2. Các cấu xạ và các cấu trúc dẫn xuất

1. Các cấu xạ

Trong tiết này và tiết sau, để đơn giản hóa, ta sẽ giả thiết rằng loài cấu trúc đang xét chỉ có một tập hợp cơ sở (do đó là một tập hợp cơ sở chính). Người đọc sẽ không gặp khó khăn gì trong việc mở rộng các định nghĩa và kết quả cho trường hợp tổng quát.

Cho $\Sigma$ là một loài cấu trúc trong một lý thuyết $\mathscr{T}$ mạnh hơn lý thuyết tập hợp, và cho $x$, $y$, $s$, $t$ là bốn chữ cái phân biệt từng đôi một và khác với các hằng của $\mathscr{T}$. Ta nhắc lại rằng ký hiệu $\mathfrak{F}(x,y)$ biểu thị tập hợp các ánh xạ từ $x$ vào $y$ (Chương II, § 5, no. 2). Giả sử ta được cho một số hạng $\sigma\{x,y,s,t\}$ trong $\mathscr{T}$ thỏa mãn các điều kiện sau :

$(\mathrm{MO}_{\mathrm{I}})$ Quan hệ “$s$ là một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên $x$, và $t$ là một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên $y$” kéo theo, trong E, quan hệ $\sigma\{x,y,s,t\}\subset\mathfrak{F}(x,y)$.

$(\mathrm{MO}_{\mathrm{II}})$ Nếu, trong một lý thuyết $\mathscr{T}'$ mạnh hơn $\mathscr{T}$, ta có ba tập hợp E, E′, E″ được trang bị tương ứng các cấu trúc $\mathscr{S}$, $\mathscr{S}'$, $\mathscr{S}''$ thuộc loài $\Sigma$, thì các quan hệ $f\in\sigma\{E,E',\mathscr{S},\mathscr{S}'\}$ và $g\in\sigma\{E',E'',\mathscr{S}',\mathscr{S}''\}$ kéo theo quan hệ

$(\mathrm{MO}_{\mathrm{III}})$ Nếu, trong một lý thuyết $\mathscr{T}'$ mạnh hơn $\mathscr{T}$, ta có hai tập hợp E, E′ được trang bị tương ứng các cấu trúc $\mathscr{S}$, $\mathscr{S}'$ thuộc loài $\Sigma$, thì một song ánh $f$ từ E lên E′ là một đẳng cấu khi và chỉ khi $f\in\sigma\{E,E',\mathscr{S},\mathscr{S}'\}$ và $f^{-1}\in\sigma\{E',E,\mathscr{S}',\mathscr{S}\}$.

Nếu $\Sigma$ và $\sigma$ được cho, quan hệ $f\in\sigma\{x,y,s,t\}$ được diễn đạt bằng cách nói rằng $f$ là một cấu xạ (hay một $\sigma$-*cấu xạ*) của $x$, được trang bị $s$, vào $y$, được trang bị $t$. Nếu (trong một lý thuyết $\mathscr{T}'$ mạnh hơn $\mathscr{T}$) E và E′ là hai tập hợp được trang bị các cấu trúc $\mathscr{S},\mathscr{S}'$ thuộc loài $\Sigma$, thì số hạng $\sigma\{E,E',\mathscr{S},\mathscr{S}'\}$ là tập hợp các $\sigma$-cấu xạ từ E vào E′.

Ví dụ

2. Các cấu trúc mịn hơn

Trong phần còn lại của tiết diện này, ta sẽ giả sử rằng đã cho một loài cấu trúc $\Sigma$ và một khái niệm về $\sigma$-cấu xạ tương đối với loài cấu trúc này; mọi khái niệm sẽ được đưa vào sẽ không những phụ thuộc vào $\Sigma$ mà còn phụ thuộc vào khái niệm về $\sigma$-cấu xạ đang xét. Thông thường ta sẽ nói "cấu xạ" thay cho "$\sigma$-cấu xạ".

