Ghi chú lịch sử

(Các chương I đến IV)

“Aliquot selectos homines rem intra quinquennium absolvere posse puto” Leibniz ([12 b], tập 7, p. 187).

(Các số trong ngoặc vuông chỉ đến thư mục ở cuối Ghi chú này.)

Việc nghiên cứu cái thường được gọi là “cơ sở của toán học”, đã được theo đuổi không ngừng kể từ đầu thế kỷ XIX, đã không thể đạt được thành công nếu không có một nỗ lực song song nhằm hệ thống hóa lôgic, hoặc ít nhất là những phần của lôgic chi phối các quan hệ của các mệnh đề toán học. Vì vậy, lịch sử của lý thuyết tập hợp và sự hình thức hóa toán học không thể tách rời khỏi lịch sử của “lôgic toán học”. Nhưng lôgic truyền thống, cũng như lôgic của các nhà triết học hiện đại, về nguyên tắc mở rộng trên một lĩnh vực áp dụng rộng hơn nhiều so với toán học. Do đó, độc giả sẽ không tìm thấy một lịch sử của lôgic, ngay cả dưới dạng tóm tắt, trong Ghi chú này; chúng tôi đã tự giới hạn, trong chừng mực có thể, vào việc lần lại sự tiến hóa của lôgic chỉ trong phạm vi nó đã ảnh hưởng đến sự tiến hóa của toán học. Vì vậy, chúng tôi sẽ không nói gì về các lôgic phi cổ điển (các lôgic nhiều giá trị, các lôgic mô thức); a fortiori, chúng tôi sẽ không đi vào lịch sử của những cuộc tranh luận mà từ thời các nhà Ngụy biện cho đến thời trường phái Viên đã chia rẽ các nhà triết học về khả năng và phương thức áp dụng lôgic vào các đối tượng của thế giới bên ngoài hoặc các khái niệm của trí óc con người.

¶ Ngày nay đã được xác lập vững chắc rằng toán học đã phát triển cao vào thời kỳ tiền Hy Lạp. Không những các khái niệm (cực kỳ trừu tượng) về số nguyên và phép đo các đại lượng được sử dụng tự do trong những tài liệu cổ xưa nhất còn lưu lại cho chúng ta từ Ai Cập và Chaldaea, mà đại số của người Babylon, nhờ sự thanh nhã và chắc chắn của các phương pháp của nó, không thể được xem đơn giản như một tập hợp các bài toán được giải bằng các thủ pháp thực nghiệm. Và, mặc dù trong các văn bản không có gì giống với một “chứng minh” theo nghĩa hình thức của từ này, ta có thể chính đáng cho rằng việc phát hiện ra những phương pháp nghiệm như vậy, mà tính tổng quát của chúng thể hiện qua các áp dụng số cụ thể được xử lý, không thể đạt được nếu không có một mức tối thiểu của lập luận lôgic (có lẽ không hoàn toàn có ý thức, nhưng đúng hơn thuộc kiểu mà một nhà đại số hiện đại dựa vào khi tiến hành một phép tính, trước khi viết ra tất cả các chi tiết) ([1], tr. 203 và tiếp theo).

Tính độc đáo của người Hy Lạp chính là ở nỗ lực có ý thức sắp xếp các chứng minh toán học thành một dãy sao cho sự chuyển từ bước này sang bước kế tiếp không để lại điều gì đáng nghi ngờ và buộc phải có sự thừa nhận phổ quát. Dĩ nhiên, các nhà toán học Hy Lạp, cũng như những người kế tục họ ngày nay, đã sử dụng những lập luận “khám phá” hơn là nghiêm ngặt trong quá trình nghiên cứu của mình; chẳng hạn, Archimedes, trong Chuyên luận về phương pháp [4 bis], nhắc đến những kết quả “đã được tìm thấy, nhưng chưa được chứng minh” bởi các nhà toán học trước đó [^1]. Nhưng, từ những văn bản chi tiết cổ xưa nhất mà chúng ta biết (có niên đại từ giữa thế kỷ thứ năm trước Công nguyên), lý tưởng “chuẩn mực” của một văn bản toán học đã được xác định. Nó được thực hiện hoàn toàn trong các công trình của những bậc thầy lớn Euclid, Archimedes và Apollonius. Khái niệm về chứng minh của họ không khác gì của chúng ta.

Chúng ta không có bất kỳ văn bản nào cho phép lần lại những bước đầu tiên của “phương pháp suy diễn” này. Ngay ở lần xuất hiện đầu tiên được biết đến, nó đã gần như hoàn thiện. Chúng ta chỉ có thể nghĩ rằng nó là một sự phát triển tự nhiên từ sự tìm kiếm không ngừng những “giải thích” về thế giới, vốn đặc trưng cho tư tưởng Hy Lạp từ thời các nhà triết học Ionia ở thế kỷ thứ bảy trước Công nguyên trở đi; hơn nữa, truyền thống nhất trí quy sự phát triển và hoàn thiện của phương pháp này cho trường phái Pythagore, vào một thời kỳ nào đó giữa cuối thế kỷ thứ sáu và giữa thế kỷ thứ năm.

Nền toán học “suy diễn” này, chính xác trong các mục tiêu và nghiêm ngặt trong các phương pháp, đã chiếm lĩnh những suy tư triết học và toán học của các thời đại kế tiếp. Một mặt, ta thấy công trình của lôgic “hình thức” dần dần được xây dựng lên, theo mô hình của toán học, và đạt đến đỉnh điểm là sự tạo ra các ngôn ngữ hình thức hóa; mặt khác, chủ yếu từ đầu thế kỷ XIX trở đi, đặc biệt sau sự ra đời của lý thuyết tập hợp, các khái niệm nằm ở gốc rễ của toán học ngày càng bị chất vấn và khảo sát chặt chẽ hơn trong một nỗ lực nhằm làm sáng tỏ bản chất của chúng.

Hình thức hóa lôgic

Ấn tượng chung mà chúng ta nhận được từ những văn bản (cực kỳ không đầy đủ) mà chúng ta có trong tay là tư tưởng triết học Hy Lạp thế kỷ thứ năm trước Công nguyên bị chi phối bởi một nỗ lực ngày càng có ý thức nhằm mở rộng ra toàn bộ lĩnh vực tư tưởng con người những thủ tục của diễn ngôn mạch lạc vốn đã được sử dụng với thành công lớn như vậy trong thuật hùng biện và toán học đương thời — nói cách khác, nhằm tạo ra Lôgic, theo nghĩa tổng quát nhất của từ này. Giọng điệu của các tác phẩm triết học đã trải qua một sự thay đổi đột ngột trong thời kỳ này. Trong khi ở các thế kỷ thứ bảy và thứ sáu các nhà triết học khẳng định và tiên tri (hoặc, tốt nhất, phác thảo những lập luận mơ hồ, dựa trên những phép tương tự cũng mơ hồ), thì từ Parmenides và đặc biệt là Zeno trở đi họ lập luận và tìm cách rút ra những nguyên lý tổng quát để làm cơ sở cho phép biện chứng của họ. Phát biểu đầu tiên của nguyên lý loại trừ trung gian được tìm thấy trong công trình của Parmenides, và các chứng minh “bằng phản chứng” của Zeno thành Elea vẫn còn nổi tiếng. Nhưng Zeno phát triển vào giữa thế kỷ thứ năm và, mặc dù tài liệu không chắc chắn [^2], rất có khả năng rằng vào thời kỳ này các nhà toán học cũng đã sử dụng những nguyên lý này trong lĩnh vực riêng của họ.

Như chúng tôi đã nói, không thuộc phạm vi của cuốn sách này để thuật lại vô số khó khăn đã nảy sinh ở mỗi giai đoạn trong sự phát triển của Lôgic này, cùng với những cuộc bút chiến do đó mà ra đã chiếm lĩnh trường phái Eleatic, các nhà Sophist, cũng như Plato và Aristotle. Ta chỉ cần chú ý vai trò của việc trau dồi cần mẫn nghệ thuật hùng biện và sự phân tích ngôn ngữ vốn tự nhiên theo sau nó trong sự tiến hóa này - những phát triển chủ yếu được quy cho các nhà Sophist của thế kỷ thứ năm. Mặt khác, ảnh hưởng của toán học, nếu không phải luôn luôn được thừa nhận tường minh, thì cũng chẳng kém phần rõ ràng, đặc biệt trong các tác phẩm của Plato và Aristotle. Có thể nói rằng Plato gần như bị toán học ám ảnh; tuy bản thân ông không phải là người sáng tạo trong lĩnh vực này, ông vẫn luôn nắm được những phát hiện của các nhà toán học đương thời (nhiều người trong số họ là bạn bè hoặc học trò của ông), và luôn quan tâm trực tiếp nhất đến đề tài này, đến mức gợi ý những hướng mới cho nghiên cứu. Trong các tác phẩm của mình, chính toán học không ngừng được dùng làm minh họa hay mô hình (và đôi khi, như với những người Pythagore, nuôi dưỡng khuynh hướng của ông về huyền bí). Là học trò của Plato, Aristotle hẳn khó mà không nhận được nền giáo dục toán học tối thiểu mà các học trò ở Học viện phải có, và đã có một tập tuyển chọn từ các tác phẩm của ông liên quan đến hoặc ám chỉ toán học được biên soạn [2 bis]. Tuy nhiên, dường như ông chưa bao giờ cố gắng nhiều để giữ liên hệ với các trào lưu toán học đương thời, và trong lĩnh vực này ông chỉ trích dẫn những kết quả từ lâu đã trở thành kiến thức chung. Các triết gia về sau, phần lớn, còn kém quen thuộc với toán học hơn nữa. Nhiều người trong số họ thiếu kiến thức kỹ thuật cần thiết, và các tham chiếu của họ tới toán học chỉ liên quan đến những giai đoạn đã từ lâu trôi qua trong sự tiến hóa của môn này.

Đỉnh cao của thời kỳ này, xét về lôgic, là công trình đồ sộ của Aristotle [2], có công lớn ở chỗ lần đầu tiên đã hệ thống hóa và quy phạm hóa các phương pháp lập luận vốn cho đến lúc đó vẫn còn mơ hồ hoặc chưa được phát biểu [^3]. Đối với mục đích của chúng ta, cần ghi nhớ luận đề chung của công trình này, cụ thể là có thể rút gọn mọi lập luận đúng đắn thành sự áp dụng có hệ thống của một số ít quy tắc bất biến, độc lập với bản chất riêng của các đối tượng đang xét (sự độc lập này được làm sáng tỏ rõ ràng qua việc dùng các chữ cái để ký hiệu các khái niệm hay mệnh đề - một cách dùng mà Aristotle rất có thể đã mượn từ các nhà toán học). Nhưng Aristotle hầu như chỉ tập trung chú ý vào một kiểu quan hệ và chuỗi lập luận nhất định, cụ thể là cái mà ông gọi là “tam đoạn luận”; về thực chất, đó là các quan hệ có dạng $A \subset B$ hoặc $A \cap B \neq \varnothing$, trong ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp [^4], và những chuỗi các quan hệ như thế hoặc các phủ định của chúng được nối lại với nhau bằng sơ đồ

Aristotle hiểu toán học đương thời quá rõ để không nhận ra rằng những sơ đồ như thế không đủ để bao quát mọi phép toán lôgic mà các nhà toán học sử dụng, càng không đủ a fortiori cho những áp dụng khác của lôgic ([2], Analytica Priora, I, 35; [2 bis], pp. 25-26) [^5]. Dẫu sao đi nữa, ông đã tiến hành một nghiên cứu kỹ lưỡng về các dạng khác nhau của “tam đoạn luận” (gần như hoàn toàn nhằm làm sáng tỏ những khó khăn thường trực nảy sinh từ sự nhập nhằng hay mờ tối của các thuật ngữ tham gia vào lập luận), điều này dẫn ông đến việc nêu ra, trong số những điều khác, các quy tắc để lấy phủ định của một mệnh đề ([2], Analytica Priora, I, 46). Aristotle cũng có công lớn ở chỗ đã phân biệt với sự rõ ràng cao độ vai trò của các mệnh đề “phổ quát” với vai trò của các mệnh đề “riêng biệt” : một bước đầu hướng tới lượng từ [^6]. Nhưng ai cũng biết quá rõ rằng ảnh hưởng của các tác phẩm của ông - thường được diễn giải một cách chật hẹp và thiếu sáng suốt - vốn vẫn còn đáng kể cho đến tận thế kỷ mười chín, đã dẫn các triết gia đến chỗ sao lãng việc nghiên cứu toán học và cản trở sự tiến bộ của lôgic hình thức [^7]. Tuy vậy, lôgic vẫn tiếp tục tiến triển trong thời cổ đại, trong các trường phái Megara và Stoic, là những đối thủ của các nhà Peripatetic. Tiếc rằng hiểu biết của chúng ta về những học thuyết này đều là gián tiếp, thường bắt nguồn từ các đối thủ của họ hoặc từ những nhà chú giải tầm thường. Có vẻ như đóng góp của các nhà lôgic này là đặt nền móng cho một “phép tính mệnh đề” theo nghĩa hiện đại của từ này; thay vì giới hạn mình, như Aristotle, vào các mệnh đề có dạng riêng biệt $A \subset B$, họ đã phát biểu các quy tắc liên quan đến những mệnh đề hoàn toàn không xác định. Hơn nữa, họ đã phân tích chặt chẽ các quan hệ lôgic giữa những quy tắc ấy đến mức có thể suy ra tất cả từ năm quy tắc sơ cấp, vốn được xếp vào loại “không thể chứng minh”, bằng những phương pháp rất giống với những phương pháp chúng ta đã mô tả trong Chương I, §§ 2 và 3 [5]. Đáng tiếc là ảnh hưởng của họ chỉ thoáng qua, và các kết quả của họ chìm vào quên lãng cho đến khi được các nhà lôgic thế kỷ mười chín phát hiện lại. Trong lôgic, Aristotle vẫn là bậc thầy không bị tranh cãi cho đến thế kỷ mười bảy. Đặc biệt, các triết gia kinh viện hoàn toàn chịu ảnh hưởng của ông, và mặc dù đóng góp của họ cho lôgic hình thức không phải là không đáng kể, nhưng nó không chứa đựng một bước tiến bậc nhất nào so với những gì các triết gia thời cổ đại đã làm.

Tuy nhiên, có vẻ như các công trình của Aristotle hoặc các hậu bối của ông không gây ra ảnh hưởng đáng kể nào trong toán học. Các nhà toán học Hy Lạp tiếp tục nghiên cứu theo những con đường do người Pythagore và các hậu bối của họ ở thế kỷ thứ tư (Theodorus, Theaetetus, Eudoxus) mở ra, mà dường như không bận tâm đến lôgic hình thức trong việc trình bày các kết quả của mình. Điều này hầu như không có gì đáng ngạc nhiên khi so sánh tính linh hoạt và độ chính xác của lập luận toán học trong thời kỳ này với tình trạng cực kỳ sơ khai của lôgic Aristotle. Và về sau, khi lôgic vượt qua giai đoạn này, sự phát triển của nó được dẫn dắt bởi những chinh phục mới của toán học.

Với sự phát triển của đại số, người ta khó mà không nhận ra sự giống nhau giữa các quy tắc của lôgic hình thức và các quy tắc của đại số, cả hai đều có thể áp dụng cho các đối tượng không xác định (mệnh đề hoặc số). Và khi, vào thế kỷ mười bảy, ký hiệu đại số đã đạt hình thức dứt khoát trong tay Vieta và Descartes, gần như ngay lập tức đã xuất hiện nhiều nỗ lực biểu diễn các phép toán lôgic bằng ký hiệu. Nhưng trước Leibniz, những nỗ lực này (như chẳng hạn nỗ lực của Hérigone (1644) nhằm viết bằng ký hiệu các chứng minh của hình học sơ cấp, hay của Pell (1659) nhằm làm điều tương tự cho số học) còn hời hợt và không dẫn đến bất kỳ tiến bộ nào trong phân tích lập luận toán học.

