3. Ánh xạ phổ quát

1. Các tập vũ trụ và các ánh xạ

Cho $\mathscr{T}$ là một lý thuyết mạnh hơn lý thuyết tập hợp, và cho E là một số hạng trong $\mathscr{T}$. Cho $\Sigma$ là một loài cấu trúc trong $\mathscr{T}$. Để đơn giản, trong suốt phần này ta sẽ giả sử rằng $\Sigma$ được xác định trên một tập cơ sở (chính) duy nhất, và để ngắn gọn, ta sẽ gọi “tập-$\Sigma$” thay cho “tập hợp được trang bị một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$”. Hơn nữa, ta sẽ giả sử rằng các cấu xạ-$\sigma$ đã được xác định cho loài $\Sigma$ (§ 2, no. 1; cũng như trong § 2, ta sẽ nói “cấu xạ” thay cho “cấu xạ-$\sigma$”). Cuối cùng, loài $\Sigma$ được xác định trên tập cơ sở $x$ và có $s$ làm cấu trúc tổng quát (§ 1, no. 4), giả sử rằng một số hạng $\alpha\{x,s\}$ được xác định trong $\mathscr{T}_{\Sigma}$, thỏa mãn các điều kiện sau :

(QM$_{\mathrm{I}}$) Quan hệ $\alpha\{x,s\}\subset\mathscr{T}(E;x)$ là đúng trong $\mathscr{T}_{\Sigma}$.

(QM$_{\mathrm{II}}$) Nếu (trong một lý thuyết $\mathscr{T}'$ mạnh hơn $\mathscr{T}$) F và F′ là hai tập hợp được trang bị các cấu trúc $\mathscr{S},\mathscr{S}'$ của loài $\Sigma$, và nếu $f$ là một cấu xạ của F vào F′, thì quan hệ $\varphi\in\alpha\{F,\mathscr{S}\}$ suy ra $f\circ\varphi\in\alpha\{F',\mathscr{S}'\}$.

Ta sẽ biểu thị quan hệ $\varphi\in\alpha\{x,s\}$ bằng cách nói rằng $\varphi$ là một $\alpha$-ánh xạ từ E vào $x$ (được trang bị $s$).

Một $\Sigma$-tập hợp $F_E$ và một $\alpha$-ánh xạ $\varphi_E$ từ E vào $F_E$ được gọi là phổ quát nếu điều kiện sau được thỏa mãn :

$(AU)$ Với mỗi ánh xạ-$\alpha$ $\varphi$ của E vào một tập hợp-$\Sigma$ F tồn tại một cấu xạ duy nhất $f$ của $F_E$ vào F sao cho $\varphi=f\circ\varphi_E$.

Cặp $(F_E,\varphi_E)$ khi đó cũng được gọi là một nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát đối với E (ứng với $\Sigma$, $\sigma$, và $\alpha$).

¶ Cho $(F'_E,\varphi'_E)$ và $(F''_E,\varphi''_E)$ là hai nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát đối với E. Điều kiện $(AU)$ khi đó cho thấy tồn tại một cấu xạ duy nhất $f_1$ của $F'_E$ vào $F''_E$ và một cấu xạ duy nhất $f_2$ của $F''_E$ vào $F'_E$ sao cho $\varphi''_E=f_1\circ\varphi'_E$ và $\varphi'_E=f_2\circ\varphi''_E$. Do đó ta có $\varphi''_E=f_2\circ f_1\circ\varphi'_E$ và $\varphi'_E=f_1\circ f_2\circ\varphi''_E$. Áp dụng $(AU)$ vào trường hợp $F=F'_E$ và $\varphi=\varphi'_E$, ta thấy rằng $f_2\circ f_1$ là ánh xạ đồng nhất của $F'_E$ lên chính nó. Tương tự, $f_1\circ f_2$ là ánh xạ đồng nhất của $F''_E$ lên chính nó. Do đó (§ 2, no. 1, tiêu chuẩn CST8) $f_1$ là một đẳng cấu của $F'_E$ lên $F''_E$, và $f_2$ là đẳng cấu nghịch đảo của nó. Kết quả này được diễn đạt bằng cách nói rằng nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát đối với E là duy nhất sai khác bởi đẳng cấu.

