† Việc sử dụng thuật ngữ này và ký hiệu $\prod_{\alpha \in A} x_\alpha$ phải tránh nếu có bất kỳ nguy cơ nhầm lẫn nào với tích của các tập hợp $x_\alpha$ được định nghĩa trong lý thuyết tập hợp (Lý thuyết tập hợp, II, § 5, no. 3). Tuy nhiên, nếu các $x_\alpha$ là các lực lượng và phép cộng (tương ứng phép nhân) là tổng lực lượng (tương ứng tích lực lượng), thì lực lượng được ký hiệu bởi $\sum_{\alpha \in A} x_\alpha$ (tương ứng $\prod_{\alpha \in A} x_\alpha$) trong ký hiệu trên là tổng lực lượng (tương ứng tích lực lượng) của họ $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ (Lý thuyết tập hợp, III, § 3, no. 3).

§ 1.3

Ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo lực lượng $n$ của $A$. Gọi $p$ là lực lượng của $I$ và $h$ là phần tử nhỏ nhất của nó; đặt $J = I - \{h\}$. Nếu $n = 1$, vì các $B_i$ không rỗng, tất yếu $p = 1$ và định lý là hiển nhiên. Ngược lại, giả sử định lý đúng cho một tập chỉ số có nhiều nhất $n - 1$ phần tử, ta xét hai trường hợp:

(a) $B_h$ có một phần tử duy nhất $\beta$. Đặt $C = \bigcup_{i \in J} B_i$. Vế trái của (3) bằng, theo định nghĩa, $x_\beta \top \left( \prod_{\alpha \in C} x_\alpha \right)$; vế phải bằng, theo định nghĩa,

kết quả suy ra từ sự kiện rằng định lý được giả sử đúng đối với $C$ và $(B_i)_{i \in J}$.

(b) Ngược lại, gọi $\beta$ là phần tử nhỏ nhất của $A$ (và do đó của $B_h$); đặt $A' = A - \{\beta\}$ và đặt $B'_i = A' \cap B_i$ với $i \in I$; khi đó $B'_i = B_i$ với $i \in J$. Tập hợp $A'$ có $n - 1$ phần tử và các điều kiện của định lý đúng đối với $A'$ và các tập con $B'_i$ của nó; do đó theo giả thiết:

Lập hợp thành của $x_\beta$ với mỗi vế, ta có ở vế trái, theo định nghĩa, $\prod_{\alpha \in A} x_\alpha$ và ở vế phải, sử dụng tính kết hợp, bằng, theo Định nghĩa 3, vế phải của công thức (3).

Đối với một luật kết hợp được ký hiệu bởi $\top$ thì hợp thành $\prod_{p \leq i \leq q} x_i$ của một dãy $(x_i)_{i \in [p, q]}$ cũng được ký hiệu (vì không thể có sự nhầm lẫn) bởi

Một trường hợp riêng của Định lý 1 là công thức Xét một dãy có thứ tự gồm $n$ số hạng mà tất cả các số hạng đều bằng cùng một phần tử $x \in E$. Hợp thành của dãy này được ký hiệu bởi $\prod^n x$ đối với một luật được ký hiệu bởi $\top$, $\prod^n x$ đối với một luật được ký hiệu bởi $\perp$. Đối với một luật được viết theo phép nhân, hợp thành được ký hiệu bởi $x^n$ và được gọi là lũy thừa thứ $n$ của $x$. Đối với một luật được viết theo phép cộng, hợp thành thường được ký hiệu bởi $nx$. Định lý tính kết hợp áp dụng cho một dãy có thứ tự mà tất cả các số hạng đều bằng nhau cho phương trình

Đặc biệt, nếu $p = 2$,

và nếu $n_1 = n_2 = \cdots = n_p = m$,

Nếu $X$ là một tập con của $E$, đôi khi chúng ta ký hiệu, phù hợp với ký hiệu ở trên, bởi $\frac{p}{T} X$ tập hợp $X_1 T X_2 T \cdots T X_p$, trong đó

do đó nó là tập hợp tất cả các hợp thành $x_1 T x_2 T \cdots T x_p$ với $x_1 \in X, x_2 \in X, \ldots, x_p \in X$.