¶ Cho E là một tập hợp và cho $\mathscr{S}_1$, $\mathscr{S}_2$ là hai cấu trúc thuộc loài cấu trúc $\Sigma$ trên E. Cấu trúc $\mathscr{S}_1$ được gọi là mịn hơn $\mathscr{S}_2$ (và $\mathscr{S}_2$ thô hơn $\mathscr{S}_1$) nếu ánh xạ đồng nhất của E, được trang bị $\mathscr{S}_1$, lên E, được trang bị $\mathscr{S}_2$, là một cấu xạ.

Khi cần để tránh mơ hồ, ta sẽ nói rằng $\mathscr{S}_1$ mịn hơn $\mathscr{S}_2$ tương đối với khái niệm về $\sigma$-cấu xạ đang xét; và tương tự đối với mọi khái niệm khác sẽ được định nghĩa trong tiết diện này.

Giả sử rằng $\mathscr{S}_1$ mịn hơn $\mathscr{S}_2$. Nếu E$'$ là một tập hợp được trang bị một cấu trúc $\mathscr{S}'$ thuộc loài $\Sigma$, và nếu $f$ là một cấu xạ của E, được trang bị $\mathscr{S}_2$, vào E$'$, được trang bị $\mathscr{S}'$, thì $f$ cũng là một cấu xạ của E, được trang bị $\mathscr{S}_1$, vào E$'$, được trang bị $\mathscr{S}'$; điều này suy ra từ định nghĩa trước và từ $(\mathrm{MO_{II}})$. Tương tự, nếu $g$ là một cấu xạ của E$'$, được trang bị $\mathscr{S}'$, vào E, được trang bị $\mathscr{S}_1$, thì $g$ cũng là một cấu xạ của E$'$, được trang bị $\mathscr{S}'$, vào E, được trang bị $\mathscr{S}_2$.

Vì thế, cấu trúc (thuộc loài $\Sigma$) trên E càng mịn hơn thì càng có nhiều cấu xạ với E làm nguồn, và càng có ít cấu xạ với E làm đích.

Quan hệ "$\mathscr{S}_1$ thô hơn $\mathscr{S}_2$" là một quan hệ thứ tự giữa $\mathscr{S}_1$ và $\mathscr{S}_2$ trên tập hợp tất cả các cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên E; vì nó phản xạ theo $(\mathrm{MO_{III}})$, bắc cầu theo $(\mathrm{MO_{II}})$, và nếu một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ vừa mịn hơn vừa thô hơn một cấu trúc khác, thì hai cấu trúc ấy trùng nhau theo $(\mathrm{MO_{III}})$. Phù hợp với các định nghĩa chung (Chương III, § 1, no. 14), hai cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên E được gọi là so sánh được nếu một cấu trúc mịn hơn cấu trúc kia; một cấu trúc được gọi là mịn hơn hẳn (tương ứng thô hơn hẳn) một cấu trúc khác nếu nó mịn hơn (tương ứng thô hơn) cấu trúc kia và khác với nó.

Ví dụ

3. Cấu trúc ban đầu

Xét một họ $(A_\iota)_{\iota \in I}$ các tập hợp, mỗi tập hợp trong đó được trang bị một cấu trúc $\mathscr{S}_\iota$ thuộc loài $\Sigma$. Cho E là một tập hợp, và với mỗi $\iota \in I$ cho $f_\iota$ là một ánh xạ của E vào $A_\iota$. Một cấu trúc $\mathscr{S}$ thuộc loài $\Sigma$ trên E được gọi là một cấu trúc ban đầu đối với họ $(A_\iota, \mathscr{S}_\iota, f_\iota)_{\iota \in I}$ nếu nó có tính chất sau :

(IN) Với mọi tập hợp E', mọi cấu trúc thuộc loài $\mathscr{S}'$ trên E', và mọi ánh xạ $g$ của E' vào E, quan hệ

"$g$ là một cấu xạ của E' vào E"

là tương đương với quan hệ

"với mỗi $\iota \in I, f_\iota \circ g$ là một cấu xạ của E' vào $A_\iota$".

