Bourbaki

§ 3. Các tác động

1. Các tác động

Định nghĩa 1

Cho Ω\Omega và E là hai tập hợp. Một ánh xạ của Ω\Omega vào tập hợp EEE^E các ánh xạ của E vào chính nó được gọi là một tác động của Ω\Omega trên E.

Cho α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha là một tác động của Ω\Omega trên E. Ánh xạ (α,x)↦fα(x)(\alpha, x) \mapsto f_\alpha(x) (tương ứng. (x,α)↦fα(x)(x, \alpha) \mapsto f_\alpha(x)) được gọi là luật tác động trái (tương ứng. phải) của Ω\Omega trên E† liên kết với tác động đã cho của Ω\Omega trên E. Cho một ánh xạ gg của Ω×E\Omega \times E (tương ứng. E×ΩE \times \Omega) vào E, tồn tại duy nhất một tác động α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha của Ω\Omega trên E sao cho luật tác động trái (tương ứng. phải) liên kết là gg (Lý thuyết tập hợp, II, § 5, no. 2, Mệnh đề 3).

Trong chương này, để rút gọn cách viết, ta sẽ nói "luật tác động"

† Hoặc đôi khi là phép toán ngoài của hợp thành trên E với Ω\Omega là tập hợp tác động.

thay cho "luật tác động trái". Phần tử fα(x)f_\alpha(x) của E (với α∈Ω\alpha \in \Omega và x∈Ex \in E) đôi khi được gọi là biến đổi của xx dưới tác động của α\alpha hoặc hợp thành của α\alpha và xx. Nó thường được ký hiệu bằng ký hiệu nhân trái (tương ứng. phải) α.x\alpha . x (tương ứng. x.αx . \alpha), dấu chấm có thể được bỏ đi; khi đó hợp thành của α\alpha và xx được gọi là tích của α\alpha và xx (tương ứng. xx và α\alpha). Ký hiệu lũy thừa xαx^\alpha cũng được dùng. Trong các lập luận của các đoạn sau, nói chung ta sẽ dùng ký hiệu α⊥x\alpha \perp x. Các phần tử của Ω\Omega thường được gọi là toán tử.

Ví dụ

(1) Cho E là một nửa magma kết hợp được viết theo phép nhân. Ánh xạ liên kết với một số nguyên dương ngặt nn ánh xạ x↦xnx \mapsto x^n của E vào chính nó là một tác động của N∗\mathbf{N}^* trên E. Nếu E là một nhóm, ánh xạ liên kết với một số nguyên hữu tỉ aa ánh xạ x↦xax \mapsto x^a của E vào E là một tác động của Z\mathbf{Z} trên E.

(2) Cho E là một nửa magma với luật được ký hiệu bởi ⊤\top. Ánh xạ liên kết với x∈Ex \in E ánh xạ A↦x⊤AA \mapsto x \top A của tập hợp các tập con của E vào chính nó là một tác động của E trên P(E)\mathscr{P}(E).

(3) Cho E là một tập hợp. Ánh xạ đồng nhất của EEE^E là một tác động của EEE^E trên E, được gọi là tác động chính tắc. Luật tác động tương ứng là ánh xạ (f,x)↦f(x)(f, x) \mapsto f(x) của EE×EE^E \times E vào E.

(4) Cho (Ωi)i∈I(\Omega_i)_{i \in I} là một họ các tập hợp. Với mọi i∈Ii \in I, cho fi:Ωi→EEf_i : \Omega_i \to E^E là một tác động của Ωi\Omega_i trên E. Cho Ω\Omega là tổng của các Ωi\Omega_i (Lý thuyết tập hợp, II, § 4, no. 8). Ánh xạ ff của Ω\Omega lên EEE^E, mở rộng các fif_i, là một tác động của Ω\Omega trên E. Điều này cho phép ta rút gọn việc nghiên cứu một họ các tác động về việc nghiên cứu một tác động duy nhất.

