1. Cấu trúc và đẳng cấu

Mục đích của chương này là trình bày một lần cho tất cả một số phép dựng và chứng minh kiến tạo (cf. Chương I, § 1, no. 3 và § 2, no. 2) xuất hiện rất thường xuyên trong toán học.

1. Các thang

Một lược đồ phép dựng các thang là một dãy $c_1$, $c_2$, ..., $c_m$ gồm các cặp có thứ tự của số nguyên tự nhiên [^1] $c_i = (a_i,\ b_i)$, thỏa mãn các điều kiện sau :

(a)　Nếu $b_i = 0$, thì $1 \leqslant a_i \leqslant i - 1$. (b)　Nếu $a_i \neq 0$ và $b_i \neq 0$, thì $1 \leqslant a_i \leqslant i - 1$ và $1 \leqslant b_i \leqslant i - 1$.

Các điều kiện này suy ra rằng $c_1 = (0,\ b_1)$, với $b_1 > 0$. Nếu $n$ là số lớn nhất trong các số nguyên $b_i$ xuất hiện trong các cặp $(0,\ b_i)$, thì $c_1, c_2, ..., c_m$ được gọi là một lược đồ phép dựng các thang trên $n$ số hạng.

Cho một lược đồ phép dựng các thang $\mathrm{S} = (c_1,\ c_2,\ \ldots,\ c_m)$ trên $n$ số hạng, và cho $n$ số hạng $\mathrm{E}_1$, $\mathrm{E}_2$, ..., $\mathrm{E}_n$ trong một lý thuyết $\mathscr{T}$ mạnh hơn lý thuyết tập hợp, một phép dựng các thang theo lược đồ $\mathrm{S}$ trên $\mathrm{E}_1$, ..., $\mathrm{E}_n$ được định nghĩa là một dãy $\mathrm{A}_1$, $\mathrm{A}_2$, ..., $\mathrm{A}_m$ gồm $m$ số hạng trong lý thuyết $\mathscr{T}$, được định nghĩa từng bước bởi các điều kiện sau :

(a)　Nếu $c_i = (0,\ b_i)$, thì $\mathrm{A}_i$ là số hạng $\mathrm{E}_{b_i}$. (b)　Nếu $c_i = (a_i,\ 0)$, thì $\mathrm{A}_i$ là số hạng $\mathfrak{P}(\mathrm{A}_{a_i})$. (c)　Nếu $c_i = (a_i,\ b_i)$, với $a_i \neq 0$ và $b_i \neq 0$, thì $\mathrm{A}_i$ là số hạng $\mathrm{A}_{a_i} \times \mathrm{A}_{b_i}$.

Số hạng cuối cùng $\mathrm{A}_m$ của phép dựng các thang theo lược đồ S trên $\mathrm{E}_1$, ..., $\mathrm{E}_n$ được gọi là thang theo lược đồ S trên các tập cơ sở $\mathrm{E}_1$, ..., $\mathrm{E}_n$; trong các lập luận tổng quát tiếp theo, nó sẽ được ký hiệu bởi $\mathrm{S}(\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n)$.

2. Các mở rộng chính tắc của các ánh xạ

Cho $\mathrm{S} = (c_1, c_2, \ldots, c_m)$ là một lược đồ phép dựng echelon trên $n$ số hạng. Cho $\mathrm{E}_1$, ..., $\mathrm{E}_n$, $\mathrm{E}'_1$, ..., $\mathrm{E}'_n$ là các tập hợp (các số hạng trong $\mathscr{T}$) và cho $f_1$, ..., $f_n$ là các số hạng trong $\mathscr{T}$ sao cho các quan hệ "$f_i$ là một ánh xạ từ $\mathrm{E}_i$ vào $\mathrm{E}'_i$" là các định lý trong $\mathscr{T}$ với $1 \leqslant i \leqslant n$. Cho $\mathrm{A}_1$, ..., $\mathrm{A}_m$ (resp. $\mathrm{A}'_1$, ..., $\mathrm{A}'_m$) là phép dựng echelon theo lược đồ S trên $\mathrm{E}_1$, ..., $\mathrm{E}_n$ (resp. $\mathrm{E}'_1$, ..., $\mathrm{E}'_n$). Ta định nghĩa từng bước một dãy gồm $m$ số hạng $g_1$, ..., $g_m$ sao cho $g_i$ là một ánh xạ từ $\mathrm{A}_i$ vào $\mathrm{A}'_i$ (với $1 \leqslant i \leqslant m$) bởi các điều kiện sau :

(a) Nếu $c_i = (0, b_i)$, nên $\mathrm{A}_i = \mathrm{E}_{b_i}$ và $\mathrm{A}'_i = \mathrm{E}'_{b_i}$, thì $g_i$ là ánh xạ $f_{b_i}$.

