§ 1. Structures et isomorphismes

Le but de ce chapitre est de décrire une fois pour toutes un certain nombre de constructions formatives et de démonstrations (cf. I, p. 17 et p. 22) qui interviennent très fréquemment en mathématique.

1. Échelons

Un schéma de construction d’échelon est une suite $c_1, c_2, \ldots, c_m$ de couples d’entiers naturels$^1$ $c_i = (a_i, b_i)$ satisfaisant aux conditions suivantes:

a) Si $b_i = 0$, on a $1 \leq a_i \leq i - 1$.

b) Si $a_i \neq 0$ et $b_i \neq 0$, on a $1 \leq a_i \leq i - 1$ et $1 \leq b_i \leq i - 1$.

Ces conditions entraînent que $c_1 = (0, b_1)$ avec $b_1 > 0$. Si $n$ est le plus grand des entiers $b_i$ figurant dans les couples $(0, b_i)$, on dit que $c_1, c_2, \ldots, c_m$ est un schéma de construction d’échelon sur $n$ termes.

Étant donnés un schéma $S = (c_1, c_2, \ldots, c_m)$ de construction d’échelon sur $n$ termes, et $n$ termes $E_1, \ldots, E_n$ d’une théorie $\mathscr{T}$ plus forte que la théorie des ensembles, on appelle construction d’échelon, de schéma $S$, sur $E_1, \ldots, E_n$, une suite $A_1, A_2, \ldots, A_m$ de $m$ termes de $\mathscr{T}$ définis de proche en proche par les conditions suivantes:

a) Si $c_i = (0, b_i)$, $A_i$ est le terme $E_{b_i}$.

b) Si $c_i = (a_i, 0)$, $A_i$ est le terme $\mathfrak{B}(A_{a_i})$.

c) Si $c_i = (a_i, b_i)$ avec $a_i \neq 0$ et $b_i \neq 0$, $A_i$ est le terme $A_{a_i} \times A_{b_i}$.

1 Nous utilisons la notion d’« entier » de la même façon qu’au chap. I, c’est-à-dire au sens métamathématique de repères rangés dans un certain ordre; cet emploi n’a rien de commun avec la théorie mathématique des entiers, développée au chap. III.

Nous dirons que le dernier terme $A_m$ de la construction d'échelon de schéma S sur $E_1, \ldots, E_n$ est l'échelon de schéma S sur les ensembles de base $E_1, \ldots, E_n$, et nous le désignerons, dans les raisonnements généraux qui vont suivre, par la notation $S(E_1, \ldots, E_n)$.

2. Extensions canoniques d'applications

Soit $S = (c_1, c_2, \ldots, c_m)$ un schéma de construction d'échelon sur n termes. Soient $E_1, \ldots, E_n, E'_1, \ldots, E'_n$ des ensembles (termes de $\mathscr{T}$) et soient $f_1, \ldots, f_n$ des termes de $\mathscr{T}$ tels que les relations

« $f_i$ est une application de $E_i$ dans $E'_i$ »

soient des théorèmes de $\mathscr{T}$ pour $1 \leq i \leq n$. Soit $A_1, \ldots, A_m$ (resp. $A'_1, \ldots, A'_m$) la construction d'échelon de schéma S sur $E_1, \ldots, E_n$ (resp. $E'_1, \ldots, E'_n$). On définit de proche en proche une suite de m termes $g_1, \ldots, g_m$ telle que $g_i$ soit une application de $A_i$ dans $A'_i$ (pour $1 \leq i \leq m$), par les conditions suivantes:

a) Si $c_i = (0, b_i)$, de sorte que $A_i = E_{b_i}, A'_i = E'_{b_i}$, $g_i$ est l'application $f_{b_i}$.

b) Si $c_i = (a_i, 0)$, de sorte que $A_i = \mathfrak{P}(A_{a_i}), A'_i = \mathfrak{P}(A'_{a_i})$, $g_i$ est l'extension canonique $\hat{g}_{a_i}$ de $g_{a_i}$ aux ensembles de parties (II, p. 30).

c) Si $c_i = (a_i, b_i)$ avec $a_i \neq 0$ et $b_i \neq 0$, de sorte que $A_i = A_{a_i} \times A_{b_i}$ et $A'_i = A'_{a_i} \times A'_{b_i}$, $g_i$ est l'extension canonique $g_{a_i} \times g_{b_i}$ de $g_{a_i}$ et $g_{b_i}$ à $A_{a_i} \times A_{b_i}$ (II, p. 21).