CST9. Nếu tồn tại một cấu trúc ban đầu trên E đối với họ $(\mathrm{A}_\iota,\ \mathscr{S}_\iota,\ f_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$, thì nó là cấu trúc thô nhất trong tất cả các cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên E mà mỗi ánh xạ $f_\iota$ là một cấu xạ, và do đó là duy nhất.

Cho $\mathscr{I}$ là một cấu trúc ban đầu trên E, và cho $\mathscr{S}$ là một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên E sao cho mỗi $f_\iota$ là một cấu xạ. Nếu $i$ ký hiệu ánh xạ đồng nhất của E, được trang bị với $\mathscr{S}$, vào E, được trang bị với $\mathscr{I}$, thì $f_\iota \circ i$ là một cấu xạ với mọi $\iota \in \mathrm{I}$, và điều kiện (IN) chỉ ra rằng $i$ là một cấu xạ, điều này có nghĩa (no. 2) rằng $\mathscr{S}$ mịn hơn $\mathscr{I}$. Mặt khác, áp dụng (IN) vào trường hợp trong đó $g$ là ánh xạ đồng nhất của E (được trang bị với $\mathscr{I}$) lên chính nó, ta thấy (theo $(\mathrm{MO_{III}})$) rằng mỗi $f_\iota$ là một cấu xạ của E vào $\mathrm{A}_\iota$, điều này hoàn thành chứng minh.

Có thể xảy ra rằng tồn tại một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên E là thô nhất trong tất cả các cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ mà các $f_\iota$ là các cấu xạ, nhưng cấu trúc này không phải là cấu trúc ban đầu đối với $(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, f_\iota)$ (Bài tập 6).

Ta có tiêu chuẩn tính bắc cầu sau :

CST10. Cho E là một tập hợp, cho $(\mathrm{A}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$ là một họ các tập hợp, và với mỗi $\iota \in \mathrm{I}$ cho $\mathscr{S}_\iota$ là một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên $\mathrm{A}_\iota$. Cho $(\mathrm{J}_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}$ là một phân hoạch của I, và cho $(\mathrm{B}_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}$ là một họ các tập hợp được đánh chỉ số bởi L. Với mỗi $\lambda \in \mathrm{L}$ cho $h_\lambda$ là một ánh xạ của E vào $\mathrm{B}_\lambda$, và với mỗi $\lambda \in \mathrm{L}$ và mỗi $\iota \in \mathrm{J}_\lambda$ cho $g_{\lambda\iota}$ là một ánh xạ của $\mathrm{B}_\lambda$ vào $\mathrm{A}_\iota$, và cho $f_\iota = g_{\lambda\iota} \circ h_\lambda$. Giả sử rằng, với mỗi $\lambda \in \mathrm{L}$, tồn tại một cấu trúc ban đầu $\mathscr{S}'_\lambda$ trên $\mathrm{B}_\lambda$ đối với họ $(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, g_{\lambda\iota})_{\iota \in \mathrm{J}_\lambda}$. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương :

(a) tồn tại một cấu trúc ban đầu $\mathscr{I}$ trên E đối với họ $(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, f_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$;

(b) tồn tại một cấu trúc ban đầu $\mathscr{I}'$ trên E đối với họ $(\mathrm{B}_\lambda, \mathscr{S}'_\lambda, h_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}$.

Hơn nữa, các mệnh đề này kéo theo $\mathscr{I} = \mathscr{I}'$.

Cho F là một tập hợp được trang bị một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$, và cho $u$ là một ánh xạ từ F vào E. Hãy nhận thấy rằng theo định nghĩa, quan hệ "$h_\lambda \circ u$ là một cấu xạ từ F vào $\mathrm{B}_\lambda$" là tương đương với quan hệ "với mọi $\iota \in \mathrm{J}_\lambda$, $g_{\lambda\iota} \circ h_\lambda \circ u = f_\iota \circ u$ là một cấu xạ từ F vào $\mathrm{A}_\iota$". Do đó, quan hệ

(1) "với mọi $\lambda \in \mathrm{L}$, $h_\lambda \circ u$ là một cấu xạ từ F vào $\mathrm{B}_\lambda$"

là tương đương với quan hệ

(2) "với mọi $\iota \in \mathrm{I}$, $f_\iota \circ u$ là một cấu xạ từ F vào $\mathrm{A}_\iota$".