(5) Cho một tác động của Ω\Omega lên E với luật được ký hiệu bởi ⊥\perp, một tập con Ξ\Xi của Ω\Omega và một tập con X của E, Ξ⊥X\Xi \perp X ký hiệu tập hợp các α⊥x\alpha \perp x với α∈Ξ\alpha \in \Xi và x∈Xx \in X; khi Ξ\Xi gồm một phần tử duy nhất α\alpha, nói chung ta viết α⊥X\alpha \perp X thay cho {α}⊥X\{\alpha\} \perp X. Ánh xạ gắn với α∈Ω\alpha \in \Omega ánh xạ X↦α⊥XX \mapsto \alpha \perp X là một tác động của Ω\Omega lên P(E)\mathscr{P}(E), được gọi là dẫn xuất từ tác động đã cho bằng cách mở rộng lên tập hợp các tập con.

(6) Cho α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha là một tác động của Ω\Omega lên E. Cho g là một ánh xạ từ Ω′\Omega' vào Ω\Omega. Khi đó ánh xạ β↦fg(β)\beta \mapsto f_{g(\beta)} là một tác động của Ω′\Omega' lên E.

(7) Cho f:E×E→Ef : E \times E \to E là một luật hợp thành trên một tập hợp E. Ánh xạ γ:x↦γx\gamma : x \mapsto \gamma_x (tương ứng. δ:x↦δx\delta : x \mapsto \delta_x) (§ 2, no. 2) gắn với phần tử x∈Ex \in E phép tịnh tiến trái (tương ứng. phải) bởi xx là một tác động của E lên chính nó; nó được gọi là tác động trái (tương ứng. phải) của E lên chính nó dẫn xuất từ luật đã cho. Khi ff là giao hoán, hai tác động này trùng nhau.

Luật của tác động trái (tương ứng. phải) liên kết với γ\gamma là ff (tương ứng. luật đối của ff). Luật của tác động phải (tương ứng. trái) liên kết với δ\delta là ff (tương ứng. luật đối của ff).

Cho Ω,E,F\Omega, E, F là các tập hợp, α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha là một tác động của Ω\Omega lên E và α↦gα\alpha \mapsto g_\alpha là một tác động của Ω\Omega lên F. Một Ω\Omega-*cấu xạ từ E vào F*, hay ánh xạ từ E vào F tương thích với tác động của Ω\Omega, là một ánh xạ hh từ E vào F sao cho

gα(h(x))=h(fα(x)) g_\alpha(h(x)) = h(f_\alpha(x))

với mọi α∈Ω\alpha \in \Omega và x∈Ex \in E. Hợp thành của hai cấu xạ Ω\Omega là một cấu xạ Ω\Omega.

Cho Ω,Ξ,E,F\Omega, \Xi, E, F là các tập hợp, α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha là một tác động của Ω\Omega trên EE, β↦gβ\beta \mapsto g_\beta là một tác động của Ξ\Xi trên FF và ϕ\phi là một ánh xạ của Ω\Omega vào Ω′\Omega'. Một ϕ\phi-cấu xạ của EE vào FF là một ánh xạ hh của EE vào FF sao cho

gϕ(α)(h(x))=h(fα(x)) g_{\phi(\alpha)}(h(x)) = h(f_\alpha(x))
với mọi α∈Ω\alpha \in \Omega và x∈Ex \in E.

2. Các tập con ổn định dưới một tác động. Tác động cảm sinh

Định nghĩa 2

Một tập con AA của một tập hợp EE được gọi là ổn định dưới một tác động α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha của Ω\Omega trên EE nếu fα(A)⊂Af_\alpha(A) \subset A với mọi α∈Ω\alpha \in \Omega. Một phần tử xx của EE được gọi là bất biến dưới một phần tử α\alpha của Ω\Omega nếu fα(x)=xf_\alpha(x) = x.

