on a $\overline{X} \subset f^{-1}(\overline{f(X)})$, d’où $f(\overline{X}) \subset \overline{f(X)}$.

Il est immédiat, par récurrence sur n, que le composé d’une séquence de n termes appartenant à X appartient à la partie stable engendrée par X ; il suffit donc de voir que X' est stable. Or, si u et v sont deux éléments de X', ils sont de la forme $u = x_0 \top x_1 \top \cdots \top x_{n-1}$, $v = x_n \top x_{n+1} \top \cdots \top x_{n+p}$ avec $x_i \in X$ pour $0 \leqslant i \leqslant n + p$; donc (I, p. 4, th. 1) $u \top v = x_0 \top x_1 \top \cdots \top x_{n+p}$ appartient à X'.

En effet, on a

Soient X' et X'' le commutant et le bicommuntant de X. Ce sont des parties stables de E. On a X ⊂ X'' et Y ⊂ X', donc X'' (resp. X') contient la partie stable de E engendrée par X (resp. Y). Comme tout élément de X'' commute avec tout élément de X', la proposition en résulte.

Théorème 2 (théorème de commutativité). — Soit $\top$ une loi de composition associative sur E; soit $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille finie non vide d’éléments de E, deux à deux permutables; soient B et C deux ensembles totalement ordonnés ayant A pour ensemble sous-jacent. Alors $\prod_{\alpha \in B} x_\alpha = \prod_{\alpha \in C} x_\alpha$

Le théorème étant vrai si A a un seul élément β, raisonnons par récurrence sur le nombre p d’éléments de A. Soit p un entier > 1, supposons le théorème vrai lorsque Card A < p et démontrons-le pour Card A = p. On peut supposer que A est l’intervalle $\{0, p - 1\}$ de $\mathbf{N}$; le composé de la séquence $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ définie par a relation d’ordre naturelle sur A est $\prod_{i=0}^{p-1} x_i$.

Ordonnons totalement $A$ d’une autre manière, et soient $h$ le plus petit élément de $A$ pour cet ordre, $A'$ l’ensemble des autres éléments de $A$ (totalement ordonné par l’ordre induit). Supposons d’abord $0 < h < p - 1$, et posons $P = \{0, 1, \ldots, h-1\}$, et $Q = \{h+1, \ldots, p-1\}$; le théorème étant supposé vrai pour $A'$, on a, en appliquant de plus le théorème d’associativité (puisque $A' = P \cup Q$)

d’où, en composant $x_h$ avec les deux membres, et par application répétée de la commutativité et de l’associativité de $\top$:

ce qui démontre le théorème dans ce cas. Si $h = 0$ ou $h = p - 1$, on trouve le même résultat mais d’une manière plus simple, les termes relatifs à $P$ ou bien les termes relatifs à $Q$ n’apparaissant pas dans les formules.

Pour une loi associative et commutative sur un ensemble $E$, le composé d’une famille finie $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ d’éléments de $E$ est par définition la valeur commune des composés de toutes les séquences obtenues en ordonnant totalement $A$ de toutes les manières possibles. Ce composé se note encore $\prod_{\alpha \in A} x_\alpha$ pour une loi notée $\top$; de même pour les autres notations.

En effet, cela résulte du th. 2 (I, p. 8) en ordonnant totalement $A$ et $I$ de façon que les $B_i$ vérifient les conditions du th. 1 (I, p. 4).

Signalons deux cas particuliers importants de ce théorème:

1) Si $(x_{\alpha \beta})_{(\alpha, \beta) \in A \times B}$ est une famille finie d’éléments permutables d’un magma associatif dont l’ensemble d’indices est le produit de deux ensembles finis non vides $A, B$ (« famille double »), on a

comme il résulte du th. 3 en considérant $A \times B$ comme réunion des ensembles $\{\alpha\} \times B$ d’une part, des ensembles $A \times \{\beta\}$ de l’autre.

Par exemple, si B a n éléments, et si, pour chaque $\alpha \in A$, tous les $x_{\alpha \beta}$ ont une même valeur $x_\alpha$, on a

(8)

Si B a deux éléments, on obtient le résultat suivant: soient $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$, $(y_\alpha)_{\alpha \in A}$ deux familles non vides d’éléments de E. Si les $x_\alpha$ et les $y_\beta$ sont deux à deux permutables, on a

(9)

En raison de la formule (7), le composé d’une suite double $(x_{ij})$, dont l’ensemble d’indices est le produit de deux intervalles $[p, q]$ et $[r, s]$ de $\mathbf{N}$, se note souvent, pour une loi associative et commutative écrite additivement

2) Soit $n$ un entier $> 0$ et soit A l’ensemble des couples d’entiers $(i, j)$ tels que $0 \leq i \leq n, 0 \leq j \leq n$ et $i < j$; le composé d’une famille $(x_{ij})_{(i, j) \in A}$ (pour une loi associative et commutative), se notera encore $\prod_{0 \leq i < j \leq n} x_{ij}$ (ou simplement $\prod_{i < j} x_{ij}$ si aucune confusion n’en résulte); le th. 3 donne ici les formules

(10)

On a des formules analogues à (7) pour une famille dont l’ensemble d’indices est le produit de plus de deux ensembles, des formules analogues à (10) pour une famille dont l’ensemble d’indices est l’ensemble $S_p$ des suites strictement croissantes $(i_k)_{1 \leq k \leq p}$ de $p$ entiers tels que $0 \leq i_k \leq n$ ($p \leq n + 1$): dans ce dernier cas, le composé de la famille $(x_{i_1 i_2 \ldots i_p})_{(i_1, \ldots, i_p) \in S_p}$ se note

En effet, quels que soient les éléments $x$ et $y$ de E, on a:

Notons ⊔ la loi de E. Si x et y sont deux éléments de B, il existe deux éléments x' et y' de A tels que x ≡ x' (mod R) et y ≡ y' (mod R); on a alors x ⊔ y ≡ x' ⊔ y' (mod R) et x' ⊔ y' ∈ A, d’où x ⊔ y ∈ B. Ainsi B est une partie stable de E, et les autres assertions sont évidentes.

Soient $M$ un magma, et $((u_\alpha, v_\alpha))_{\alpha \in I}$ une famille d’éléments de $M \times M$. Considérons toutes les relations d’équivalence $S$ dans $M$ qui sont compatibles avec la loi de $M$, et telles que $u_\alpha \equiv v_\alpha$ (mod. $S$) pour tout $\alpha \in I$. L’intersection des graphes de ces relations est le graphe d’une relation d’équivalence $R$, qui est compatible avec la loi de $M$, et telle que $u_\alpha \equiv v_\alpha$ (mod $R$). Donc $R$ est la plus fine (E, III, p. 4 et p. 8) des relations d’équivalence possédant ces deux propriétés. On l’appelle la relation d’équivalence compatible avec la loi de $M$ engendrée par les $(u_\alpha, v_\alpha)$.

Soit $T$ la relation d’équivalence associée à $f$. On a $u_\alpha \equiv v_\alpha$ (mod $T$) pour tout $\alpha \in I$, et $T$ est compatible avec la loi de $M$, donc $T$ est moins fine que $R$; cela prouve la proposition.