Bây giờ, nói rằng $\mathscr{I}'$ là cấu trúc ban đầu đối với họ $(\mathrm{B}_\lambda, \mathscr{S}'_\lambda, h_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}$ có nghĩa là quan hệ (1) tương đương với quan hệ "$u$ là một cấu xạ từ F vào E được trang bị $\mathscr{I}'$"; và nói rằng $\mathscr{I}$ là cấu trúc ban đầu đối với họ $(A_i,\,\mathscr{S}_i,\,f_i)_{i\in I}$ có nghĩa là quan hệ (2) tương đương với quan hệ “$u$ là một cấu xạ từ F vào E được trang bị $\Gamma$”. Do đó suy ra kết quả, theo tính chất duy nhất của cấu trúc ban đầu.

4. Các ví dụ về cấu trúc ban đầu

I. Ảnh ngược của một cấu trúc. Khi I là một tập hợp gồm một phần tử duy nhất, cấu trúc ban đầu đối với $(A,\,\mathscr{S},\,f)$ được gọi là ảnh ngược theo $f$ của cấu trúc $\mathscr{S}$ (khi nó tồn tại).

\* Một tôpô luôn luôn có ảnh ngược theo bất kỳ ánh xạ nào $f$; nhưng điều này không đúng đối với một cấu trúc thứ tự hoặc một cấu trúc đại số. \*

II. Cấu trúc cảm sinh. Cho A là một tập hợp được trang bị một cấu trúc $\mathscr{S}$ thuộc loài $\Sigma$, cho B là một tập con của A, và cho $j$ là đơn ánh chính tắc từ B vào A. Khi đó ảnh ngược theo $j$ của cấu trúc B (nếu nó tồn tại) được gọi là cấu trúc do $\mathscr{S}$ cảm sinh trên B.

Một cấu trúc thứ tự cảm sinh một cấu trúc cùng loài trên mọi tập con của tập hợp mà trên đó nó được xác định; nhưng điều này không đúng đối với cấu trúc của một tập có hướng. \* Một tôpô cảm sinh một tôpô trên mọi tập con của tập hợp mà trên đó nó được xác định, nhưng một tôpô compắc nói chung không cảm sinh một tôpô compắc. Một cấu trúc đại số trên một tập hợp A nói chung không cảm sinh một cấu trúc cùng loài trên một tập con tùy ý B; nếu cấu trúc đã cho trên A gồm các luật hợp thành được xác định khắp nơi, thì điều cần thiết là B phải ổn định đối với mỗi luật trong các luật ấy, nhưng điều kiện cần này không phải lúc nào cũng đủ. \*

Tiêu chuẩn tổng quát CST10 cho ta tiêu chuẩn bắc cầu sau đây đối với các cấu trúc cảm sinh:

CST11. Cho B là một tập con của A, cho C là một tập con của B, và cho $\mathscr{S}$ là một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên A, cấu trúc này cảm sinh một cấu trúc $\mathscr{S}'$ cùng loài trên B. Khi đó $\mathscr{S}$ cảm sinh một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên C khi và chỉ khi $\mathscr{S}'$ cảm sinh một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên C, và khi ấy các cấu trúc do $\mathscr{S}$ và $\mathscr{S}'$ cảm sinh trên C là đồng nhất.

CST12. Cho A, A' là hai tập hợp được trang bị các cấu trúc $\mathscr{S}$, $\mathscr{S}'$ thuộc loài $\Sigma$. Cho B là một tập con của A, và B' là một tập con của A'. Giả sử rằng $\mathscr{S}$ (tương ứng $\mathscr{S}'$) cảm sinh một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên B (tương ứng B'). Nếu $f$ là một cấu xạ từ A vào A' sao cho $f(B)\subset B'$, thì ánh xạ từ B vào B' trùng với $f$ trên B là một cấu xạ (đối với các cấu trúc do $\mathscr{S}$ và $\mathscr{S}'$ cảm sinh).