Leibniz là một triết gia đồng thời cũng là một nhà toán học hàng đầu, và ông có thể rút từ kinh nghiệm toán học của mình những mầm mống của các ý tưởng sẽ giải thoát lôgic hình thức khỏi ngõ cụt kinh viện [^8]. Là một thiên tài phổ quát hiếm có, và là một nguồn vô tận của những ý tưởng độc đáo và phong phú, Leibniz càng quan tâm đến lôgic hơn vì nó nằm ở trung tâm các dự án lớn của ông về việc hình thức hóa ngôn ngữ và tư duy, mà ông tiếp tục theo đuổi trong suốt cuộc đời mình. Sau khi đã đoạn tuyệt với lôgic kinh viện từ thuở ấu thơ, ông bị hấp dẫn bởi ý tưởng (trở về với Raymond Lulle) về một phương pháp phân giải mọi khái niệm của con người thành các khái niệm nguyên thủy, nhờ đó tạo thành một “bảng chữ cái của tư tưởng con người", rồi ghép chúng lại theo một cách gần như cơ giới để thu được mọi mệnh đề đúng ([12 b], vol. VII, p. 185; cf. [12 bis], Chương II). Khi còn rất trẻ, ông cũng nảy ra một ý tưởng khác, còn nguyên bản hơn nhiều, đó là tính hữu ích của ký hiệu tượng trưng như một "sợi chỉ Ariadne" của tư duy [^9]. "Phương pháp chân chính", ông nói, "phải cung cấp cho chúng ta một filum Ariadnes, tức là, một phương tiện vật chất khả giác nào đó sẽ dẫn dắt trí tuệ, như các đường kẻ trong hình học và các dạng thao tác được quy định cho người mới học số học. Nếu không có điều này, tâm trí chúng ta sẽ không thể đi một quãng đường dài mà không lạc lối" ([12 b], vol. VII, p. 22; cf. [12 bis], p. 90). Ông hầu như không biết gì về toán học đương thời cho đến năm hai mươi lăm tuổi, và ban đầu trình bày các dự án của mình dưới dạng một “ngôn ngữ phổ quát". Nhưng khi tiếp xúc với đại số, ông xem nó như mô hình cho “đặc trưng phổ quát" của mình. Với cụm từ này, ông muốn nói đến một thứ ngôn ngữ tượng trưng, có khả năng diễn đạt mọi tư tưởng con người một cách không mập mờ, tăng cường năng lực suy diễn của chúng ta, tránh sai lầm bằng một nỗ lực chú ý thuần túy cơ giới, và được xây dựng sao cho "les chimeres, que celuy meme qui les avance n'entend pas, ne pourrount pas estre ecrites en ces caracteres" ([12 a], vol. I, p. 187). Trong vô số đoạn trong các trước tác của mình, nơi Leibniz ám chỉ đến dự án đồ sộ này và tiến bộ mà việc thực hiện nó sẽ mang lại (cf. [12 bis], Chương IV and VI), người ta thấy rõ ông đã hình dung khái niệm về một ngôn ngữ được hình thức hóa như thế nào, như một tổ hợp thuần túy của các ký hiệu trong đó chỉ có thứ tự viết là quan trọng [^10], đến mức một cỗ máy sẽ có thể tạo ra mọi định lý [^11] và mọi tranh luận đều có thể được giải quyết bằng một phép tính đơn giản ([12 bis], vol. VII, pp. 198-203). Mặc dù những hy vọng này có vẻ khoa trương, nhưng vẫn đúng là chủ đề thường trực này trong tư tưởng của Leibniz làm nền cho một phần lớn thành quả toán học của ông, bắt đầu từ công trình về ký hiệu của phép tính vi phân và tích phân vô cùng bé. Chính ông hoàn toàn ý thức được điều này và đã tường minh gắn các ý tưởng của mình về ký hiệu chỉ số và định thức ([12 a], vol. II, p. 240; cf. [12 bis], pp. 481-487) cùng bản phác thảo về “phép tính hình học" (cf. [12 bis], Chương IX) với “đặc trưng" của mình. Trong suy nghĩ của ông, phần cốt yếu của dự án phải là lôgic tượng trưng hay, theo lời ông, một "Calculus ratiocinator"; và nếu ông không thành công trong việc sáng tạo ra phép tính này, thì ông ít nhất cũng đã thử ba lần. Trong lần thử thứ nhất, ông có ý tưởng gán cho mỗi số hạng "nguyên thủy" một số nguyên tố, sao cho mọi số hạng được tạo thành từ nhiều số hạng nguyên thủy được biểu diễn bằng tích của các số nguyên tố tương ứng [^12]; ông tìm cách chuyển vào hệ này các quy tắc thông thường của tam đoạn luận, nhưng gặp phải những phức tạp đáng kể do phủ định gây ra (mà ông, một cách tự nhiên, đã cố biểu diễn bằng sự đổi dấu) và chẳng bao lâu sau thì từ bỏ cách tiếp cận này ([12 c], pp. 42-96; cf. [12 bis], pp. 326-344). Trong các nỗ lực sau này, ông tìm cách đem lại cho lôgic của Aristotle một dạng thức đại số hơn. Đôi khi ông giữ ký hiệu $\mathrm{AB}$ cho phép hội của hai khái niệm, đôi khi ông dùng ký hiệu $\mathrm{A} + \mathrm{B}$ [^13]. Ông nhận thấy (trong ký hiệu nhân) luật lũy đẳng $\mathrm{AA} = \mathrm{A}$, ghi nhận rằng mệnh đề "mọi A là B" có thể được thay thế bằng đẳng thức $\mathrm{A} = \mathrm{AB}$, và rằng từ điểm xuất phát này có thể thu được phần lớn các quy tắc của Aristotle bằng phép tính thuần túy đại số ([12 c], pp. 229-237 and 356-399; cf. [12 bis], pp. 345-364). Ông cũng có ý tưởng về khái niệm rỗng ("non Ens") và nhận ra, chẳng hạn, tính tương đương của các mệnh đề "mọi A là B" và "A. (không B) không đúng" (loc. cit.). Hơn nữa, ông nhận thấy rằng phép tính lôgic của mình không chỉ áp dụng cho lôgic của các khái niệm mà còn cho cả lôgic của các mệnh đề ([12 c], p. 377). Như vậy ông đã tiến rất gần đến "phép tính Boole". Đáng tiếc là dường như ông đã không hoàn toàn thoát khỏi ảnh hưởng kinh viện; ông không chỉ giới hạn mục tiêu của phép tính của mình gần như hoàn toàn vào việc chép lại các quy tắc của tam đoạn luận trong ký hiệu của mình [^14], mà còn đi xa đến mức hy sinh những ý tưởng may mắn nhất của mình cho ước muốn khôi phục trọn vẹn các quy tắc của Aristotle, kể cả những quy tắc không tương thích với khái niệm tập rỗng [^15].

Công trình của Leibniz, phần lớn, vẫn chưa được công bố cho đến đầu thế kỷ XX, và ít có ảnh hưởng trực tiếp. Suốt thế kỷ XVIII và đầu thế kỷ XIX, nhiều tác giả khác nhau (de Segner, Lambert, Ploucquet, Holland, De Castillon, Gergonne) đã đưa ra những phác thảo về các nỗ lực tương tự như của Leibniz nhưng thực ra chưa bao giờ vượt quá điểm mà ông đã dừng lại. Các công trình của họ hầu như không gây ấn tượng gì, và đa số trong số họ không biết đến các kết quả của những người đi trước [^16]. Một người khác viết trong cùng những điều kiện ấy là G. Boole, người có thể được xem như nhà sáng tạo đích thực của logic ký hiệu hiện đại [16]. Ý tưởng chủ đạo của ông là lấy quan điểm "ngoại diên" một cách có hệ thống và nhờ đó tính trực tiếp với các tập hợp, ký hiệu $xy$ cho giao của hai tập hợp, và $x + y$ cho hợp của chúng khi $x$ và $y$ rời nhau. Ông cũng đưa vào một "vũ trụ", ký hiệu bởi 1 (tập hợp của tất cả các đối tượng), và tập rỗng, ký hiệu bởi 0, và ông viết $1 - x$ cho phần bù của $x$. Cũng như Leibniz đã làm, ông diễn giải quan hệ bao hàm bằng quan hệ $xy = x$ (từ đó ông dễ dàng suy ra các biện minh cho các quy tắc của tam đoạn luận cổ điển), và ký hiệu của ông cho các hợp và các phần bù đã đem lại cho hệ của ông một tính linh hoạt mà các tiền bối của nó còn thiếu [^17]. Hơn nữa, bằng cách gắn với mỗi mệnh đề tập hợp các "trường hợp" mà trong đó nó được thỏa mãn, ông diễn giải quan hệ kéo theo như một bao hàm, và phép tính tập hợp của ông đã cho ông, theo cách ấy, các quy tắc của "phép tính mệnh đề".

Trong nửa sau của thế kỷ XIX, hệ của Boole trở thành nền tảng cho công trình của một trường phái các nhà logic học hoạt động tích cực, họ đã cải tiến và hoàn thiện nó trên nhiều phương diện. Vì thế Jevons (1864) đã mở rộng nghĩa của phép toán hợp $x + y$ bằng cách kéo nó sang trường hợp mà $x$ và $y$ là tùy ý. A. De Morgan năm 1858, và C. S. Peirce năm 1867, đã chứng minh các hệ thức đối ngẫu

Năm 1860 De Morgan cũng bắt đầu nghiên cứu các quan hệ, và định nghĩa phép đảo và phép hợp thành của các quan hệ nhị nguyên (tức là các phép toán tương ứng với các phép toán $\overset{-1}{G}$ và $G_1 \circ G_2$ trên các đồ thị) [^19]. Tất cả công trình này được trình bày và phát triển một cách có hệ thống trong những bộ sách đồ sộ và dài dòng của Schröder [23]. Nhưng cũng khá lạ là nhận thấy các nhà logic học mà chúng ta vừa nhắc đến dường như hầu như không quan tâm đến việc áp dụng các kết quả của họ vào toán học và rằng, trái lại, mục tiêu chính của Boole, và đặc biệt của Schröder, dường như là phát triển đại số “Boolean” bằng cách mô phỏng các phương pháp và nhân đôi các bài toán của đại số cổ điển (thường theo một cách khá gượng ép). Chắc hẳn lý do của thái độ này nằm ở chỗ phép tính Boolean khi ấy vẫn chưa thích hợp để ghi lại đại đa số các lập luận toán học [^20] và do đó chỉ là một câu trả lời rất chưa đầy đủ cho giấc mơ lớn lao của Leibniz. Việc xây dựng các hình thức ký hiệu thích hợp hơn với toán học — việc đưa vào các biến và lượng từ, do Frege [24] và C. S. Peirce [22 b] một cách độc lập thực hiện, là bước tiến trọng yếu theo hướng này — là công việc của các nhà logic học và các nhà toán học mà, trái với những người tiền nhiệm, chủ yếu quan tâm đến các ứng dụng vào nền tảng của toán học.

Dự án của Frege [24 b và c] là xây dựng số học trên logic được hình thức hóa bằng một hệ ký hiệu mà ông đặt tên là Begriffsschrift (chữ viết khái niệm) ; sau này chúng ta sẽ trở lại với phương pháp mà qua đó ông định nghĩa các số nguyên tự nhiên. Các công bố của ông được đặc trưng bởi độ chính xác cực cao và sự cẩn trọng tỉ mỉ trong việc phân tích các khái niệm, điều này dẫn ông đến chỗ đưa vào nhiều phân biệt mà từ đó đã tỏ ra có tầm quan trọng lớn trong logic hiện đại. Chẳng hạn, ông là người đầu tiên phân biệt giữa phát biểu của một mệnh đề và sự khẳng định rằng mệnh đề ấy đúng; giữa quan hệ thuộc và quan hệ bao hàm; giữa một đối tượng $x$ và tập hợp $\{x\}$ mà phần tử duy nhất của nó là $x$, v.v. Logic được hình thức hóa này, vốn không chỉ chứa các “biến” theo nghĩa toán học của từ mà còn có các “biến mệnh đề” biểu diễn các quan hệ chưa xác định và có thể được lượng hóa, về sau (thông qua công trình của Russell và Whitehead) đã cung cấp công cụ cơ bản của siêu toán học. Tiếc thay, ký hiệu do Frege chọn không gợi ý, có độ phức tạp in ấn khủng khiếp, và xa rời cách dùng toán học đương thời; và sự khó đọc do đó đã làm giảm đáng kể ảnh hưởng của ông đối với các đồng thời của mình.

Peano có mục tiêu vừa tham vọng hơn vừa thực tế hơn. Ông bắt tay vào xuất bản một Formulaire de mathematiques được viết hoàn toàn bằng ngôn ngữ hình thức, và chứa không chỉ lôgic toán học mà cả mọi kết quả của những ngành quan trọng nhất của toán học. Tốc độ mà ông đã hoàn thành dự án đầy tham vọng này, với sự trợ giúp của một chòm sao các cộng sự nhiệt thành (Vailati, Pieri, Padoa, Vacca, Vivanti, Fano, Burali-Forti), chứng tỏ tính ưu việt của hệ thống mà ông đã lựa chọn. Bám sát chặt chẽ cách dùng toán học đương thời, và đưa vào nhiều ký hiệu viết tắt được chọn lựa khéo, ngôn ngữ của ông còn trở nên khá dễ đọc, chủ yếu nhờ một hệ thống thay thế ngoặc bằng các dấu chấm phân cách rất tài tình [29 c]. Nhiều ký hiệu do Peano đưa ra nay đã được đa số các nhà toán học sử dụng rộng rãi: chẳng hạn, $\in$, $\supset$ (nhưng, trái với cách dùng hiện nay, theo nghĩa "được chứa" hay "suy ra" [^21]), $\cup$, $\cap$, $\mathrm{A} - \mathrm{B}$ (tập các hiệu $a - b$, trong đó $a \in \mathrm{A}$ và $b \in \mathrm{B}$). Ngoài ra, Formulaire lần đầu tiên chứa một phân tích chặt chẽ về khái niệm tổng quát của một hàm, về ảnh trực tiếp [^22] và ảnh nghịch đảo, và nhận xét rằng một dãy chỉ là một hàm được xác định trên $\mathbf{N}$. Nhưng trong tay Peano, lượng hóa bị đặt dưới những ràng buộc khó chịu (trong hệ thống của ông, về nguyên tắc, chỉ những quan hệ có dạng $\mathrm{A} \Rightarrow \mathrm{B}$, $\mathrm{A} \Leftrightarrow \mathrm{B}$, hoặc $\mathrm{A} = \mathrm{B}$ mới có thể được lượng hóa). Hơn nữa, lòng nhiệt thành gần như cuồng tín của một số môn đệ đã khiến ông trở thành đối tượng dễ bị chế giễu, và đặc biệt sự phê bình thường bất công của H. Poincaré đã giáng một đòn nặng nề vào trường phái Peano và cản trở việc truyền bá các học thuyết của ông trong giới toán học.

Với Frege và Peano, chúng ta có những thành phần cốt yếu của các ngôn ngữ hình thức đang được dùng ngày nay. Nổi tiếng nhất trong các ngôn ngữ ấy, không nghi ngờ gì nữa, là ngôn ngữ do Russell và Whitehead tạo ra trong tác phẩm vĩ đại Principia Mathematica của họ, tác phẩm này may mắn kết hợp được tính chính xác của Frege với sự tiện lợi của Peano. Phần lớn các ngôn ngữ hình thức hiện dùng chỉ khác nhau ở những sửa đổi thứ yếu nhằm đơn giản hóa việc sử dụng chúng. Một trong những ký hiệu khéo léo nhất là ký hiệu "phiếm hàm" cho các quan hệ (chẳng hạn, $\in xy$ thay cho $x \in y$), do Lukasiewicz đưa ra, ký hiệu này loại bỏ hoàn toàn nhu cầu dùng ngoặc. Nhưng hẳn là điều thú vị nhất là việc Hilbert đưa vào ký hiệu $\tau$, cho phép xem các lượng từ $\exists$ và $\forall$ như những ký hiệu viết tắt, tránh dùng ký hiệu phiếm hàm "phổ quát" $\iota$ của Peano và Russell (ký hiệu này chỉ áp dụng cho các quan hệ phiếm hàm) và loại bỏ tiên đề lựa chọn trong lý thuyết tập hợp ([31], p. 183 [^23]).