Giao của một họ các tập con ổn định của EE dưới một tác động đã cho là ổn định. Do đó tồn tại một tập con ổn định nhỏ nhất của EE chứa một tập con XX đã cho của EE; nó được gọi là được sinh bởi XX; nó gồm các phần tử (fα1∘fα2∘⋯∘fαn)(x)(f_{\alpha_1} \circ f_{\alpha_2} \circ \cdots \circ f_{\alpha_n})(x), trong đó x∈X,n≥0,αi∈Ωx \in X, n \geq 0, \alpha_i \in \Omega với mọi ii.

Nhận xét

Cho EE là một magma với luật được ký hiệu bởi τ\tau. Cần lưu ý rằng một tập con AA của EE ổn định dưới tác động trái của EE trên chính nó không nhất thiết ổn định dưới tác động phải của EE trên chính nó; một tập con AA của EE ổn định dưới tác động trái (tương ứng phải) của EE trên chính nó thì ổn định dưới luật trên EE, nhưng điều đảo lại nói chung không đúng. Chính xác hơn, AA ổn định dưới luật trên EE khi và chỉ khi AτA⊂AA \tau A \subset A trong khi AA ổn định dưới tác động trái (tương ứng phải) của EE trên chính nó khi và chỉ khi EτA⊂AE \tau A \subset A (tương ứng AτE⊂AA \tau E \subset A).

Ví dụ

Lấy magma EE là tập N\mathbf{N} với phép nhân. Tập {1}\{1\} là ổn định đối với luật nội tại của N\mathbf{N}, nhưng tập con ổn định đối với tác động của N\mathbf{N} trên chính nó sinh bởi {1}\{1\} là toàn bộ N\mathbf{N}.

Định nghĩa 3

Cho α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha là một tác động của Ω\Omega trên EE và AA là một tập con ổn định của EE. Ánh xạ gắn với một phần tử α∈Ω\alpha \in \Omega hạn chế của fαf_\alpha lên AA (được xem như một ánh xạ từ AA vào chính nó) là một tác động của Ω\Omega trên AA được gọi là cảm sinh bởi tác động đã cho.

3. Tác động thương

Định nghĩa 4

Cho α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha là một tác động của một tập hợp Ω\Omega trên một tập hợp EE. Một quan hệ tương đương RR trên EE được gọi là tương thích với tác động đã cho nếu, với mọi phần tử xx và yy của EE sao cho x≡y(modR)x \equiv y \pmod{R} và mọi α∈Ω,fα(x)≡fα(y)(modR)\alpha \in \Omega, f_\alpha(x) \equiv f_\alpha(y) \pmod{R}. Ánh xạ gắn với một phần tử α∈Ω\alpha \in \Omega ánh xạ của E/RE/R vào chính nó dẫn xuất từ fαf_\alpha bằng cách chuyển qua các thương là một tác động của Ω\Omega trên E/RE/R được gọi là thương của tác động của Ω\Omega trên EE.

Cho EE là một magma và RR là một quan hệ tương đương trên EE. RR được gọi là trái (tương ứng phải) tương thích với luật trên EE nếu nó tương thích với tác động trái (tương ứng

phải) của E trên chính nó dẫn xuất từ luật trên E. Để R tương thích với luật trên E thì điều kiện cần và đủ là nó tương thích trái và phải với luật trên E.

Chúng ta để cho độc giả phát biểu và chứng minh các mệnh đề tương tự của các Mệnh đề 6, 7 và 8 của § 1, no. 6.

4. Tính phân phối

Định nghĩa 5

Cho E1,…,EnE_1, \ldots, E_n và F là các tập hợp và u là một ánh xạ từ E1×⋯×EnE_1 \times \cdots \times E_n vào F. Cho i∈{1,n}i \in \{1, n\}. Giả sử EiE_i và F được cho các cấu trúc của magma. u được gọi là phân phối đối với biến chỉ số i nếu ánh xạ bộ phận

xi↦u(a1,…,ai−1,xi,ai+1,…,an) x_i \mapsto u(a_1, \ldots, a_{i-1}, x_i, a_{i+1}, \ldots, a_n)

là một đồng cấu của EiE_i vào F đối với mọi aja_j cố định trong EjE_j và j≠ij \neq i.

