§ 3. Actions

1. Actions

Définition 1

Soient $\Omega$ et $E$ deux ensembles. On appelle action de $\Omega$ sur $E$ une application de $\Omega$ dans l’ensemble $E^E$ des applications de $E$ dans lui-même.

Soit $\alpha \mapsto f_\alpha$ une action de $\Omega$ sur E. On dit que l’application $(\alpha, x) \mapsto f_\alpha(x)$ (resp. $(x, \alpha) \mapsto f_\alpha(x)$ ) est la loi d’action à gauche (resp. à droite) de $\Omega$ sur E associée à l’action donnée $^1$ de $\Omega$ sur E. Etant donnée une application g de $\Omega \times E$ (resp. $E \times \Omega$ ) dans E, il existe une action $\alpha \mapsto f_\alpha$ de $\Omega$ dans E et une seule telle que la loi d’action à gauche (resp. à droite) associée soit g (E, II, p. 31, prop. 3).

Dans ce chapitre, nous dirons pour abréger « loi d’action » au lieu de « loi d’action à gauche ». L’élément $f_\alpha(x)$ de E (pour $\alpha \in \Omega$ et $x \in E$ ), est parfois appelé le transformé de x par $\alpha$ ou le composé de $\alpha$ et de x. Pour le désigner, on emploie souvent la notation multiplicative à gauche $\alpha.x$ (resp. à droite $x.\alpha$ ), le point pouvant être omis; le composé de $\alpha$ et de $x$ s’appelle alors le produit de $\alpha$ et de $x$ (resp. de $x$ et de $\alpha$ ). On emploie aussi la notation exponentielle $x^\alpha$ . Dans les raisonnements des paragraphes suivants, nous utiliserons ordinairement la notation $\alpha \perp x$ . Les éléments de $\Omega$ sont souvent appelés opérateurs.

Exemple 1

Soit E un magma associatif, noté multiplicativement. L’application qui, à un entier n strictement positif, fait correspondre l’application $x \mapsto x^n$ de E dans lui-même, est une action de $\mathbf{N}^*$ sur E. Si E est un groupe, l’application qui, à un entier rationnel a, fait correspondre l’application $x \mapsto x^a$ de E dans E, est une action de $\mathbf{Z}$ sur E.

Exemple 2

Soit E un magma, de loi notée $\top$ . L’application qui, à un élément $x \in E$ , fait correspondre l’application $A \mapsto x \top A$ de l’ensemble des parties de E dans lui-même, est une action de E sur $\mathscr{P}(E)$ .

Exemple 3

Soit E un ensemble. L’application identique de $E^E$ est une action de $E^E$ sur E, dite action canonique. La loi d’action correspondante est l’application $(f, x) \mapsto f(x)$ de $E^E \times E$ dans E.

Exemple 4

Soit $(\Omega_i)_{i \in I}$ une famille d’ensembles. Pour tout $i \in I$ , soit $f_i : \Omega_i \to E^E$ une action de $\Omega_i$ sur E. Soit $\Omega$ la somme des $\Omega_i$ (E, II, p. 30). L’application f de $\Omega$ dans $E^E$ prolongeant les $f_i$ est une action de $\Omega$ sur E. Ceci permet de ramener la considération de familles d’actions à celle d’une seule action.

Exemple 5

Etant données une action de $\Omega$ sur E de loi notée $\perp$ , une partie $\Xi$ de $\Omega$ et une partie X de E, on désigne par $\Xi \perp X$ l’ensemble des $\alpha \perp x$ pour $\alpha \in \Xi$ et $x \in X$ ; lorsque $\Xi$ est réduite à un élément $\alpha$ , on écrit généralement $\alpha \perp X$ au lieu de $\{\alpha\} \perp X$ . L’application qui, à $\alpha \in \Omega$ , fait correspondre l’application $X \mapsto \alpha \perp X$ est une action de $\Omega$ sur $\mathscr{P}(E)$ , dite déduite de l’action donnée par extension à l’ensemble des parties.

Exemple 6

Soit $\alpha \mapsto f_\alpha$ une action de $\Omega$ sur E. Soit g une application de $\Omega'$ dans $\Omega$ . Alors l’application $\beta \mapsto f_{g(\beta)}$ est une action de $\Omega'$ sur E.

Exemple 7

Soit $f : E \times E \to E$ une loi de composition sur un ensemble E. L’application $\gamma : x \mapsto \gamma_x$ (resp. $\delta : x \mapsto \delta_x$ ) (I, p. 14) qui, à un élément $x \in E$ fait correspondre la translation à gauche (resp. à droite) par $x$ , est une action de E sur lui-même; on l’appelle l’action à gauche (resp. à droite) de E sur lui-même déduite de la loi donnée. Lorsque $f$ est commutative, ces deux actions coïncident.

