§ 2. Élément neutre; éléments simplifiables; éléments inversibles

1. Élément neutre

Il existe au plus un élément neutre pour une loi donnée $\top$, car si $e$ et $e'$ sont éléments neutres, on a $e = e \top e' = e'$. Un élément neutre est permutable avec tout élément : c’est un élément central.

Si $E, E'$ sont des monoïdes, on appelle homomorphisme de monoïdes ou morphisme de monoïdes de $E$ dans $E'$ un morphisme unifère de $E$ dans $E'$.

Si $(x_\alpha)_{\alpha \in \varnothing}$ est la famille vide d’éléments de E, son composé e se note encore $\prod_{\alpha \in \varnothing} x_\alpha$. Par exemple, on écrit

lorsque $p < q$ ($p, q \in \mathbf{N}$). On pose de même $^0 \mathbin{\top} x = e$ quel que soit x. Avec ces définitions, les théorèmes 1 (I, p. 4) et 3 (I, p. 9) du § 1 restent vrais dans un magma unifère, si on y supprime l’hypothèse que les ensembles A et B_i sont non vides. De même, les formules $^{m+n} \mathbin{\top} x = (^m \mathbin{\top} x) \mathbin{\top} (^n \mathbin{\top} x)$ et $^{mn} \mathbin{\top} x = ^m \mathbin{\top} (^n \mathbin{\top} x)$ sont vraies alors pour $m \geq 0, n \geq 0$.

Soient E un magma unifère dont la loi est notée $\mathbin{\top}$ et e son élément neutre. On appelle support d’une famille $(x_i)_{i \in I}$ d’éléments de E l’ensemble des indices i ∈ I tels que $x_i \neq e$. Soit $(x_i)_{i \in I}$ une famille à support fini d’éléments de E. Nous allons définir le composé $\prod_{i \in I} x_i$ dans les deux cas suivants:

a) l’ensemble I est totalement ordonné; b) E est associatif et les $x_i$ sont permutables deux à deux.

Dans ces deux cas, soit S le support de la famille $(x_i)$. Si J est une partie finie de I contenant S, on a $\prod_{i \in J} x_i = \prod_{i \in S} x_i$, comme on le voit par récurrence sur le nombre d’éléments de J, en appliquant le th. 1 (I, p. 4) dans le cas a) et le th. 3 (I, p. 9) dans le cas b). On note $\prod_{i \in I} x_i$ la valeur commune des composés $\prod_{i \in J} x_i$ pour toutes les parties finies de I contenant S. Lorsque I est l’intervalle $[p, \rightarrow)$ de $\mathbf{N}$, on écrit aussi $\prod_{i = p}^{\infty} x_i$.

Avec ces définitions et notations, les théorèmes 1 (I, p. 4) et 3 (I, p. 9) du § 1 et les remarques qui suivent le th. 3 (I, p. 9 et p. 10) s’étendent aux familles à support fini.

L’élément neutre, pour une loi notée additivement, se note souvent 0 et s’appelle zéro ou élément nul (ou parfois origine). Pour une loi notée multiplicativement, il se note souvent 1 et s’appelle élément unité (ou unité).

2. Eléments simplifiables

Par passage à la loi opposée, les translations à gauche deviennent translations à droite et réciproquement.

On note éventuellement $\gamma_a$, $\delta_a$ (ou $\gamma(a)$, $\delta(a)$) les translations à gauche et à droite par $a \in E$; on a

Autrement dit, pour que $a$ soit simplifiable pour la loi $\tau$, il faut et il suffit que chacune des relations $a \tau x = a \tau y, x \tau a = y \tau a$, entraîne $x = y$ (on dit qu’on peut « simplifier par $a$ » ces égalités). S’il existe un élément neutre $e$ pour la loi $\tau$, il est simplifiable pour cette loi : les translations $\gamma_e$ et $\delta_e$ sont alors l’application identique de $E$ sur lui-même.