Khái niệm chân lý trong toán học

Các nhà toán học từ trước đến nay vẫn tin chắc rằng những gì họ chứng minh là "đúng". Rõ ràng niềm tin như vậy chỉ có thể thuộc trật tự tình cảm hay siêu hình, và trong phạm vi toán học thì không thể biện minh, thậm chí cũng không thể gán cho nó một ý nghĩa không phải là tầm thường. Vì vậy, lịch sử của khái niệm chân lý trong toán học thuộc về lịch sử triết học chứ không phải lịch sử toán học; nhưng sự tiến hóa của khái niệm này đã có ảnh hưởng không thể phủ nhận đối với sự phát triển của toán học, và vì lý do đó chúng ta không thể làm ngơ trước nó.

Trước hết, một nhà toán học được đào luyện tốt về triết học hiếm như một triết gia có hiểu biết rộng về toán học. Ý kiến của các nhà toán học về những vấn đề triết học, kể cả những vấn đề chạm tới chính khoa học của họ, thường là nghe lại từ người khác, qua trung gian thứ hai hay thứ ba, và xuất phát từ những nguồn có giá trị đáng ngờ. Nhưng, chính vì lý do này, những ý kiến “trung bình” ấy có giá trị đối với nhà sử học toán học ngang với những quan điểm nguyên bản của các tư tưởng gia như Descartes hay Leibniz (nêu hai người vốn cũng là những nhà toán học hàng đầu), Plato (người ít nhất cũng quen thuộc với toán học thời đó), và Aristotle hay Kant (về họ thì không thể nói được như vậy).

Khái niệm truyền thống về chân lý toán học bắt nguồn từ thời Phục hưng. Theo quan niệm này, không có sự khác biệt lớn giữa các đối tượng được toán học nghiên cứu và những đối tượng được các khoa học tự nhiên nghiên cứu. Cả hai đều có thể được nhận biết, và có thể được nắm bắt bằng trực giác và bằng lý tính; trực giác cũng như lý tính đều không sai lầm nếu được sử dụng đúng cách. “Chỉ một trí tuệ hoàn toàn sai lầm”, Pascal nói, “mới có thể suy luận sai từ những nguyên lý hiển nhiên đến mức hầu như không thể thoát khỏi sự chú ý” ([11], vol. XII, p. 9). Descartes tin chắc rằng “chỉ các nhà toán học mới có thể tìm ra các chứng minh, tức là những lý do chắc chắn và hiển nhiên” ([10], vol. VI, p. 19), và điều này (nếu ta chấp nhận lời kể của ông) là trước khi ông xây dựng một siêu hình học trong đó ông nói, “điều này, mà một lát trước tôi coi như một quy tắc, cụ thể là những gì chúng ta quan niệm rất rõ ràng và rất phân biệt đều là đúng, chỉ được bảo đảm bởi vì Thượng đế là hoặc tồn tại và là một hữu thể hoàn hảo” ([10], vol. VI, p. 38). Mặc dù Leibniz phản đối rằng không hiển nhiên làm sao người ta nhận ra một ý niệm là “rõ ràng và phân biệt” [^24], ông cũng xem các tiên đề là những hệ quả hiển nhiên và tất yếu của các định nghĩa ngay khi các thuật ngữ được hiểu [^25]. Hơn nữa, không nên quên rằng vào thời kỳ này toán học bao hàm nhiều khoa học - đôi khi thậm chí cả nghệ thuật của người kỹ sư mà ngày nay chúng ta sẽ không xem là toán học. Thành công đáng kể của các ứng dụng của nó vào “triết học tự nhiên”, các “nghệ thuật cơ học”, và hàng hải là một nguyên nhân chủ yếu của niềm tin mà nó gợi lên.

Từ quan điểm này, các tiên đề không còn là đối tượng của bàn cãi hay hoài nghi hơn các quy tắc của lập luận lôgic; cùng lắm, đó chỉ là vấn đề lựa chọn cá nhân xem người ta lập luận “theo lối của người cổ đại” hay để trực giác của mình được tự do phát huy. Việc chọn điểm xuất phát cũng là vấn đề sở thích riêng của từng người. Vì vậy, nhiều ấn bản tác phẩm của Euclid đã được xuất bản, trong đó khuôn khổ lôgic vững chắc của Elements bị xuyên tạc một cách kỳ quặc, và những bản trình bày “suy diễn” về phép tính vi phân hay cơ học hữu tỉ đã được đưa ra, trong đó nền tảng được đặt một cách đặc biệt tồi. Do đó, Spinoza có lẽ đã hành động với thiện chí khi ông khẳng định rằng Ethics của mình đã “được chứng minh theo lối của các nhà hình học” (more geometrico demonstrata). Tuy khó mà tìm được hai nhà toán học trong thế kỷ XVII đồng ý với nhau về bất kỳ một vấn đề nào, tuy các cuộc tranh luận thường xuyên, kéo dài bất tận và gay gắt, nhưng khái niệm chân lý vẫn không hề bị quy kết gì. “Vì mỗi sự vật chỉ có một chân lý”, Descartes nói, “ai tìm ra nó thì biết được nhiều nhất có thể biết được” ([10], vol. VI, p. 21).

Mặc dù không một văn bản toán học Hy Lạp nào của thời kỳ huy hoàng về những vấn đề này còn được lưu lại, có thể rằng quan điểm của các nhà toán học Hy Lạp về chủ đề này mềm dẻo hơn nhiều. Chỉ nhờ kinh nghiệm mà các quy tắc của lập luận mới được phát triển đến mức tạo nên sự tin cậy đầy đủ; trước khi chúng có thể được coi là đứng trên mọi bàn cãi, chúng hẳn đã phải trải qua nhiều do dự và những dạng thức thử nghiệm. Hơn nữa, sẽ không hợp với tinh thần phê phán của người Hy Lạp và thị hiếu của họ đối với tranh luận và ngụ biện, nếu những “tiên đề” mà Pascal xem là hiển nhiên tự thân (và theo một truyền thuyết do chính em gái ông khởi nguồn, ông đã tự mình phát hiện ra chúng, với một bản năng không thể sai lầm, khi còn là một đứa trẻ) lại không từng là đối tượng của những cuộc bàn cãi dài lâu. Trong một lĩnh vực không hẳn, nói chặt chẽ, là hình học, các nghịch lý của các triết gia Ê-lê đã lưu lại cho chúng ta vài dấu vết của những cuộc tranh luận như vậy; và Archimedes, khi nhận xét ([4], p. 265) rằng các tiền bối của ông đã nhiều lần dùng tiên đề mang tên ông, còn thêm rằng cái gì được chứng minh nhờ tiên đề này “đã được chấp nhận không kém gì cái được chứng minh mà không có nó”, và đối với ông như thế là đủ nếu những kết quả của chính ông cũng được chấp nhận trên cùng một cơ sở. Plato, phù hợp với các quan điểm siêu hình của mình, trình bày toán học như một phương tiện tiếp cận “chân lý tự thân”, và các đối tượng mà toán học khảo cứu như tồn tại theo quyền của chính chúng trong thế giới các ý niệm. Ông mô tả chính xác phương pháp toán học trong một đoạn nổi tiếng của Republic: “Những người nghiên cứu hình học và số học... giả định sự tồn tại của các số lẻ và số chẵn, và ba loại góc; họ coi những điều ấy là đã biết, và cho rằng không cần phải biện minh chúng với chính mình hay với người khác, vì chúng hiển nhiên đối với mọi người; và, xuất phát từ đó, họ tiến một cách nhất quán từng bước một đến các mệnh đề mà họ đặt ra để khảo sát” (Book VI, 510c-e). Như vậy, cái cấu thành một chứng minh trước hết là một điểm xuất phát, ở một mức độ nào đó tùy ý (dù “hiển nhiên đối với mọi người”), và từ đó, như ông nói ngay sau đó, người ta không tìm cách lùi xa hơn nữa; tiếp theo là một con đường đi qua theo thứ tự một dãy các chặng trung gian; cuối cùng, ở mỗi bước, sự đồng thuận của người đối thoại bảo đảm tính đúng đắn của lập luận. Cần nói thêm rằng, một khi các tiên đề đã được nêu ra, về nguyên tắc người ta không còn được phép viện đến trực giác nữa; Proclus, trích Geminus, nhắc rằng “chúng ta thậm chí đã dạy cho cả những người tiên phong trong khoa học này không được coi trọng những kết luận chỉ có vẻ hợp lý khi họ đang bàn đến một lập luận phải trở thành một phần của học thuyết hình học của chúng ta” ([3], vol. I, p. 203).

Vì vậy, các quy tắc của lập luận toán học đã được phát triển nhờ kinh nghiệm và lửa thử của phê phán. Nếu đúng là, như người ta đã lập luận khá thuyết phục [^26], Book VIII của Euclid đã lưu lại cho chúng ta một phần số học của Archytas, thì không có gì đáng ngạc nhiên khi ở đó ta gặp sự cứng nhắc hơi kiểu sách vở của lập luận, điều vốn không bao giờ vắng mặt trong bất kỳ trường phái toán học nào khi nó phát hiện ra hoặc tưởng rằng mình đã phát hiện ra “tính chặt chẽ”. Nhưng một khi những quy tắc lập luận này đã đi vào thực hành chung của các nhà toán học, dường như chúng không bao giờ bị đặt vào nghi vấn cho tới một thời đại rất gần đây; mặc dù Aristotle và các nhà Khắc kỷ đã suy diễn một số quy tắc này từ một số quy tắc khác bằng các sơ đồ lập luận, các quy tắc nguyên thủy vẫn luôn được thừa nhận là hiển nhiên tự thân. Tương tự, sau khi đã đi ngược trở lại đến các “giả thuyết”, “tiên đề”, và “định đề” dường như đối với họ cung cấp một nền tảng vững chắc cho khoa học của thời đại họ (chẳng hạn như hẳn đã xuất hiện trong cuốn Elements đầu tiên, mà truyền thống gán cho Hippocrates xứ Chio, khoảng năm 450 TCN), các nhà toán học Hy Lạp thời cổ điển dường như đã dành công sức cho việc phát hiện các kết quả mới hơn là cho một sự phê phán các nền tảng, mà trong thời kỳ này hẳn chỉ có thể là vô sinh; và, gạt sang một bên những bận tâm siêu hình, đoạn văn của Plato được trích dẫn ở trên làm chứng cho sự đồng thuận chung này giữa các nhà toán học về những cơ sở của khoa học của họ.

Hơn nữa, dường như các nhà toán học Hy Lạp không tin rằng những “khái niệm nguyên sơ” vốn làm điểm xuất phát cho họ — đường thẳng, mặt, tỉ số các độ lớn — lại có thể được làm sáng tỏ thêm. Nếu họ đưa ra “định nghĩa”, thì rõ ràng là chỉ để tự trấn an, và hoàn toàn không ảo tưởng gì về giá trị của những định nghĩa ấy. Khỏi phải nói rằng, trái lại, các nhà toán học và triết gia Hy Lạp đã có những ý niệm hoàn toàn rõ ràng về các định nghĩa khác ngoài các định nghĩa của những “khái niệm nguyên sơ” (thường được gọi là những định nghĩa “danh nghĩa”, và đóng cùng vai trò như những “ký hiệu viết tắt” của chúng ta). Liên hệ với điều này, lần đầu tiên, không nghi ngờ gì nữa, một cách tường minh xuất hiện vấn đề “tồn tại” trong toán học. Aristotle không quên nhận xét rằng một định nghĩa không kéo theo sự tồn tại của đối tượng được định nghĩa, và rằng hoặc phải có một tiên đề, hoặc phải có một chứng minh về sự tồn tại. Chắc chắn nhận xét ấy được rút ra từ thực hành của các nhà toán học. Trong mọi trường hợp, Euclid cẩn thận đặt tiên đề về sự tồn tại của đường tròn, chứng minh sự tồn tại của tam giác đều, các đường thẳng song song, hình vuông, v.v. khi ông thấy cần đưa chúng vào các lập luận của mình ([3], Book I); những chứng minh này là những “phép dựng” — nói cách khác, với sự trợ giúp của các tiên đề của mình, ông trình bày những đối tượng toán học mà sau đó ông chứng minh là thỏa mãn các định nghĩa nói trên.

Như vậy, ta thấy toán học Hy Lạp thời cổ điển đi đến một dạng chắc chắn thực nghiệm nào đó (bất kể nền tảng siêu hình là gì, theo nhà triết học này hay nhà triết học khác). Nếu các quy tắc của lập luận toán học được xem là không phải bàn cãi, thì thành công của khoa học Hy Lạp, và cảm giác rằng việc xem xét lại mang tính phê phán sẽ là không đúng lúc, phần lớn là do sự tin tưởng mà các tiên đề gợi nên: một sự tin tưởng cùng thứ tự với sự tin tưởng mà trong thế kỷ trước người ta dành cho các nguyên lý của vật lý lý thuyết. Đó là điều được gợi lên bởi câu ngạn ngữ “nihil est in intellectu quod non prius fuerit in sensu” mà Descartes đã đúng khi phản bác, vì nó không cung cấp một nền tảng đủ vững cho điều mà ông dự định đạt tới bằng việc sử dụng lý tính.

Phải đến đầu thế kỷ XIX, các nhà toán học mới rời bỏ lập trường ngạo mạn của Descartes (chưa kể Kant hay Hegel; người sau còn hơi chậm thời đại, như lẽ tất nhiên, xét trong tương quan với khoa học của thời đại mình [^27]) để đi tới một lập trường uyển chuyển như của người Hy Lạp. Cú đòn đầu tiên giáng vào các quan niệm cổ điển là việc Gauss, Lobatschevsky và Bolyai xây dựng hình học phi Euclid hyperbolic vào đầu thế kỷ. Ở đây chúng ta sẽ không trình bày chi tiết sự hình thành của phát hiện này, vốn là đỉnh điểm của vô số nỗ lực vô ích nhằm chứng minh tiên đề song song. Vào thời ấy, tác động của nó đối với các nguyên lý của toán học có lẽ không sâu sắc như đôi khi người ta vẫn khẳng định. Nó đơn giản đòi hỏi phải từ bỏ những đòi hỏi của thế kỷ trước về “chân lý tuyệt đối” của hình học Euclid và, a fortiori, quan điểm Leibniz rằng các định nghĩa hàm ý các tiên đề; các tiên đề sau đó không còn hiện ra chút nào như là “tự hiển nhiên” mà đúng hơn như những giả thuyết cần được đánh giá tùy theo việc chúng có thích nghi với sự biểu diễn toán học của thế giới vật lý hay không. Gauss và Lobatschevsky tin rằng cuộc tranh luận giữa các hình học khả dĩ khác nhau có thể được giải quyết bằng thực nghiệm ([15], p. 76). Đó cũng là quan điểm của Riemann, mục đích của bài giảng khai mạc nổi tiếng “Về các giả thuyết nằm ở cơ sở của hình học” của ông là cung cấp một khuôn khổ toán học tổng quát cho nhiều hiện tượng tự nhiên khác nhau. “Vấn đề vẫn còn phải được giải quyết”, ông nói, “là các giả thuyết này sẽ được thực nghiệm xác nhận đến đâu và ở mức độ nào” ([19], p. 284). Nhưng rõ ràng đây là một bài toán không còn liên quan gì đến toán học nữa; và dường như không một tác giả nào vừa được nhắc đến lại có chút nghi ngờ nào rằng, ngay cả nếu một “hình học” không tương ứng với thực tại thực nghiệm, thì các định lý của nó vẫn kém “đúng về mặt toán học” [^28].