La loi d’action à gauche (resp. à droite) associée à $\gamma$ est $f$ (resp. la loi opposée à $f$ ). La loi d’action à droite (resp. à gauche) associée à $\delta$ est $f$ (resp. la loi opposée à $f$ ).

Soient $\Omega, E, F$ des ensembles, $\alpha \mapsto f_\alpha$ une action de $\Omega$ sur E, $\alpha \mapsto g_\alpha$ une action de $\Omega$ sur F. On appelle $\Omega$ -morphismisme de E dans F, ou application de E dans F compatible avec les actions de $\Omega$ , une application h de E dans F telle que

g_\alpha(h(x)) = h(f_\alpha(x))

1 Ou parfois la loi de composition externe sur E ayant $\Omega$ comme ensemble d’opérateurs.

quels que soient $\alpha \in \Omega$ et $x \in E$ . Le composé de deux $\Omega$ -morphismes est un $\Omega$ -morphisme.

Soient $\Omega, \Xi, E, F$ des ensembles, $\alpha \mapsto f_\alpha$ une action de $\Omega$ dans $E$ , $\beta \mapsto g_\beta$ une action de $\Xi$ dans $F$ , $\varphi$ une application de $\Omega$ dans $\Omega'$ . On appelle $\varphi$ -morphism de $E$ dans $F$ une application $h$ de $E$ dans $F$ telle que

g_{\varphi(\alpha)}(h(x)) = h(f_\alpha(x))

quels que soient $\alpha \in \Omega$ et $x \in E$ .

2. Parties stables pour une action. Action induite

Définition 2

Une partie A d’un ensemble E est dite stable pour une action $\alpha \mapsto f_\alpha$ de $\Omega$ sur E si l’on a $f_\alpha(A) \subset A$ pour tout $\alpha \in \Omega$ . Un élément x de E est dit invariant par un élément $\alpha$ de $\Omega$ si $f_\alpha(x) = x$ .

L’intersection d’une famille de parties stables de E pour une action donnée est stable. Il existe donc une plus petite partie stable de E contenant une partie X donnée; elle est dite engendrée par X; elle se compose des éléments $(f_{\alpha_1} \circ f_{\alpha_2} \circ \cdots \circ f_{\alpha_n})(x)$ , où $x \in X, n \geqslant 0, \alpha_i \in \Omega$ pour tout i.

Remarque

Soit E un magma, de loi notée $\tau$ . On prendra garde qu’une partie A de E stable pour l’action à gauche de E sur lui-même n’est pas nécessairement stable pour l’action à droite de E sur lui-même; une partie A de E stable pour l’action à gauche (resp. à droite) de E sur lui-même, est stable pour la loi de E, mais la réciproque est en général inexacte. Plus précisément, A est stable pour la loi de E si et seulement si l’on a $A \tau A \subset A$ , alors que A est stable pour l’action à gauche (resp. à droite) de E sur lui-même si et seulement si l’on a $E \tau A \subset A$ (resp. $A \tau E \subset A$ ).

Exemple

Prenons pour magma E l’ensemble $\mathbf{N}$ muni de la multiplication. L’ensemble $\{1\}$ est stable pour la loi interne de $\mathbf{N}$ , mais la partie stable pour l’action de $\mathbf{N}$ sur lui-même engendrée par $\{1\}$ est $\mathbf{N}$ tout entier.

Définition 3

Soient $\alpha \mapsto f_\alpha$ une action de $\Omega$ sur E, A une partie stable de E. L’application qui, à un élément $\alpha \in \Omega$ , fait correspondre la restriction de $f_\alpha$ à A (considérée comme application de A dans lui-même), est une action de $\Omega$ sur A dite induite par l’action donnée.

3. Action quotient

Définition 4

Soit $\alpha \mapsto f_\alpha$ une action d’un ensemble $\Omega$ sur un ensemble E. On dit qu’une relation d’équivalence R dans E est compatible avec l’action donnée si, quels que soient les éléments x et y de E tels que $x \equiv y \pmod{R}$ et quel que soit $\alpha \in \Omega$ , on a $f_\alpha(x) \equiv f_\alpha(y) \pmod{R}$ . L’application qui, à un élément $\alpha \in \Omega$ , associe l’application de $E/R$ dans lui-même déduite de $f_\alpha$ par passage aux quotients, est une action de $\Omega$ sur $E/R$ , appelée quotient de l’action de $\Omega$ sur E.

Soit E un magma et soit R une relation d’équivalence sur E. On dit que R est compatible à gauche (resp. à droite) avec la loi de E si elle est compatible avec l’action à gauche (resp. à droite) de E sur lui-même déduite de la loi de E. Pour que R soit compatible avec la loi de E, il faut et il suffit qu’elle soit compatible à gauche et à droite avec la loi de E.