Để kiểm tra rằng một cặp $(F_E,\varphi_E)$ là một nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát đối với E, thường thuận tiện khi kiểm tra hai điều kiện sau :

$(AU'_{\mathrm I})$ Với mọi tập hợp $\Sigma$ F và mọi ánh xạ $\alpha$ $\varphi$ của E vào F, tồn tại một cấu xạ $f$ của $F_E$ vào F sao cho $\varphi=f\circ\varphi_E$.

$(AU'_{\mathrm{II}})$ Với mọi tập hợp $\Sigma$ F, hai cấu xạ của $F_E$ vào F trùng nhau trên $\varphi_E(E)$ thì bằng nhau.

Nếu hai điều kiện này được thỏa mãn, cấu xạ $f$ mà sự tồn tại của nó được đảm bảo bởi $(AU'_{\mathrm I})$ là duy nhất theo $(AU'_{\mathrm{II}})$. Ngược lại, rõ ràng là $(AU)$ kéo theo $(AU'_{\mathrm I})$; hơn nữa, nếu $f$ và $f'$ là hai cấu xạ từ $F_E$ vào F trùng nhau trên $\varphi_E(E)$, ta có $f\circ\varphi_E=f'\circ\varphi_E$, do đó $f=f'$ bằng cách áp dụng $(AU)$ cho ánh xạ $\alpha$ $f\circ\varphi_E$. Vì vậy $(AU)$ kéo theo $(AU'_{\mathrm{II}})$.

2. Sự tồn tại của các ánh xạ phổ quát

Một bài toán ánh xạ phổ quát không nhất thiết có một nghiệm (Bài tập 1). Tuy nhiên, ta sẽ chứng minh rằng các điều kiện sau đây kéo theo sự tồn tại của một nghiệm :

$(CU_{\mathrm I})$ Trên mỗi tích của một họ các tập hợp $\Sigma$ tồn tại một cấu trúc tích thuộc loài $\Sigma$ (§ 2, no. 4).

$(CU_{\mathrm{II})}$ Cho $(F_i)_{i\in I}$ là một họ các tập hợp $\Sigma$, và với mỗi $i\in I$ cho $\varphi_i$ là một ánh xạ $\alpha$ của E vào $F_i$. Khi đó ánh xạ $(\varphi_i)_{i\in I}$ của E vào $\prod_{i\in I}F_i$ (được trang bị cấu trúc tích) là một ánh xạ $\alpha$.

Một tập con G của một $\Sigma$-tập hợp F được gọi là $\Sigma$-*chấp nhận được* nếu cấu trúc trên F cảm sinh một cấu trúc loài $\Sigma$ trên G ($\S\,2$, no. 4).

$(\mathrm{CU_{III}})$ Tồn tại một lực lượng $\mathfrak{a}$ có các tính chất sau đây : đối với mọi $\Sigma$-*tập hợp* F và mọi $\alpha$-*ánh xạ* $\varphi$ của E vào F tồn tại một $\Sigma$-*tập con khả dụng* G của F chứa $\varphi(\mathrm{E})$, có lực lượng $\leqslant \mathfrak{a}$, sao cho ánh xạ của E vào G có cùng đồ thị với $\varphi$ là một $\alpha$-*ánh xạ, và sao cho mọi hai cấu xạ của* G vào một $\Sigma$-*tập hợp*, trùng nhau trên $\varphi(\mathrm{E})$, thì bằng nhau.

CST22. Nếu các điều kiện $(\mathrm{CU_I})$ đến $(\mathrm{CU_{III}})$ được thỏa mãn, thì bài toán ánh xạ phổ quát đối với E có một nghiệm.