Tuy nhiên, nếu đúng như vậy, thì một niềm tin như thế không còn có thể quy cho một sự tin tưởng vô hạn vào “trực giác hình học” cổ điển nữa. Mô tả mà Riemann tìm cách đưa ra về các “đa tạp $n$ lần mở rộng”, đối tượng công trình của ông, chỉ dựa vào những suy xét “trực giác” [^29] đến mức biện minh cho việc đưa vào “tọa độ địa phương”; từ đó trở đi, dường như ông đã cảm thấy mình đứng trên nền tảng vững chắc, tức là của Giải tích. Nhưng cái sau cùng rốt cuộc dựa trên khái niệm số thực, mà cho đến lúc đó vẫn còn ở trên một cơ sở rất trực giác; và sự tiến bộ trong lý thuyết hàm số đang dẫn tới những kết quả hết sức đáng lo ngại về mặt này. Với công trình của chính Riemann về tích phân, và còn hơn thế nữa với các ví dụ về những đường cong không có tiếp tuyến, do Bolzano và Weierstrass xây dựng, toàn bộ bệnh lý của toán học bắt đầu bộc lộ. Một thế kỷ sau, chúng ta đã thấy nhiều quái vật kiểu này đến mức hơi trở nên chai lì. Nhưng tác động mà chúng gây ra đối với đa số các nhà toán học thế kỷ XIX trải từ ghê tởm đến kinh hoàng. “Làm sao”, H. Poincaré hỏi, “trực giác lại có thể lừa dối chúng ta ở điểm này?” ([33 b], p. 19); và Hermite (không hẳn là không có một chút hóm hỉnh, điều mà không phải mọi nhà bình luận về câu nói nổi tiếng này dường như đều nhận ra) tuyên bố rằng ông “đã quay lưng với sợ hãi và kinh hoàng trước căn bệnh đáng buồn của các hàm liên tục không có đạo hàm” ([27], vol. II, p. 318). Đặc điểm nghiêm trọng nhất của tình trạng bất an ấy là không còn có thể quy những hiện tượng này, vốn trái với lẽ thường đến như vậy, cho những khái niệm chưa được làm sáng tỏ đầy đủ, như vào thời của các “bất khả phân”, bởi vì chúng xuất hiện sau các cải cách của Bolzano, Abel và Cauchy, những người đã thành công trong việc xây dựng khái niệm giới hạn chặt chẽ như lý thuyết tỉ lệ. Vì thế, chúng phải được quy cho tính thô thiển và không đầy đủ của trực giác hình học của chúng ta, mà từ đó đến nay đã bị mất uy tín như một phương pháp chứng minh.

Kết luận này tất yếu tác động đến toán học cổ điển, bắt đầu từ hình học. Dù người ta có dành bao nhiêu sự tôn trọng cho cách xây dựng tiên đề của Euclid, thì những chỗ không hoàn hảo của nó đã được nhận ra từ thời cổ đại. Tiên đề song song là đối tượng của nhiều phê phán và nỗ lực chứng minh nhất; nhưng các hậu thế và những người chú giải Euclid cũng đã tìm cách chứng minh những tiên đề khác (đặc biệt là tiên đề về sự bằng nhau của các góc vuông) hoặc đã nhận ra sự không đầy đủ của một số định nghĩa, như định nghĩa về đường thẳng hay mặt phẳng. Vào thế kỷ 16, Clavius, một người biên tập Elements, nhận thấy thiếu một tiên đề bảo đảm sự tồn tại của đại lượng tỉ lệ thứ tư; còn Leibniz thì nhận xét rằng Euclid sử dụng trực giác hình học mà không nói rõ ra, chẳng hạn khi ông giả sử (Elements, Book I, Mệnh đề 1) rằng hai đường tròn, mỗi đường tròn đi qua tâm của đường tròn kia, có một điểm chung ([12 b], vol. VII, p. 166). Gauss (người không tự hạn chế mình trong việc sử dụng những suy xét tôpô như thế) đã chú ý đến vai trò mà khái niệm một điểm (hay một đường) nằm “giữa” hai điểm hay đường khác đóng trong các dựng hình của Euclid, một khái niệm tuy nhiên đã không được định nghĩa ([14], vol. VIII, p. 222). Sau cùng, việc dùng các phép dời hình — đặc biệt trong trường hợp các “tam giác bằng nhau” — vốn từ lâu được chấp nhận là hiển nhiên ([^30]), đã sớm hiện ra với các nhà phê phán thế kỷ XIX như một khái niệm dựa trên những tiên đề chưa được phát biểu thành lời. Vì vậy, trong giai đoạn từ 1860 đến 1885, đã xuất hiện nhiều bản sửa đổi từng phần đối với nền tảng của hình học (Helmholtz, Méray, Houël) với mục đích lấp đầy một số khoảng trống ấy. Nhưng mãi đến M. Pasch [28] thì việc từ bỏ mọi viện dẫn đến trực giác mới được phát biểu rõ ràng như một chương trình và được thực hiện với độ chặt chẽ hoàn hảo. Thành công của công trình ấy chẳng bao lâu đã sinh ra nhiều người noi theo, chủ yếu trong khoảng từ 1890 đến 1910, những người đã trình bày các tiên đề của hình học Euclid dưới nhiều hình thức khác nhau. Nổi tiếng nhất trong các công trình ấy là của Peano, viết bằng ngôn ngữ ký hiệu của ông [29 b], và trên hết là Grundlagen der Geometrie của Hilbert, xuất bản năm 1899, và nhờ sự sáng sủa cùng chiều sâu của phần trình bày mà ngay lập tức và một cách xứng đáng đã trở thành khuôn mẫu của tiên đề học hiện đại, đến mức các công trình tiền nhiệm bị quên lãng. Hilbert không chỉ bằng lòng với việc đưa ra một hệ tiên đề đầy đủ cho hình học Euclid, mà còn phân chúng thành nhiều nhóm khác nhau theo bản chất của chúng, và bắt tay vào xác định phạm vi chính xác của từng nhóm tiên đề, không chỉ bằng cách phát triển các hệ quả lôgic của từng nhóm một cách biệt lập, mà còn bằng cách bàn về các “hình học” khác nhau thu được khi bỏ đi hoặc sửa đổi một số tiên đề (trong số đó, các hình học của Lobatschevsky và Riemann xuất hiện như những trường hợp riêng [^31]). Bằng cách đó, ông đã làm hiện rõ ra, trong một lĩnh vực cho đến lúc ấy vẫn được xem là một trong những lĩnh vực gần với thực tại bên ngoài nhất, quyền tự do mà một nhà toán học có trong việc lựa chọn các tiên đề của mình. Bất chấp sự rối loạn mà những “siêu hình học” với các tính chất kỳ quái của chúng gây ra nơi một số triết gia, luận đề của Grundlagen đã nhanh chóng và gần như được các nhà toán học nhất trí chấp nhận. Do đó H. Poincaré, người khó có thể bị nghi là thiên vị chủ nghĩa hình thức, đã khẳng định năm 1902 rằng các tiên đề của hình học là những quy ước mà đối với chúng, khái niệm “chân lý”, theo nghĩa thông thường của từ này, không có ý nghĩa gì ([33 a], pp. 66-67). “Chân lý toán học” vì vậy hoàn toàn chỉ gồm ở suy diễn lôgic từ những tiền đề được đặt ra một cách tùy ý như các tiên đề. Như chúng ta sẽ thấy sau, tính hợp lệ của các quy tắc suy diễn theo đó các suy diễn vận hành chẳng bao lâu sau đã bị đặt thành vấn đề, và do đó dẫn tới một cuộc đại tu toàn diện các quan niệm ở nền tảng của toán học.

Đối tượng, mô hình, cấu trúc

A. Đối tượng và cấu trúc toán học. Từ thời cổ đại đến thế kỷ XIX đã có sự đồng thuận chung về những đối tượng nghiên cứu chủ yếu của nhà toán học, tức là những đối tượng được Plato nhắc đến trong đoạn trích dẫn ở trên: các số, độ lớn và các hình. Mặc dù, đối với người Hy Lạp, danh sách này còn phải được mở rộng để bao gồm các đối tượng và hiện tượng riêng của cơ học, thiên văn học, quang học và âm nhạc, họ vẫn luôn phân biệt rõ ràng giữa các môn “toán học” ấy với số học và hình học; và từ thời Phục hưng, các môn trước đó chẳng bao lâu đã có địa vị của những khoa học độc lập.

Dù có những sắc thái triết học nào làm màu sắc cho quan niệm về các đối tượng toán học trong tâm trí của nhà toán học hay nhà triết học này hay nhà toán học hay nhà triết học khác, vẫn có ít nhất một điểm mà mọi người đều đồng ý: rằng những đối tượng ấy được cho sẵn và rằng không nằm trong khả năng của chúng ta để gán cho chúng những tính chất tùy ý, cũng như một nhà vật lý không thể làm biến đổi một hiện tượng tự nhiên. Thực ra, những quan điểm này một phần là sản phẩm của các phản ứng tâm lý, điều mà ở đây ta không cần đi sâu, nhưng mỗi nhà toán học đều biết rõ khi anh ta tự làm kiệt sức mình trong những cố gắng vô ích để đạt được một chứng minh dường như cứ mãi lẩn tránh anh ta. Từ đó chỉ còn một bước là đồng nhất sự kháng cự này với những chướng ngại bên ngoài; và ngay cả ngày nay, hơn một nhà toán học, dù phô trương một chủ nghĩa hình thức bất khoan nhượng, trong lương tâm vẫn sẵn sàng tán thành lời thú nhận này của Hermite: “Tôi tin rằng các số và các hàm của Giải tích không phải là sản phẩm tùy ý của trí óc chúng ta; rằng chúng tồn tại bên ngoài chúng ta, với cùng một tính chất tất yếu như các đối tượng của thế giới vật chất, và chúng ta gặp hay phát hiện ra chúng, rồi nghiên cứu chúng, cũng như các nhà vật lý, hóa học và động vật học ([27], vol. II, p. 398).

Trong quan niệm cổ điển, toán học chỉ là việc nghiên cứu các số và các hình. Nhưng học thuyết chính thức này, mà mọi nhà toán học đều cảm thấy mình buộc phải bày tỏ sự tán đồng bằng lời nói, dần dần trở thành một sự ràng buộc ngày càng không thể chịu nổi dưới sức ép của những ý tưởng mới. Sự lúng túng của các nhà đại số trước các số âm chỉ biến mất khi hình học giải tích cung cấp cho họ một “diễn giải” thuận tiện. Nhưng ngay cả trong thế kỷ XVIII, d’Alembert (dù là một “nhà thực chứng” đầy thuyết phục), khi bàn về vấn đề này trong Encyclopédie [13], đột nhiên mất hết can đảm sau một cột những lời giải thích hơi rối rắm, và chỉ bằng lòng kết luận rằng “các quy tắc của các phép toán đại số trên các đại lượng âm nói chung được mọi người chấp nhận và nói chung được thừa nhận là đúng, bất kể gán cho các đại lượng ấy sự diễn giải nào”. Đối với các số ảo, vụ việc còn tai tiếng hơn nhiều; vì nếu chúng là những nghiệm “bất khả” và nếu (cho đến khoảng năm 1800) chưa có cách nào được biết để “diễn giải” chúng, thì làm sao có thể nói về những đối tượng không thể định nghĩa ấy mà không mâu thuẫn, và trên hết là làm sao có thể đưa chúng vào? Về chủ đề này, d’Alembert thận trọng giữ im lặng, và thậm chí còn không nêu ra các câu hỏi, hẳn là vì ông nhận ra rằng mình không thể trả lời bằng những từ ngữ nào khác ngoài những từ ngữ ngây thơ mà A. Girard đã dùng một thế kỷ trước [9]: “Có thể nói: các nghiệm bất khả ấy dùng để làm gì? Tôi trả lời: vì ba điều, vì sự chắc chắn của quy tắc tổng quát, và rằng không có nghiệm nào khác, và vì tính hữu ích của nó”.

Trong giải tích, tình hình ở thế kỷ XVIII hầu như cũng không khá hơn. Thật là một sự trùng hợp may mắn khi hình học giải tích xuất hiện, như thể đúng lúc, để cung cấp một sự “diễn giải”, dưới dạng một hình hình học, cho sáng tạo vĩ đại của thế kỷ XVII, khái niệm hàm, và do đó trợ giúp mạnh mẽ (trong tay Fermat, Pascal và Barrow) cho sự ra đời của phép tính vi phân. Nhưng những cuộc tranh luận triết học và toán học mà các khái niệm về các đại lượng vô cùng bé và không thể phân chia gây ra thì đã quá nổi tiếng. Và mặc dù d’Alembert ở đây đứng trên nền tảng vững chắc hơn, và nhận ra rằng trong “siêu hình học” của phép tính vi phân không có gì ngoài khái niệm giới hạn, ông vẫn không hơn gì những người cùng thời trong việc hiểu ý nghĩa thực sự của các khai triển thành chuỗi phân kỳ, hay giải thích nghịch lý của những kết quả đúng thu được bằng các phép tính với những biểu thức hoàn toàn không có diễn giải số học. Cuối cùng, ngay cả trong lĩnh vực “chắc chắn hình học”, mặt tiền Euclid cũng bắt đầu nứt vỡ. Khi Stirling, vào năm 1717, không ngần ngại nói rằng một đường cong nào đó có một “điểm kép ảo ở vô cực” [^32], thì ông hẳn sẽ rất khó mà gắn một “đối tượng” như thế với những khái niệm thông thường được thừa nhận; và Poncelet, người vào đầu thế kỷ XIX đã tạo một động lực đáng kể cho những ý tưởng như thế bằng cách sáng lập hình học xạ ảnh, chỉ bằng lòng viện dẫn như một sự biện minh một “nguyên lý liên tục” hoàn toàn siêu hình.

Trong những hoàn cảnh ấy (và, nghịch lý thay, đúng vào lúc mà “chân lý tuyệt đối” của toán học đang được tuyên bố với sự nhấn mạnh mạnh mẽ nhất), khái niệm chứng minh dường như ngày càng trở nên mờ nhạt khi thế kỷ mười tám trôi qua, vì các khái niệm được dùng, cùng với những tính chất cơ bản của chúng, không thể được cố định một cách dứt khoát theo kiểu người Hy Lạp. Sự trở lại với tính chặt chẽ, được khởi động vào đầu thế kỷ mười chín, đã đem lại một số cải thiện cho tình trạng này, nhưng không vì thế mà ngăn được làn sóng ý tưởng mới. Vì vậy trong đại số đã xuất hiện các số ảo của Galois, các số lý tưởng của Kummer, tiếp theo là các vectơ và quaternion, các không gian $n$ chiều, các đa vectơ và các tenxơ, chưa kể đại số Boole. Chắc chắn một trong những bước tiến lớn (điều cho phép trở lại với tính chặt chẽ mà không từ bỏ bất cứ phần nào trong những chinh phục của quá khứ) là khả năng xây dựng các “mô hình” của những khái niệm mới này bằng những thuật ngữ cổ điển hơn. Vì thế, các số lý tưởng và các số ảo của Galois được diễn giải theo lý thuyết đồng dư, hình học $n$ chiều có thể được xem (nếu muốn) thuần túy như một ngôn ngữ để biểu đạt các kết quả của đại số “của $n$ biến”; và, xét về các số ảo cổ điển — mà sự biểu diễn hình học của chúng bằng các điểm của một mặt phẳng đã đánh dấu sự khởi đầu của sự nở rộ này của đại số — chẳng bao lâu đã có sự lựa chọn giữa “mô hình” hình học này và một cách diễn giải theo đồng dư. Nhưng cuối cùng các nhà toán học bắt đầu cảm thấy rằng cách làm chắp vá này đi ngược với sự phát triển tự nhiên của khoa học của họ và rằng, trong toán học, việc làm việc với những đối tượng không có “diễn giải” cụ thể là chính đáng. “Nó không thuộc bản chất của toán học”, Boole nói năm 1854, “để quen thuộc với các ý niệm về số và lượng” ([^33]).

Những cân nhắc ấy đã khiến Grassmann, trong tác phẩm “Ausdehnungslehre” năm 1844 của ông, trình bày phép tính của mình dưới một dạng mà trong đó các khái niệm về số và đối tượng hình học bị loại bỏ hoàn toàn ngay từ đầu [^34]. Và ít lâu sau, Riemann, trong bài giảng nhậm chức của mình, cẩn thận không nói đến “các điểm” mà nói đến “các cách xác định” (Bestimmungsweise) trong sự mô tả của ông về “đa tạp $n$ lần mở rộng”, và nhấn mạnh rằng trong một đa tạp như thế, các “quan hệ đo lường” (Massverhältnisse) “chỉ có thể được nghiên cứu đối với các đại lượng trừu tượng và chỉ có thể được biểu diễn bằng các công thức; tuy nhiên, dưới những giả thiết nhất định, chúng có thể được phân chia thành các quan hệ, mỗi quan hệ trong số đó riêng rẽ đều có khả năng được biểu diễn hình học, và nhờ đó các kết quả của phép tính có thể được diễn đạt bằng các thuật ngữ hình học” ([19], p. 276).