Nous dirons que le dernier terme $g_m$ de cette suite est l'extension canonique, de schéma S, des applications $f_1, \ldots, f_n$, et nous le désignerons par la notation $\langle f_1, \ldots, f_n \rangle^S$.

On vérifie de proche en proche les critères suivants:

CST1. Si $f_i$ est une application de $E_i$ dans $E'_i$, $f'_i$ une application de $E'_i$ dans $E''_i$ ($1 \leq i \leq n$), on a, pour tout schéma de construction d'échelon S sur n termes

CST2. Si $f_i$ est injective (resp. surjective) pour $1 \leq i \leq n$, $\langle f_1, \ldots, f_n \rangle^S$ est injective (resp. surjective).

Ce dernier critère résulte des propriétés correspondantes de l'extension $\hat{g}$ (II, p. 30, prop. 1) et de l'extension $g \times h$ (II, p. 21).

CST3. Si $f_i$ est une bijection de $E_i$ sur $E'_i$, et $f_i^{-1}$ la bijection réciproque,$^1$ alors $\langle f_1, \ldots, f_n \rangle^S$ est une bijection, et $\langle f_1^{-1}, \ldots, f_n^{-1} \rangle^S$ la bijection réciproque; autrement dit, on a

3. Relations transportables

Soient $\mathscr{T}$ une théorie plus forte que la théorie des ensembles, $x_1, \ldots, x_n, s_1, \ldots, s_p$ des lettres distinctes entre elles et distinctes des constantes de $\mathscr{T}$, $A_1, \ldots, A_m$ des termes de $\mathscr{T}$ où ne figurent aucune des lettres $x_i$ ($1 \leq i \leq n$) et $s_j$ ($1 \leq j \leq p$). Soient $S_1, \ldots, S_p$ des schémas de construction d’échelon sur $n + m$ termes: nous dirons que la relation $T \{ x_1, \ldots, x_n, s_1, \ldots, s_p \}$:

Soit $R \{ x_1, \ldots, x_n, s_1, \ldots, s_p \}$ une relation de $\mathscr{T}$, contenant certaines des lettres $x_i, s_j$ (et éventuellement d’autres lettres). Dire que $R$ est transportable (dans $\mathscr{T}$) pour la typification $T$, les $x_i$ ($1 \leq i \leq n$) étant considérés comme ensembles de base principaux et les $A_h$ ($1 \leq h \leq m$) comme ensembles de base auxiliaires, c’est dire que la condition suivante est satisfaite:

Soient $y_1, \ldots, y_n, f_1, \ldots, f_n$ des lettres distinctes entre elles, distinctes des $x_i$ ($1 \leq i \leq n$), des $s_j$ ($1 \leq j \leq p$), des constantes de $\mathscr{T}$ et de toutes les lettres figurant dans $R$ ou dans les $A_h$ ($1 \leq h \leq m$). Soit d’autre part $\mathrm{Id}_h$ ($1 \leq h \leq m$) l’application identique de $A_h$ sur lui-même. Alors, la relation (1) « $T \{ x_1, \ldots, x_n, s_1, \ldots, s_p \}$ et ($f_1$ est une bijection de $x_1$ sur $y_1$) et ... et ($f_n$ est une bijection de $x_n$ sur $y_n$) » entraîne, dans $\mathscr{T}$, la relation (2) $R \{ x_1, \ldots, x_n, s_1, \ldots, s_p \} \Leftrightarrow R \{ y_1, \ldots, y_n, s'_1, \ldots, s'_p \}$ où on a posé (3) $s'_j = \langle f_1, \ldots, f_n, \mathrm{Id}_1, \ldots, \mathrm{Id}_m \rangle^{S_j}(s_j) \quad (1 \leq j \leq p)$. On a une définition analogue, mais plus simple, lorsqu’il n’y a pas d’ensemble auxiliaire.

Par exemple, si $n = p = 2$, et si la typification $T$ est

$^1$ Pour des raisons de commodité typographique, nous écrivons $f^{-1}$ au lieu de $f^{-1}$.

4. Espèces de structure

Soit $\mathscr{T}$ une théorie plus forte que la théorie des ensembles. Une espèce de structure dans $\mathscr{T}$ est un texte $\Sigma$ formé des assemblages suivants:

1° Un certain nombre de lettres $x_1, \ldots, x_n, s$, distinctes entre elles et distinctes des constantes de $\mathscr{T}$; $x_1, \ldots, x_n$ sont appelées les ensembles de base principaux de l’espèce de structure $\Sigma$.

