Bourbaki

§ 2. Phần tử đơn vị; các phần tử giản ước được; các phần tử khả nghịch

1. Phần tử đơn vị

Định nghĩa 1

Đối với một luật hợp thành ⊤\top trên một tập hợp EE một phần tử ee của EE được gọi là một phần tử đơn vị nếu, với mọi x∈Ex \in E, e⊤x=x⊤e=xe \top x = x \top e = x.

Tồn tại nhiều nhất một phần tử đơn vị đối với một luật đã cho ⊤\top, vì nếu ee và e′e' là các phần tử đơn vị thì e=e⊤e′=e′e = e \top e' = e'. Một phần tử đơn vị giao hoán được với mọi phần tử: nó là một phần tử trung tâm.

Định nghĩa 2

Một magma có một phần tử đơn vị được gọi là một magma có đơn vị. Nếu E,E′E, E' là các magma có đơn vị, một đồng cấu của magma EE vào magma E′E' biến phần tử đơn vị của EE thành phần tử đơn vị của E′E' được gọi là một đồng cấu có đơn vị (hoặc cấu xạ) của EE vào E′E'. Một magma kết hợp có đơn vị được gọi là một monođ.

Nếu E,E′E, E' là các monođ, một cấu xạ có đơn vị của EE vào E′E' được gọi là một đồng cấu monođ hoặc một cấu xạ monođ của EE vào E′E'.

Ví dụ

(1) Trong tập hợp N\mathbf{N} các số tự nhiên, 0 là một phần tử đơn vị đối với phép cộng và 1 là một phần tử đơn vị đối với phép nhân. Mỗi một trong hai luật này cho N\mathbf{N} một cấu trúc monođ giao hoán (Lý thuyết tập hợp, III, § 3, no. 3).

(2) Trong tập hợp các tập con của một tập hợp EE, ∅\varnothing là một phần tử đơn vị đối với luật ∪\cup và EE đối với luật ∩\cap. Nói chung, trong một dàn, phần tử nhỏ nhất, nếu tồn tại, là phần tử đơn vị đối với luật sup; ngược lại, nếu tồn tại một phần tử đơn vị đối với luật này thì nó là phần tử nhỏ nhất của tập hợp. Tương tự đối với phần tử lớn nhất và luật inf.

(3) Tập hợp N\mathbf{N} không có phần tử đơn vị đối với luật (x,y)↦xy(x, y) \mapsto x^y. Đối với luật (X,Y)↦X∘Y(X, Y) \mapsto X \circ Y giữa các tập con của E×EE \times E đường chéo Δ\Delta là phần tử đơn vị. Đối với luật (f,g)↦f∘g(f, g) \mapsto f \circ g giữa các ánh xạ của EE vào EE, ánh xạ đồng nhất của EE lên EE là phần tử đơn vị.

(4) Cho EE là một magma và RR là một quan hệ tương đương trên EE tương thích với luật trên EE (§ 1, no. 6). Nếu ee là một phần tử đơn vị của EE thì ảnh chính tắc của ee trong E/RE/R là một phần tử đơn vị của magma E/RE/R.

Phần tử đơn vị của một magma có đơn vị là một đồng cấu có đơn vị; hợp thành của hai đồng cấu có đơn vị cũng là một đồng cấu có đơn vị. Để một ánh xạ là một đẳng cấu magma có đơn vị, điều kiện cần và đủ là nó là một đồng cấu có đơn vị song ánh và khi đó ánh xạ nghịch đảo là một đồng cấu có đơn vị. Cho EE và E′E' là các magma có đơn vị và e′e' là phần tử đơn vị của E′E'; ánh xạ hằng của EE vào E′E' biến EE thành e′e' là một đồng cấu có đơn vị, được gọi là một đồng cấu tầm thường.

Tích của một họ các magma có đơn vị (tương ứng, monođ) là một magma có đơn vị (tương ứng, monođ).

Mọi magma thương của một magma có đơn vị (tương ứng, monođ) đều là một magma có đơn vị (tương ứng, monođ).

Cho EE là một magma có đơn vị và ee là phần tử đơn vị của nó. Một magma con AA của EE sao cho e∈Ae \in A được gọi là một magma con có đơn vị của EE. Rõ ràng ee là phần tử đơn vị của magma AA. Mọi giao của các magma con có đơn vị của EE đều là một magma con có đơn vị của EE. Nếu XX là một tập con của EE thì tồn tại một magma con có đơn vị nhỏ nhất của EE chứa XX; nó được gọi là magma con có đơn vị của EE sinh bởi XX; nó bằng {e}\{e\} nếu XX là rỗng. Nếu EE là một monoid, một magma con có đơn vị của EE được gọi là một monoid con của EE.

Nếu FF là một magma không có phần tử đơn vị thì một magma con của FF có thể có một phần tử đơn vị. Ví dụ, nếu FF là kết hợp và hh là một phần tử lũy đẳng của FF (I, § 1, no. 4), tập hợp h↑x↑hh \uparrow x \uparrow h, trong đó xx chạy qua FF, là một magma con của FF với hh là phần tử đơn vị.

Nếu EE là một magma có phần tử đơn vị ee, một magma con AA của EE sao cho e∉Ae \notin A vẫn có thể có một phần tử đơn vị.

Định nghĩa 3

Cho EE là một magma có đơn vị. Phần tử đơn vị của EE được gọi là hợp thành của họ rỗng các phần tử của EE.

Nếu (xα)α∈∅(x_\alpha)_{\alpha \in \varnothing} là họ rỗng các phần tử của E thì hợp thành của nó ee còn được ký hiệu bởi ∏α∈∅xα\prod_{\alpha \in \varnothing} x_\alpha. Ví dụ, ta viết

∏q≤i≤pxi=e \prod_{q \leq i \leq p} x_i = e
khi p<qp < q (p,q∈Np, q \in \mathbf{N}). Tương tự ta viết ∏0x=e\prod^0 x = e với xx tùy ý. Với các định nghĩa này, các Định lý 1 và 3 của § 1 vẫn đúng nếu bỏ giả thiết rằng các tập hợp A và Bi là không rỗng.* Tương tự, các công thức ∏m+nx=(∏mx)∏n(∏nx)\prod^{m+n} x = \left( \prod^m x \right) \prod^n \left( \prod^n x \right) và ∏mnx=∏m(∏nx)\prod^{mn} x = \prod^m \left( \prod^n x \right) khi đó đúng với m≥0,n≥0m \geq 0, n \geq 0.