Nếu ⊤\top ký hiệu các luật nội tại trên EiE_i và F, tính phân phối của u được cho bởi các đẳng thức

(1)

u(a1,…,ai−1,xi⊤xi′,ai+1,an)=u(a1,…,ai−1,xi,ai+1,…,an)⊤u(a1,…,ai−1,xi′,ai+1,…,an) u(a_1, \ldots, a_{i-1}, x_i \top x'_i, a_{i+1}, a_n) \\ = u(a_1, \ldots, a_{i-1}, x_i, a_{i+1}, \ldots, a_n) \top u(a_1, \ldots, a_{i-1}, x'_i, a_{i+1}, \ldots, a_n)

với i=1,2,…,n,a1∈E1,…,ai−1∈Ei−1,xi∈Ei,xi′∈Ei,ai+1∈Ei+1,…,an∈Eni = 1, 2, \ldots, n, a_1 \in E_1, \ldots, a_{i-1} \in E_{i-1}, x_i \in E_i, x'_i \in E_i, a_{i+1} \in E_{i+1}, \ldots, a_n \in E_n.

Ví dụ

Cho E là một monôit (tương ứng nhóm) được viết theo phép nhân. Ánh xạ (n,x)↦xn(n, x) \mapsto x^n từ N×E\mathbf{N} \times E (tương ứng Z×E\mathbf{Z} \times E) vào E là phân phối đối với biến thứ nhất bởi đẳng thức xm+n=xmxnx^{m+n} = x^m x^n (với phép cộng là luật trên N\mathbf{N}). Nếu E là giao hoán, ánh xạ này là phân phối đối với biến thứ hai bởi đẳng thức (xy)n=xnyn(xy)^n = x^n y^n.

Mệnh đề 1

Cho E1,E2,…,EnE_1, E_2, \ldots, E_n và F là các nửa nhóm giao hoán được viết cộng tính và cho u là một ánh xạ từ E1×⋯×EnE_1 \times \cdots \times E_n vào F, có tính phân phối đối với tất cả các biến. Với i=1,2,…,ni = 1, 2, \ldots, n, cho LiL_i là một tập hợp hữu hạn không rỗng và (xi,λ)λ∈Li(x_{i,\lambda})_{\lambda \in L_i} là một họ các phần tử của EiE_i. Đặt yi=∑λ∈Lixi,λy_i = \sum_{\lambda \in L_i} x_{i,\lambda} với i=1,2,…,ni = 1, 2, \ldots, n. Khi đó

(2)

u(y1,…,yn)=∑αu(x1,α1,…,xn,αn) u(y_1, \ldots, y_n) = \sum_\alpha u(x_1, \alpha_1, \ldots, x_n, \alpha_n)

tổng được lấy trên tất cả các dãy α=(α1,…,αn)\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) thuộc L1×⋯×LnL_1 \times \cdots \times L_n.

Ta lập luận bằng quy nạp theo n, trường hợp n=1n = 1 suy ra từ công thức (2) của § 1, no. 2. Từ cùng tham chiếu đó

(3)

u(y1,…,yn−1,yn)=∑αn∈Lnu(y1,…,yn−1,xn,αn) u(y_1, \ldots, y_{n-1}, y_n) = \sum_{\alpha_n \in L_n} u(y_1, \ldots, y_{n-1}, x_n, \alpha_n)

với yn=∑αn∈Lnxn,αny_n = \sum_{\alpha_n \in L_n} x_{n,\alpha_n} và ánh xạ z↦u(y1,…,yn−1,z)z \mapsto u(y_1, \ldots, y_{n-1}, z) từ EnE_n vào FF là một đồng cấu magma. Theo giả thiết quy nạp áp dụng cho các ánh xạ phân phối (z1,…,zn−1)↦u(z1,…,zn−1,xn,αn)(z_1, \ldots, z_{n-1}) \mapsto u(z_1, \ldots, z_{n-1}, x_n, \alpha_n) từ E1×⋯×En−1E_1 \times \cdots \times E_{n-1} vào FF,