2° Un certain nombre de termes $A_1, \ldots, A_m$ de $\mathscr{T}$, dans lesquels ne figurent aucune des lettres $x_i, s$, et qui sont appelés les ensembles de base auxiliaires de $\Sigma$; $\Sigma$ peut éventuellement ne comporter aucun ensemble de base auxiliaire (mais il doit toujours y avoir au moins un ensemble de base principal).

3° Une typification $T\{x_1, x_2, \ldots, x_n, s\}$:

4° Une relation $R\{x_1, \ldots, x_n, s\}$ qui est transportable (dans $\mathscr{T}$) pour la typification, les $x_i$ étant ensembles de base principaux et les $A_j$ ensembles de base auxiliaires (IV, p. 3). On dit que $R$ est l’axiome de l’espèce de structure $\Sigma$.

On appelle théorie de l’espèce de structure $\Sigma$ la théorie $\mathscr{T}_\Sigma$ ayant les mêmes schémas d’axiomes que $\mathscr{T}$ et dont les axiomes explicites sont ceux de $\mathscr{T}$ et l’axiome « T et R »; les constantes de $\mathscr{T}_\Sigma$ sont donc les constantes de $\mathscr{T}$ et les lettres figurant dans T ou dans R.

Soit maintenant $\mathscr{T}'$ une théorie plus forte que $\mathscr{T}$, et soient $E_1, \ldots, E_n, U$ des termes de $\mathscr{T}'$. On dit que (dans la théorie $\mathscr{T}'$) $U$ est une structure d’espèce $\Sigma$ sur les ensembles de base principaux $E_1, \ldots, E_n$, avec $A_1, \ldots, A_m$ pour ensembles de base auxiliaires si la relation

On dit aussi que (dans la théorie $\mathscr{T}'$) les ensembles de base principaux $E_1, \ldots, E_n$ sont munis de la structure $U$. Il est clair que $U$ est un élément de l’ensemble $S(E_1, \ldots, E_n, A_1, \ldots, A_m)$. L’ensemble des éléments $V$ de $S(E_1, \ldots, E_n, A_1, \ldots, A_m)$ qui vérifient la relation $R\{E_1, \ldots, E_n, V\}$ est donc l’ensemble des structures d’espèce $\Sigma$ sur $E_1, \ldots, E_n$; il peut être vide.

5. Isomorphismes et transport de structures

Soit $\Sigma$ une espèce de structure dans une théorie $\mathscr{T}$, sur $n$ ensembles de base principaux $x_1, \ldots, x_n$, avec $m$ ensembles de base auxiliaires $A_1, \ldots, A_m$; soit S le schéma de construction d’échelon sur $n + m$ lettres qui figure dans la caractérisation typique de $\Sigma$, et soit R l’axiome de $\Sigma$. Dans une théorie $\mathscr{T}'$ plus forte que $\mathscr{T}$, soit U une structure d’espèce $\Sigma$ sur des ensembles $E_1, \ldots, E_n$ (comme ensembles de base principaux) et soit $U'$ une structure de même espèce sur des ensembles $E'_1, \ldots, E'_n$. Soit enfin (dans $\mathscr{T}'$) $f_i$ une bijection de $E_i$ sur $E'_i$ ($1 \leq i \leq n$). On dit que $(f_1, \ldots, f_n)$ est un isomorphisme des ensembles $E_1, \ldots, E_n$, munis de la structure U, sur les ensembles $E'_1, \ldots, E'_n$ munis de la structure $U'$, si l’on a (dans $\mathscr{T}'$)

$\mathrm{Id}_h$ désignant l’application identique de $A_h$ sur lui-même.

Soit $f'_i$ la bijection réciproque de $f_i$ ($1 \leq i \leq n$). Il résulte aussitôt de (4) et du critère CST3 (IV, p. 3) que l’on a

et par suite que $(f'_1, \ldots, f'_n)$ est un isomorphisme de $E'_1, \ldots, E'_n$, munis de $U'$, sur $E_1, \ldots, E_n$, munis de U; on dit que les isomorphismes $(f_1, \ldots, f_n)$ et $(f'_1, \ldots, f'_n)$ sont réciproques l’un de l’autre.

On dit que $E'_1, \ldots, E'_n$, munis de $U'$, sont isomorphes à $E_1, \ldots, E_n$, munis de U, s’il existe un isomorphisme de $E_1, \ldots, E_n$ sur $E'_1, \ldots, E'_n$; on dit encore dans ce cas que les structures U et $U'$ sont isomorphes.