Điều quan trọng là không được nhầm tập hợp này với tập hợp của $\frac{p}{T} x$, trong đó $x$ chạy qua $X$.

Các khẳng định (i), (ii) và (iv) là hiển nhiên; ta chứng minh (iii). Gọi $\overline{X}$ là tập con ổn định của E sinh bởi X và $\overline{f(X)}$ là tập con ổn định của F sinh bởi $f(X)$. Theo (i) $\overline{f(X)} \subset f(\overline{X})$ và theo (ii) $\overline{X} \subset f^{-1}(\overline{f(X)})$, do đó $f(\overline{X}) \subset \overline{f(X)}$.

Suy ra ngay lập tức bằng quy nạp theo n rằng hợp thành của một dãy có thứ tự gồm n số hạng thuộc X thuộc tập con ổn định sinh bởi X; do đó chỉ cần kiểm tra rằng X' là ổn định. Bây giờ nếu u và v là các phần tử của X' thì chúng có dạng $u = x_0 \top x_1 \top \cdots \top x_{n-1}$, $v = x_n \top x_{n+1} \top \cdots \top x_{n+p}$ với $x_i \in X$ với $0 \leq i \leq n + p$; khi đó (Định lý 1) $u \top v = x_0 \top x_1 \top \cdots \top x_{n+p}$ thuộc X'.

Vì

Cho $X'$ và $X''$ lần lượt là toán tử trung tâm và toán tử trung tâm kép của $X$. Chúng là các tập con ổn định của $E$. Bây giờ $X \subset X''$ và $Y \subset X'$ và do đó $X''$ (tương ứng $X'$) chứa tập con ổn định của $E$ sinh bởi $X$ (tương ứng $Y$). Vì mọi phần tử của $X''$ giao hoán với mọi phần tử của $X'$, mệnh đề được suy ra.

Vì định lý đúng nếu A có một phần tử duy nhất, ta lập luận bằng quy nạp theo số $p$ các phần tử của A. Cho $p$ là một số nguyên > 1 và giả sử định lý đúng khi Card A < $p$. Ta chứng minh nó cho Card A = $p$. Có thể giả sử rằng A là khoảng $[0, p - 1]$ trong $\mathbf{N}$; hợp thành của dãy có thứ tự $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ được xác định bởi quan hệ thứ tự tự nhiên trên A là $\prod_{i=0}^{p-1} x_i$.

Cho A một thứ tự toàn phần khác và cho h là phần tử nhỏ nhất của A theo thứ tự này và A' là tập các phần tử khác của A (được sắp thứ tự toàn phần bởi thứ tự cảm sinh). Trước hết giả sử $0 < h < p - 1$ và cho P = $\{0, 1, \ldots, h - 1\}$ và Q = $\{h + 1, \ldots, p - 1\}$; định lý được giả sử đúng cho A', áp dụng định lý kết hợp, ta thu được (vì $A' = P \cup Q$)

do đó, hợp thành $x_h$ với cả hai vế và áp dụng lặp lại tính giao hoán và tính kết hợp của T:

điều này chứng minh định lý trong trường hợp này. Nếu $h = 0$ hoặc $h = p - 1$, cùng một kết quả vẫn đúng, nhưng đơn giản hơn, các số hạng xuất phát từ P hoặc các số hạng xuất phát từ Q không xuất hiện trong các công thức.

Dưới một luật kết hợp giao hoán trên một tập hợp E, hợp thành của một họ hữu hạn $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ các phần tử của E, theo định nghĩa, là giá trị chung của các hợp thành của tất cả các dãy có thứ tự thu được bằng cách sắp thứ tự toàn phần A theo mọi cách có thể. Hợp thành này vẫn được ký hiệu là $\prod_{\alpha \in A} x_\alpha$ dưới một luật ký hiệu là T; tương tự đối với các ký hiệu khác.

Điều này suy ra từ Định lý 2 nếu $A$ và $I$ được sắp thứ tự toàn phần sao cho các $B_i$ thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.