Cho E là một magma có đơn vị mà luật của nó được ký hiệu bởi ⊤\top và ee là phần tử đơn vị của nó. Giá của một họ (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} các phần tử của E là tập hợp các chỉ số i∈Ii \in I sao cho xi≠ex_i \neq e. Cho (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} là một họ các phần tử của E có giá hữu hạn. Ta sẽ định nghĩa hợp thành ∏i∈Ixi\prod_{i \in I} x_i trong hai trường hợp sau:

(a) tập hợp I được sắp thứ tự toàn phần; (b) E là kết hợp và các xix_i từng đôi một giao hoán.

Trong hai trường hợp này, gọi S là giá của họ (xi)(x_i). Nếu J là một tập con hữu hạn của I chứa S, thì ∏i∈Jxi=∏i∈Sxi\prod_{i \in J} x_i = \prod_{i \in S} x_i, như được thấy bằng quy nạp theo số các phần tử của J, áp dụng Định lý 1 của § 1 trong trường hợp (a) và Định lý 3 của § 1 trong trường hợp (b). Ký hiệu ∏i∈Ixi\prod_{i \in I} x_i là giá trị chung của các hợp thành ∏i∈Jxi\prod_{i \in J} x_i đối với mọi tập con hữu hạn của I chứa S. Khi I là khoảng [p,→][p, \to] của N\mathbf{N}, ta cũng viết ∏i=p∞xi\prod_{i = p}^\infty x_i.

Với các định nghĩa và ký hiệu này, các Định lý 1 và 3 của § 1 và các nhận xét theo sau Định lý 3 mở rộng cho các họ có giá hữu hạn.

Phần tử đơn vị của một luật được viết cộng tính thường được ký hiệu bởi 0 và gọi là không hoặc phần tử không (hoặc đôi khi là gốc). Đối với một luật được viết nhân tính, nó thường được ký hiệu bởi 1 và gọi là phần tử đơn vị (hoặc đơn vị).

2. Các phần tử giản ước được

Định nghĩa 4

Cho một luật hợp thành ⊤\top trên một tập hợp E, ánh xạ x↦a⊤xx \mapsto a \top x (tương ứng x↦x⊤ax \mapsto x \top a) từ E vào chính nó được gọi là phép chuyển trái (tương ứng phép chuyển phải) bởi một phần tử a∈Ea \in E.

Khi chuyển qua luật đối, các phép chuyển trái trở thành các phép chuyển phải và ngược lại.

Gọi γa,δa\gamma_a, \delta_a (hoặc γ(a),δ(a)\gamma(a), \delta(a)) là các phép chuyển trái và phải bởi a∈Ea \in E; khi đó

γa(x)=a⊤x,δa(x)=x⊤a. \gamma_a(x) = a \top x, \qquad \delta_a(x) = x \top a.

Mệnh đề 1

Nếu luật* T\mathsf{T} là kết hợp, thì với mọi x∈Ex \in E và y∈Ey \in E

γxTy=γx∘γy,δxTy=δy∘δx. \gamma_{x \mathsf{T} y} = \gamma_x \circ \gamma_y, \qquad \delta_{x \mathsf{T} y} = \delta_y \circ \delta_x.

Với mọi z∈Ez \in E:

γxTy(z)=(xTy)Tz=xT(yTz)=γx(γy(z)) \gamma_{x \mathsf{T} y}(z) = (x \mathsf{T} y) \mathsf{T} z = x \mathsf{T} (y \mathsf{T} z) = \gamma_x(\gamma_y(z))
δxTy(z)=zT(xTy)=(zTx)Ty=δy(δx(z)) \delta_{x \mathsf{T} y}(z) = z \mathsf{T} (x \mathsf{T} y) = (z \mathsf{T} x) \mathsf{T} y = \delta_y(\delta_x(z))

Nói cách khác, ánh xạ x↦γxx \mapsto \gamma_x là một đồng cấu từ magma EE vào tập hợp EEE^E các ánh xạ của EE vào chính nó với luật (f,g)↦f∘g(f, g) \mapsto f \circ g; ánh xạ x↦δxx \mapsto \delta_x là một đồng cấu của EE vào tập hợp EEE^E với luật đối. Nếu EE là một monoid, các đồng cấu này có đơn vị.

Định nghĩa 5

Một phần tử* aa của một magma EE được gọi là giản ước được trái (tương ứng phải) (hoặc chính quy) nếu phép chuyển trái (tương ứng phải) bởi aa *là đơn ánh. Một phần tử giản ước được trái và phải được gọi là một phần tử giản ước được (hoặc chính quy).

Nói cách khác, để aa giản ước được theo luật T\mathsf{T}, điều kiện cần và đủ là mỗi quan hệ aTx=aTy,xTa=yTaa \mathsf{T} x = a \mathsf{T} y, x \mathsf{T} a = y \mathsf{T} a kéo theo x=yx = y (người ta nói rằng "a có thể được giản ước" khỏi mỗi đẳng thức này). Nếu tồn tại một phần tử đơn vị ee theo luật T\mathsf{T}, thì nó giản ước được theo luật này: khi đó các phép chuyển γe\gamma_e và δe\delta_e là ánh xạ đồng nhất của EE lên chính nó.

Ví dụ

(1) Mọi số tự nhiên đều giản ước được theo phép cộng; mọi số tự nhiên ≠0\neq 0 đều giản ước được theo phép nhân.

(2) Trong một dàn không thể có phần tử giản ước được nào theo luật sup ngoài phần tử đơn vị (phần tử nhỏ nhất) nếu nó tồn tại; tương tự đối với inf. Đặc biệt, trong tập hợp các tập con của một tập hợp EE, ∅\varnothing là phần tử giản ước được duy nhất theo luật ∪\cup và EE là phần tử giản ước được duy nhất theo luật ∩\cap.

Mệnh đề 2

Tập hợp các phần tử giản ước được (tương ứng trái giản ước được, tương ứng phải giản ước được) của một magma kết hợp là một magma con.

Nếu γx\gamma_x và γy\gamma_y là đơn ánh thì γxTy=γx∘γy\gamma_{x \mathsf{T} y} = \gamma_x \circ \gamma_y cũng là đơn ánh (Mệnh đề 1). Tương tự đối với δxTy\delta_{x \mathsf{T} y}.