Từ thời điểm đó trở đi, sự mở rộng của phương pháp tiên đề là một sự thật đã được thừa nhận. Mặc dù trong một thời gian nữa người ta vẫn thấy hữu ích khi đối chiếu, mỗi khi có thể, các kết quả “trừu tượng” với trực giác hình học, ít nhất người ta cũng đồng ý rằng các đối tượng “cổ điển” không phải là những đối tượng nghiên cứu chính đáng duy nhất đối với một nhà toán học. Chính vì tính đa dạng của các “cách diễn giải” hay “mô hình” có thể có, người ta nhận ra rằng “bản chất” của các đối tượng toán học xét đến cùng chỉ là thứ yếu, và rằng chẳng mấy quan trọng, chẳng hạn, một kết quả được trình bày như một định lý của hình học “thuần túy” hay như một định lý của đại số qua hình học giải tích. Nói cách khác, bản chất của toán học — khái niệm thoáng qua và phi thực chất ấy mà trước đây chỉ có thể được diễn đạt bằng những tên gọi mơ hồ như “quy tắc tổng quát” hay “siêu hình học” — hiện ra như sự nghiên cứu các quan hệ giữa những đối tượng tự chúng không xâm nhập vào ý thức của chúng ta, nhưng được ta biết đến nhờ một số thuộc tính của chúng, cụ thể là những thuộc tính làm thành các tiên đề ở nền tảng của lý thuyết của chúng. Boole đã hiểu rõ điều này vào năm 1847 khi ông viết rằng toán học liên quan đến “các phép toán được xét tự thân, độc lập với những cách khác nhau mà chúng có thể được áp dụng” ([16 a], p. 3). Hankel, năm 1867, khi mở đầu cho sự tiên đề hóa đại số, đã bảo vệ toán học như là “thuần túy trí tuệ, một lý thuyết thuần túy về các dạng mà mục đích của nó là nghiên cứu, không phải sự kết hợp của các đại lượng hay các hình ảnh của chúng, tức là các số, mà là các đối tượng của tư tưởng (Gedankendinge), có thể tương ứng với các đối tượng hay các quan hệ cụ thể, mặc dù sự tương ứng ấy không phải là cần thiết” ([20], p. 10). Cantor, năm 1883, lặp lại khẳng định này cho một “toán học tự do”, tuyên bố rằng “toán học hoàn toàn tự do trong sự phát triển của nó, và các khái niệm của nó chỉ bị ràng buộc bởi nhu cầu là chúng phải không mâu thuẫn và được phối hợp với các khái niệm đã được đưa vào trước đó bằng những định nghĩa chính xác” ([25], p. 182). Cuối cùng, việc xét lại hình học Euclid đã góp phần truyền bá và phổ biến những ý tưởng này. Chính Pasch, dù vẫn gắn với một mức độ “thực tại” nào đó của các đối tượng hình học, đã nhận ra rằng hình học là một sự kiện độc lập với ý nghĩa của chúng, và hoàn toàn chỉ là việc nghiên cứu các quan hệ ([28], p. 90): một quan niệm mà Hilbert đã đẩy tới kết luận lôgic của nó bằng cách nhấn mạnh rằng ngay cả tên gọi của các khái niệm cơ bản của một lý thuyết toán học cũng có thể được chọn tùy ý [^35], và mà Poincaré đã diễn đạt bằng cách nói rằng các tiên đề là những “định nghĩa trá hình”, qua đó hoàn toàn đảo ngược quan điểm của các triết gia kinh viện.

Vì vậy, người ta dễ muốn khẳng định rằng khái niệm hiện đại về “cấu trúc” về cơ bản đã tồn tại vào năm 1900, nhưng thực ra còn cần thêm ba mươi năm chuẩn bị nữa trước khi nó xuất hiện đầy đủ. Dĩ nhiên không khó để nhận ra các cấu trúc cùng một loài khi chúng có bản chất đủ đơn giản; với các cấu trúc nhóm, chẳng hạn, điều này đã đạt được vào giữa thế kỷ XIX. Nhưng trong cùng thời kỳ ấy Hankel vẫn đang vật lộn, mà không thành công trọn vẹn, để rút ra các ý niệm tổng quát về một trường và một trường mở rộng, những điều ông chỉ có thể diễn đạt dưới dạng nửa siêu hình của một “nguyên lý trường tồn” [20], và chỉ đến bốn mươi năm sau Steinitz mới phát biểu chúng một cách dứt khoát. Đặc biệt khó thoát khỏi cảm giác rằng các đối tượng toán học được “cho sẵn” cùng với cấu trúc của chúng, và phải mất nhiều năm giải tích hàm thì các nhà toán học hiện đại mới quen với ý tưởng rằng, chẳng hạn, có nhiều tôpô “tự nhiên” trên tập hợp số hữu tỉ, và nhiều độ đo trên đường thẳng thực. Với sự tách rời này, việc đi tới định nghĩa tổng quát về các cấu trúc như đã được trình bày trong cuốn sách này cuối cùng đã đạt được.

B. Mô hình và đẳng cấu. Ở nhiều chỗ chúng ta đã có dịp nhắc đến khái niệm một “mô hình” hay một “diễn giải” của một lý thuyết toán học được xây dựng với sự giúp đỡ của một lý thuyết khác. Đây không phải là một ý tưởng mới, và chắc chắn nó nên được xem như một biểu hiện lặp đi lặp lại của một cảm thức sâu xa về tính thống nhất của các “khoa học toán học” khác nhau. Nếu câu châm ngôn truyền thống “Mọi vật đều là số” của phái Pythagore thời kỳ đầu được coi là xác thực, thì nó có thể được xem như dấu vết của một nỗ lực đầu tiên nhằm rút gọn hình học và đại số đương thời về số học. Mặc dù việc phát hiện ra các số vô tỉ dường như đã khép lại con đường này vĩnh viễn, phản ứng mà nó gây ra trong toán học Hy Lạp là một nỗ lực tổng hợp lần thứ hai, lần này lấy hình học làm cơ sở và bao hàm, trong số những điều khác, các phương pháp giải các phương trình đại số thừa hưởng từ người Babylon [^36]. Quan niệm này giữ địa vị tối cao cho đến cuộc cải cách căn bản của R. Bombelli và Descartes, vốn đồng nhất mọi phép đo độ lớn với một phép đo độ dài (nói cách khác, với một số thực). Nhưng với sự ra đời của hình học giải tích do Descartes và Fermat, xu hướng này lại bị đảo ngược, và một sự dung hợp chặt chẽ hơn nhiều giữa hình học và đại số đã đạt được, lần này nghiêng lợi cho đại số. Descartes còn đi xa hơn và trong một bước đã hình dung ra tính thống nhất cốt yếu của “tất cả các khoa học thường được gọi là toán học... Mặc dù đối tượng của chúng khác nhau”, ông viết, “chúng đều hòa hợp với nhau ở chỗ chúng chỉ liên quan đến các tỉ số hay tỉ lệ khác nhau hiện diện” ([10], vol. VI, pp. 19-20) [^37]. Tuy nhiên, quan điểm này chỉ có xu hướng biến đại số thành khoa học toán học cơ bản: một kết luận mà Leibniz đã kịch liệt phản đối, ông, như chúng ta đã thấy, cũng đã hình dung một “toán học phổ quát”, nhưng ở quy mô lớn hơn nhiều và đã gần gũi chặt chẽ với các ý tưởng hiện đại. Làm cho “sự hòa hợp” mà Descartes nói đến trở nên hoàn toàn tường minh, lần đầu tiên ông nhận ra cái thực chất là khái niệm tổng quát về đẳng cấu (mà ông gọi là “similitude”) và khả năng “đồng nhất” các quan hệ hay các phép toán đẳng cấu; thí dụ, ông phép cộng và phép nhân ([12 bis], pp. 301-303). Nhưng những quan niệm táo bạo này không được những người đương thời hưởng ứng, và việc hiện thực hóa những giấc mơ của ông phải chờ đến sự phát triển của đại số vào giữa thế kỷ XIX. Chúng ta đã nhận thấy rằng chính vào thời điểm này, các “mô hình” nhân lên và thói quen chuyển từ một lý thuyết sang một lý thuyết khác bằng những thay đổi ngôn ngữ đơn giản được hình thành; ví dụ nổi bật nhất của điều sau có lẽ là tính đối ngẫu trong hình học xạ ảnh, nơi thực hành in các định lý “đối ngẫu” với nhau song song trong hai cột chắc chắn đã góp phần lớn vào việc chấp nhận khái niệm đẳng cấu. Ở một mức độ kỹ thuật hơn, chắc chắn rằng khái niệm về các nhóm đẳng cấu đã được Gauss biết đến đối với các nhóm giao hoán, và bởi Galois đối với các nhóm hoán vị; nó được định nghĩa cho các nhóm tùy ý nói chung vào khoảng giữa thế kỷ XIX [^38]. Từ đó trở đi, với mỗi lý thuyết tiên đề mới, việc định nghĩa một khái niệm đẳng cấu trở nên tự nhiên; nhưng chỉ với khái niệm hiện đại về cấu trúc người ta mới cuối cùng nhận ra rằng mỗi cấu trúc tự thân chứa đựng một khái niệm đẳng cấu, và rằng việc đưa ra một định nghĩa riêng cho từng loài cấu trúc là thừa.

C. Số học hóa của toán học cổ điển. Việc sử dụng ngày càng rộng rãi khái niệm “mô hình” cũng cho phép các nhà toán học thế kỷ XIX đạt tới sự thống nhất của toán học mà người Pythagore từng mơ ước. Vào đầu thế kỷ, các số nguyên và các đại lượng liên tục dường như khó dung hòa cũng như trong thời cổ đại; các số thực được liên quan với khái niệm đại lượng hình học (đặc biệt là độ dài), và các “mô hình” của số âm và số ảo được xây dựng trên cơ sở này. Ngay cả các số hữu tỉ cũng theo truyền thống được gắn với ý niệm “phân chia nhỏ” một đại lượng thành các phần bằng nhau. Chỉ còn các số nguyên là đứng riêng, như “những sản phẩm độc quyền của trí tuệ chúng ta”, như Gauss đã nói vào năm 1832, khi đối chiếu chúng với khái niệm không gian ([14], vol. VIII, p. 201). Những cố gắng đầu tiên của Martin Ohm (1822) nhằm gộp số học và giải tích lại với nhau liên quan đến các số hữu tỉ (dương và âm); khoảng năm 1860 chúng được nhiều tác giả, đặc biệt là Grassmann, Hankel, và Weierstrass (trong các bài giảng chưa công bố), tiếp tục đề cập. Dường như chính Weierstrass là người nảy ra ý tưởng thu được một “mô hình” của các số hữu tỉ dương hoặc âm bằng cách xét các lớp của những cặp có thứ tự các số nguyên tự nhiên. Nhưng bước quan trọng nhất vẫn còn phải thực hiện, tức là xây dựng một “mô hình” của các số vô tỉ ngay trong nội bộ lý thuyết số hữu tỉ. Đến năm 1870, đây đã trở thành một bài toán cấp bách vì sau khi phát hiện các hiện tượng “bệnh lý” trong giải tích, cần phải gạt bỏ mọi dấu vết của trực giác hình học và khái niệm mơ hồ về “đại lượng” khỏi định nghĩa của các số thực. Thực ra bài toán này đã được giải, vào khoảng thời gian đó, gần như đồng thời bởi Cantor, Dedekind, Méray, và Weierstrass, bằng những phương pháp rất khác nhau với nhau.

Từ đó trở đi các số nguyên trở thành nền tảng của toàn bộ toán học cổ điển. Hơn nữa, các “mô hình” đặt trên cơ sở số học càng trở nên quan trọng hơn với sự mở rộng của phương pháp tiên đề và quan niệm xem các đối tượng toán học như những sáng tạo tự do của trí tuệ con người. Bởi vì vẫn còn một sự hạn chế đối với tự do mà Cantor đòi hỏi, đó là sự hạn chế do vấn đề “tồn tại” đặt ra, vấn đề vốn đã làm bận tâm người Hy Lạp, và nay nổi lên cấp thiết hơn nhiều chính vì mọi viện dẫn đến biểu diễn trực giác đã bị từ bỏ. Sau này ta sẽ thấy một cơn lốc xoáy triết học-toán học ghê gớm đến mức nào đã được tạo ra bởi khái niệm “tồn tại” trong những năm đầu của thế kỷ XX. Nhưng trong thế kỷ XIX, giai đoạn ấy vẫn chưa đạt tới, và chứng minh sự tồn tại của một đối tượng toán học có một tập hợp tính chất cho trước đơn giản có nghĩa là, cũng như đối với Euclid, “xây dựng” một đối tượng có các tính chất cần có. Đó chính xác là mục đích của các “mô hình” số học; một khi các số thực đã được “diễn giải” theo các số nguyên, thì người ta cũng làm tương tự cho các số phức và hình học Euclid, nhờ hình học giải tích, và cũng vậy đối với mọi đối tượng đại số mới được đưa vào từ đầu thế kỷ. Sau cùng, trong một phát hiện đã trở nên rất nổi tiếng, Beltrami và Klein thu được các “mô hình” Euclid của các hình học phi Euclid của Lobatschevsky và Riemann, và do đó đã “số học hóa” (và hoàn toàn biện minh cho) các lý thuyết này, vốn lúc đầu đã gây ra rất nhiều hoài nghi.

D. Tiên đề hóa số học. Theo chiều hướng phát triển này, việc chú ý tiếp theo được hướng tới nền tảng của chính số học là điều tự nhiên, và thực tế thì điều đó đã xảy ra vào khoảng năm 1880. Hình như, trước thế kỷ XIX, chưa ai từng cố định nghĩa phép cộng và phép nhân bằng cách nào khác ngoài việc viện trực tiếp vào trực giác. Chỉ riêng Leibniz, trung thành với các nguyên lý của mình, đã nêu rõ rằng những “chân lý” “hiển nhiên” như $2 + 2 = 4$ cũng không kém phần có thể chứng minh, nếu suy xét các định nghĩa của những số xuất hiện trong đó ([12 b], vol. IV, p. 403; cf. [12 bis], p. 203); và ông hoàn toàn không xem tính giao hoán của phép cộng và phép nhân là hiển nhiên [^39].[^39] Tuy nhiên, ông không đẩy các suy tư của mình về chủ đề này đi xa hơn, và vào giữa thế kỷ XIX vẫn chưa có tiến triển theo hướng đó. Ngay cả Weierstrass, mà các bài giảng của ông đã góp phần rất lớn vào việc phổ biến quan điểm "số học hóa", dường như cũng chưa nhận ra sự cần thiết của một sự làm sáng tỏ về mặt lôgic đối với lý thuyết số nguyên. Những bước đầu tiên theo hướng này dường như thuộc về Grassmann, người mà năm 1861 ([17], vol. $\mathrm{II}_2$, p. 295), đã đưa ra một định nghĩa về phép cộng và phép nhân các số nguyên và chứng minh các tính chất cơ bản của chúng (tính giao hoán, tính kết hợp, tính phân phối), chỉ sử dụng phép toán $x \to x + 1$ và Nguyên lý quy nạp. Nguyên lý này đã được B. Pascal hình dung và sử dụng một cách rõ ràng lần đầu tiên vào thế kỷ XVII ([11], vol. III, p. 456) [^40][^40] — mặc dù người ta cũng thấy những áp dụng ít nhiều tường minh của nó trong toán học thời cổ đại — và từ nửa sau thế kỷ XVII nó đã được các nhà toán học sử dụng phổ biến. Nhưng mãi đến năm 1888, Dedekind ([26], vol. III, pp. 359-361) mới phát biểu một hệ tiên đề đầy đủ cho số học (được Peano chép lại ba năm sau đó và thường được biết dưới tên ông [29 a]), trong đó đặc biệt có một phát biểu chính xác của Nguyên lý quy nạp (nguyên lý mà Grassmann đã dùng mà không nêu rõ ra).