(b) Nếu $c_i = (a_i, 0)$, nên $\mathrm{A}_i = \mathfrak{P}(\mathrm{A}_{a_i})$ và $\mathrm{A}'_i = \mathfrak{P}(\mathrm{A}'_{a_i})$, thì $g_i$ là mở rộng chính tắc $\hat{g}_{a_i}$ của $g_{a_i}$ tới các tập hợp con của tập hợp (Chương II, § 5, no. 1).

(c) Nếu $c_i = (a_i, b_i)$, trong đó $a_i \neq 0$ và $b_i \neq 0$, nên

thì $g_i$ là mở rộng chính tắc $g_{a_i} \times g_{b_i}$ của $g_{a_i}$ và $g_{b_i}$ tới $\mathrm{A}_{a_i} \times \mathrm{A}_b$ (Chương II, § 3, no. 9).

Số hạng cuối cùng $g_m$ của dãy này được gọi là mở rộng chính tắc, với lược đồ S, của các ánh xạ $f_1$, ..., $f_n$, và sẽ được ký hiệu bởi $\langle f_1, \ldots, f_n \rangle^{\mathrm{S}}$.

¶ Các tiêu chuẩn sau đây có thể được kiểm tra từng bước :

CST1. Nếu $f_i$ là một ánh xạ của $\mathrm{E}_i$ vào $\mathrm{E}'_i$, và nếu $f'_i$ là một ánh xạ của $\mathrm{E}'_i$ vào $\mathrm{E}''_i$ ($1 \leqslant i \leqslant n$*), thì với mọi lược đồ phép dựng theo bậc* S trên $n$ hạng, ta có

CST2. Nếu $f_i$ là đơn ánh (resp. toàn ánh) với $1 \leqslant i \leqslant n$, thì $\langle f_1, \ldots, f_n \rangle^{\mathrm{S}}$ là đơn ánh (resp. toàn ánh).

Tiêu chuẩn này suy ra từ các tính chất tương ứng của phép mở rộng $\hat{g}$ (Chương II, § 5, no. 1, Mệnh đề 1) và phép mở rộng $g \times h$ (Chương II, § 3, no. 9).

CST3. Nếu $f_i$ là một song ánh của $\mathrm{E}_i$ lên $\mathrm{E}'_i$, và nếu $f_i^{-1}$ là song ánh ngược [^2], thì $\langle f_1, \ldots, f_n \rangle^{\mathrm{S}}$ là một song ánh và $\langle f_1^{-1}, \ldots, f_n^{-1} \rangle^{\mathrm{S}}$ là ánh xạ nghịch đảo của nó; nói cách khác,

Điều này suy ra ngay lập tức từ CST1 và CST2.

3. Quan hệ chuyển được

Cho $\mathscr{T}$ là một lý thuyết mạnh hơn lý thuyết tập hợp, cho $x_1, \ldots, x_n$, $s_1, \ldots, s_p$ là các chữ cái phân biệt và khác với các hằng của $\mathscr{T}$, và cho $\mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m$ là các hạng trong $\mathscr{T}$ mà trong đó không có chữ cái nào trong các chữ $x_i$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$ và $s_j$ $(1 \leqslant j \leqslant p)$ xuất hiện. Cho $\mathrm{S}_1, \ldots, \mathrm{S}_p$ là các lược đồ phép dựng theo bậc trên $n + m$ hạng. Khi đó quan hệ $\mathrm{T}\{x_1, \ldots, x_n, s_1, \ldots, s_p\}$ :

"$s_1 \in \mathrm{S}_1(x_1, \ldots, x_n, \mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m)$ và $s_2 \in \mathrm{S}_2(x_1, \ldots, x_n, \mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m)$ và $\ldots$ và $s_p \in \mathrm{S}_p(x_1, \ldots, x_n, \mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m)$"

được gọi là một sự định kiểu của các chữ cái $s_1, \ldots, s_p$.