3. Các phần tử khả nghịch

Định nghĩa 6

Cho* EE là một magma có đơn vị, T\mathsf{T} là luật hợp thành của nó, e là phần tử đơn vị của nó và xx và x′x' là hai phần tử của EE. x′x' được gọi là một nghịch đảo trái (tương ứng nghịch đảo phải, tương ứng nghịch đảo) của xx nếu x′Tx=ex' \mathsf{T} x = e *(tương ứng xTx′=ex \mathsf{T} x' = e, tương ứng x′Tx=xTx′=ex' \mathsf{T} x = x \mathsf{T} x' = e).

Một phần tử xx của EE được gọi là khả nghịch trái (tương ứng khả nghịch phải, tương ứng khả nghịch) nếu nó có một nghịch đảo trái (tương ứng nghịch đảo phải, tương ứng nghịch đảo).

Một monoid mà mọi phần tử đều khả nghịch được gọi là một nhóm.

Đối xứng và đối xứng hóa đôi khi được dùng thay cho nghịch đảo và khả nghịch. Khi luật trên E được viết cộng tính, nói chung ta nói là âm thay cho nghịch đảo.

Ví dụ

(1) Một phần tử đơn vị là nghịch đảo của chính nó.

(2) Trong tập hợp các ánh xạ từ E vào E, một phần tử f là khả nghịch trái (tương ứng khả nghịch phải) nếu f là một toàn ánh (tương ứng đơn ánh). Khi đó các nghịch đảo trái (tương ứng nghịch đảo phải) là các phép rút (tương ứng các thiết diện) liên kết với f (Lý thuyết tập hợp, II, § 3, no. 8, Định nghĩa 11). Để f khả nghịch, điều kiện cần và đủ là f là một song ánh. Khi đó nghịch đảo duy nhất của nó là song ánh ngược của f.

Cho E và F là hai magma có đơn vị và f là một đồng cấu có đơn vị từ E vào F. Nếu x' là nghịch đảo của x trong E, thì f(x') là nghịch đảo của f(x) trong F. Do đó, nếu x là một phần tử khả nghịch của E, thì f(x) là một phần tử khả nghịch của F.

Đặc biệt, nếu R là một quan hệ tương đương tương thích với luật trên một magma có đơn vị E, thì ảnh chính tắc của một phần tử khả nghịch của E là khả nghịch trong E/R.

Mệnh đề 3

Cho E là một monoid và x là một phần tử của E.

(i) Để x khả nghịch trái (tương ứng phải), điều kiện cần và đủ là phép tịnh tiến phải (tương ứng trái) bởi x là toàn ánh.

(ii) Để x khả nghịch, điều kiện cần và đủ là nó khả nghịch trái và phải. Trong trường hợp đó x có một nghịch đảo duy nhất, cũng là nghịch đảo trái (tương ứng phải) duy nhất của nó.

Nếu x' là một nghịch đảo trái của x thì (Mệnh đề 1)

δx∘δx′=δx′⊤x=δe=IdE \delta_x \circ \delta_{x'} = \delta_{x' \top x} = \delta_e = \mathrm{Id}_E

và δx\delta_x là toàn ánh. Ngược lại, nếu δx\delta_x là toàn ánh, tồn tại một phần tử x′x' của E sao cho δx(x′)=e\delta_x(x') = e và x′x' là nghịch đảo trái của xx. Các khẳng định khác của (i) được suy ra tương tự.

Nếu x′x' (tương ứng x′′x'') là một nghịch đảo trái (tương ứng phải) của xx, thì

x′=x′⊤e=x′⊤(x⊤x′′)=(x′⊤x)⊤x′′=e⊤x′′=x′′, x' = x' \top e = x' \top (x \top x'') = (x' \top x) \top x'' = e \top x'' = x'',

do đó (ii).

Nhận xét

Cho E là một monoid và x là một phần tử của E. Nếu x khả nghịch trái thì nó giản ước trái được; vì, nếu x′x' là một nghịch đảo trái của xx, thì

γx′∘γx=γx′⊤x=γe=IdE \gamma_{x'} \circ \gamma_x = \gamma_{x' \top x} = \gamma_e = \mathrm{Id}_E

và γx\gamma_x là đơn ánh. Đặc biệt, nếu x khả nghịch trái, các phép tịnh tiến trái và phải bởi x là các song ánh. Ngược lại, giả sử rằng γx\gamma_x là song ánh; tồn tại x′∈Ex' \in E sao cho xx′=γx(x′)=exx' = \gamma_x(x') = e; khi đó γx(x′x)=(xx′)x=x=γx(e)\gamma_x(x'x) = (xx')x = x = \gamma_x(e) và do đó x′x=ex'x = e, vậy x là khả nghịch. Tương tự ta thấy rằng nếu δx\delta_x là song ánh thì x là khả nghịch.

Mệnh đề 4

Cho E là một monoid và x và y là các phần tử khả nghịch của E với các nghịch đảo lần lượt là x' và y'. Khi đó y' ⊤\top x' là nghịch đảo của x ⊤\top y.

Điều này suy ra từ quan hệ

(y′⊤x′)⊤(x⊤y)=y′⊤(x′⊤x)⊤y=y′⊤y=e (y' \top x') \top (x \top y) = y' \top (x' \top x) \top y = y' \top y = e
và các tính toán tương tự đối với (x ⊤\top y) ⊤\top (y' ⊤\top x').

Hệ quả 1

Cho E là một monoid; nếu mỗi phần tử xαx_\alpha của một dãy có thứ tự (xα)α∈A(x_\alpha)_{\alpha \in A} gồm các phần tử của E có một nghịch đảo xα′x'_\alpha, thì hợp thành ∏α∈Axα\prod_{\alpha \in A} x_\alpha có nghịch đảo ∏α∈A′xα′\prod_{\alpha \in A'} x'_\alpha, trong đó A' là tập sắp thứ tự toàn phần dẫn xuất từ A bằng cách thay thế thứ tự trên A bởi thứ tự đối.

Hệ quả này suy ra từ Mệnh đề 4 bằng quy nạp theo số phần tử của A.

Đặc biệt, nếu x và x' là các nghịch đảo, ∏nx\prod^n x và ∏nx′\prod^n x' là các nghịch đảo với mọi số nguyên n≥0n \geq 0.

Hệ quả 2

Trong một monoid, tập hợp các phần tử khả nghịch là ổn định.