Trước hết ta sẽ chứng minh rằng nếu tồn tại một cặp $(\mathrm{F_E},\ \varphi_\mathrm{E})$ thỏa mãn $(\mathrm{AU'_I})$, thì cũng tồn tại một nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát đối với E. Thật vậy, theo $(\mathrm{CU_{III}})$ tồn tại một tập con $\Sigma$-chấp nhận được $\mathrm{F'_E}$ của $\mathrm{F_E}$ chứa $\varphi_\mathrm{E}(\mathrm{E})$, sao cho ánh xạ $\varphi'_\mathrm{E}$ từ E vào $\mathrm{F'_E}$ có cùng đồ thị với $\varphi_\mathrm{E}$ là một ánh xạ $\alpha$, và sao cho hai cấu xạ bất kỳ từ $\mathrm{F'_E}$ vào một $\Sigma$-tập hợp trùng nhau trên $\varphi_\mathrm{E}(\mathrm{E})$ thì bằng nhau. Gọi $j$ là đơn ánh chính tắc của $\mathrm{F'_E}$ vào $\mathrm{F_E}$, sao cho $\varphi_\mathrm{E} = j \circ \varphi'_\mathrm{E}$. Với mọi cấu xạ $f$ từ $\mathrm{F_E}$ vào một $\Sigma$-tập hợp F, $f \circ j$ là một cấu xạ từ $\mathrm{F'_E}$ vào F, và ta có $f \circ \varphi_\mathrm{E} = (f \circ j) \circ \varphi'_\mathrm{E}$. Do đó hiển nhiên rằng $(\mathrm{F'_E},\ \varphi'_\mathrm{E})$ thỏa mãn $(\mathrm{AU'_I})$ và $(\mathrm{AU'_{II}})$.

Còn lại là chúng ta phải thiết lập sự tồn tại của một cặp $(\mathrm{F_E},\ \varphi_\mathrm{E})$ thỏa mãn $(\mathrm{AU'_I})$. Cho $s \in \mathrm{S}(x)$ là đặc trưng hóa điển hình của loài cấu trúc $\Sigma$, và xét tập con L của $\mathfrak{P}(\mathfrak{a}) \times \mathrm{S}(\mathfrak{a}) \times \mathfrak{P}(\mathrm{E} \times \mathfrak{a})$ gồm tất cả các bộ ba $\lambda = (\mathrm{X},\ \mathrm{V},\ \mathrm{P})$ có tính chất sau : "V là một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên $\mathrm{X} \subset \mathfrak{a}$, và P là đồ thị của một ánh xạ $\alpha$ của E vào X (đối với cấu trúc V)" (lưu ý rằng ta có $\mathrm{S}(\mathrm{X}) \subset \mathrm{S}(\mathfrak{a})$, như dễ dàng thấy được bằng cách lập luận từng bước trên độ dài của lược đồ phép dựng echelon S). Đối với mỗi $\lambda = (\mathrm{X},\ \mathrm{V},\ \mathrm{P}) \in \mathrm{L}$, ta ký hiệu $\mathrm{X}_\lambda$ là tập hợp X được trang bị cấu trúc V, và $\varphi_\lambda$ là ánh xạ của E vào $\mathrm{X}_\lambda$ mà đồ thị là P.

Cho $\mathrm{F_E}$ là tập hợp-$\Sigma$ là tích của các $\mathrm{X}_\lambda$ (nó tồn tại theo $(\mathrm{CU_I})$), và cho $\varphi_\mathrm{E}$ là ánh xạ $x \to (\varphi_\lambda(x))$ của E vào $\mathrm{F_E}$, là một ánh xạ-$\alpha$ nhờ vào $(\mathrm{CU_{II}})$. Hãy chứng minh rằng cặp $(\mathrm{F_E},\ \varphi_\mathrm{E})$ thỏa mãn $(\mathrm{AU'_I})$. Cho một ánh xạ-$\alpha$ $\varphi$ của E vào một tập hợp-$\Sigma$ F, gọi G là một tập con của F thỏa mãn các điều kiện được nêu trong $(\mathrm{CU_{III}})$. Gọi $j$ là đơn ánh chính tắc của G vào F, và gọi $\psi$ là ánh xạ của E vào G có cùng đồ thị với $\varphi$, sao cho $\varphi = j \circ \psi$. Suy ra từ $(\mathrm{CU_{III}})$ rằng $\psi$ là một ánh xạ-$\alpha$ của E vào G. Vì Card (G) $\leqslant \mathfrak{a}$, tồn tại một tập con G$'$ của $\mathfrak{a}$ song ánh với G. Gọi $g$ là một song ánh của G lên G$'$. Nếu ta chuyển qua $g$ cấu trúc của loài $\Sigma$ trên G, thì theo định nghĩa tồn tại một phần tử $\lambda$ của L sao cho G$'$ (được trang bị cấu trúc đã chuyển) bằng $\mathrm{X}_\lambda$ và sao cho $g \circ \psi = \varphi_\lambda$. Khi đó $f = j \circ \overset{-1}{g} \circ \mathrm{pr}_\lambda$ là một cấu xạ của $\mathrm{F_E}$ vào F sao cho $\varphi = f \circ \varphi_\mathrm{E}$, và chứng minh hoàn tất.