Cho $j$ (resp. $j'$) là đơn ánh chính tắc của B (resp. B') vào A (resp. A'). Theo định nghĩa ta có $f\circ j=j'\circ g$. Vì $f$ và $j$ là các cấu xạ, nên $f\circ j$ cũng vậy theo (MO$_{\mathrm{II}}$); nhưng khi đó, vì $j'\circ g$ là một cấu xạ, nên ánh xạ $g$ là một cấu xạ theo định nghĩa của cấu trúc ban đầu.

III. Cấu trúc tích. Cho $(A_i)_{i\in I}$ là một họ các tập hợp, và trên mỗi tập hợp $A_i$ cho $\mathscr{S}_i$ là một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$. Cho $E=\prod_{i\in I}A_i$ là tích của họ $(A_i)_{i\in I}$ (Chương II, § 5), và ký hiệu $\operatorname{pr}_i$ là phép chiếu của $E$ lên $A_i$. Cấu trúc ban đầu (nếu tồn tại) đối với họ $(A_i,\mathscr{S}_i,\operatorname{pr}_i)_{i\in I}$ được gọi là tích của các cấu trúc $\mathscr{S}_i$.

\* Một họ các cấu trúc thứ tự luôn luôn thừa nhận một cấu trúc tích, nhưng điều tương tự không phải lúc nào cũng đúng đối với một họ các cấu trúc thứ tự toàn phần. Một họ các cấu trúc nhóm luôn luôn thừa nhận một cấu trúc tích, nhưng điều tương tự không nhất thiết đúng đối với một họ các cấu trúc vành chia. Một họ các tôpô luôn luôn thừa nhận một cấu trúc tích, nhưng điều này không phải lúc nào cũng đúng đối với một họ các cấu trúc không gian compact địa phương; trong trường hợp này, có một cấu trúc tích cùng loài nếu họ là hữu hạn, nhưng có thể không có nếu họ là vô hạn (xem Topologie générale, Chương I, § 9, no. 7, Mệnh đề 14). \*

Tiêu chuẩn CST10 dẫn đến tiêu chuẩn kết hợp sau đây đối với các cấu trúc tích :

CST13. Cho $(A_i)_{i\in I}$ là một họ các tập hợp, và với mỗi chỉ số $i\in I$ cho $\mathscr{S}_i$ là một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên $A_i$. Cho $(J_\lambda)_{\lambda\in L}$ là một phân hoạch của $I$. Giả sử rằng trên mỗi tích bộ phận $B_\lambda=\prod_{i\in J_\lambda}A_i$, họ $(\mathscr{S}_i)_{i\in J_\lambda}$ thừa nhận một cấu trúc tích $\mathscr{S}'_\lambda$. Khi đó họ $(\mathscr{S}_i)_{i\in I}$ thừa nhận một cấu trúc tích $\mathscr{S}$ khi và chỉ khi họ $(\mathscr{S}'_\lambda)_{\lambda\in L}$ thừa nhận một cấu trúc tích $\mathscr{S}'$, và ánh xạ chính tắc từ $E=\prod_{i\in I}A_i$, được trang bị $\mathscr{S}$, lên $F=\prod_{\lambda\in L}B_\lambda$, được trang bị $\mathscr{S}'$ (Chương II, § 5, no. 5), khi đó là một đẳng cấu.