Mệnh đề 5

Nếu trong một monoid x và x' là các nghịch đảo và x giao hoán với y, thì x' cũng vậy.

Từ x⊤y=y⊤xx \top y = y \top x, ta suy ra x′⊤(x⊤y)⊤x′=x′⊤(y⊤x)⊤x′x' \top (x \top y) \top x' = x' \top (y \top x) \top x' và do đó (x′⊤x)⊤(y⊤x′)=(x′⊤y)⊤(x⊤x′)(x' \top x) \top (y \top x') = (x' \top y) \top (x \top x'), nghĩa là y⊤x′=x′⊤yy \top x' = x' \top y.

Hệ quả 1

Cho E là một monoid, X là một tập con của E và X' là bộ giao hoán hóa của X. Nghịch đảo của mọi phần tử khả nghịch của X' thuộc X'.

Hệ quả 2

Trong một monoid, nghịch đảo của một phần tử khả nghịch trung tâm là một phần tử trung tâm.

4. Monoid phân thức của một monoid giao hoán

Trong số này, e sẽ ký hiệu phần tử đơn vị của một monoid và x* là nghịch đảo của một phần tử khả nghịch x của E.

Cho E là một monoid giao hoán, S là một tập con của E và S' là monoid con của E sinh bởi S.

Bổ đề 1

Trong E ×\times S', quan hệ RR\mathscr{R}x, yR\mathscr{R} được xác định bởi:

"tồn tại a,b∈Ea, b \in E và p,q,s∈S′p, q, s \in S' sao cho x=(a,p),y=(b,q)x = (a, p), y = (b, q) và aqs=bpsaqs = bps"

là một quan hệ tương đương tương thích với luật trên monoid tích E ×\times S'.

Hiển nhiên là R có tính phản xạ và đối xứng. Cho x=(a,p),y=(b,q)x = (a, p), y = (b, q) và z=(c,r)z = (c, r) là các phần tử của E ×\times S' sao cho RR\mathscr{R}x, yR\mathscr{R} và RR\mathscr{R}y, zR\mathscr{R} đúng. Khi đó tồn tại hai phần tử s và t của S' sao cho

aqs=bps,brt=cqt, aq s = bps, \quad br t = cqt,
do đó suy ra
ar(stq)=bpsrt=cp(stq) ar(stq) = bpsrt = cp(stq)

và do đó R{x,z}R \{ x, z \} đúng, vì stqstq thuộc S′S'. Quan hệ RR vì vậy là bắc cầu.

Hơn nữa, cho x=(a,p),y=(b,q),x′=(a′,p′),x = (a, p), y = (b, q), x' = (a', p'), và y′=(b′,q′)y' = (b', q') là các phần tử của E×S′E \times S' sao cho R{x,y}R \{ x, y \} và R{x′,y′}R \{ x', y' \} đúng. Tồn tại ss và s′s' trong S′S' sao cho

aqs=bps,a′q′s′=b′p′s′, aqs = bps, \qquad a'q's' = b'p's',
do đó suy ra (aa′)(qq′)(ss′)=(bb′)(pp′)(ss′)(aa')(qq')(ss') = (bb')(pp')(ss') và do đó R{xx′,yy′}R \{ xx', yy' \} vì ss′∈S′ss' \in S'. Quan hệ tương đương RR vì vậy tương thích với luật hợp thành trên E×S′E \times S'.

Magm thương (E×S′)/R(E \times S')/R là một monoid giao hoán.

Định nghĩa 7

Cho EE là một monoid giao hoán, SS là một tập con của EE và S′S' là monoid con của EE sinh bởi SS. Monoid thương (E×S′)/R(E \times S')/R, trong đó quan hệ tương đương RR được mô tả như trong Bổ đề 1, được ký hiệu là ESE_S và được gọi là monoid phân thức† của EE liên kết với SS (hay với các mẫu số trong SS).

Với a∈Ea \in E và p∈S′p \in S', lớp của (a,p)(a, p) modulo RR nói chung được ký hiệu là a/pa/p và được gọi là phân thức có tử số aa và mẫu số pp. Khi đó theo định nghĩa (a/p).(a′/∣p′)=aa′/∣pp′(a/p).(a'/|p') = aa'/|pp'. Các phân thức a/pa/p và a′/∣p′a'/|p' bằng nhau khi và chỉ khi tồn tại ss trong S′S' sao cho spa′=sp′aspa' = sp'a; nếu vậy, tồn tại σ\sigma và σ′\sigma' trong S′S' sao cho aσ=a′σ′a\sigma = a'\sigma' và pσ=p′σ′p\sigma = p'\sigma'. Đặc biệt, a/p=sa/spa/p = sa/sp với a∈Ea \in E và s,ps, p trong S′S'. Phần tử đơn vị của ESE_S là phân thức e/ee/e.

Cho a/e=ε(a)a/e = \varepsilon(a) với mọi a∈Ea \in E. Điều trên cho thấy rằng ε\varepsilon là một đồng cấu từ EE vào ESE_S, được gọi là chính tắc. Với mọi p∈S′p \in S', (p/e).(e/p)=e/e(p/e).(e/p) = e/e và do đó e/pe/p là nghịch đảo của ε(p)=p/e\varepsilon(p) = p/e; mọi phần tử của ε(S′)\varepsilon(S') vì vậy đều khả nghịch. Khi đó a/p=(a/e).(e/p)a/p = (a/e).(e/p), do đó

a/p=ε(a)ε(p)∗ a/p = \varepsilon(a)\varepsilon(p)^*
với a∈Ea \in E và p∈S′p \in S', monoid ESE_S vì vậy được sinh bởi ε(E)∪ε(S)∗\varepsilon(E) \cup \varepsilon(S)^*.

Mệnh đề 6

Ký hiệu là ký hiệu của Định nghĩa 7 và ε\varepsilon biểu thị đồng cấu chính tắc của EE vào ESE_S. (i) Cho aa và bb thuộc EE; để có ε(a)=ε(b)\varepsilon(a) = \varepsilon(b), điều kiện cần và đủ là tồn tại s∈S′s \in S' sao cho sa=sbsa = sb. (ii) Để ε\varepsilon đơn ánh, điều kiện cần và đủ là mọi phần tử của SS đều giản ước được. (iii) Để ε\varepsilon song ánh, điều kiện cần và đủ là mọi phần tử của SS đều khả nghịch.