Les définitions précédentes entraînent, compte tenu de CST1, le critère suivant:

CST4. Soient $U, U', U''$ trois structures de même espèce $\Sigma$ sur des ensembles de base principaux $E_1, \ldots, E_n, E'_1, \ldots, E'_n, E''_1, \ldots, E''_n$ respectivement. Soit $f_i$ une bijection de $E_i$ sur $E'_i$, $g_i$ une bijection de $E'_i$ sur $E''_i$ ($1 \leq i \leq n$). Si $(f_1, \ldots, f_n)$ et $(g_1, \ldots, g_n)$ sont des isomorphismes, il en est de même de $(g_1 \circ f_1, \ldots, g_n \circ f_n)$.

On dit qu’un isomorphisme de $E_1, \ldots, E_n$ sur $E_1, \ldots, E_n$ (pour la même structure) est un automorphisme de $E_1, \ldots, E_n$. Le composé de deux automorphismes de $E_1, \ldots, E_n$ est un automorphisme. Il en est de même de l’isomorphisme réciproque d’un automorphisme; en d’autres termes, les automorphismes de $E_1, \ldots, E_n$ forment un groupe (A, I, § 4, n° 1).

6. Déduction de structures

Soit Σ une espèce de structure dans une théorie $\mathscr{T}$, sur n ensembles de base principaux $x_1, ..., x_n$, avec m ensembles de base auxiliaires $A_1, ..., A_m$; soit s la structure générique de Σ. Soit T un schéma de construction d'échelon sur $n + m$ termes. On dit qu'un terme $V{x_1, ..., x_n, s}$ qui ne contient aucune lettre autre que les constantes de $\mathscr{T}_\Sigma$, est intrinsèque pour s, de type $T(x_1, ..., x_n, A_1, ..., A_m)$ s'il satisfait aux conditions suivantes:

1° la relation

est un théorème de $\mathscr{T}_\Sigma$;

2° soit $\mathscr{T}'_\Sigma$ la théorie obtenue en adjoignant aux axiomes de $\mathscr{T}_\Sigma$ les axiomes « $f_i$ est une bijection de $x_i$ sur $y_i$ » ($1 \leq i \leq n$) (les lettres $y_i$ et $f_i$ étant distinctes des constantes de $\mathscr{T}_\Sigma$ et distinctes entre elles, pour $1 \leq i \leq n$); si $s'$ est la structure obtenue en transportant s par $(f_1, ..., f_n)$ (IV, p. 7), alors

est un théorème de $\mathscr{T}'_\Sigma$.

La plupart des termes que l’on est amené à définir dans la théorie d’une espèce de structure sont des termes intrinsèques.

Soit maintenant $\Theta$ une seconde espèce de structure dans la théorie $\mathscr{T}$, sur $r$ ensembles de base principaux $u_1, \ldots, u_r$, avec $p$ ensembles de base auxiliaires $B_1, \ldots, B_p$; soit

Soit $\mathscr{T}'$ une théorie plus forte que $\mathscr{T}$. Si, dans $\mathscr{T}'$, $S$ est une structure d’espèce $\Sigma$ sur $E_1, \ldots, E_n$, alors $P\{E_1, \ldots, E_n, S\}$ est une structure d’espèce $\Theta$ sur les $r$ ensembles $F_j = U_j\{E_1, \ldots, E_n, S\}$ ($1 \leq j \leq r$), dite déduite de $S$ par le procédé $P$, ou subordonnée à $S$. L’hypothèse que les termes $P, U_1, \ldots, U_r$ sont intrinsèques pour $s$, entraîne en outre le critère suivant: CST6. Soit $(g_1, \ldots, g_n)$ un isomorphisme de $E_1, \ldots, E_n$, munis d’une structure $S$ d’espèce $\Sigma$, sur $E'_1, \ldots, E'_n$, munis d’une structure $S'$ de même espèce. Si $U_j$ est de type $\mathfrak{P}(T_j)$, posons

Il est clair que les termes $x_1, \ldots, x_n$ sont intrinsèques pour $s$; dans de nombreux cas, les termes $U_1, \ldots, U_r$ sont certaines des lettres $x_1, \ldots, x_n$; on dit alors que la structure d’espèce $\Theta$ déduite de $s$ par le procédé $P$ est sous-jacente à $s$.