CST23. Cho $(\mathrm{F_E},\ \varphi_\mathrm{E})$ là một nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát đối với E. Khi đó $\varphi_\mathrm{E}$ là một đơn ánh của E vào $\mathrm{F_E}$ khi và chỉ khi, với mỗi cặp phần tử phân biệt $x$, $y$ của E, tồn tại một $\alpha$-*ánh xạ* $\varphi$ của E vào một $\Sigma$-*tập hợp* F sao cho $\varphi(x) \neq \varphi(y)$.

Vì $\varphi_\mathrm{E}$ là một $\alpha$-ánh xạ, tiêu chuẩn là một hệ quả ngay lập tức của các định nghĩa.

¶ Trong trường hợp này, các ánh xạ $\alpha$ được nói là tách các phần tử của E, và theo thuật ngữ, thông thường chúng ta không phân biệt các phần tử của E với các ảnh của chúng qua $\varphi_\mathrm{E}$. Với quy ước này, nếu $(\mathrm{F_E},\ \varphi_\mathrm{E})$ là một nghiệm của một bài toán ánh xạ phổ quát, và nếu điều kiện $(\mathrm{CU_{III}})$ được thỏa mãn, thì mọi ánh xạ $\alpha$ của E vào một tập hợp $\Sigma$ F mở rộng duy nhất thành một cấu xạ của $\mathrm{F_E}$ vào F.

3. Các ví dụ về các ánh xạ phổ quát

\* Các ví dụ tiếp theo, phần lớn, sẽ được xét chi tiết ở nơi khác trong chuỗi này.

I. Các cấu trúc đại số tự do. Cho E là một tập hợp và cho $\Sigma$ là một loài các cấu trúc đại số, được xác định bởi một hoặc nhiều luật hợp thành. Ta lấy làm các cấu xạ các đồng cấu đối với loài $\Sigma$ đang xét, và làm các ánh xạ-$\alpha$ các ánh xạ tùy ý từ E vào một tập hợp-$\Sigma$ (nói cách khác, $\alpha \{ x,\ s \} = \mathfrak{F}(\mathrm{E},\ x)$). Tất cả các loài cấu trúc đại số thông thường đều thỏa mãn $(\mathrm{CU_{III}})$; ngoại trừ các cấu trúc vành chia, chúng cũng thỏa mãn $(\mathrm{CU_I})$, và $(\mathrm{CU_{II}})$ ở đây là một hệ quả tầm thường của $(\mathrm{CU_I})$.

Vì nói chung tồn tại các cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ được xác định trên các tập hợp có ít nhất hai phần tử, các ánh xạ-$\alpha$ tách các phần tử của E, và do đó E có thể được xem như được nhúng vào $\mathrm{F_E}$. $\mathrm{F_E}$ được gọi là tập hợp-$\Sigma$ tự do sinh bởi E. Vì vậy trong đại số ta nói đến các nửa nhóm tự do, các nhóm tự do, các môđun tự do, và các đại số tự do.

II. Vành và các trường phân thức. Cho E là một vành giao hoán có phần tử đơn vị và cho S là một tập con đóng đối với phép nhân của E không chứa 0. Ta lấy $\Sigma$ là loài cấu trúc của các vành giao hoán có phần tử đơn vị, và các cấu xạ là các đồng cấu vành biến phần tử đơn vị thành phần tử đơn vị. Các ánh xạ $\alpha$ sẽ là các đồng cấu $\varphi$ của E vào một vành giao hoán A có phần tử đơn vị, sao cho $\varphi(1) = 1$ và $\varphi(\mathrm{S})$ chỉ chứa các phần tử khả nghịch của A. Các điều kiện $(\mathrm{QM_{II}})$, $(\mathrm{CU_I})$ đến $(\mathrm{CU_{III}})$ (với $\mathfrak{a} = \mathrm{Card}\ (\mathrm{E})\ \mathrm{Card}\ (\mathbf{N})$) được kiểm tra ngay lập tức. Do đó bài toán ánh xạ phổ quát luôn có một nghiệm $(\mathrm{F_E},\ \varphi_\mathrm{E})$, nhưng nói chung $\varphi_\mathrm{E}$ không là đơn ánh. Trường hợp thường gặp nhất là trường hợp trong đó $E$ là một miền nguyên; trong trường hợp này, $\varphi_E$ là đơn ánh. Hơn nữa, nếu ta lấy $S = E - \{0\}$, thì $F_E$ là một trường, được gọi là trường phân thức của $E$.