Mệnh đề (i) là hiển nhiên và cho thấy rằng ε\varepsilon đơn ánh khi và chỉ khi mọi phần tử của S′S' đều giản ước được; nhưng vì tập hợp các phần tử giản ước được của EE là một monoid con của EE (no. 2, Mệnh đề 2), điều đó cũng tương đương với việc nói rằng mọi phần tử của SS đều giản ước được.

† Nó cũng được gọi là monoid hiệu nếu luật trên EE được viết theo phép cộng.

Nếu ε\varepsilon là song ánh thì mọi phần tử của S đều khả nghịch, vì ε(S)\varepsilon(S) được tạo thành bởi các phần tử khả nghịch của ESE_S. Ngược lại, giả sử mọi phần tử của S đều khả nghịch; khi đó mọi phần tử của S′S' đều khả nghịch (no. 3, Hệ quả 2 của Mệnh đề 4) và do đó giản ước được. Khi đó ε\varepsilon là đơn ánh theo (ii) và a/p=ε(a.p∗)a/p = \varepsilon(a.p^*) theo (1), do đó ε\varepsilon là toàn ánh.

Định lý 1

Cho E là một nửa nhóm giao hoán, S là một tập con của E, ESE_S là nửa nhóm các phân thức liên kết với S và ε:E→ES\varepsilon : E \to E_S là đồng cấu chính tắc. Ngoài ra, cho f là một đồng cấu từ E vào một nửa nhóm F (không nhất thiết giao hoán) sao cho mọi phần tử của f(S)f(S) đều khả nghịch trong F. Tồn tại duy nhất một đồng cấu fˉ\bar{f} từ ESE_S vào F sao cho f=fˉ∘εf = \bar{f} \circ \varepsilon.

Nếu fˉ\bar{f} là một đồng cấu từ ESE_S vào F sao cho f=fˉ∘εf = \bar{f} \circ \varepsilon, thì

fˉ(a/p)=fˉ(ε(a)ε(p)∗)=fˉ(ε(a))fˉ(ε(p))∗=f(a)f(p)∗ \bar{f}(a/p) = \bar{f}(\varepsilon(a)\varepsilon(p)^*) = \bar{f}(\varepsilon(a))\bar{f}(\varepsilon(p))^* = f(a)f(p)^*
với a∈Ea \in E và p∈S′p \in S', do đó tính duy nhất của fˉ\bar{f}.

Cho g là ánh xạ từ E×S′E \times S' vào F được xác định bởi g(a,p)=f(a)f(p)∗g(a,p) = f(a)f(p)^*. Ta chứng minh rằng g là một đồng cấu từ E×S′E \times S' vào F. Trước hết,

g(e,e)=f(e)f(e)∗=e. g(e,e) = f(e)f(e)^* = e.
Cho (a,p)(a,p) và (a′,p′)(a',p') là hai phần tử của E×S′E \times S'; vì a′a' và pp giao hoán trong E, nên f(a′)f(a') và f(p)f(p) giao hoán trong F, do đó f(a′)f(p)∗=f(p)∗f(a′)f(a')f(p)^* = f(p)^*f(a') theo no. 3, Mệnh đề 5. Hơn nữa f(pp′)∗=f(p′p)∗=(f(p′)f(p))∗=f(p)∗f(p′)∗f(pp')^* = f(p'p)^* = (f(p')f(p))^* = f(p)^*f(p')^* theo no. 3, Mệnh đề 4, do đó
g(aa′,pp′)=f(aa′)f(pp′)∗=f(a)f(a′)f(p)∗f(p′)∗=f(a)f(p)∗f(a′)f(p′)∗=g(a,p)g(a′,p′). g(aa',pp') = f(aa')f(pp')^* = f(a)f(a')f(p)^*f(p')^* = f(a)f(p)^*f(a')f(p')^* = g(a,p)g(a',p').
Ta chứng minh rằng g tương thích với quan hệ tương đương R trên E×S′E \times S': nếu (a,p)(a,p) và (a′,p′)(a',p') đồng dư mod. R, thì tồn tại s∈S′s \in S' sao cho spa′=sap′spa' = sap', do đó f(s)f(p)f(a′)=f(s)f(a)f(p′)f(s)f(p)f(a') = f(s)f(a)f(p'). Vì f(s)f(s) khả nghịch, suy ra f(p)f(a′)=f(a)f(p′)f(p)f(a') = f(a)f(p') và khi đó bằng phép nhân bên trái với f(p)∗f(p)^* và phép nhân bên phải với f(p′)∗f(p')^*
g(a′,p′)=f(a′)f(p′)∗=f(p)∗f(a)=f(a)f(p)∗=g(a,p). g(a',p') = f(a')f(p')^* = f(p)^*f(a) = f(a)f(p)^* = g(a,p).
Do đó tồn tại một đồng cấu fˉ\bar{f} từ ESE_S vào F sao cho fˉ(a/p)=g(a,p)\bar{f}(a/p) = g(a,p), do đó fˉ(ε(a))=fˉ(a/e)=f(a)f(e)∗=f(a)\bar{f}(\varepsilon(a)) = \bar{f}(a/e) = f(a)f(e)^* = f(a). Suy ra fˉ∘ε=f\bar{f} \circ \varepsilon = f.

Hệ quả

Cho E và F là hai nửa nhóm giao hoán, S và T lần lượt là các tập con của E và F, f là một đồng cấu từ E vào F sao cho f(S)⊂Tf(S) \subset T và ε:E→ES,η:F→FT\varepsilon : E \to E_S, \eta : F \to F_T là các đồng cấu chính tắc. Tồn tại duy nhất một đồng cấu g:ES→FTg : E_S \to F_T sao cho g∘ε=η∘fg \circ \varepsilon = \eta \circ f.

Đồng cấu η∘f\eta \circ f từ E vào FTF_T ánh xạ mọi phần tử của S thành một phần tử khả nghịch của FTF_T.

(2) Để tồn tại nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát trên, không cần thiết phải giả sử nửa nhóm E là giao hoán, như suy ra từ Lý thuyết tập hợp, IV, § 3, no. 2 (cf. Bài tập 17).

Ta nêu hai trường hợp đặc biệt quan trọng của các nửa nhóm phân thức.