Một ứng dụng khác của CST10 cho tiêu chuẩn sau đây liên quan đến các cấu trúc cảm sinh bởi một cấu trúc tích :

CST14. Cho $(A_i)_{i\in I}$ là một họ các tập hợp, và với mỗi $i\in I$ cho $\mathscr{S}_i$ là một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên $A_i$. Với mỗi $i\in I$, cho $B_i$ là một tập con của $A_i$. Giả sử rằng mỗi $\mathscr{S}_i$ cảm sinh một cấu trúc $\mathscr{S}'_i$ trên $B_i$, và rằng trên tích $E=\prod_{i\in I}A_i$ tồn tại một cấu trúc $\mathscr{S}_0$ là tích của họ $(\mathscr{S}_i)$. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương :

(a) trên tập hợp $B=\prod_{i\in I}B_i\subset E$ tồn tại một cấu trúc $\mathscr{S}$ cảm sinh bởi $\mathscr{S}_0$;

(b) trên tập hợp $B$ tồn tại một cấu trúc $\mathscr{S}'$ là tích của họ các cấu trúc $(\mathscr{S}'_i)$.

Hơn nữa, các mệnh đề này kéo theo $\mathscr{S}=\mathscr{S}'$.

Cho $j_\iota$ là đơn ánh chính tắc của $\mathrm{B}_\iota$ vào $\mathrm{A}_\iota$, cho $j$ là đơn ánh chính tắc của B vào E, cho $p_\iota$ là phép chiếu của E lên $\mathrm{A}_\iota$, và cho $p'_\iota$ là phép chiếu của B lên $\mathrm{B}_\iota$. Khi đó ta có $p_\iota \circ j = j_\iota \circ p'_\iota$ với mọi $\iota \in \mathrm{I}$. Theo CST10, $\mathscr{S}$ là cấu trúc ban đầu đối với họ $(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, p_\iota \circ j)_{\iota \in \mathrm{I}}$, và $\mathscr{S}'$ là cấu trúc ban đầu đối với họ $(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, j_\iota \circ p'_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$. Do đó có kết quả.

¶ Các khái niệm về ảnh ngược và tích liên quan với nhau bởi tiêu chuẩn sau đây :

CST15. Cho $(\mathrm{A}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$ là một họ các tập hợp, và với mỗi $\iota \in \mathrm{I}$ cho $\mathscr{S}_\iota$ là một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên $\mathrm{A}_\iota$, và cho $f_\iota$ là một ánh xạ của một tập hợp E vào $\mathrm{A}_\iota$. Giả sử rằng trên tập hợp tích $\mathrm{A} = \prod_{\iota \in \mathrm{J}} \mathrm{A}_\iota$ tồn tại một cấu trúc tích $\mathscr{S}$ của họ $(\mathscr{S}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$. Khi đó tồn tại một cấu trúc ban đầu đối với họ $(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, f_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$ khi và chỉ khi cấu trúc $\mathscr{S}$ có một ảnh ngược qua ánh xạ $x \to f(x) = (f_\iota(x))$ của E vào A, và khi đó hai cấu trúc này đồng nhất.

Vì $f_\iota = \mathrm{pr}_\iota \circ f$, tiêu chuẩn này là một trường hợp riêng của CST10.

5. Cấu trúc cuối

Xét một họ các tập hợp $(\mathbf{A}_\iota)_{\iota \in \mathbf{I}}$, mỗi tập hợp đều được trang bị một cấu trúc $\mathscr{S}_\iota$ thuộc loài $\Sigma$. Cho E là một tập hợp, và với mỗi $\iota \in \mathbf{I}$, cho $g_\iota$ là một ánh xạ từ $\mathbf{A}_\iota$ vào E. Một cấu trúc $\mathscr{T}$ thuộc loài $\Sigma$ trên E được gọi là một cấu trúc cuối cùng đối với họ $(\mathbf{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, g_\iota)_{\iota \in \mathbf{I}}$ nếu nó có tính chất sau :

(FI) Cho bất kỳ tập hợp E′ nào, bất kỳ cấu trúc $\mathscr{S}'$ thuộc loài $\Sigma$ trên E, và bất kỳ ánh xạ $f$ từ E vào E′, quan hệ

là tương đương với quan hệ

CST18. Nếu tồn tại một cấu trúc cuối cùng trên E đối với họ $(\mathbf{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, g_\iota)_{\iota \in \mathbf{I}}$, thì nó là cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ mịn nhất trên E sao cho mỗi ánh xạ $g_\iota$ là một cấu xạ, và do đó là duy nhất.