3. Eléments inversibles

On dit qu’un élément $x$ de $E$ est inversible à gauche (resp. inversible à droite, resp. inversible) s’il possède un inverse à gauche (resp. inverse à droite, resp. inverse).

Un monoïde dont tous les éléments sont inversibles s’appelle un groupe.

On dit parfois symétrique et symétrisable au lieu d’inverse et inversible. Lorsque la loi de $E$ est notée additivement, on dit généralement opposé au lieu d’inverse.

4. Monoïde des fractions d’un monoïde commutatif

Dans ce n°, on notera e l’élément neutre d’un monoïde E, et $x^*$ l’inverse d’un élément inversible x de E.

Soient E un monoïde commutatif, S une partie de E et S' le sous-monoïde de E engendré par S.

Pour $a \in E$ et $b \in S'$, la classe de $(a, p)$ modulo R se note en général $a/p$ et

¹ On dit aussi monoïde des différences si la loi de E est notée additivement.

s’appelle la fraction de numératuer $a$ et dénominateur $p$. On a donc par définition $(a/p).(a'/p') = aa'/pp'$. Les fractions $a/p$ et $a'/p'$ sont égales si et seulement s’il existe $s$ dans $S'$ avec $spa' = sp'a$; s’il en est ainsi, il existe $\sigma$ et $\sigma'$ dans $S'$ avec $a\sigma = a'\sigma'$ et $p\sigma = p'\sigma'$. En particulier, on a $a/p = sa/sp$ pour $a \in A$ et $s, p$ dans $S'$. L’élément neutre de $E_S$ est la fraction $e/e$.

On posera $a/e = \varepsilon(a)$ pour tout $a \in E$. Ce qui précède montre que $\varepsilon$ est un homomorphisme de $E$ dans $E_S$, dit canonique. Pour tout $p \in S'$, on a $(p/e).(e/p) = e/e$, donc $e/p$ est inverse de $\varepsilon(p) = p/e$; tout élément de $\varepsilon(S')$ est donc inversible. On a $a/p = (\varepsilon(a)(e/p))$, d’où

pour $a \in A$ et $p \in S$; le monoïde $E_S$ est donc engendré par $\varepsilon(E) \cup \varepsilon(S)^*$.

5. Applications : I. Entiers rationnels

Considérons le monoïde commutatif $\mathbf{N}$ des entiers naturels, la loi de composition étant l’addition ; tous les éléments de $\mathbf{N}$ sont simplifiables pour cette loi (E, III, p. 37, cor. 3). Le groupe des différences de $\mathbf{N}$ se note $\mathbf{Z}$; ses éléments sont appelés les entiers rationnels ; sa loi s’appelle addition des entiers rationnels et se note encore $+$ . L’homomorphisme canonique de $\mathbf{N}$ dans $\mathbf{Z}$ est injectif, et nous identifierons chaque élément de $\mathbf{N}$ à son image dans $\mathbf{Z}$. Les éléments de $\mathbf{Z}$ sont, par définition, les classes d’équivalence déterminées dans $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ par la relation $m_1 + n_2 = m_2 + n_1$ entre $(m_1, n_1)$ et $(m_2, n_2)$; un élément $m$ de $\mathbf{N}$ est identifié avec la classe formée des éléments $(m + n, n)$ où $n \in \mathbf{N}$; il admet pour opposé dans $\mathbf{Z}$ la classe des éléments $(n, m + n)$. Tout élément $(p, q)$ de $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ peut s’écrire sous la forme $(m + n, n)$ si $p \geq q$, sous la forme $(n, m + n)$ si $p \leq q$; il s’ensuit que $\mathbf{Z}$ est la réunion de $\mathbf{N}$ et de l’ensemble des opposés des éléments de $\mathbf{N}$. L’élément neutre 0 est le seul élément de $\mathbf{N}$ dont l’opposé appartienne à $\mathbf{N}$.

Pour tout entier naturel $m$, on note $-m$ l’entier rationnel opposé de $m$, et on note $-\mathbf{N}$ l’ensemble des éléments $-m$ pour $m \in \mathbf{N}$. On a

Pour $m \in \mathbf{N}$, on a $m = -m$ si et seulement si $m = 0$.