Với phép tiên đề hóa này, dường như các nền tảng dứt khoát của toán học đã đạt được. Nhưng, thực ra, đúng vào chính lúc các tiên đề của số học đang được phát biểu một cách rõ ràng, thì bản thân số học lại đang bị phế truất khỏi vai trò khoa học nguyên thủy này trong mắt của nhiều nhà toán học (khởi đầu từ Dedekind và Peano), để nhường chỗ cho lý thuyết mới nhất của toán học, tức là lý thuyết tập hợp; và những cuộc tranh luận sẽ bao quanh khái niệm số nguyên không thể tách rời khỏi cuộc “khủng hoảng nền tảng” lớn của những năm 1900-1930.

Lý thuyết tập hợp

Có thể nói rằng ở mọi thời kỳ lịch sử, các nhà toán học và các triết gia đã sử dụng các lập luận của lý thuyết tập hợp, nhiều hay ít một cách có ý thức. Nhưng trong lịch sử những quan niệm của họ về chủ đề này, cần phải phân biệt rõ ràng mọi vấn đề liên quan đến ý niệm về các số lực lượng (và, đặc biệt, liên quan đến khái niệm vô hạn) với những vấn đề chỉ liên hệ đến các khái niệm thuộc và bao hàm. Những khái niệm sau này hiển nhiên về mặt trực giác và dường như chưa bao giờ gây ra tranh cãi. Chúng cung cấp nền tảng dễ nhất cho một lý thuyết về các tam đoạn luận (như Leibniz và Euler sẽ chỉ ra), cho những tiên đề như “toàn thể lớn hơn bộ phận”, và cho phần hình học liên quan đến các giao của đường cong và mặt. Cho đến cuối thế kỷ XIX, cũng không ai phản đối việc nói đến tập hợp (hoặc “lớp”, theo một số tác giả) của mọi đối tượng có một tính chất nào đó [^41]; và “định nghĩa” nổi tiếng do Cantor đưa ra (“Bằng một tập hợp, ta hiểu một sự gom lại thành một thực thể của các đối tượng phân biệt của trực giác hay tư duy của chúng ta”) ([25], p. 282) hầu như không gây ra phản đối nào vào thời điểm công bố [^42]. Nhưng tình hình hoàn toàn khác khi các khái niệm số hay độ lớn bị đan xen với khái niệm tập hợp. Vấn đề về tính phân chia vô hạn của độ dài (được nêu ra, chắc chắn, bởi những người Pythagore đầu tiên) đã dẫn, như đã biết, đến những khó khăn triết học đáng kể; từ trường phái Êlê đến Bolzano và Cantor, các nhà toán học và triết gia đã không thành công khi đối mặt với nghịch lý của độ lớn hữu hạn được cấu thành bởi một số vô hạn các điểm không có độ lớn. Đối với chúng ta, việc thuật lại, dù chỉ tóm tắt, những cuộc tranh luận dai dẳng và đầy nhiệt tình do vấn đề này khơi dậy là điều không liên quan, một vấn đề đã tạo nên một mảnh đất đặc biệt thuận lợi cho những lệch lạc siêu hình hay thần học. Chỉ cần lưu ý quan điểm được phần lớn các nhà toán học từ thời cổ đại nắm giữ. Về thực chất, quan điểm ấy là từ chối bàn về câu hỏi này vì nó không thể được quyết định một cách không thể bác bỏ, một thái độ mà ta sẽ lại gặp ở những nhà hình thức luận hiện đại: cũng như những người sau này khéo léo loại bỏ mọi vẻ bề ngoài của các tập hợp “nghịch lý” (xem dưới đây, trang 328), các nhà toán học cổ điển cẩn thận tránh đưa vào các lập luận của mình cái “vô hạn thực” (tức là, các tập hợp chứa một vô hạn đối tượng được quan niệm là tồn tại đồng thời, ít nhất là trong tư tưởng) và tự thỏa mãn với “vô hạn tiềm năng”, tức là khả năng làm tăng bất kỳ độ lớn nào đã cho (hoặc làm giảm nó, nếu đang xét một độ lớn “liên tục”) [^43]. Nếu quan điểm này chứa đựng một mức độ đạo đức giả nhất định [^44], thì nó vẫn cho phép phát triển phần lớn toán học cổ điển (bao gồm lý thuyết tỷ lệ và, về sau, phép tính vô cùng bé) [^45]; nó dường như là một sợi dây cứu sinh tuyệt vời, đặc biệt sau những cuộc tranh cãi do vô cùng bé gây ra, và đã trở thành một tín điều hầu như được chấp nhận phổ quát cho đến tận cuối thế kỷ XIX.

Một tia sáng đầu tiên của khái niệm đẳng lực nói chung xuất hiện trong một nhận xét của Galileo ([8], vol. VIII, pp. 78-80). Ông nhận thấy rằng ánh xạ $n \to n^2$ xác lập một sự tương ứng một-một giữa các số nguyên tự nhiên và các bình phương của chúng, và do đó tiên đề “toàn thể lớn hơn bộ phận” không thể áp dụng cho các tập vô hạn. Nhưng, thay vì mở đầu cho một sự nghiên cứu có lý về các tập vô hạn, nhận xét này dường như chỉ có tác dụng củng cố sự ngờ vực đối với “vô hạn thực”; đó chính là bài học mà bản thân Galileo rút ra, và Cauchy trích dẫn ông năm 1833 chỉ để tán thành thái độ ấy.

Các yêu cầu của giải tích — và đặc biệt là sự nghiên cứu sâu hơn các hàm của biến thực, được theo đuổi trong suốt thế kỷ XIX — là nguồn gốc của cái sẽ trở thành lý thuyết tập hợp hiện đại. Khi Bolzano năm 1817 chứng minh sự tồn tại của cận dưới lớn nhất của một tập hợp bị chặn dưới trong $\mathbf{R}$, ông lập luận, như hầu hết những người đương thời của ông, theo nghĩa “bao hàm”, và xét, không phải một tập hợp tùy ý các số thực, mà là một tính chất tùy ý của chúng. Nhưng khi, ba mươi năm sau, ông viết Paradoxien des Unendlichen [18] (xuất bản năm 1851, ba năm sau khi ông qua đời), ông đã không ngần ngại khẳng định khả năng tồn tại của “vô hạn thực” và nói đến các tập hợp tùy ý. Trong công trình này ông đã định nghĩa khái niệm tổng quát về đẳng lực của hai tập hợp và chứng minh rằng bất kỳ hai khoảng compact nào trong $\mathbf R$ đều đẳng lực (với điều kiện mỗi khoảng chứa nhiều hơn một điểm duy nhất). Ông cũng nhận thấy rằng sự khác biệt đặc trưng giữa tập hữu hạn và tập vô hạn nằm ở chỗ một tập vô hạn $E$ đẳng lực với một tập con thực sự nào đó của $E$, nhưng ông không đưa ra được chứng minh thuyết phục nào cho mệnh đề này. Giọng điệu chung của công trình mang tính triết học hơn là toán học; và vì ông không phân biệt đủ chính xác giữa khái niệm lực lượng của một tập hợp và khái niệm độ lớn hay thứ tự của vô hạn, Bolzano đã thất bại trong các nỗ lực xây dựng các tập vô hạn có các lực lượng ngày càng lớn hơn, và phần thảo luận của ông trong mối liên hệ này bị vướng vào những cân nhắc về các chuỗi phân kỳ hoàn toàn không có ý nghĩa.

Sự hình thành của lý thuyết tập hợp, như ngày nay ta hiểu nó, là nhờ thiên tài của G. Cantor. Ông cũng khởi đầu như một nhà giải tích, và công trình của ông về các chuỗi lượng giác, được gợi hứng từ công trình của Riemann, đã dẫn ông một cách tự nhiên vào năm 1872 đến một tiểu luận đầu tiên về việc phân loại các tập hợp “ngoại lệ” nảy sinh trong lý thuyết này [^46] thông qua khái niệm các “tập dẫn xuất” liên tiếp, mà ông đã đưa vào trong mối liên hệ này. Không nghi ngờ gì nữa, chính những nghiên cứu ấy, và cả phương pháp của ông để định nghĩa các số thực, đã khiến Cantor quan tâm đến các bài toán đồng lực; vì vào năm 1873 ông ghi nhận rằng tập hợp các số hữu tỉ (hoặc tập hợp các số đại số) là đếm được. Trong thư từ của ông với Dedekind, bắt đầu vào khoảng thời gian này [25 bis], ông nêu câu hỏi liệu tập hợp các số nguyên và tập hợp các số thực có đồng lực hay không, và đã thành công chỉ vài tuần sau trong việc chỉ ra rằng chúng không đồng lực. Tiếp đó, từ năm 1874 trở đi, bài toán chiều chiếm lấy sự chú ý của ông, và trong ba năm ông đã tìm kiếm vô ích để chứng minh rằng không thể có một tương ứng một-một giữa $\mathbf R$ và $\mathbf R^n$ ($n>1$), trước khi ông đi tới việc xây dựng một tương ứng như thế, khiến chính ông sửng sốt [^47]. Sau khi đạt được những kết quả mới mẻ và gây kinh ngạc ấy, ông hoàn toàn chuyên tâm vào lý thuyết tập hợp. Trong một loạt sáu bản luận văn đăng trên Mathematische Annalen từ năm 1878 đến 1884, ông xét các bài toán đồng lực, lý thuyết các tập hợp được sắp thứ tự toàn phần, các tính chất tô pô của $\mathbf R$ và $\mathbf R^n$, và bài toán đo lường; thật đáng khâm phục khi thấy trong tay ông, những khái niệm dường như đã bám rễ không thể gỡ vào quan niệm cổ điển về “liên tục” dần dần được làm sáng tỏ. Năm 1880 ông nảy ra ý tưởng lặp lại một cách “siêu hữu hạn” việc hình thành các “tập dẫn xuất”; nhưng ý tưởng này chỉ thực sự thành hình hai năm sau, với việc đưa vào các tập hợp được sắp tốt - một trong những phát hiện độc đáo nhất của Cantor, nhờ đó ông có thể bắt đầu nghiên cứu chi tiết các số lực lượng và nêu ra “bài toán liên tục” [25].

Không thể trông đợi rằng những quan niệm táo bạo như thế, đi ngược lại một truyền thống hai nghìn năm tuổi và dẫn tới những kết quả khó tin với vẻ bề ngoài nghịch lý như vậy, lại được chấp nhận mà không gặp sự chống đối. Thực vậy, trong số các nhà toán học có ảnh hưởng ở Đức, chỉ có Weierstrass là người dõi theo với đôi chút thiện cảm công trình của Cantor (học trò cũ của ông); nhưng Cantor đã gặp phải sự đối lập không thể hòa giải của Schwarz, và trên hết là của Kronecker [^48]. Có vẻ như chính sự căng thẳng thường trực do sự chống đối với các ý tưởng của ông, cũng như những nỗ lực vô ích nhằm chứng minh giả thuyết liên tục, đã gây ra ở Cantor những triệu chứng đầu tiên của một bệnh thần kinh sẽ ảnh hưởng đến năng suất toán học của ông [^49]. Thực vậy, mãi đến khoảng năm 1887 ông mới trở lại quan tâm đến lý thuyết tập hợp, và các công trình xuất bản cuối cùng của ông, chủ yếu về lý thuyết các tập hợp được sắp thứ tự toàn phần và phép tính các số thứ tự, thuộc giai đoạn 1895-97. Năm 1890, ông cũng đã chứng minh bất đẳng thức $m < 2^m$. Tuy nhiên, không những bài toán liên tục vẫn chưa được giải quyết, mà còn có một lỗ hổng nghiêm trọng hơn trong lý thuyết các số lực lượng, vì Cantor chưa thể chứng minh sự tồn tại của một quan hệ sắp tốt giữa các lực lượng tùy ý. Khoảng trống này được lấp một phần bởi định lý của F. Bernstein (1897) cho thấy rằng các quan hệ $\alpha \leq \beta$ và $\beta \leq \alpha$ suy ra $\alpha = \beta$ [^50], và trên hết là bởi định lý của Zermelo [36 a] chứng minh sự tồn tại của một quan hệ sắp tốt trên mọi tập hợp : một định lý mà Cantor đã phỏng đoán từ năm 1883 ([25], p. 169).

Tuy nhiên, Dedekind đã theo dõi công trình của Cantor với sự quan tâm bền bỉ ngay từ đầu. Nhưng trong khi người sau tập trung chú ý vào các tập vô hạn và sự phân loại của chúng, Dedekind lại tiếp tục những suy nghĩ của riêng mình về khái niệm số (điều đã dẫn ông đến định nghĩa các số vô tỉ bằng phương pháp "cắt"). Trong cuốn sách nhỏ Số là gì và phải là gì, được xuất bản năm 1888, nhưng nội dung cốt lõi có từ giai đoạn 1872-8 ([26], vol. III, p. 335), ông đã chỉ ra làm thế nào khái niệm số tự nhiên (mà, như ta đã thấy, lúc này là cơ sở của toàn bộ toán học cổ điển) tự thân có thể được suy dẫn từ các khái niệm cơ bản của lý thuyết tập hợp. Chắc chắn ông là người đầu tiên phát triển tường minh các tính chất sơ cấp của các ánh xạ tùy ý từ một tập hợp vào một tập hợp khác (trước đó Cantor bỏ qua, vì ông chỉ quan tâm đến các tương ứng đơn ánh) và đưa vào, cho mọi ánh xạ $f$ của một tập hợp E vào chính nó, khái niệm “chuỗi” của một phần tử $a \in E$ tương ứng với $f$, tức là giao của mọi tập hợp $K \subset E$ sao cho $a \in K$ và $f(K) \subset K$ [^51]. Tiếp theo, ông lấy làm định nghĩa của một tập vô hạn E sự kiện rằng tồn tại một ánh xạ một-một $\varphi$ của E vào E sao cho $\varphi(E) \neq E$ [^52]. Nếu, hơn nữa, tồn tại một ánh xạ $\varphi$ như thế và một phần tử $a \notin \varphi(E)$ sao cho toàn bộ tập hợp E là chuỗi của $a$, thì Dedekind gọi E là "vô hạn đơn giản"; hơn nữa, ông nhận xét rằng "các tiên đề của Peano" khi đó được thỏa mãn và chỉ ra (trước Peano) cách, từ điểm xuất phát ấy, có thể thu được mọi định lý sơ cấp của số học. Điều duy nhất còn thiếu trong trình bày của ông là tiên đề vô hạn, mà Dedekind (theo Bolzano) tin rằng mình có thể chứng minh bằng cách xét "thế giới tư tưởng" (Gedankenwelt) như một tập hợp [^53].

Ở một phương diện khác, nhờ công trình số học của mình (và đặc biệt là lý thuyết iđêan), Dedekind đã được dẫn tới việc hình dung khái niệm tập hợp có thứ tự dưới một khía cạnh tổng quát hơn Cantor đã làm. Trong khi người sau hoàn toàn tự hạn chế mình vào các tập hợp được sắp thứ tự toàn phần [^54], Dedekind khảo sát trường hợp tổng quát và đặc biệt nghiên cứu kỹ các mạng ([26], vol. II, pp. 236-271). Lúc bấy giờ công trình này hầu như không thu hút chú ý nào; và mặc dù những kết quả của ông, được nhiều tác giả khám phá lại, đã trở thành đối tượng của vô số công trình từ năm 1935, tầm quan trọng lịch sử của chúng nằm ít hơn nhiều ở những ứng dụng có thể có của lý thuyết này (thực ra khá ít ỏi) so với ở chỗ nó là một trong những ví dụ đầu tiên về một phép dựng tiên đề cẩn thận. Mặt khác, những kết quả đầu tiên của Cantor về các tập đếm được chẳng bao lâu đã đem lại nhiều ứng dụng quan trọng, ngay cả đối với những vấn đề cổ điển nhất của giải tích [^55] (chưa kể những phần trong công trình của ông đã khai sinh tôpô tổng quát và lý thuyết độ đo; đối với các phần này, độc giả hãy xem Ghi chú lịch sử trong General Topology). Hơn nữa, những năm cuối của thế kỷ mười chín chứng kiến những ứng dụng đầu tiên của nguyên lý quy nạp siêu hạn, mà đặc biệt kể từ chứng minh định lý Zermelo, nó đã trở thành một công cụ không thể thiếu trong mọi phần của toán học hiện đại. Năm 1922, Kuratowski đưa ra một phiên bản của nguyên lý này, sau đó được Zorn [45] khám phá lại và theo thông lệ mang tên ông, phiên bản này thường tiện áp dụng hơn vì tránh dùng các tập hợp được sắp tốt ([40], p. 89); chính dạng của nguyên lý này hiện nay thường được dùng [^56].