¶ Cho $\mathrm{R}\{x_1, \ldots, x_n, s_1, \ldots, s_p\}$ là một quan hệ trong $\mathscr{T}$ chứa một số chữ cái trong các chữ $x_i$, $s_j$ (và có thể cả những chữ cái khác nữa). Khi đó R được gọi là chuyển được (trong $\mathscr{T}$) đối với sự định kiểu T, trong đó các $x_i$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$ được xem là các tập hợp cơ sở chính và các $\mathrm{A}_h$ $(1 \leqslant h \leqslant m)$ được xem là các tập hợp cơ sở phụ, nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn : cho $y_1, \ldots, y_n, f_1, \ldots, f_n$ là các chữ cái phân biệt, khác với các $x_i$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$, các $s_j$ $(1 \leqslant j \leqslant p)$, các hằng của $\mathscr{T}$, và mọi chữ cái xuất hiện trong R hoặc trong các hạng $\mathrm{A}_h$ $(1 \leqslant h \leqslant m)$, và gọi $\mathrm{Id}_h$ $(1 \leqslant h \leqslant m)$ là ánh xạ đồng nhất của $\mathrm{A}_h$ lên chính nó. Khi đó quan hệ

(1) "$\mathrm{T}\{x_1, \ldots, x_n, s_1, \ldots, s_p\}$ và ($f_1$ là một song ánh từ $x_1$ lên $y_1$) và $\ldots$ và ($f_n$ là một song ánh từ $x_n$ lên $y_n$)"

suy ra, trong $\mathscr{T}$, quan hệ

(2) $\mathrm{R}\{x_1, \ldots, x_n, s_1, \ldots, s_p\} \Leftrightarrow \mathrm{R}\{y_1, \ldots, y_n, s'_1, \ldots, s'_p\}$, trong đó

Có một định nghĩa tương tự nhưng đơn giản hơn trong trường hợp không có tập phụ.

Chẳng hạn, nếu $n = p = 2$ và nếu đặc trưng hóa T là "$s_1 \in x_1$ và $s_2 \in x_1$", thì quan hệ $s_1 = s_2$ là khả chuyển. Ngược lại, quan hệ $x_1 = x_2$ không khả chuyển.

4. Loài cấu trúc

Cho $\mathscr{T}$ là một lý thuyết mạnh hơn lý thuyết tập hợp. Một loài cấu trúc trong $\mathscr{T}$ là một văn bản $\Sigma$ gồm các dãy ký hiệu sau :

(1) một số chữ cái $x_1, \ldots, x_n, s$, phân biệt với nhau và với các hằng của $\mathscr{T}$; $x_1, \ldots, x_n$ được gọi là các tập cơ sở chính của loài cấu trúc $\Sigma$;

(2) một số hạng $\mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m$ trong $\mathscr{T}$ mà không có chữ cái $x_1, \ldots, x_n, s$ nào xuất hiện, và được gọi là các tập cơ sở phụ của $\Sigma$; $\Sigma$ có thể không chứa tập cơ sở phụ nào (nhưng nó phải chứa ít nhất một tập cơ sở chính);

(3) một đặc trưng hóa $\mathrm{T}\{x_1, \ldots, x_n, s\}$ :

trong đó S là một lược đồ dựng theo tầng trên $n + m$ hạng (no. 1); $\mathrm{T}\{x_1, \ldots, x_n, s\}$ được gọi là đặc trưng hóa điển hình của loài cấu trúc $\Sigma$;

(4) một quan hệ $\mathrm{R}\{x_1, \ldots, x_n, s\}$ vốn khả chuyển (trong $\mathscr{T}$) đối với đặc trưng hóa T, trong đó các $x_i$ là các tập cơ sở chính và các $\mathrm{A}_h$ là các tập cơ sở phụ (no. 3); R được gọi là tiên đề của loài cấu trúc $\Sigma$.

Lý thuyết $\mathscr{T}_\Sigma$, có cùng các lược đồ tiên đề như $\mathscr{T}$ và có các tiên đề tường minh là các tiên đề của $\mathscr{T}$, cùng với tiên đề "T và R", được gọi là lý thuyết của loài cấu trúc $\Sigma$. Do đó, các hằng của $\mathscr{T}_\Sigma$ là các hằng của $\mathscr{T}$ và các chữ cái xuất hiện trong T hoặc trong R.