III. Tích tenxơ của hai môđun. Cho $E$ là tích $A \times B$ của hai môđun trên một vành giao hoán $C$ có một phần tử đơn vị. Lấy $\Sigma$ là loài các cấu trúc $C$-môđun, các cấu xạ là các ánh xạ tuyến tính, và các ánh xạ $\alpha$ là các ánh xạ song tuyến tính của $A \times B$ vào một $C$-môđun. Điều kiện $(QM_{II})$ hiển nhiên được thỏa mãn, và các điều kiện $(CU_I)$ đến $(CU_{III})$ cũng vậy (với $\mathfrak{a} = \mathrm{Card}\ (E)\ \mathrm{Card}\ (C)\ \mathrm{Card}\ (\mathbf{N})$). Môđun $C$ phổ quát $F_E$ tương ứng với cặp $(A, B)$ được gọi là tích tenxơ của $A$ và $B$ và được viết là $A \otimes B$. Ánh xạ phổ quát $\varphi_E$ được viết là $(x,\ y) \to x \otimes y$; nó là song tuyến tính nhưng, nói chung, không đơn ánh.

IV. Mở rộng vành các toán tử của một môđun. Cho $A$ là một vành giao hoán với một phần tử đơn vị, cho $B$ là một vành con của $A$ chứa phần tử đơn vị của $A$, và cho $E$ là một $B$-môđun. Loài $\Sigma$ là loài của các cấu trúc $A$-môđun, các cấu xạ là các ánh xạ $A$-tuyến tính, và các ánh xạ $\alpha$ là các ánh xạ $B$-tuyến tính của $E$ vào một $A$-môđun. $A$-môđun phổ quát $F_E$ tương ứng với $B$-môđun $E$ được gọi là thu được bằng cách mở rộng lên $A$ vành các toán tử $B$ của $E$.

V. Hoàn thành của một không gian đều. Cho $E$ là một không gian đều. Lấy $\Sigma$ là loài cấu trúc của các không gian đều Hausdorff đầy đủ, các cấu xạ là các ánh xạ liên tục đều, và các ánh xạ $\alpha$ là các ánh xạ liên tục đều từ $E$ vào một không gian đều Hausdorff đầy đủ. Các tập con $\Sigma$-chấp nhận được của một không gian đều Hausdorff đầy đủ ở đây là các tập con đóng (đối với tôpô của không gian), và các điều kiện $(QM_{II})$ và $(CU_I)$ qua $(CU_{III})$ được thỏa mãn (với $\mathfrak{a} = 2^{2^{\mathrm{Card}(E)}}$). Không gian đều Hausdorff đầy đủ là (sai khác một đẳng cấu) hoàn thành của không gian đều Hausdorff liên kết với $E$ (Tôpô đại cương, Chương II, § 3, no. 7).

VI. Compact hóa Stone-Čech. Cho $E$ là một không gian hoàn toàn chính quy. $\Sigma$ là loài cấu trúc của các không gian compact, các cấu xạ là các ánh xạ liên tục (từ một không gian compact vào một không gian compact), và các ánh xạ-$\alpha$ là các ánh xạ liên tục từ $E$ vào một không gian compact. Các tập con $\Sigma$-chấp nhận được lại là các tập con đóng, và các điều kiện $(QM_{II})$, $(CU_I)$ qua $(CU_{III})$ dễ dàng được kiểm chứng (với cùng lực lượng như trong Ví dụ V). Không gian compact $F_E$ là (sai khác một đẳng cấu) "compact hóa Stone-Čech" thu được bằng cách hoàn thiện $E$ đối với tôpô đều thô nhất sao cho mọi ánh xạ liên tục của $E$ vào khoảng $[0,\ 1]$ của $\mathbf{R}$ đều liên tục đều (Tôpô đại cương, Chương IX, § 1, Bài tập 7); ánh xạ $\varphi_E$ là đơn ánh, vì hai điểm phân biệt bất kỳ của E có thể được phân ly bởi một ánh xạ liên tục của E vào $[0, 1]$.