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels ; a) si $m \geq n$, on a $m + (-n) = p$, où $p$ est l’élément de $\mathbf{N}$ tel que $m = n + p$; b) si $m \leq n$, on a $m + (-n) = -p$, où $p$ est l’élément de $\mathbf{N}$ tel que $m + p = n$; c) on a $(-m) + (-n) = -(m + n)$.

Les propriétés b) et c) résultent de I, p. 16, prop. 4; comme $\mathbf{Z} = \mathbf{N} \cup (-\mathbf{N})$, l’addition de $\mathbf{N}$ et les propriétés a), b) et c) caractérisent entièrement l’addition de $\mathbf{Z}$.

Plus généralement on désigne par $-x$ l’opposé d’un entier rationnel quelconque $x$; le composé $x + (-y)$ se note, de façon abrégée, $x - y$ (cf. I, p. 23).

La relation d’ordre $\leq$ entre entiers naturels est caractérisée par la propriété suivante : on a $m \leq n$ si et seulement s’il existe un entier $p \in \mathbf{N}$ tel que $m + p = n$ (E, III, p. 29, prop. 13 et p. 36, prop. 2). La relation $y - x \in \mathbf{N}$ entre entiers rationnels $x$ et $y$ est une relation d’ordre total sur $\mathbf{Z}$, qui prolonge la relation d’ordre $\leq$ sur $\mathbf{N}$. En effet, pour tout $x \in \mathbf{Z}$, on a $x - x = 0 \in \mathbf{N}$; si $y - x \in \mathbf{N}$ et $z - y \in \mathbf{N}$, on a $z - x = (z - y) + (y - x) \in \mathbf{N}$ car $\mathbf{N}$ est stable pour l’addition; si $y - x \in \mathbf{N}$ et $x - y \in \mathbf{N}$, on a $y - x = 0$, car 0 est le seul élément de $\mathbf{N}$ dont l’opposé appartienne à $\mathbf{N}$; quels que soient les entiers rationnels $x$ et $y$, on a $y - x \in \mathbf{N}$ ou $x - y \in \mathbf{N}$, car $\mathbf{Z} = \mathbf{N} \cup (-\mathbf{N})$; enfin si $x$ et $y$ sont des entiers naturels, on a $y - x \in \mathbf{N}$ si et seulement s’il existe $p \in \mathbf{N}$ tel que $x + p = y$. Cette relation d’ordre est encore notée $\leq$.

Lorsqu’on considérera désormais $\mathbf{Z}$ comme un ensemble ordonné, il s’agira toujours, sauf mention expresse du contraire, de l’ordre qui vient d’être défini; les entiers naturels sont identifiés aux entiers $\geq 0$: on les appelle encore entiers positifs; les entiers $\leq 0$, opposés des entiers positifs, sont dits entiers négatifs; les entiers $> 0$ (resp. $< 0$) sont dits strictement positifs (resp. strictement négatifs); l’ensemble des entiers $> 0$ se note parfois $\mathbf{N}^*$.

Soient $x$, $y$ et $z$ trois entiers rationnels; on a $x \leq y$ si et seulement si $x + z \leq y + z$. En effet $x - y = (x + z) - (y + z)$. On exprime cette propriété en disant que la relation d’ordre de $\mathbf{Z}$ est invariante par translation.

6. Applications: II. Multiplication des entiers rationnels

7. Applications: III. Puissances généralisées

Soit E un monoïde, d’élément neutre $e$, de loi de composition notée $\top$. Si $x$ est inversible dans E, soit $g_x$ l’homomorphisme de $\mathbf{Z}$ dans E appliquant 1 sur $x$. On pose $g_x(n) = \frac{n}{\top} x$ pour tout $n \in \mathbf{Z}$; d’après le lemme 2 (I, p. 21), cette notation est compatible pour $n \in \mathbf{N}$ avec la notation introduite antérieurement. On a

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