Đến cuối thế kỷ mười chín, do đó, những quan niệm cốt yếu của Cantor đã giành thắng lợi [^57]. Như ta đã thấy, việc hình thức hóa toán học cũng đã được hoàn thành trong cùng thời kỳ, và việc sử dụng phương pháp tiên đề đã gần như được chấp nhận phổ biến. Nói cách khác, những nỗ lực căng thẳng trong các năm 1875-1895 đã mang lại cho toán học nội dung cốt yếu của tài liệu trình bày trong cuốn sách này. Nhưng cùng thời kỳ ấy cũng chứng kiến sự khởi đầu của một "khủng hoảng về nền tảng" dữ dội hiếm có, sẽ làm chấn động thế giới toán học trong hơn ba mươi năm và đôi lúc dường như đặt vào nguy cơ không chỉ mọi thành tựu gần đây mà còn cả những phần cổ điển nhất của toán học.

Các nghịch lý của lý thuyết tập hợp và khủng hoảng nền tảng

Những tập hợp "nghịch lý" đầu tiên xuất hiện trong lý thuyết về các lực số và các số thứ tự. Năm 1897, Burali-Forti nhận thấy không thể có một tập hợp được tạo bởi tất cả các số thứ tự, vì tập hợp như vậy sẽ được sắp tốt và do đó đẳng cấu với một đoạn thực sự của chính nó, điều đó là vô lý [^58]. Năm 1899, Cantor nhận xét (trong một bức thư gửi Dedekind) rằng chúng ta cũng không thể nói rằng các lực số tạo thành một tập hợp, cũng như không thể nói đến "tập hợp của tất cả các tập hợp" mà không mâu thuẫn (tập hợp tất cả các tập con của "tập hợp" sau cùng $\Omega$ sẽ đẳng lực với một tập con của $\Omega$, điều này trái với bất đẳng thức $\mathfrak{m} < 2^{\mathfrak{m}}$) ([25], pp. 444-448). Cuối cùng, năm 1905, bằng cách phân tích chứng minh của bất đẳng thức này, Russell cho thấy rằng lập luận thiết lập nó cũng chứng minh (không cần viện đến lý thuyết lực số) rằng khái niệm "tập hợp của tất cả các tập không là phần tử của chính chúng" là tự mâu thuẫn [37] [^59].

Người ta có thể nghĩ rằng những "nghịch lý" như vậy chỉ xuất hiện ở những vùng ngoại vi của toán học, được đặc trưng bởi việc xét những tập hợp quá "lớn" đến mức trực giác không với tới được. Nhưng chẳng bao lâu các nghịch lý khác đã đe dọa những phần cổ điển nhất của toán học. Berry và Russell [37], khi đơn giản hóa một lập luận của J. Richard [34], nhận thấy rằng tập các số nguyên có thể được gọi tên bằng ít hơn mười chín âm tiết là hữu hạn, nhưng tuy vậy lại là mâu thuẫn nếu định nghĩa một số nguyên là "số nguyên nhỏ nhất không thể gọi tên bằng ít hơn mười chín âm tiết", vì định nghĩa này chỉ chứa mười tám âm tiết.

Mặc dù những lập luận như thế, rất xa lạ với cách dùng hiện hành của các nhà toán học, hẳn đã hiện ra với nhiều người như một kiểu chơi chữ, chúng vẫn chỉ ra nhu cầu phải xét lại nền tảng của toán học để loại bỏ những "nghịch lý" loại này. Nhưng mặc dù mọi người đều nhất trí về tính cấp bách của sự xét lại như vậy, những khác biệt sâu sắc về quan điểm chẳng bao lâu đã nảy sinh về cách thức thực hiện nó. Đối với một nhóm nhà toán học, những "người duy tâm" và những "người hình thức" [^60], tình thế do những "nghịch lý" của lý thuyết tập hợp tạo ra rất giống với tình thế do sự phát hiện các hình học phi Euclid hoặc các đường cong "bệnh lý" (chẳng hạn các đường cong không có tiếp tuyến) trong hình học gây nên; vì thế nó nên dẫn tới một kết luận tương tự, nhưng tổng quát hơn, cụ thể là việc tìm cách xây dựng bất kỳ lý thuyết toán học nào bằng cách viện đến "trực giác" (một cách tường minh hay không) đều là vô ích. Lập trường này có thể được tóm tắt bằng lời của đối thủ chính của trường phái hình thức: "... quan điểm của chủ nghĩa hình thức", Brouwer nói ([38 a], p. 83), "*cho rằng lý trí con người không có trong tay những hình ảnh chính xác, chẳng hạn như về các đường thẳng hay về những số lớn hơn mười... Đúng là từ một số quan hệ giữa các đối tượng toán học, mà ta giả định như các tiên đề, ta suy ra những quan hệ khác theo những quy luật cố định, với niềm tin rằng bằng cách này ta rút ra chân lý từ chân lý bằng lập luận lôgic... Vì thế, đối với người hình thức, tính chính xác toán học chỉ nằm ở phương pháp triển khai chuỗi các quan hệ, và độc lập với ý nghĩa mà người ta có thể muốn gán cho các quan hệ hay cho các đối tượng mà chúng liên hệ*".

Vì vậy, đối với nhà hình thức, điều cần làm là cung cấp một cơ sở tiên đề cho lý thuyết tập hợp hoàn toàn tương tự như cơ sở của hình học sơ cấp, trong đó không cần biết những “đối tượng” được gọi là “tập hợp” là gì, cũng không cần biết quan hệ $x\in y$ có nghĩa gì, mà chỉ cần liệt kê các điều kiện đặt lên quan hệ này; dĩ nhiên, điều đó phải được làm theo cách sao cho, trong chừng mực có thể, bao hàm mọi kết quả của lý thuyết Cantor, đồng thời làm cho sự tồn tại của các tập hợp “nghịch lý” trở nên bất khả. Ví dụ đầu tiên của một sự tiên đề hóa như vậy do Zermelo đưa ra năm 1908 [36 c]; ông tránh các tập hợp “quá lớn” bằng cách đưa vào một “tiên đề chọn lọc” (Aussonderungsaxiom), theo đó một tính chất $P\{x\}$ xác định một tập hợp được tạo bởi các phần tử có tính chất này chỉ khi $P\{x\}$ đã hàm ý một quan hệ dạng $x\in A$ [^61]. Nhưng việc loại bỏ các nghịch lý tương tự như “nghịch lý của Richard” chỉ có thể đạt được bằng cách hạn chế nghĩa gắn cho khái niệm “tính chất”.

Trong liên hệ này, Zermelo chỉ hài lòng mô tả bằng những thuật ngữ cực kỳ mơ hồ một loại tính chất mà ông gọi là “xác định” và chỉ ra rằng việc áp dụng tiên đề chọn lọc phải bị giới hạn cho các tính chất thuộc loại này. Điểm này được Skolem [39] và Fraenkel [41] làm cho chính xác [^62]; như họ nhận thấy, việc làm sáng tỏ nó đòi hỏi một hệ hoàn toàn hình thức hóa (như hệ được mô tả trong các Chương I và II của cuốn sách này), trong đó các khái niệm “tính chất” và “quan hệ” đã mất hết mọi “nghĩa” và chỉ còn trở thành những ký hiệu chỉ các dãy ký hiệu được tạo thành theo những quy luật tường minh. Điều này, dĩ nhiên, đòi hỏi các quy tắc lôgic được dùng phải được đưa vào trong hệ, mà điều đó còn chưa có trong hệ Zermelo-Fraenkel; ngoài điểm này ra, về cơ bản chính hệ của họ là hệ mà chúng tôi đã mô tả trong các Chương I và II.

Sau đó đã có những sự tiên đề hóa khác của lý thuyết tập hợp được đề xuất. Chúng tôi sẽ chủ yếu xét hệ của von Neumann [43 a và b], hệ này gần với quan niệm nguyên thủy của Cantor hơn hệ Zermelo-Fraenkel; Cantor, để tránh các tập hợp “nghịch lý”, đã từng đề nghị (trong thư từ với Dedekind; [25], tr. 445-448) phân biệt hai loại tập hợp, “nhiều phần tử” (Vielheiten) và “tập hợp” (Mengen) theo nghĩa ngặt, loại sau được đặc trưng bởi chỗ nó có thể được nghĩ như một đối tượng đơn lẻ. Chính ý tưởng này mà von Neumann đã làm cho chính xác bằng cách phân biệt giữa hai loại đối tượng, “tập hợp” và “lớp”. Trong hệ của ông (đã gần như được hình thức hóa hoàn toàn), các lớp được phân biệt với các tập hợp bởi thực tế là chúng không thể được đặt ở bên trái dấu $\in$. Một trong những ưu điểm của một hệ như thế là nó phục hồi khái niệm “lớp phổ quát” (tất nhiên, đây không phải là một tập hợp) được các nhà lôgic học thế kỷ mười chín dùng đến. Chúng ta cũng nên nói thêm rằng hệ của von Neumann tránh được (đối với lý thuyết tập hợp) việc đưa vào các lược đồ tiên đề, những thứ được thay thế bằng các tiên đề thích hợp, nhờ đó làm cho việc nghiên cứu lôgic của hệ trở nên dễ dàng hơn. Những biến thể của hệ von Neumann đã được Bernays và Gödel [44 b] đưa ra.

Những hệ này dường như đã thành công trong việc loại bỏ các nghịch lý, nhưng phải trả giá bằng những ràng buộc không thể không có vẻ hết sức tùy tiện. Về phía hệ Zermelo-Fraenkel, có thể nói rằng nó chỉ giới hạn ở việc phát biểu các cấm đoán mà chẳng qua cũng chỉ thừa nhận thực hành hiện hành trong các ứng dụng của khái niệm tập hợp vào nhiều lý thuyết toán học khác nhau. Các hệ của von Neumann và Gödel xa rời những quan niệm thông thường hơn. Mặt khác, chúng ta không thể loại trừ khả năng rằng việc đưa cơ sở của một số lý thuyết toán học nào đó vào khuôn khổ của những hệ như thế có thể dễ hơn là đưa nó vào khuôn khổ chặt chẽ hơn của hệ Zermelo-Fraenkel.

Dù thế nào đi nữa, không thể nói rằng bất kỳ lời giải nào trong số này đem lại ấn tượng về tính dứt khoát. Chúng làm thỏa mãn các nhà hình thức, vì các nhà hình thức từ chối xét đến những phản ứng tâm lý riêng của từng nhà toán học; họ cho rằng một ngôn ngữ hình thức hóa đã làm tròn bổn phận của nó nếu nó có khả năng chép lại các lập luận toán học dưới một dạng không chứa mơ hồ, và do đó có thể làm phương tiện cho tư duy toán học. Theo họ, mỗi người đều có quyền nghĩ điều mình thích về “bản chất” của các thực thể toán học hay “chân lý” của các định lý mà họ dùng, miễn là lập luận của họ có thể được chép lại trong ngôn ngữ chung [^63].

Nói cách khác, xét từ quan điểm triết học, thái độ của các nhà hình thức được đặc trưng bởi một sự dửng dưng đối với vấn đề do các “nghịch lý” đặt ra, bắt nguồn từ việc từ bỏ lập trường Platon vốn muốn gán cho các khái niệm toán học một “nội dung” trí tuệ chung cho mọi nhà toán học. Nhiều nhà toán học đã nổi loạn chống lại sự đoạn tuyệt với truyền thống này. Chẳng hạn Russell tìm cách tránh các nghịch lý bằng cách phân tích cấu trúc của chúng sâu hơn. Tiếp nhận một ý tưởng trước đó J. Richard nêu ra lần đầu (trong bài [34] nơi ông trình bày “nghịch lý” của mình) và sau đó H. Poincaré [33 c] phát triển, Russell và Whitehead nhận thấy rằng các định nghĩa của mọi tập hợp nghịch lý đều vi phạm nguyên lý sau đây, gọi là “nguyên lý vòng luẩn quẩn” : “điều gì bao hàm toàn bộ một bộ sưu tập thì không được là một phần tử của bộ sưu tập ấy” ([37], tập I, p. 40). Mệnh đề này làm cơ sở cho Principia, và “lý thuyết kiểu” được phát triển để thích ứng với nó. Giống như lý thuyết của Frege đã truyền cảm hứng cho nó, lôgic của Russell và Whitehead (rộng lớn hơn nhiều so với lôgic toán học được dùng trong Chương I của cuốn Sách này) chứa các “biến mệnh đề”. Lý thuyết kiểu tiến hành một sự phân loại các biến này, phác thảo như sau.

Xuất phát từ một “miền các cá thể” chưa được định nghĩa, có thể được coi là “các đối tượng bậc 0”, các quan hệ trong đó các biến (tự do hay bị chặn) là các cá thể được gọi là “đối tượng bậc một”; và nói chung, các quan hệ trong đó các biến là những đối tượng bậc $\leq n$ (và ít nhất một trong số chúng ở bậc $n$) được gọi là “đối tượng bậc $n+1$” [^64]. Vì vậy, một tập hợp các đối tượng bậc $n$ chỉ có thể được định nghĩa bởi một quan hệ bậc $n+1$, và điều kiện này cho phép loại bỏ các tập hợp nghịch lý một cách dễ dàng [^65]. Nhưng nguyên lý “phân cấp kiểu” lại chặt chẽ đến mức, nếu tuân thủ nghiêm ngặt, nó dẫn tới một nền toán học có độ phức tạp rối rắm không sao gỡ nổi [^66]. Để thoát khỏi hệ quả này, Russell và Whitehead buộc phải đưa vào một “tiên đề quy giản” khẳng định sự tồn tại, với mọi quan hệ giữa “cá thể”, của một quan hệ tương đương của bậc một. Điều kiện này cũng tùy ý như các tiên đề của những nhà hình thức chủ nghĩa, và làm giảm đáng kể giá trị của phép dựng Principia. Hệ thống của Russell và Whitehead được các nhà logic học ưa chuộng hơn các nhà toán học. Hơn nữa, nó chưa được hình thức hóa hoàn toàn [^67], nên có rất nhiều chỗ mờ tối về chi tiết. Đã có nhiều nỗ lực nhằm đơn giản hóa và làm sáng tỏ nó (Ramsey, Chwistek, Quine, Rosser); các tác giả này có xu hướng dùng những ngôn ngữ được hình thức hóa ngày càng hoàn toàn hơn, và thay thế các quy tắc của Principia (vốn vẫn còn chứa một nền tảng trực giác nhất định) bằng những hạn chế chỉ xét đến việc ghi xuống các dãy ký hiệu được xem xét; không những các quy tắc này do đó tỏ ra tùy tiện như các điều cấm được nêu ra trong các hệ của Zermelo-Fraenkel hoặc von Neumann, mà còn, vì xa rời cách dùng toán học hơn, chúng trong nhiều trường hợp đã dẫn tới những hệ quả không thể chấp nhận được mà tác giả đã không lường trước (như nghịch lý Burali-Forti, hay sự phủ định của tiên đề lựa chọn).