Nous laissons au lecteur le soin d’énoncer et de démontrer les analogues des prop. 6, 7 et 8 de I, p. 11.

4. Distributivité

Définition 5

Soient $E_1, \ldots, E_n$ et F des ensembles et u une application de $E_1 \times \ldots \times E_n$ dans F. Soit $i \in \{1, n\}$ . Supposons $E_i$ et F munis de structures de magmas. On dit que u est distributive relativement à la variable d’indice i si l’application partielle

x_i \mapsto u(a_1, \ldots, a_{i-1}, x_i, a_{i+1}, \ldots, a_n)

est un homomorphisme de $E_i$ dans F quels que soient les $a_j$ fixés dans $E_j$ pour $j \neq i$ .

Si l’on note $\top$ les lois internes dans $E_i$ et F, la distributivité de u se traduit par les formules

(1)

u(a_1, \ldots, a_{i-1}, x_i \top x'_i, a_{i+1}, \ldots, a_n) = u(a_1, \ldots, a_{i-1}, x_i, a_{i+1}, \ldots, a_n) \top u(a_1, \ldots, a_{i-1}, x'_i, a_{i+1}, \ldots, a_n)

pour

a_1 \in E_1, \ldots, a_{i-1} \in E_{i-1}, x_i \in E_i, x'_i \in E_i, a_{i+1} \in E_{i+1}, \ldots, a_n \in E_n

Exemple

Soient E un monoïde (resp. un groupe), noté multiplicativement. L’application $(n, x) \mapsto x^n$ de $\mathbf{N} \times E$ (resp. $\mathbf{Z} \times E$ ) dans E est distributive par rapport à la première variable d’après la formule $x^{m+n} = x^m x^n$ (on munit $\mathbf{N}$ de l’addition). Si E est commutatif, cette application est distributive par rapport à la deuxième variable d’après la formule $(xy)^n = x^n y^n$ .

Proposition 1

Soient $E_1, E_2, \ldots, E_n$ et F des monoïdes commutatifs notés additivement et soit u une application de $E_1 \times \ldots \times E_n$ dans F, distributive par rapport à toutes les variables. Pour chaque $i \in \{1, n\}$ , soient $L_i$ un ensemble fini non vide et $(x_{i,\lambda})_{\lambda \in L_i}$ une famille d’éléments de $E_i$ . On pose $y_i = \sum_{\lambda \in L_i} x_{i,\lambda}$ pour $i \in \{1, n\}$ . On a

(2)

u(y_1, \ldots, y_n) = \sum_{\alpha} u(x_{1,\alpha_1}, \ldots, x_{n,\alpha_n})

la somme étant étendue aux suites

\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)

appartenant à

L_1 \times \cdots \times L_n

On raisonne par récurrence sur n, le cas $n = 1$ résultant de la formule (2) de I, p. 4. D’après la même référence, on a

(3)

u(y_1, \ldots, y_{n-1}, y_n) = \sum_{\alpha_n \in L_n} u(y_1, \ldots, y_{n-1}, x_{n,\alpha_n})

car

y_n = \sum_{\alpha_n \in L_n} x_{n,\alpha_n}

et l’application

z \mapsto u(y_1, \ldots, y_{n-1}, z)

E_n

dans F est un homomorphisme de magmas. Par l’hypothèse de récurrence utilisée pour les applications distributives

(z_1, \ldots, z_{n-1}) \mapsto u(z_1, \ldots, z_{n-1}, x_n, \alpha_n)

E_1 \times \cdots \times E_{n-1}

dans

F

, on a

(4)

u(y_1, \ldots, y_{n-1}, x_n, \alpha_n) = \sum_{\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}} u(x_1, \alpha_1, \ldots, x_{n-1}, \alpha_{n-1}, x_n, \alpha_n),

la somme étant étendue aux suites

(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1})

appartenant à

M = L_1 \times \cdots \times L_{n-1}

. Or on a

L_1 \times \cdots \times L_n = M \times L_n

; posant

t_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n} = u(x_1, \alpha_1, \ldots, x_n, \alpha_n)

, on a

(5)

\sum_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n} t_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n} = \sum_{\alpha_n} \left( \sum_{\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}} t_{\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}, \alpha_n} \right)

d’après la formule (7) de I, p. 9. On déduit immédiatement (2) de (3), (4) et (5).

Remarque

Si l’on a $u(a_1, \ldots, a_{i-1}, 0, a_{i+1}, \ldots, a_n) = 0$ pour $i \in \{1, n\}$ et $a_j \in E_j$ ( $j \neq i$ ), alors la formule (2) reste valable pour des familles $(x_i, \lambda)_{\lambda \in L_i}$ à support fini.