Cho $\mathscr{T}$ là một cấu trúc cuối cùng trên E, và cho $\mathscr{S}$ là một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên E sao cho mỗi $g_\iota$ đều là một cấu xạ. Nếu $i$ ký hiệu ánh xạ đồng nhất của E, được trang bị $\mathscr{T}$, lên E, được trang bị $\mathscr{S}$, thì $i \circ g_\iota$ là một cấu xạ với mỗi $\iota \in \mathbf{I}$. Điều kiện (FI) khi đó cho thấy $i$ là một cấu xạ, nghĩa là (no. 2) $\mathscr{S}$ thô hơn $\mathscr{T}$. Áp dụng (FI) một lần nữa cho trường hợp trong đó $f$ là ánh xạ đồng nhất của E (được trang bị $\mathscr{T}$) lên chính nó, ta thấy (sử dụng $(\mathrm{MO_{III}})$) rằng mỗi $g_\iota$ là một cấu xạ từ $\mathbf{A}_\iota$ vào E. Điều này hoàn tất chứng minh.

Có thể xảy ra rằng tồn tại một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên E là cấu trúc mịn nhất trong tất cả các cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên E sao cho các $g_\iota$ là các cấu xạ, nhưng cấu trúc này không phải là cấu trúc cuối cùng đối với họ $(\mathbf{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, g_\iota)$ (Bài tập 6).

Ta có tiêu chuẩn tính bắc cầu sau :

CST19. Cho E là một tập hợp, cho $(\mathrm{A}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$ là một họ các tập hợp, và với mỗi $\iota \in \mathrm{I}$ cho $\mathscr{S}_\iota$ là một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên $\mathrm{A}_\iota$. Cho $(\mathrm{J}_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}$ là một phân hoạch của I, và cho $(\mathrm{B}_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}$ là một họ các tập hợp được chỉ số bởi L. Với mỗi $\lambda \in \mathrm{L}$, cho $h_\lambda$ là một ánh xạ từ $\mathrm{B}_\lambda$ vào E; với mỗi $\lambda \in \mathrm{L}$ và mỗi $\iota \in \mathrm{J}_\lambda$, cho $g_{\iota\lambda}$ là một ánh xạ từ $\mathrm{A}_\iota$ vào $\mathrm{B}_\lambda$, và đặt $f_\iota = h_\lambda \circ g_{\iota\lambda}$. Giả sử rằng, với mỗi $\lambda \in \mathrm{L}$, tồn tại một cấu trúc cuối cùng $\mathscr{S}'_\lambda$ trên $\mathrm{B}_\lambda$ đối với họ $(\mathrm{A}_\iota,\ \mathscr{S}_\iota,\ g_{\iota\lambda})_{\iota \in \mathrm{J}_\lambda}$. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương :

(a) Tồn tại một cấu trúc cuối cùng $\mathscr{S}$ trên E đối với họ $(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, f_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$.

(b) Tồn tại một cấu trúc cuối cùng $\mathscr{S}'$ trên E đối với họ $(\mathrm{B}_\lambda, \mathscr{S}'_\lambda, h_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}$.

Hơn nữa các mệnh đề này kéo theo rằng $\mathscr{S} = \mathscr{S}'$.

Cho F là một tập hợp được trang bị một cấu trúc loài $\Sigma$, và cho $u$ là một ánh xạ từ E vào F. Theo định nghĩa, quan hệ "$u \circ h_\lambda$ là một cấu xạ của $\mathrm{B}_\lambda$ vào F" tương đương với quan hệ

"với mọi $\iota \in \mathrm{J}_\lambda$, $u \circ h_\lambda \circ g_{\iota\lambda} = u \circ f_\iota$ là một cấu xạ của $\mathrm{A}_\iota$ vào F".

