Rõ ràng $h_{\mathbf{A}}(1) = 1$.

Ta chứng minh rằng $h_{\mathbf{A}}$ là một cấu xạ đối với phép cộng. Cho $x, y$ là hai phần tử của $\tilde{K}$ sao cho $h_{\mathbf{A}}(x) + h_{\mathbf{A}}(y)$ được xác định. Khi đó một trong hai phần tử $x, y$ thuộc về $\mathbf{A}$ và do đó $x + y$ được xác định. Nếu $x \in \mathbf{A}$ và $y \in \mathbf{A}$, rõ ràng

đúng. Nếu $x \in \mathbf{A}$ và $y \notin \mathbf{A}$, thì $x + y \notin \mathbf{A}$ và hai vế của công thức trên đều bằng $\infty$.

Cuối cùng ta chứng minh rằng $h_{\mathbf{A}}$ là một cấu xạ đối với phép nhân. Cho $x \in K, y \in K$ sao cho $h_{\mathbf{A}}(x)h_{\mathbf{A}}(y)$ được xác định. Nếu $x \in \mathbf{A}$ và $y \in \mathbf{A}$, rõ ràng $xy$ được xác định và $h_{\mathbf{A}}(x)h_{\mathbf{A}}(y) = h_{\mathbf{A}}(xy)$. Bây giờ giả sử rằng một trong các phần tử $x, y$, chẳng hạn $y$, không thuộc $\mathbf{A}$; vì $h_{\mathbf{A}}(y) = \infty$, $h_{\mathbf{A}}(x) \neq 0$, nghĩa là $x \notin m(\mathbf{A})$, do đó $x^{-1} \in \mathbf{A}$; suy ra $xy$ được xác định và $xy \notin \mathbf{A}$, do đó

Điều này chứng minh Mệnh đề 1.

Nếu $j$ là một đẳng cấu của $\kappa(\mathbf{A})$ lên một trường con của một trường L, $j \circ h_{\mathbf{A}} : \tilde{K} \to \tilde{L}$ là một nơi của K với các giá trị trong L. Quá trình trên thực sự cung cấp tất cả các nơi trên K. Nói chính xác hơn:

Nếu $f = j \circ h_{\mathbf{A}}$, điều kiện $f(x) \neq \infty$ (tương ứng. $f(x) = 0$) tương đương với điều kiện $h_{\mathbf{A}}(x) \neq \infty$ (tương ứng. $h_{\mathbf{A}}(x) = 0$) và do đó với điều kiện $x \in \mathbf{A}$ (tương ứng. $x \in m(\mathbf{A})$). Do đó $\mathbf{A}$ được xác định duy nhất và, vì $h_{\mathbf{A}}$ là toàn ánh, $j$ cũng là duy nhất.

Bây giờ cho $f$ là một place bất kỳ của K có các giá trị trong L; ký hiệu $\mathbf{A}$ là tập hợp các $x \in K$ sao cho $f(x) \neq \infty$. Nếu $x \in \mathbf{A}$ và $y \in \mathbf{A}$, các hợp thành $f(x) - f(y)$ và $f(x)f(y)$ được xác định và $\neq \infty$, điều này cho thấy rằng $x - y \in \mathbf{A}$ và $xy \in \mathbf{A}$; do đó $\mathbf{A}$ là một vành con của K. Nếu $x \notin \mathbf{A}$, thì $f(x) = \infty$, do đó $f(x^{-1}) = 0$ và $x^{-1}$ thuộc hạt nhân $m$ của đồng cấu $f'$ thu được bằng cách hạn chế $f$ vào $\mathbf{A}$. Ngược lại nếu $y \in m$, thì $y^{-1} \notin \mathbf{A}$. Điều này cho thấy rằng $\mathbf{A}$ là một vành định giá của K và rằng $m$ là iđêan cực đại của nó. Gọi $j$ là đơn cấu từ $\kappa(\mathbf{A})$ vào L dẫn xuất từ f' bằng cách chuyển qua thương. Khi đó $f(x) = j(h_A(x))$ với mọi $x \in A$ và đẳng thức này vẫn đúng với $x \notin A$, khi đó hai vế đều bằng $\infty$.

Phân tích $f = j \circ h_A$ được gọi là phân tích chính tắc của placef. $A$ được gọi là vành của f, $m(A)$ là iđêan của $f$ và $\kappa(A)$ là trường thặng dư của f. Để hai place $f : \mathbf{K} \to \mathbf{L}$ và $f' : \mathbf{K} \to \mathbf{L}'$ có cùng một vành, điều kiện cần và đủ là tồn tại một đẳng cấu của trường giá trị của f lên trường giá trị của f' sao cho $f' = s \circ f$; khi đó $f$ và $f'$ được gọi là tương đương. Ta thấy rằng mọi kết quả về các vành định giá có thể được chuyển thành một kết quả về các place và ngược lại; đó là điều chúng ta sẽ thực hiện trong các số tiếp theo.