VII. Các nhóm tôpô tự do. Cho E là một không gian chính quy hoàn toàn, cho $\Sigma$ là loài cấu trúc nhóm tôpô Hausdorff, các cấu xạ là các đồng cấu liên tục; và lấy các ánh xạ-$\alpha$ là các ánh xạ liên tục từ E vào một nhóm tôpô Hausdorff. Các điều kiện $(\mathrm{QM_{II}})$ và $(\mathrm{CU_I})$ đến $(\mathrm{CU_{III}})$ được kiểm tra dễ dàng, với

Nhóm tôpô Hausdorff $\mathrm{F_E}$ là nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát này đối với E được gọi là nhóm tôpô tự do sinh bởi không gian E. Vì hai điểm phân biệt bất kỳ của E có thể được phân tách bởi một ánh xạ liên tục từ E vào nhóm tôpô Hausdorff R, ánh xạ $\varphi_\mathrm{E}$ là đơn ánh; có thể chứng minh rằng $\varphi_\mathrm{E}$ là một đồng phôi của E lên không gian con $\varphi_\mathrm{E}(\mathrm{E})$ của $\mathrm{F_E}$ [^1]. Thay vì lấy $\Sigma$ là loài cấu trúc của các nhóm tôpô Hausdorff, ta cũng có thể lấy các loài cấu trúc khác, chẳng hạn như các loài cấu trúc của các nhóm Abel tôpô Hausdorff, các nhóm compact, các vành tôpô Hausdorff, các không gian vectơ tôpô Hausdorff (trên một vành chia tôpô, được xem như một tập hợp cơ sở phụ), v.v.

VIII. Các hàm gần tuần hoàn trên một nhóm tôpô. Cho E là một nhóm tôpô. Lấy $\Sigma$ là loài cấu trúc nhóm compắc, các cấu xạ là các đồng cấu liên tục, và các $\alpha$-ánh xạ là các đồng cấu liên tục từ E vào một nhóm compắc. Các điều kiện $(\mathrm{QM_{II}})$, $(\mathrm{CU_I})$ đến $(\mathrm{CU_{III}})$ được thỏa mãn, với $\mathfrak{a} = 2^{2^{\mathrm{Card\,(E)}}}$. Nhóm compắc $\mathrm{F_E}$ là nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát này đối với E được gọi là nhóm compắc liên kết với E; ánh xạ $\varphi_\mathrm{E}$ không nhất thiết đơn ánh. Mọi hàm thực liên tục trên E, có dạng $g \circ \varphi_\mathrm{E}$, trong đó $g$ là một hàm thực liên tục trên E, đều được gọi là một hàm gần tuần hoàn trên E.

IX. Đa tạp Albanese. Cho E là một đa tạp đại số, và lấy $\Sigma$ là loài cấu trúc của các đa tạp Abel trên cùng trường cơ sở với E (một đa tạp Abel là một đa tạp đại số đầy đủ được trang bị một cấu trúc nhóm đại số; nó tất yếu là giao hoán). Các cấu xạ là các ánh xạ hữu tỉ từ một đa tạp Abel vào một đa tạp Abel khác (mỗi cấu xạ tất yếu là hợp thành của một đồng cấu và một phép tịnh tiến). Các $\alpha$-ánh xạ là các ánh xạ hữu tỉ từ E vào một đa tạp Abel. Điều kiện $(\mathrm{CU_I})$ không được thỏa mãn, tuy vậy bài toán ánh xạ phổ quát này đối với E vẫn có một nghiệm $\mathrm{F_E}$, gọi là đa tạp Albanese của E. Nói chung, ánh xạ hữu tỉ $\varphi_\mathrm{E}$ không đơn ánh. \*

Bài tập

Xem bài tập cho § 3.

[^1]: Xem P. SAMUEL, "Về các ánh xạ phổ quát và các nhóm tôpô tự do", Bull. Amer. Math. Soc., 54 (1948), tr. 591-598.