Do đó quan hệ

(3) "với mọi $\lambda \in \mathrm{L}$, $u \circ h_\lambda$ là một cấu xạ của $\mathrm{B}_\lambda$ vào F"

tương đương với quan hệ

(4) "với mọi $\iota \in \mathrm{I}$, $u \circ f_i$ là một cấu xạ của $\mathrm{A}_\iota$ vào F".

Nói rằng $\mathscr{S}'$ là cấu trúc cuối cùng đối với họ $(\mathrm{B}_\lambda, \mathscr{S}'_\lambda, h_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}$ có nghĩa là quan hệ (3) tương đương với quan hệ "$u$ là một cấu xạ của E (được trang bị $\mathscr{S}'$) vào F"; và nói rằng E là cấu trúc cuối cùng đối với họ $(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, f_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$ có nghĩa là quan hệ (4) tương đương với quan hệ "$u$ là một cấu xạ của E (được trang bị $\mathscr{S}$) vào F"; do đó suy ra kết quả, xét đến tính chất duy nhất của cấu trúc cuối cùng.

6. Các ví dụ về cấu trúc cuối cùng

I. Ảnh trực tiếp của một cấu trúc. Khi I là một tập hợp gồm một phần tử duy nhất, cấu trúc cuối cùng đối với $(\mathrm{A}, \mathscr{S}, f)$ được gọi là ảnh trực tiếp qua $f$ của cấu trúc $\mathscr{S}$ (nếu nó tồn tại).

II. Cấu trúc thương. Cho A là một tập hợp được trang bị một cấu trúc $\mathscr{S}$ của loài $\Sigma$, cho R là một quan hệ tương đương trên A, và cho $\varphi$ là ánh xạ chính tắc từ A lên tập thương $\mathrm{E} = \mathrm{A}/\mathrm{R}$ (Chương II, § 6, no. 2). Ảnh trực tiếp của cấu trúc $\mathscr{S}$ qua ánh xạ $\varphi$ được gọi là (nếu nó tồn tại) thương của cấu trúc $\mathscr{S}$ theo quan hệ R.

\* Nói chung, một cấu trúc thứ tự hoặc một cấu trúc đại số không thừa nhận các cấu trúc thương đối với các quan hệ tương đương tùy ý (cf. Chương III, § 1, Bài tập 2). Mặt khác, một tôpô luôn thừa nhận một cấu trúc thương đối với một quan hệ tương đương tùy ý, nhưng điều này không nhất thiết đúng đối với một tôpô Hausdorff. \*

Cho A, B là hai tập hợp được trang bị lần lượt các cấu trúc $\mathscr{S}$, $\mathscr{S}'$ thuộc loài $\Sigma$, và cho $f$ là một cấu xạ từ A vào B. Kí hiệu R là quan hệ tương đương $f(x) = f(y)$, kí hiệu $\varphi$ là ánh xạ chính tắc của A lên $\mathrm{A}/\mathrm{R}$, và kí hiệu $j$ là đơn ánh chính tắc của $f(\mathrm{A})$ vào B. Giả sử rằng $\mathscr{S}$ thừa nhận một cấu trúc thương $\mathscr{S}_0$ đối với R, và rằng $\mathscr{S}'$ cảm sinh một cấu trúc $\mathscr{S}'_0$ trên $f(\mathrm{A})$. Khi đó, trong phân tích chính tắc $f = j \circ g \circ \varphi$ của $f$ (Chương II, § 6, no. 5), song ánh $g$ của $\mathrm{A}/\mathrm{R}$ lên $f(\mathrm{A})$ liên kết với $f$ là một cấu xạ (nhưng không nhất thiết là một đẳng cấu) khi $\mathrm{A}/\mathrm{R}$ được trang bị $\mathscr{S}_0$ và $f(\mathrm{A})$ với $\mathscr{S}'_0$. Vì $j \circ g$ là một cấu xạ của $\mathrm{A}/\mathrm{R}$ vào B theo định nghĩa của cấu trúc thương, và do đó $g$ là một cấu xạ của $\mathrm{A}/\mathrm{R}$ lên $f(\mathrm{A})$ theo định nghĩa của cấu trúc cảm sinh.