(a) Cho E‾=EE\overline{E} = E_E. Vì monoid E‾\overline{E} được sinh bởi tập hợp ε(E)∪ε(E)∗\varepsilon(E) \cup \varepsilon(E)^*, vốn gồm các phần tử khả nghịch, nên mọi phần tử của E‾\overline{E} đều khả nghịch (no. 3, Hệ quả 2 của Mệnh đề 4). Nói cách khác, E‾\overline{E} là một nhóm giao hoán. Hơn nữa, theo Định lý 1, mọi đồng cấu ff của E vào một nhóm G đều được phân tích duy nhất dưới dạng f=fˉ∘εf = \bar{f} \circ \varepsilon, trong đó fˉ:E‾→G\bar{f}: \overline{E} \to G là một đồng cấu. E‾\overline{E} được gọi là nhóm các phân thức của E (hay nhóm các hiệu của E trong trường hợp dùng ký hiệu cộng).

(b) Đặt Φ=EΣ\Phi = E_{\Sigma}, trong đó Σ\Sigma gồm các phần tử giản ước được của E. Theo Mệnh đề 6, (ii), đồng cấu chính tắc của E vào Φ\Phi là đơn ánh; ta sẽ đồng nhất E với ảnh của nó trong Φ\Phi. Do đó E là một monoid con của Φ\Phi, mọi phần tử giản ước được của E đều có một phần tử nghịch đảo trong Φ\Phi và mọi phần tử của Φ\Phi đều có dạng a/p=a.p∗a/p = a.p^* với a∈Ea \in E và p∈Σp \in \Sigma; khi đó a/p=a′/p′a/p = a'/p' khi và chỉ khi ap′=pa′ap' = pa'. Dễ thấy các phần tử khả nghịch của Φ\Phi là các phân thức a/pa/p, trong đó aa và pp đều giản ước được, và p/ap/a là nghịch đảo của a/pa/p.

Bây giờ cho S là một tập hợp các phần tử giản ước được của E và S′S' là monoid con của E được sinh bởi S. Nếu a/pa/p và a′/p′a'/p' là hai phần tử của ESE_S, thì a/p=a′/p′a/p = a'/p' khi và chỉ khi ap′=pa′ap' = pa' (vì sap′=spa′sap' = spa' suy ra ap′=pa′ap' = pa' với mọi s∈S′s \in S'). Do đó ESE_S có thể được đồng nhất với monoid con của Φ\Phi được sinh bởi E∪S∗E \cup S^*.

Nếu mọi phần tử của E đều giản ước được, thì Φ=E‾\Phi = \overline{E} và E là một monoid con của nhóm giao hoán Φ\Phi. Ngược lại, nếu E đẳng cấu với một monoid con của một nhóm, thì mọi phần tử của E đều giản ước được.

5. Ứng dụng: i. Các số nguyên hữu tỉ

Xét monoid giao hoán N\mathbf{N} của các số tự nhiên với luật hợp thành là phép cộng; mọi phần tử của N\mathbf{N} đều giản ước được theo luật này (Lý thuyết tập hợp, III, § 5, no. 2, Hệ quả 3). Nhóm hiệu của N\mathbf{N} được ký hiệu bởi Z\mathbf{Z}; các phần tử của nó được gọi là các số nguyên hữu tỉ; luật của nó được gọi là phép cộng các số nguyên hữu tỉ và cũng được ký hiệu bởi +. Đồng cấu chính tắc từ N\mathbf{N} vào Z\mathbf{Z} là đơn ánh và ta sẽ đồng nhất mỗi phần tử của N\mathbf{N} với ảnh của nó trong Z\mathbf{Z}. Theo định nghĩa, các phần tử của Z\mathbf{Z} là các lớp tương đương được xác định trong N×N\mathbf{N} \times \mathbf{N} bởi quan hệ giữa (m1,n1)(m_1, n_1) và (m2,n2)(m_2, n_2) được viết là m1+n2=m2+n1m_1 + n_2 = m_2 + n_1; một phần tử mm của N\mathbf{N} được đồng nhất với lớp gồm các phần tử (m+n,n)(m + n, n), trong đó n∈Nn \in \mathbf{N}; nó có trong Z\mathbf{Z} phần tử đối là lớp gồm các phần tử (n,m+n)(n, m + n). Mọi phần tử (p,q)(p, q) của N×N\mathbf{N} \times \mathbf{N} đều có thể viết dưới dạng (m+n,n)(m + n, n) nếu p≥qp \geq q hoặc dưới dạng (n,m+n)(n, m + n) nếu p≤qp \leq q; suy ra rằng Z\mathbf{Z} là hợp của N\mathbf{N} và tập hợp các phần tử đối của các phần tử của N\mathbf{N}. Phần tử đơn vị 0 là phần tử duy nhất của N\mathbf{N} mà phần tử đối của nó thuộc N\mathbf{N}.

Với mọi số tự nhiên mm, −m-m ký hiệu số nguyên hữu tỉ đối của mm và −N-\mathbf{N} ký hiệu tập hợp các phần tử −m-m với m∈Nm \in \mathbf{N}. Khi đó

Z=N∪(−N)vaˋN∩(−N)={0}. \mathbf{Z} = \mathbf{N} \cup (-\mathbf{N}) \quad \text{và} \quad \mathbf{N} \cap (-\mathbf{N}) = \{0\}.

với m∈Nm \in \mathbf{N}, m=−mm = -m khi và chỉ khi m=0m = 0.

Cho mm và nn là hai số tự nhiên;

(a) nếu m≥nm \geq n, thì m+(−n)=pm + (-n) = p, trong đó pp là phần tử của N\mathbf{N} sao cho m=n+pm = n + p; (b) nếu m≤nm \leq n, thì m+(−n)=−pm + (-n) = -p, trong đó pp là phần tử của N\mathbf{N} sao cho m+p=nm + p = n; (c) (−m)+(−n)=−(m+n)(-m) + (-n) = -(m + n).

Các tính chất (b) và (c) suy ra từ no. 3, Mệnh đề 4; vì Z=N∪(−N)\mathbf{Z} = \mathbf{N} \cup (-\mathbf{N}), phép cộng trong N\mathbf{N} và các tính chất (a), (b) và (c) mô tả hoàn toàn phép cộng trong Z\mathbf{Z}.

Tổng quát hơn, −x-x được dùng để ký hiệu phần tử đối của một số nguyên hữu tỉ tùy ý xx; hợp thành x+(−y)x + (-y) được viết tắt thành x−yx - y (xem no. 8).