Các ví dụ về các điểm (1) Cho $K$ là một trường. Ánh xạ đồng nhất trên $K$ là một điểm tầm thường với vành $K$ và iđêan $(0)$. (2) Cho $k$ là một trường. Với mọi $u \in k((T))^\sim$, ta viết $f(u) = \infty$ nếu $u \notin k[[T]]$ và định nghĩa $f(u)$ là số hạng hằng của $u$ nếu $u \in k[[T]]$. Khi đó $f$ là một điểm của $k((T))$, với trường thặng dư $k$ và vành $k[[T]]$. Vì $k[[T]]$ là một vành định giá của $k((T))$ (§ 1, no. 4, Ví dụ 3 ) và hạn chế của $f$ trên $k[[T]]$ được đồng nhất với đồng cấu chính tắc của $k[[T]]$ lên trường thặng dư của nó. (3) Cho $k$ là một trường, $a$ là một phần tử của $k$ và $A$ là tập hợp các $u \in k(X)$ sao cho $a$ có thể thế vào $u$ (Đại số, Chương IV, § 3, no. 2). Nếu $p$ ký hiệu iđêan nguyên tố $(X - a)$ của $k[X]$, thì $A = k[X]_p$, do đó $A$ là một vành định giá của $k(X)$ (§ 1, no. 4, Mệnh đề 2). Với mọi $u \in k(X)^\sim$, ta viết $f(u) = \infty$ nếu $u \notin A$ và $f(u) = u(a)$ nếu $u \in A$. Khi đó $f$ là một điểm của $k(X)$ với trường thặng dư $k$ và vành $A$; vì hạn chế của f trên $A$ là một đồng cấu từ $A$ lên $k$ (Đại số, Chương IV, § 3, Mệnh đề 2) có hạt nhân $pA = m(A)$. Phần tử $f(u) \in k$ được gọi là thu được bằng cách đặt $X = a$ trong $u$. \* (4) Cho $S$ là một đa tạp giải tích phức liên thông có chiều 1 và $K$ là trường các hàm phân hình trên $S$. Với mọi $z_0 \in S$, ánh xạ $f \mapsto f(z_0)$ từ $K$ đến $\mathbf{C}$ là một điểm của $K$, có vành là tập hợp các $f \in K$ giải tích tại $z_0$ và có iđêan là tập hợp các $f \in K$ bằng không tại $z_0$. Chính ví dụ này và các ví dụ tương tự khác là nguồn gốc của thuật ngữ "điểm".*

Xét đến Mệnh đề 1, đây là bản dịch của Định lý 2 của § 1, no. 2.

Gọi $V$ là vành off, $g$ là hạn chế của f lên $V$ và $g'$ là mở rộng của $g$ lên $V[x_1, \ldots, x_n]$ sao cho $g'(x_i) = a,$ với $1 \leq i \leq n.$ Chỉ cần lấy $L'$ là một bao đóng đại số của $L$ và áp dụng Mệnh đề 3 cho $g'$ và $L'$: ta thu được một vị tríf': $K' \to \tilde{L}'$ mở rộng $g'$; nếu $x \in K - V,$ thì $x^{-1} \in m(V),$ do đó $f(x^{-1}) = g(x^{-1}) = 0$ và $f'(x) = \infty = f(x);$ do đóf' mở rộngf.

Nếu $f$ là một vị trí của $K$ mở rộng $h, f$ hữu hạn trên $S_p$ và không trên $pS_p$ và do đó vành của vị trí $f$ trội $S_p.$ Ngược lại, nếu $V$ là một vành định giá của $K$ trội $S_p,$ $V$ là vành của một vị tríf mà hạn chế của nó trên $S$ là một đồng cấu có cùng hạt nhân như $h;$ thay thế $f$ bởi một vị trí tương đương, ta thấy rằng $V$ là vành của một vị trí của $K$ mở rộng $h.$ Nói rằng mọi vị trí của $K$ mở rộng $h$ đều hữu hạn tại $x$ tương đương với nói rằng $x$ thuộc mọi vành định giá của $K$ trội $S_p.$ Mệnh đề khi đó suy ra từ Định lý 3 của § 1, no. 3.

Đây cũng là một hệ quả của Định lý 3 của § 1, no. 3.