¶ Cho $\mathscr{T}'$ là một lý thuyết mạnh hơn $\mathscr{T}$, và cho $\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n, \mathrm{U}$ là các hạng trong $\mathscr{T}'$. Trong lý thuyết $\mathscr{T}'$, ta nói U là một cấu trúc của loài $\Sigma$ trên các tập cơ sở chính $\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n$, với $\mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m$ làm các tập cơ sở phụ, nếu quan hệ

là một định lý trong $\mathscr{T}'$. Khi điều đó xảy ra, thì đối với mỗi định lý $\mathrm{B}\{x_1, \ldots, x_n, s\}$ trong lý thuyết $\mathscr{T}_\Sigma$ quan hệ $\mathrm{B}\{\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n, \mathrm{U}\}$ là một định lý trong $\mathscr{T}'$ (Chương I, § 2, no. 3). Trong $\mathscr{T}_\Sigma$, hằng $s$ được gọi là cấu trúc tổng quát của loài $\Sigma$.

¶ Trong lý thuyết $\mathscr{T}'$, các tập hợp cơ sở chính $\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n$ được nói là được trang bị cấu trúc $\mathrm{U}$. Rõ ràng, $\mathrm{U}$ là một phần tử của tập hợp

Do đó, tập hợp các phần tử $\mathrm{V}$ của $\mathrm{S}(\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n, \mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m)$ thỏa mãn quan hệ $\mathrm{R}\{\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n, \mathrm{V}\}$ là tập hợp các cấu trúc của loài $\Sigma$ trên $\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n$ (và nó có thể rỗng).

Ví dụ

5. Đẳng cấu và phép chuyển cấu trúc

Cho $\Sigma$ là một loài cấu trúc trong một lý thuyết $\mathscr{T}$, trên $n$ tập cơ sở chính $x_1, \ldots, x_n$, với $m$ tập cơ sở phụ $A_1, \ldots, A_m$. Cho S là sơ đồ phép dựng theo bậc thang trên $n + m$ chữ cái xuất hiện trong đặc trưng hóa điển hình của $\Sigma$, và cho R là tiên đề của $\Sigma$. Trong một lý thuyết $\mathscr{T}'$ mạnh hơn $\mathscr{T}$, cho U là một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên các tập $E_1, \ldots, E_n$ (như là các tập cơ sở chính) và cho U$'$ là một cấu trúc cùng loài trên các tập $E'_1, \ldots, E'_n$. Cuối cùng, cho $f_i$ (trong $\mathscr{T}'$) là một song ánh từ $E_i$ lên $\mathrm{E}'_i$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$. Khi đó $(f_1, \ldots, f_n)$ được gọi là một đẳng cấu từ các tập $\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n$, được trang bị cấu trúc U, lên các tập $\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n$, được trang bị cấu trúc $\mathrm{U}'$, nếu ta có (trong $\mathscr{T}'$)

(4)

trong đó $\mathrm{Id}_h$ ký hiệu ánh xạ đồng nhất của $\mathrm{A}_h$ lên chính nó $(1 \leqslant h \leqslant m)$.

¶ Cho $f'_i$ là nghịch đảo của song ánh $f_i$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$. Từ (4) và tiêu chuẩn CST3 (no. 2) suy ra ngay rằng

và do đó $(f'_1, \ldots, f'_n)$ là một đẳng cấu của $\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n$, được trang bị $\mathrm{U}'$, lên $\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n$, được trang bị U. Các đẳng cấu $(f_1, \ldots, f_n)$ và $(f'_1, \ldots, f'_n)$ được gọi là nghịch đảo của nhau.

$\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n$, được trang bị $\mathrm{U}'$, được gọi là đẳng cấu với $\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n$, được trang bị U, nếu tồn tại một đẳng cấu từ $\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n$ lên $\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n$; trong trường hợp này các cấu trúc U và $\mathrm{U}'$ được gọi là đẳng cấu.

¶ Các định nghĩa trên, cùng với CST1, suy ra tiêu chuẩn sau:

CST4. Cho U, $\mathrm{U}'$, $\mathrm{U}''$ là ba cấu trúc của cùng một loài $\Sigma$ trên các tập hợp cơ sở chính $\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n$, $\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n$, $\mathrm{E}''_1, \ldots, \mathrm{E}''_n$, tương ứng. Cho $f_i$ là một song ánh của $\mathrm{E}_i$ lên $\mathrm{E}'_i$, và cho $g_i$ là một song ánh của $\mathrm{E}'_i$ lên $\mathrm{E}''_i$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$. Nếu $(f_1, \ldots, f_n)$ và $(g_1, \ldots, g_n)$ là các đẳng cấu, thì $(g_1 \circ f_1, \ldots, g_n \circ f_n)$ cũng là một đẳng cấu.