Quan hệ thứ tự ≤\leq giữa các số tự nhiên được đặc trưng bởi tính chất sau: m≤nm \leq n khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên p∈Np \in \mathbf{N} sao cho m+p=nm + p = n (Lý thuyết tập hợp, III, § 3, no. 6, Mệnh đề 13 và § 5, no. 2, Mệnh đề 2). Quan hệ y−x∈Ny - x \in \mathbf{N} giữa các số nguyên hữu tỉ xx và yy là một quan hệ thứ tự toàn phần trên Z\mathbf{Z} mở rộng quan hệ thứ tự ≤\leq trên N\mathbf{N}. Thật vậy, với mọi x∈Zx \in \mathbf{Z}, x−x=0∈Nx - x = 0 \in \mathbf{N}; nếu y−x∈Ny - x \in \mathbf{N} và z−y∈Nz - y \in \mathbf{N}, thì

z−x=(z−y)+(y−x)∈N, z - x = (z - y) + (y - x) \in \mathbf{N},

vì N\mathbf{N} ổn định đối với phép cộng; nếu y−x∈Ny - x \in \mathbf{N} và x−y∈Nx - y \in \mathbf{N}, thì y−x=0y - x = 0, vì 0 là phần tử duy nhất của N\mathbf{N} mà số đối của nó thuộc N\mathbf{N}; với các số nguyên hữu tỉ tùy ý xx và yy, y−x∈Ny - x \in \mathbf{N} hoặc x−y∈Nx - y \in \mathbf{N}, vì Z=N∪(−N)\mathbf{Z} = \mathbf{N} \cup (-\mathbf{N}); cuối cùng, nếu xx và yy là các số tự nhiên, thì y−x∈Ny - x \in \mathbf{N} khi và chỉ khi tồn tại p∈Np \in \mathbf{N} sao cho x+p=yx + p = y. Quan hệ thứ tự này cũng được ký hiệu bởi ≤\leq.

Từ nay về sau, khi Z\mathbf{Z} được xét như một tập hợp có thứ tự, nếu không có nói gì khác, nó sẽ luôn được trang bị quan hệ thứ tự vừa định nghĩa, các số tự nhiên được đồng nhất với các số nguyên ≥0\geq 0; chúng cũng được gọi là các số nguyên dương; các số nguyên ≤0\leq 0, là số đối của các số nguyên dương, được gọi là các số nguyên âm; các số nguyên >0> 0 (tương ứng <0< 0) được gọi là các số nguyên dương ngặt (tương ứng âm ngặt); tập hợp các số nguyên >0> 0 đôi khi được ký hiệu là N∗\mathbf{N}^*.

Cho xx, yy và zz là ba số nguyên hữu tỉ; khi đó x≤yx \leq y khi và chỉ khi x + z \leq y + z. Vì x - y = (x + z) - (y + z). Tính chất này được diễn đạt bằng cách nói rằng quan hệ thứ tự trên Z\mathbf{Z} là bất biến đối với phép tịnh tiến.

6. Ứng dụng: ii. Phép nhân các số nguyên hữu tỉ

Bổ đề 2

Cho E là một monoid và x là một phần tử của E. (i) Tồn tại một đồng cấu duy nhất f từ N\mathbf{N} vào E với f(1)=xf(1) = x và f(n)=n1xf(n) = \frac{n}{1} x với mọi n∈Nn \in \mathbf{N}. (ii) Nếu x khả nghịch, tồn tại một đồng cấu duy nhất g từ Z\mathbf{Z} vào E sao cho g(1)=xg(1) = x và g trùng với f trên N\mathbf{N}.

Viết f(n)=n1xf(n) = \frac{n}{1} x với mọi n∈Nn \in \mathbf{N}, các công thức

01x=evaˋ(m1x)⋅(n1x)=m+n1x \frac{0}{1} x = e \quad \text{và} \quad \left( \frac{m}{1} x \right) \cdot \left( \frac{n}{1} x \right) = \frac{m+n}{1} x
(no. 1) diễn đạt rằng f là một đồng cấu từ N\mathbf{N} vào E và hiển nhiên f(1)=xf(1) = x. Nếu f′f' là một đồng cấu từ N\mathbf{N} vào E sao cho f′(1)=xf'(1) = x, thì f=f′f = f', theo § 1, no. 4, Mệnh đề 1, (iv).

Giả sử bây giờ x khả nghịch. Theo no. 3, Hệ quả 2 của Mệnh đề 4, f(n)=n1xf(n) = \frac{n}{1} x khả nghịch với mọi số nguyên n≥0n \geq 0. Theo phép dựng, Z\mathbf{Z} là nhóm các hiệu của N\mathbf{N} và do đó (no. 4, Định lý 1) f mở rộng duy nhất thành một đồng cấu g của Z\mathbf{Z} vào E. Nếu g′g' là một đồng cấu của Z\mathbf{Z} vào E với g′(1)=xg'(1) = x, hạn chế f′f' của g′g' lên N\mathbf{N} là một đồng cấu của N\mathbf{N} vào E với f′(1)=xf'(1) = x. Do đó f′=ff' = f, suy ra g′=gg' = g.

Chúng ta sẽ áp dụng Bổ đề 2 vào trường hợp monoid E là Z\mathbf{Z}; do đó với mọi số nguyên m∈Zm \in \mathbf{Z} tồn tại một tự đồng cấu fmf_m của Z\mathbf{Z} được đặc trưng bởi fm(1)=mf_m(1) = m. Nếu m thuộc N\mathbf{N}, ánh xạ n↦mnn \mapsto mn của N\mathbf{N} vào N\mathbf{N} là một tự đồng cấu của magma N\mathbf{N} (Lý thuyết tập hợp, III, § 3, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 5); do đó fm(n)=mnf_m(n) = mn với mọi m,nm, n thuộc N\mathbf{N}.