Ta nêu riêng hai trường hợp đặc biệt quan trọng của định lý này:

1. Nếu $(x_{\alpha \beta})_{(\alpha, \beta) \in A \times B}$ là một họ hữu hạn các phần tử hoán vị được của một magmơ kết hợp mà tập chỉ số của nó là tích của hai tập hữu hạn không rỗng $A, B$ (một "họ kép"), thì

như suy ra từ Định lý 3 bằng cách xem xét $A \times B$ như hợp của các tập $\{\alpha\} \times B$ một mặt và của các tập $A \times \{\beta\}$ mặt khác.

Ví dụ, nếu $B$ có $n$ phần tử và với mỗi $\alpha \in A$ tất cả các $x_{\alpha \beta}$ đều có cùng một giá trị $x_\alpha$, thì

Nếu $B$ có hai phần tử, ta thu được các kết quả sau: cho $(x_\alpha)_{\alpha \in A}, (y_\alpha)_{\alpha \in A}$ là hai họ không rỗng các phần tử của $E$. Nếu các $x_\alpha$ và các $y_\beta$ từng đôi một khả hoán, thì

Do công thức (7), hợp thành của một dãy kép $(x_{ij})$ mà tập chỉ số là tích của hai khoảng $\{p, q\}$ và $\{r, s\}$ trong $\mathbf{N}$ thường được ký hiệu, đối với một luật giao hoán kết hợp được viết theo phép cộng, bởi

và tương tự đối với các luật được ký hiệu bằng những ký hiệu khác.

2. Cho $n$ là một số nguyên $> 0$ và cho $A$ là tập các cặp có thứ tự của các số nguyên $(i, j)$ sao cho $0 \leq i \leq n, 0 \leq j \leq n$ và $i < j$; hợp thành của một họ $(x_{ij})_{(i, j) \in A}$ (theo một luật kết hợp giao hoán) cũng được ký hiệu bởi $\prod_{0 \leq i < j \leq n} x_{ij}$ (hoặc đơn giản là $\prod_{i < j} x_{ij}$, nếu không gây nhầm lẫn); Định lý 3 ở đây cho các công thức

Có các công thức tương tự công thức (7) đối với một họ mà tập chỉ số là tích của nhiều hơn hai tập, và các công thức tương tự công thức (10) đối với một họ mà tập chỉ số là tập $S_p$ các dãy tăng ngặt $(i_k)_{1 \leq k \leq p}$ gồm $p$ số nguyên sao cho $0 \leq i_k \leq n$ ($p \leq n + 1$): trong trường hợp sau, hợp thành của họ $(x_{i_1 i_2 \ldots i_p})_{(i_1, \ldots, i_p) \in S_p}$ được ký hiệu bởi

Với mọi phần tử x và y của E:

Gọi $\top$ là luật trên $E$. Nếu $x$ và $y$ là hai phần tử của $B$ thì tồn tại hai phần tử $x'$ và $y'$ của $A$ sao cho $x \equiv x' \pmod{R}$ và $y \equiv y' \pmod{R}$; khi đó $x \top y \equiv x' \top y' \pmod{R}$ và $x' \top y' \in A$, do đó $x \top y \in B$. Vậy $B$ là một tập con ổn định của $E$ và các khẳng định khác là hiển nhiên.

Cho $M$ là một magma và $((u_\alpha, v_\alpha))_{\alpha \in I}$ là một họ các phần tử của $M \times M$. Xét tất cả các quan hệ tương đương $S$ trên $M$ tương thích với luật trên $M$ và sao cho $u_\alpha \equiv v_\alpha \pmod{S}$ với mọi $\alpha \in I$. Giao của các đồ thị của các quan hệ này là đồ thị của một quan hệ tương đương $R$ tương thích với luật trên $M$ và sao cho $u_\alpha \equiv v_\alpha \pmod{R}$. Do đó $R$ là quan hệ tương đương mịn nhất (Lý thuyết tập hợp, III, § 1, các số 3 và 7) có hai tính chất này. Nó được gọi là quan hệ tương đương tương thích với luật trên $M$ sinh bởi các $(u_\alpha, v_\alpha)$.

Cho $T$ là quan hệ tương đương liên kết với $f$. Khi đó $u_\alpha \equiv v_\alpha \pmod{T}$ với mọi $\alpha \in I$ và $T$ tương thích với luật trên $M$, do đó $T$ thô hơn $R$; điều này chứng minh mệnh đề.