Một đẳng cấu của $\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n$ lên $\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n$ (đối với cùng một cấu trúc) được gọi là một tự đẳng cấu của $\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n$. Hợp thành của hai tự đẳng cấu của $\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n$ là một tự đẳng cấu, và nghịch đảo của một tự đẳng cấu cũng vậy, \* do đó các tự đẳng cấu của $\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n$ tạo thành một nhóm. \*

6. Suy diễn các cấu trúc

Cho $\Sigma$ là một loài cấu trúc trong một lý thuyết $\mathscr{T}$, trên $n$ tập hợp cơ sở chính $x_1, \ldots, x_n$, với $m$ tập hợp cơ sở phụ trợ $A_1, \ldots, A_m$. Cho $s$ là cấu trúc điển hình của $\Sigma$, và cho $T$ là một lược đồ phép dựng theo cấp trên $n + m$ số hạng. Một số hạng $V\{x_1, \ldots, x_n, s\}$ không chứa chữ cái nào khác ngoài các hằng của $\mathscr{T}_\Sigma$ được gọi là nội tại đối với $s$, thuộc kiểu $T(x_1, \ldots, x_n, A_1, \ldots, A_m)$, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) quan hệ $V\{x_1, \ldots, x_n, s\} \in T(x_1, \ldots, x_n, A_1, \ldots, A_m)$ là một định lý trong $\mathscr{T}_\Sigma$;

(2) cho $\mathscr{T}'_\Sigma$ là lý thuyết thu được bằng cách thêm vào các tiên đề của $\mathscr{T}_\Sigma$ các tiên đề "$f_i$ là một song ánh từ $x_i$ lên $y_i$" $(1 \leqslant i \leqslant n)$ (trong đó các chữ cái $y_i$ và $f_i$ phân biệt với nhau và với các hằng của $\mathscr{T}_\Sigma$, với $1 \leqslant i \leqslant n$); nếu $s'$ là cấu trúc thu được bằng cách vận chuyển $s$ qua $(f_1, \ldots, f_n)$ (no. 5), thì

là một định lý trong $\mathscr{T}'_\Sigma$.

Hầu hết các số hạng mà người ta được dẫn tới định nghĩa trong lý thuyết của một loài cấu trúc đều là các số hạng nội tại.

¶ Cho $\Theta$ là một loài cấu trúc khác trong lý thuyết $\mathscr{T}$, trên $r$ tập hợp cơ sở chính $u_1,\ldots,u_r$, với $p$ tập hợp cơ sở phụ trợ $B_1,\ldots,B_p$, và cho $t\in T(u_1,\ldots,u_r,B_1,\ldots,B_p)$ là đặc trưng điển hình của $\Theta$ (no. 4). Khi đó, một hệ gồm $r+1$ số hạng $P,U_1,\ldots,U_r$, nội tại đối với $s$, và sao cho $P$ là một cấu trúc của loài $\Theta$ trên $U_1,\ldots,U_r$, trong lý thuyết $\mathscr{T}_\Sigma$, được gọi là một phép suy diễn một cấu trúc của loài $\Theta$ từ một cấu trúc của loài $\Sigma$. Do lối nói quen dùng, riêng số hạng $P$ thường cũng được gọi là một phép suy diễn.

¶ Cho $\mathscr{T}'$ là một lý thuyết mạnh hơn $\mathscr{T}$. Nếu $\mathscr{S}$ là một cấu trúc trong $\mathscr{T}'$ thuộc loài $\Sigma$ trên $E_1,\ldots,E_n$, thì $P\{E_1,\ldots,E_n,\mathscr{S}\}$ là một cấu trúc thuộc loài $\Theta$ trên $r$ tập hợp $F_j=U_j\{E_1,\ldots,E_n,\mathscr{S}\}$ $(1\leq j\leq r)$, được gọi là suy ra từ $\mathscr{S}$ bởi thủ tục $P$, hoặc phụ thuộc vào $\mathscr{S}$. Hơn nữa, giả thiết rằng các hạng $P,U_1,\ldots,U_r$ là nội tại đối với $s$ kéo theo tiêu chuẩn sau:

CST6. Cho $(g_1,\ldots,g_n)$ là một đẳng cấu của $E_1,\ldots,E_n$, được trang bị một cấu trúc $\mathscr{S}$ thuộc loài $\Sigma$, lên $E'_1,\ldots,E'_n$, được trang bị một cấu trúc $\mathscr{S}'$ cùng loài. Nếu $U_j$ có kiểu $\mathfrak{P}(T_j)$, đặt

và cho $F'_j=U_j\{E'_1,\ldots,E'_n,\mathscr{S}'\}$ $(1\leq j\leq r)$. Khi đó $(h_1,\ldots,h_r)$ là một đẳng cấu của $F_1,\ldots,F_r$ lên $F'_1,\ldots,F'_r$ khi các hệ tập hợp này được trang bị các cấu trúc thuộc loài $\Theta$ lần lượt suy ra từ $\mathscr{S}$ và $\mathscr{S}'$ bởi thủ tục $P$.

Hiển nhiên là các hạng $x_1,\ldots,x_n$ là nội tại đối với $s$. Trong nhiều trường hợp, các hạng $U_1,\ldots,U_r$ là một số chữ trong các chữ $x_1,\ldots,x_n$; khi đó cấu trúc thuộc loài $\Theta$ suy ra từ $s$ bởi thủ tục $P$ được gọi là một cấu trúc nền của $s$.

Ví dụ

7. Các loài cấu trúc tương đương

Cho $\Sigma$ và $\Theta$ là hai loài cấu trúc, trong cùng một lý thuyết $\mathscr{T}$, có cùng các tập hợp cơ sở chính $x_1,\ldots,x_n$. Gọi $s,t$ lần lượt là các cấu trúc tổng quát của các loài $\Sigma,\Theta$. Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) Ta có một thủ tục suy diễn $P\{x_1,\ldots,x_n,s\}$ của một cấu trúc thuộc loài $\Theta$ trên $x_1,\ldots,x_n$ từ một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên $x_1,\ldots,x_n$.

(2) Ta có một thủ tục suy diễn $Q\{x_1,\ldots,x_n,t\}$ của một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên $x_1,\ldots,x_n$ từ một cấu trúc thuộc loài $\Theta$ trên $x_1,\ldots,x_n$.

(3) Quan hệ $Q\{x_1,\ldots,x_n,P\{x_1,\ldots,x_n,s\}\}=s$ là một định lý trong $\mathscr{T}_{\Sigma}$, và quan hệ $P\{x_1,\ldots,x_n,Q\{x_1,\ldots,x_n,t\}\}=t$ là một định lý trong $\mathscr{T}_{\Theta}$.

Khi đó, các loài cấu trúc $\Sigma$ và $\Theta$ được gọi là tương đương nhờ các quy trình suy diễn $P$ và $Q$. Trong trường hợp này, với mọi định lý $B\{x_1,\ldots,x_n,s\}$ trong lý thuyết $\mathscr{T}_{\Sigma}$, quan hệ $B\{x_1,\ldots,x_n,Q\}$ là một định lý trong $\mathscr{T}_{\Theta}$; và ngược lại, với mọi định lý $C\{x_1,\ldots,x_n,t\}$ trong lý thuyết $\mathscr{T}_{\Theta}$, quan hệ $C\{x_1,\ldots,x_n,P\}$ là một định lý trong $\mathscr{T}_{\Sigma}$.

☡

Nếu $U$ là một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$, thì cấu trúc suy ra từ $U$ bởi quy trình $P$ được gọi là tương đương với $U$. Tiêu chuẩn CST6 kéo theo điều sau đây:

CST7. Cho $\mathscr{S},\mathscr{S}'$ là hai cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên các tập cơ sở chính tương ứng $(E_1,\ldots,E_n),(E'_1,\ldots,E'_n)$. Cho $\mathscr{S}_0,\mathscr{S}'_0$ là các cấu trúc thuộc loài $\Theta$ tương đương tương ứng với $\mathscr{S}$ và $\mathscr{S}'$. Để $(g_1,\ldots,g_n)$ là một đẳng cấu đối với các cấu trúc $\mathscr{S}_0$ và $\mathscr{S}'_0$, điều kiện cần và đủ là $(g_1,\ldots,g_n)$ là một đẳng cấu đối với các cấu trúc $\mathscr{S}$ và $\mathscr{S}'$.