(4)

u(y1,…,yn−1,xn,αn)=∑α1,…,αn−1u(x1,α1,…,xn−1,αn−1,xn,αn), u(y_1, \ldots, y_{n-1}, x_n, \alpha_n) = \sum_{\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}} u(x_1, \alpha_1, \ldots, x_{n-1}, \alpha_{n-1}, x_n, \alpha_n),
tổng được lấy trên các dãy (α1,…,αn−1)(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}) thuộc M=L1×⋯×Ln−1M = L_1 \times \cdots \times L_{n-1}. Bây giờ L1×⋯×Ln=M×LnL_1 \times \cdots \times L_n = M \times L_n; viết
tα1,…,αn=u(x1,α1,…,xn,αn), t_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n} = u(x_1, \alpha_1, \ldots, x_n, \alpha_n),
ta có (5)
∑α1,…,αntα1,…,αn=∑αn(∑α1,…,αn−1tα1,…,αn−1,αn) \sum_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n} t_{\alpha_1, \ldots, \alpha_n} = \sum_{\alpha_n} \left( \sum_{\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}} t_{\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}, \alpha_n} \right)
theo công thức (7) của § 1, no. 5. (2) suy ra ngay lập tức từ (3), (4) và (5).

Nhận xét

Nếu u(a1,…,ai−1,0,ai+1,…,an)=0u(a_1, \ldots, a_{i-1}, 0, a_{i+1}, \ldots, a_n) = 0 với i=1,2,…,ni = 1, 2, \ldots, n và aj∈Eja_j \in E_j (j≠ij \neq i), thì công thức (2) vẫn đúng cho các họ (xi,λ)λ∈Li(x_i, \lambda)_{\lambda \in L_i} có giá hữu hạn.

Một trường hợp đặc biệt của Định nghĩa 5 là trường hợp trong đó uu là luật tác động liên kết với tác động của một tập hợp Ω\Omega trên một magma EE. Nếu uu có tính phân phối đối với biến thứ hai, cũng nói rằng tác động của Ω\Omega trên magma EE là phân phối. Nói cách khác:

Định nghĩa 6

Một tác động* α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha của một tập hợp Ω\Omega trên một magma EE được gọi là phân phối nếu, với mọi α∈Ω\alpha \in \Omega, ánh xạ fαf_\alpha là một tự đồng cấu của magma EE.

Nếu ⊤\top ký hiệu luật của magma EE và ⊥\perp ký hiệu luật tác động liên kết với tác động của Ω\Omega trên EE, thì tính phân phối của luật sau được biểu diễn bởi công thức (6)

α⊥(x⊤y)=(α⊥x)⊤(α⊥y)(cho α∈Ω vaˋ x,y∈E). \alpha \perp (x \top y) = (\alpha \perp x) \top (\alpha \perp y) \quad \text{(cho } \alpha \in \Omega \text{ và } x, y \in E\text{)}.

Do lạm dụng ngôn ngữ, cũng nói rằng luật ⊥\perp là phân phối (hoặc phân phối phải) đối với luật ⊤\top.

Công thức (2) của § 1, no. 2 chỉ ra rằng khi đó, với mọi dãy có thứ tự (xλ)λ∈L(x_\lambda)_{\lambda \in L} các phần tử của EE và mọi α∈Ω\alpha \in \Omega, (7)

α⊥(⋀λ∈Lxλ)=⋀λ∈L(α⊥xλ). \alpha \perp \left( \bigwedge_{\lambda \in L} x_\lambda \right) = \bigwedge_{\lambda \in L} (\alpha \perp x_\lambda).