Un cas particulier de la déf. 5 est celui où $u$ est la loi d’action associée à une action d’un ensemble $\Omega$ sur un magma $E$ . Si $u$ est distributive par rapport à la seconde variable, on dit encore que l’action de $\Omega$ sur le magma $E$ est distributive. En d’autres termes:

Définition 6

On dit qu’une action* $\alpha \mapsto f_\alpha$ d’un ensemble $\Omega$ sur un magma $E$ est distributive si, pour tout $\alpha \in \Omega$ , l’application $f_\alpha$ est un endomorphisme du magma $E$ .

Si l’on note $\top$ la loi du magma $E$ et $\perp$ la loi d’action associée à l’action de $\Omega$ sur $E$ , la distributivité de celle-ci se traduit donc par la formule

(6)

\alpha \perp (x \top y) = (\alpha \perp x) \top (\alpha \perp y) \quad \text{(pour } \alpha \in \Omega \text{ et } x, y \text{ dans } E\text{)}.

Par abus de langage, on dit encore que loi $\perp$ est distributive (ou distributive à droite) par rapport à la loi $\top$ .

La formule (2) de I, p. 4 montre que l’on a alors, pour toute séquence $(x_\lambda)_{\lambda \in L}$ d’éléments de $E$ et tout $\alpha \in \Omega$

(7)

\alpha \perp \left( \bigwedge_{\lambda \in L} x_\lambda \right) = \bigwedge_{\lambda \in L} (\alpha \perp x_\lambda).

Si une action $\alpha \mapsto f_\alpha$ est distributive et si une relation d’équivalence $R$ dans $E$ est compatible avec la loi de composition de $E$ et l’action $\alpha \mapsto f_\alpha$ , l’action quotient sur $E/R$ est distributive.

Lorsque la loi de $E$ est écrite multiplicativement, on emploie fréquemment la notation exponentielle $x^\alpha$ pour une loi d’action distributive par rapport à cette multiplication, de sorte que la distributivité s’exprime par l’identité $(xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha$ . Si la loi de $E$ est notée additivement, on emploie fréquemment la notation multiplicative à gauche $\alpha . x$ (resp. à droite $x . \alpha$ ) pour une loi d’action distributive par rapport à cette addition, la distributivité s’exprimant par l’identité

\alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y \quad \text{(resp. } (x + y)\alpha = x\alpha + y\alpha\text{)}.

On peut aussi considérer le cas où $\Omega$ est muni d’une loi interne, notée $\top$ , et où la loi d’action est distributive par rapport à la première variable, ce qui signifie que

(8)

(\alpha \top \beta) \perp x = (\alpha \perp x) \top (\beta \perp x)

quels que soient $\alpha, \beta$ dans $\Omega$ et $x \in E$ . On a alors, d’après la formule (2) de I, p. 4

(9)

\left( \prod_{\lambda \in L} \alpha_\lambda \right) \perp x = \prod_{\lambda \in L} (\alpha_\lambda \perp x)

pour toute séquence $(\alpha_\lambda)_{\lambda \in L}$ d’éléments de $\Omega$ et tout $x \in E$ .

5. Distributivité d’une loi interne par rapport à une autre

Définition 7

Soient $\top$ et $\perp$ deux lois internes sur un ensemble $E$ . On dit que la loi $\perp$ est distributive par rapport à la loi $\top$ si l’on a

(10)

x \perp (y \top z) = (x \perp y) \top (x \perp z)

(11)

(x \top y) \perp z = (x \perp z) \top (y \perp z)

pour $x, y, z$ dans $E$ .

On remarquera que (10) et (11) sont équivalentes si la loi $\perp$ est commutative. En général, on notera l’une des lois additivement et l’autre multiplicativement; lorsque la multiplication est distributive par rapport à l’addition, on a:

(12)

x . (y + z) = x . y + x . z

(13)

(x + y) . z = x . z + y . z

Exemple 1

Dans l’ensemble $\mathscr{P}(E)$ des parties d’un ensemble $E$ , chacune des lois internes $\cap$ et $\cup$ est distributive par rapport à elle-même et à l’autre. Cela résulte des formules du type

\begin{align*} A \cap (B \cup C) &= (A \cap B) \cup (A \cap C) \\ A \cup (B \cap C) &= (A \cup B) \cap (A \cup C). \end{align*}

Exemple 2

Dans $\mathbf{Z}$ (et plus généralement, dans tout ensemble totalement ordonné) chacune des lois sup et inf est distributive par rapport à l’autre et par rapport à elle-même.

Exemple 3

Dans $\mathbf{Z}$ (* et plus généralement dans tout anneau *) la multiplication est distributive par rapport à l’addition.

Exemple 4

Dans $\mathbf{N}$ , l’addition et la multiplication sont distributives par rapport aux lois sup et inf.

Exercices

See the exercises for § 3.