7. Espèces de structure équivalentes

Dans une même théorie $\mathscr{T}$, soient $\Sigma$ et $\Theta$ deux espèces de structure ayant les mêmes ensembles de base principaux $x_1, \ldots, x_n$. Soient $s, t$ les structures génériques d'espèce $\Sigma$ et $\Theta$. Supposons que les conditions suivantes soient remplies:

1° On a un procédé de déduction $P_{x_1, \ldots, x_n, s}$ d'une structure d'espèce $\Theta$ sur $x_1, \ldots, x_n$ à partir d'une structure d'espèce $\Sigma$ sur $x_1, \ldots, x_n$.

2° On a un procédé de déduction $Q_{x_1, \ldots, x_n, t}$ d'une structure d'espèce $\Sigma$ sur $x_1, \ldots, x_n$ à partir d'une structure d'espèce $\Theta$ sur $x_1, \ldots, x_n$.

3° La relation

On dit alors que les espèces de structure $\Sigma$ et $\Theta$ sont équivalentes par l'intermédiaire des procédés de déduction P et Q. Dans ce cas, pour tout théorème $B_{x_1, \ldots, x_n, s}$ de la théorie $\mathscr{T}_\Sigma$, la relation $B_{x_1, \ldots, x_n, Q}$ est un théorème de la théorie $\mathscr{T}_\Theta$ (I, p. 24); et inversement, pour tout théorème $C_{x_1, \ldots, x_n, t}$ de la théorie $\mathscr{T}_\Theta$, la relation $C_{x_1, \ldots, x_n, P}$ est un théorème de $\mathscr{T}_\Sigma$.

Si U est une structure d'espèce $\Sigma$, on dit que la structure déduite de U par le procédé P est équivalente à U. Le critère CST6 entraîne le suivant:

CST7. Soient $\mathscr{S}, \mathscr{S}'$ deux structures d’espèce $\Sigma$ sur des ensembles de base principaux $(E_1, \ldots, E_n), (E'_1, \ldots, E'_n)$ respectivement. Soient $\mathscr{S}_0, \mathscr{S}'_0$ les structures d’espèce $\Theta$ équivalentes respectivement à $\mathscr{S}$ et $\mathscr{S}'$. Pour que $(g_1, \ldots, g_n)$ soit un isomorphisme pour les structures $\mathscr{S}_0$ et $\mathscr{S}'_0$, il faut et il suffit que $(g_1, \ldots, g_n)$ soit un isomorphisme pour les structures $\mathscr{S}$ et $\mathscr{S}'$.

Pratiquement, on ne fera pas de distinction entre les théories $\mathscr{T}_\Sigma$ et $\mathscr{T}_\Theta$ de deux espèces de structures équivalentes.

Exemples. — 1) *Soit $\Sigma$ l’espèce de structure de groupe commutatif (A, I, § 4, n° 2); elle comporte un seul ensemble de base (principal) $A$, et sa structure générique une seule lettre $F$; la caractérisation typique de $\Sigma$ est $F \in \mathfrak{B}((A \times A) \times A)$, et nous désignerons par $R \{ A, F \}$ l’axiome de $\Sigma$. Cet axiome implique en particulier que $F$ est un graphe fonctionnel (la « loi de composition » du groupe, cf. IV, p. 5, Exemple 2). On définit alors dans $\mathscr{T}_\Sigma$ (où $\mathscr{T}$ désigne la théorie des ensembles) un terme $M \{ A, F \}$, qui est un graphe fonctionnel dans $\mathfrak{B}((\mathbf{Z} \times A) \times A)$ et vérifie la relation suivant $B \{ M, A, F \}$:

(« multiplication d’un élément de $A$ par un entier »; cf. A, I, § 3, n° 1).

Considérons alors l’espèce de structure $\Theta$ de $\mathbf{Z}\text{-module}$ (A, II, § 1, n° 1), ayant un seul ensemble de base principal $A$, avec $\mathbf{Z}$ pour ensemble auxiliaire, et dont la structure générique comporte deux lettres, $G, L$, avec la caractérisation typique

et l’axiome

« $R \{ A, G \}$ et $(L \text{ est un graphe fonctionnel})$ et $B \{ L, A, G \}$. »

On vérifie aussitôt que les termes $F, M$ constituent un procédé de déduction d’une structure d’espèce $\Theta$ à partir d’une structure d’espèce $\Sigma$, et le terme $G$ un procédé de déduction d’une structure d’espèce $\Sigma$ à partir d’une structure d’espèce $\Theta$; en outre, la condition 3° ci-dessus est trivialement vérifiée. On peut donc dire que l’espèce de structure de groupe commutatif et celle de $\mathbf{Z}\text{-module}$ sont équivalentes.