Nếu một tác động α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha là phân phối được và một quan hệ tương đương RR trên EE tương thích với luật hợp thành của EE và tác động α↦fα\alpha \mapsto f_\alpha, thì tác động thương trên E/RE/R là phân phối được.

Khi luật trên EE được viết theo dạng nhân, ta thường dùng ký hiệu lũy thừa xαx^\alpha cho một luật tác động phân phối được đối với phép nhân này, sao cho tính phân phối được biểu diễn bởi đẳng thức (xy)α=xαyα(xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha. Nếu luật trên E được viết theo dạng cộng, ta thường dùng ký hiệu nhân trái (tương ứng. phải) α.x\alpha . x (tương ứng. x.αx . \alpha) cho một luật tác động phân phối được đối với phép cộng này, tính phân phối được biểu diễn bởi đẳng thức

α(x+y)=αx+αy(resp. (x+y)α=xα+yα). \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y \quad (\text{resp. } (x + y)\alpha = x\alpha + y\alpha).

Ta cũng có thể xét trường hợp Ω\Omega có một luật nội tại, ký hiệu bởi T‾\overline{T}, và luật tác động là phân phối được đối với biến thứ nhất, nghĩa là

(8)

(αT‾β)⊥x=(α⊥x)T(β⊥x) (\alpha \overline{T} \beta) \perp x = (\alpha \perp x) T (\beta \perp x)
với mọi α,β∈Ω\alpha, \beta \in \Omega và x∈Ex \in E. Khi đó, theo công thức (2) của § 1, no. 2

(9)

(T‾λ∈Lαλ)⊥x=T‾λ∈L(αλ⊥x) \left( \overline{T}_{\lambda \in L} \alpha_{\lambda} \right) \perp x = \overline{T}_{\lambda \in L} (\alpha_{\lambda} \perp x)
đối với mọi dãy có thứ tự (αλ)λ∈L(\alpha_{\lambda})_{\lambda \in L} các phần tử của Ω\Omega và mọi x∈Ex \in E.

5. Tính phân phối của một luật nội tại đối với một luật nội tại khác

Định nghĩa 7

Cho TT và ⊥\perp là hai luật nội tại trên một tập hợp E. Luật ⊥\perp được gọi là phân phối được đối với luật TT nếu

(10)

x⊥(yTz)=(x⊥y)T(x⊥z) x \perp (y T z) = (x \perp y) T (x \perp z)
(11)
(xTy)⊥z=(x⊥z)T(y⊥z) (x T y) \perp z = (x \perp z) T (y \perp z)
với mọi x,y,zx, y, z trong E.

Chú ý rằng (10) và (11) là tương đương nếu luật ⊥\perp là giao hoán. Nói chung, một trong các luật được viết theo dạng cộng và luật kia theo dạng nhân; nếu phép nhân phân phối được đối với phép cộng, thì:

(12)

x.(y+z)=x.y+x.z x . (y + z) = x . y + x . z
(13)
(x+y).z=x.z+y.z (x + y) . z = x . z + y . z

Ví dụ

(1) Trong tập hợp P(E)\mathscr{P}(E) các tập con của một tập hợp E, mỗi luật nội tại ∩\cap và ∪\cup đều phân phối được đối với chính nó và đối với luật kia. Điều này suy ra từ các công thức dạng

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C). A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).

(2) Trong Z\mathbf{Z} (và nói chung, trong mọi tập sắp thứ tự toàn phần) mỗi luật sup và inf đều phân phối được đối với luật kia và đối với chính nó.

(3) Trong Z\mathbf{Z}(và nói chung trong mọi vành) phép nhân phân phối được đối với phép cộng.

(4) Trong N\mathbf{N} phép cộng và phép nhân phân phối được đối với các luật sup và inf.

Bài tập

Xem các bài tập cho § 3.

Machine translation of the English, by gpt-5-6-mini, gpt-5-6, against glossary version 34. Not checked by a person. That model is a cut down version of the one the rest of this language was written by.