Phép nhân trên N\mathbf{N} do đó có thể được mở rộng thành phép nhân trên Z\mathbf{Z} bằng công thức mn=fm(n)mn = f_m(n) với m,nm, n thuộc Z\mathbf{Z}. Chúng ta sẽ thiết lập các công thức:

(2)

xy=yx xy = yx
(3)
(xy)z=x(yz) (xy)z = x(yz)
(4)
x(y+z)=xy+xz x(y+z) = xy + xz
(5)
(x+y)z=xz+yz (x+y)z = xz + yz
(6)
0.x=x.0=0 0.x = x.0 = 0
(7)
1.x=x.1=x 1.x = x.1 = x
(8)
(−1).x=x.(−1)=−x (-1).x = x.(-1) = -x

với x,y,zx, y, z trong Z\mathbf{Z}. (Nói cách khác, Z\mathbf{Z} là một vành giao hoán.) Các công thức x(y+z)=xy+xzx(y+z) = xy + xz và x.0=0x.0 = 0 biểu thị rằng fxf_x là một tự đồng cấu của monoid cộng tính Z\mathbf{Z} và fx(1)=xf_x(1) = x có thể được viết là x.1=xx.1 = x. Tự đồng cấu fx∘fyf_x \circ f_y của Z\mathbf{Z} biến 1 thành xyxy và do đó bằng fxyf_{xy}, do đó (3). Bây giờ fx(−y)=−fx(y)f_x(-y) = -f_x(y), nghĩa là x(−y)=−xyx(-y) = -xy; tương tự, tự đồng cấu y↦−xyy \mapsto -xy của Z\mathbf{Z} biến 1 thành −x-x, do đó (−x).y=−xy(-x).y = -xy và vì vậy

(−x)(−y)=−(x(−y))=−(−xy)=xy. (-x)(-y) = -(x(-y)) = -(-xy) = xy.
Với m,nm, n trong N\mathbf{N}, mn=nmmn = nm (Lý thuyết Tập hợp, III, § 3, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 5), do đó (−m).n=n(−m)(-m).n = n(-m) và (−m)(−n)=(−n)(−m)(-m)(-n) = (-n)(-m); vì Z=N∪(−N)\mathbf{Z} = \mathbf{N} \cup (-\mathbf{N}), xy=yxxy = yx với x,yx, y trong Z\mathbf{Z}; và công thức này có nghĩa là (5) suy ra từ (4) và hoàn tất chứng minh công thức (6) đến (8).

7. Ứng dụng: iii. Lũy thừa tổng quát

Cho E là một monoid có phần tử đơn vị ee và luật hợp thành được ký hiệu bởi ⊤\top. Nếu xx khả nghịch trong E, gọi gxg_x là đồng cấu từ Z\mathbf{Z} vào E biến 1 thành xx. Đặt gx(n)=n⊤xg_x(n) = \frac{n}{\top} x với mọi n∈Zn \in \mathbf{Z}; theo Bổ đề 2, ký hiệu này tương thích với ký hiệu đã đưa vào trước đây đối với n∈Nn \in \mathbf{N}. Khi đó

(9)m+n⊤x=(m⊤x)⊤(n⊤x)(10)0⊤x=e(11)1⊤x=x \begin{align*} \text{(9)} \quad & \frac{m+n}{\top} x = \left( \frac{m}{\top} x \right) \top \left( \frac{n}{\top} x \right) \\ \text{(10)} \quad & \frac{0}{\top} x = e \\ \text{(11)} \quad & \frac{1}{\top} x = x \end{align*}
với xx khả nghịch trong E và m,nm, n trong Z\mathbf{Z}. Hơn nữa, nếu y=m⊤xy = \frac{m}{\top} x, ánh xạ n↦gx(mn)n \mapsto g_x(mn) từ Z\mathbf{Z} vào E là một đồng cấu biến 1 thành yy, do đó gx(mn)=gy(n)g_x(mn) = g_y(n), nghĩa là
(12)mn⊤x=n⊤(m⊤x). \text{(12)} \quad \frac{mn}{\top} x = \frac{n}{\top} \left( \frac{m}{\top} x \right).
Vì −1-1 là phần tử đối của 1 trong Z\mathbf{Z}, −1⊤x\frac{-1}{\top} x là nghịch đảo của x=1⊤xx = \frac{1}{\top} x trong E. Nếu ta viết n=−mn = -m trong (9), ta thấy rằng −m⊤x\frac{-m}{\top} x là nghịch đảo của m⊤x\frac{m}{\top} x.

8. Ký hiệu

(a) Theo quy tắc chung, luật của một monoid giao hoán được viết theo phép cộng. Khi đó, theo quy ước, −x-x ký hiệu số đối của xx. Ký hiệu x+(−y)x + (-y) được viết tắt thành x−yx - y và tương tự

x+y−z,x−y−z,x−y+z−t,v.v. . . . x + y - z, \quad x - y - z, \quad x - y + z - t, \quad \text{v.v. . . .}
lần lượt biểu thị
x+y+(−z),x+(−y)+(−z),x+(−y)+z+(−t),v.v. . . . x + y + (-z), \quad x + (-y) + (-z), \quad x + (-y) + z + (-t), \quad \text{v.v. . . .}

Với n∈Zn \in \mathbf{Z}, ký hiệu ⊤nx\overset{n}{\top} x được thay bằng nxnx. Các công thức (9) đến (12) khi đó trở thành

(13)

(m+n).x=m.x+n.x (m + n).x = m.x + n.x
(14)
0.x=0 0.x = 0
(15)
1.x=x 1.x = x
(16)
m.(n.x)=(mn).x m.(n.x) = (mn).x

trong đó mm và nn thuộc N\mathbf{N} hoặc thậm chí thuộc Z\mathbf{Z} nếu xx có số đối. Cũng trong trường hợp sau, quan hệ (−1).x=−x(-1).x = -x đúng. Ta cũng chú ý đến công thức

(17)

n.(x+y)=n.x+n.y. n.(x + y) = n.x + n.y.

(b) Cho E là một monoid được viết theo phép nhân. Với n∈Zn \in \mathbf{Z}, ký hiệu ⊤nx\overset{n}{\top} x được thay bằng xnx^n. Ta có các quan hệ

xm+n=xm.xnx0=1x1=x(xm)n=xmn x^{m+n} = x^m.x^n \\ x^0 = 1 \\ x^1 = x \\ (x^m)^n = x^{mn}

và cả (xy)n=xnyn(xy)^n = x^ny^n nếu xx và yy giao hoán.

Khi xx có nghịch đảo, thì đây chính xác là x−1x^{-1}. Ký hiệu 1x\frac{1}{x} cũng được dùng thay cho x−1x^{-1}. Cuối cùng, khi monoid E giao hoán, xy\frac{x}{y} hoặc x/yx/y cũng được dùng để chỉ xy−1xy^{-1}.

Bài tập

Xem các bài tập của § 2.

Machine translation of the English, by gpt-5-6-mini, gpt-5-6, against glossary version 34. Not checked by a person. That model is a cut down version of the one the rest of this language was written by.