Đối với các nhà toán học của những trường phái này, mục tiêu cốt yếu là không từ bỏ bất cứ phần nào của di sản quá khứ. “Không ai sẽ đuổi chúng ta”, Hilbert nói ([30], p. 274), “ra khỏi thiên đường mà Cantor đã tạo ra cho chúng ta”. Để đạt được mục tiêu này, họ sẵn sàng chấp nhận những hạn chế đối với lập luận toán học mà, tuy không phải là điều sống còn vì chúng phù hợp với cách dùng toán học, lại không có vẻ như được áp đặt bởi những thói quen tinh thần của chúng ta và khái niệm trực giác về một tập hợp. Đối với họ, bất cứ điều gì cũng tốt hơn sự chen vào của tâm lý học trong các tiêu chuẩn của tính hợp lệ trong toán học; và thay vì “tính đến các tính chất của bộ não chúng ta”, như Hadamard đã nói ([35], p. 270), họ đành chấp nhận sự áp đặt những ranh giới phần lớn là tùy ý, miễn là toàn bộ toán học cổ điển được chứa trong đó và chúng không đe dọa cản trở sự tiến bộ về sau.

Hoàn toàn khác là thái độ của các nhà toán học trung thành với học thuyết sau đây. Trong khi các nhà hình thức chủ nghĩa đồng ý từ bỏ sự kiểm soát của “con mắt của tâm trí” đối với lập luận toán học, thì các nhà toán học được gán tên là “kinh nghiệm chủ nghĩa”, “hiện thực chủ nghĩa”, hoặc “trực giác chủ nghĩa” lại từ chối chấp nhận sự thoái lui này; họ khăng khăng đòi một thứ chắc chắn nội tại bảo đảm “sự tồn tại” của các đối tượng toán học mà họ nghiên cứu. Họ không có phản đối nghiêm túc nào đối với việc từ bỏ trực giác không gian, vì các “mô hình” số học cho phép họ nấp sau khái niệm trực giác về các số nguyên. Nhưng sự đối lập không thể hòa giải nảy sinh quanh vấn đề quy khái niệm số nguyên về khái niệm tập hợp (vốn kém rõ ràng hơn nhiều về mặt trực giác), rồi dựng lên những rào cản, không có nền tảng trực giác, đối với việc thao tác các tập hợp. Người đầu tiên nêu lên sự đối lập này (và là người có ảnh hưởng nhất, do uy tín thiên tài của ông) là H. Poincaré. Sau khi chấp nhận không chỉ quan điểm tiên đề đối với hình học và sự số học hóa của giải tích mà cả một phần đáng kể lý thuyết của Cantor, ông từ chối xem rằng số học cũng có thể chịu sự xử lý tiên đề. Nguyên lý quy nạp toán học, đặc biệt, trong mắt ông là một trực giác cơ bản của trí tuệ chúng ta và không thể được xem thuần túy như một quy ước [^68] [33 c]. Về nguyên tắc, ông phản đối các ngôn ngữ hình thức hóa, mà ông tranh cãi về tính hữu ích của chúng, và dễ lẫn lộn khái niệm số nguyên trong toán học hình thức hóa với việc sử dụng số nguyên trong lý thuyết chứng minh (lúc đó mới hình thành và chúng ta sẽ nói tới sau). Chắc chắn khi ấy không dễ phân biệt điều này chính xác như ngày nay chúng ta làm — sau hơn năm mươi năm nghiên cứu và thảo luận — mặc dù sự phân biệt ấy đã được những người như Hilbert và Russell nắm bắt rõ ràng.

Những lời chỉ trích kiểu này tăng lên sau khi Zermelo đưa vào tiên đề chọn năm 1904 [36 a]. Việc sử dụng nó trong nhiều chứng minh trước đó ở giải tích và lý thuyết tập hợp từ bấy giờ hầu như không được chú ý [^69], và chính bằng cách theo đuổi một ý tưởng do Erhard Schmidt gợi ý mà Zermelo, nêu tường minh tiên đề này (và dưới hai dạng được nêu trong Bản tóm tắt kết quả, § 4, no. 10), suy ra bằng một phương pháp khéo léo (mà về thực chất chúng tôi đã trình bày lại trong Chương III, § 2) một chứng minh thỏa đáng về sự tồn tại của một thứ tự tốt trên bất kỳ tập hợp nào. Có vẻ như, do xuất hiện đúng vào cùng thời điểm với các “nghịch lý”, phương pháp lập luận mới này, với vẻ ngoài xa lạ của nó, đã gây bối rối cho nhiều nhà toán học; chỉ cần đọc những ngộ nhận kỳ lạ nảy sinh trong liên hệ này, trong tập tiếp theo của Mathematische Annalen, bởi những tác giả quen thuộc với các phương pháp của Cantor như Schoenflies và F. Bernstein. Những lời phê bình của E. Borel, được công bố trong cùng tập đó, có nhiều nội dung hơn và phản ánh rõ ràng quan điểm của Poincaré về các số nguyên; chúng đã được triển khai và bàn luận trong một cuộc trao đổi thư từ giữa E. Borel, Baire, Hadamard, và Lebesgue, đã trở thành một kinh điển của truyền thống toán học Pháp [35]. Borel bắt đầu bằng cách phủ nhận tính hợp lệ của tiên đề chọn vì nói chung nó liên quan đến một vô hạn không đếm được các lựa chọn, điều này không thể hình dung một cách trực quan. Nhưng Hadamard và Lebesgue nhận thấy rằng một vô hạn đếm được các lựa chọn tùy ý liên tiếp cũng không trực quan hơn, vì nó liên quan đến một số vô hạn các phép toán, mà không thể quan niệm là được thực hiện thực sự. Theo quan điểm của Lebesgue, người đã mở rộng cuộc tranh luận, mọi sự đều phụ thuộc vào điều được hiểu bởi mệnh đề rằng một đối tượng toán học “tồn tại”; đối với ông, cần phải “nêu tên” một cách tường minh một tính chất (chúng ta nên nói là một tính chất “phiếm hàm”) xác định duy nhất đối tượng đó. Một hàm như hàm được Zermelo dùng trong chứng minh của ông là cái mà Lebesgue gọi là một “luật” chọn. Nếu điều đó không được thỏa mãn, và chúng ta chỉ “xét” hàm này thay vì “nêu tên” nó, thì liệu chúng ta có thể chắc chắn rằng trong suốt lập luận của chúng ta ta luôn đang xét cùng một hàm hay không? ([35], p. 267) Sự cân nhắc này dẫn Lebesgue đến những hoài nghi mới: ngay cả việc chọn một phần tử duy nhất trong một tập hợp dường như cũng nảy sinh khó khăn; cần phải chắc chắn rằng một phần tử như vậy “tồn tại”, tức là ít nhất một phần tử của tập hợp có thể được “nêu tên” [^70]. Vậy thì chúng ta có thể nói về “sự tồn tại” của một tập hợp nếu không thể “nêu tên” mọi phần tử của nó hay không? Baire không ngần ngại phủ nhận “sự tồn tại” của tập các tập con của một tập vô hạn đã cho (loc. cit., pp. 263-264); Hadamard đã nhận thấy vô ích rằng những hạn chế này sẽ dẫn tới việc từ bỏ ngay cả quyền nói về tập số thực, và cuối cùng E. Borel cũng đi đến kết luận này. Ngoài việc dường như các tập đếm được đã được trao quyền công dân, chúng ta hầu như đã quay trở lại lập trường cổ điển của những người phản đối “vô hạn thực tại”.

Không một phản đối nào trong số này có tính hệ thống thật sự; phải đợi đến Brouwer và trường phái của ông mới tiến hành một sự tái cấu trúc đầy đủ của toán học theo những đường lối tương tự nhưng còn triệt để hơn. Ở đây chúng tôi sẽ không dám tóm lược một học thuyết phức tạp như trực giác luận, vốn vừa là triết học vừa là toán học, và chúng tôi sẽ chỉ nêu ra một vài nét nổi bật nhất của nó, còn để biết thêm chi tiết xin xem các công trình của chính Brouwer [38] và trình bày của Heyting [46]. Theo Brouwer, toán học đồng nhất với phần “chính xác” của tư duy chúng ta, được đặt nền trên trực giác sơ khởi về dãy số tự nhiên, và không thể được dịch sang một hệ hình thức mà không bị cắt xén. Hơn nữa, nó chỉ “chính xác” trong tâm trí các nhà toán học, và hy vọng xây dựng một công cụ giao tiếp giữa các nhà toán học mà không có mọi khiếm khuyết và mơ hồ của ngôn ngữ là ảo tưởng; nhiều nhất chỉ có thể hy vọng khơi dậy nơi người đối thoại một trạng thái tinh thần thuận lợi cho những mô tả ít nhiều mơ hồ ([46], pp. 11-13). Toán học trực giác hầu như không coi logic quan trọng hơn ngôn ngữ; một chứng minh có tính thuyết phục không phải nhờ các quy tắc logic, đã được ấn định một lần cho mãi mãi, mà nhờ “tính tự hiển nhiên ngay lập tức” của từng bước của nó. “Tính tự hiển nhiên” này hơn nữa còn phải được hiểu theo một nghĩa thậm chí hạn hẹp hơn nghĩa của E. Borel và các người ủng hộ ông; vì vậy trong toán học trực giác, chúng ta không được khẳng định rằng một quan hệ có dạng “$R$ or (not $R$)” là đúng (nguyên lý loại trừ trung gian) trừ khi, với mọi hệ giá trị được gán cho các biến xuất hiện trong $R$, chúng ta có thể chứng minh rằng một trong hai mệnh đề $R$, “not $R$” là đúng. Chẳng hạn, từ phương trình $ab=0$ giữa hai số thực, chúng ta không được suy ra “$a=0$ or $b=0$”, vì dễ dàng xây dựng các ví dụ tường minh về các số thực $a,b$ sao cho ta có $ab=0$ mà hiện tại vẫn chưa thể chứng minh được một trong hai mệnh đề $a=0,b=0$ ([36], p. 21).

Hẳn không có gì đáng ngạc nhiên khi các nhà toán học trực giác, khởi đi từ những nguyên lý như thế, đã đi tới những kết quả hoàn toàn khác với các định lý cổ điển. Một số lượng lớn các định lý sau đã biến mất, chẳng hạn phần lớn các định lý “tồn tại” của giải tích (như các định lý của Bolzano và Weierstrass về hàm thực); nếu một hàm của một biến thực “tồn tại” theo nghĩa trực giác, thì nó ipso facto liên tục, và một dãy số thực đơn điệu bị chặn không nhất thiết có giới hạn. Hơn nữa, nhiều khái niệm cổ điển phân nhánh thành vài khái niệm khác nhau về căn bản trong toán học trực giác. Vì vậy có hai khái niệm về sự hội tụ (đối với một dãy số thực) và tám khái niệm về tính đếm được. Khỏi cần nói rằng quy nạp siêu hạn và các ứng dụng của nó vào giải tích hiện đại, cũng như phần lớn lý thuyết của Cantor, đều bị kết án không thể kháng cáo.

Theo Brouwer, chỉ theo cách này thì các mệnh đề toán học mới có thể có được một “nội dung”; những lập luận hình thức đi quá những gì được chấp nhận bởi trực giác chủ nghĩa bị xem là vô giá trị, vì không thể gán cho chúng một “ý nghĩa” mà khái niệm trực giác về “chân lý” có thể được áp dụng. Rõ ràng, những phán đoán như thế chỉ có thể dựa trên một khái niệm “chân lý” có trước, mang tính tâm lý hoặc siêu hình; nói cách khác, trong thực hành, chúng nằm ngoài mọi bàn cãi.

Dĩ nhiên, những cuộc công kích quyết liệt từ phe trực giác đôi khi đã buộc không chỉ các trường phái toán học tiên phong, mà cả những người theo toán học truyền thống, phải ở thế phòng thủ. Một nhà toán học nổi tiếng đã thừa nhận rằng mình bị những cuộc công kích ấy gây ấn tượng đến mức tự nguyện giới hạn công trình của mình vào những ngành toán học được xem là “chắc chắn”. Nhưng những trường hợp như vậy hẳn là khá hiếm. Trường phái trực giác, mà ký ức về nó hẳn sẽ chỉ còn sống như một sự hiếu kỳ lịch sử, ít nhất đã có công buộc các đối thủ của nó, tức đại đa số các nhà toán học, phải làm sáng tỏ lập trường của chính mình và ý thức rõ hơn về những lý do (dù lôgic hay tình cảm) cho niềm tin của họ vào toán học.

Siêu toán học

Không mâu thuẫn từ lâu đã được xem là một điều kiện tiên quyết của toàn bộ toán học, và từ thời Aristotle lôgic đã phát triển đủ để người ta nhận ra rằng từ một lý thuyết mâu thuẫn có thể suy ra bất cứ điều gì. Các chứng minh “tồn tại”, vốn đã được xem là không thể thiếu từ thời cổ đại, rõ ràng chỉ nhằm bảo đảm rằng việc đưa vào một khái niệm mới không có nguy cơ kéo theo mâu thuẫn, nhất là nếu khái niệm ấy quá phức tạp để có thể ngay lập tức rơi vào “trực giác”. Ta đã thấy nhu cầu này về một chứng minh phi mâu thuẫn trở nên cấp bách hơn như thế nào với sự xuất hiện của quan điểm tiên đề trong thế kỷ XIX, và việc xây dựng các “mô hình” số học đã đáp ứng nó ra sao. Nhưng liệu bản thân số học có thể mâu thuẫn chăng? Một câu hỏi như thế không thể được đặt ra trước cuối thế kỷ XIX; các số nguyên dường như thuộc về điều chắc chắn nhất trong trực giác của chúng ta đến mức như vậy. Nhưng sau những “nghịch lý” thì mọi thứ dường như đều đáng ngờ, và cảm giác bất an mà chúng tạo ra, một cách dễ hiểu, đã khiến các nhà toán học, vào khoảng năm 1900, xem xét kỹ hơn vấn đề tính nhất quán của số học, để cứu ít nhất toán học cổ điển khỏi đắm chìm. Vì vậy, vấn đề này là vấn đề thứ hai trong số những vấn đề Hilbert liệt kê trong bài diễn văn nổi tiếng của ông tại Đại hội Quốc tế năm 1900 ([31], pp. 229-301).

Khi làm như vậy, ông đã nêu ra một nguyên lý mới, nguyên lý này sẽ gây ấn tượng sâu sắc. Trong khi, trong lôgic truyền thống, tính không mâu thuẫn của một khái niệm chỉ làm cho khái niệm ấy trở nên “có thể”, thì đối với Hilbert nó tương đương với sự tồn tại của khái niệm (ít nhất khi nói đến các khái niệm toán học được định nghĩa tiên đề). Quan điểm này dường như kéo theo sự cần thiết phải chứng minh a priori tính nhất quán của một lý thuyết toán học trước khi thậm chí có thể phát triển lý thuyết ấy một cách hợp thức; chắc chắn đó là cách mà nguyên lý này được H. Poincaré hiểu, người đã nắm lấy ý tưởng của Hilbert như một cây gậy thuận tiện để đả kích những người theo chủ nghĩa hình thức, bằng cách chỉ ra với sự hài lòng ác ý rằng vào thời kỳ này những người theo chủ nghĩa hình thức còn xa mới có thể thỏa mãn điều kiện này ([33 c], p. 163). Sau này ta sẽ thấy Hilbert đã đáp lại thách thức này như thế nào. Nhưng trước hết, cần lưu ý rằng, dưới ảnh hưởng của ông và của Poincaré, những đòi hỏi do người sau nêu ra đã được chấp nhận không dè dặt trong một thời gian dài, cả bởi những người theo chủ nghĩa hình thức lẫn bởi các đối thủ của họ. Một hệ quả là niềm tin, vốn rất phổ biến ngay cả trong giới hình thức, rằng lý thuyết chứng minh của Hilbert là một bộ phận hữu cơ của toán học, và tạo thành một lời dẫn nhập không thể thiếu cho chính toán học. Trong Lời nói đầu chúng tôi đã giải thích vì sao giáo điều này đối với chúng tôi có vẻ không có cơ sở [^71], và chúng tôi cho rằng vai trò của siêu toán học trong một trình bày về lôgic và toán học có thể và nên chỉ bị giới hạn ở phần rất sơ cấp xử lý việc thao tác các ký hiệu viết tắt và các tiêu chuẩn suy diễn. Trái với điều Poincaré khẳng định, như vậy không phải là vấn đề “đòi hỏi thoát khỏi mâu thuẫn”, mà đúng hơn là xét rằng, như Hadamard đã làm, tính nhất quán, ngay cả khi không thể chứng minh, vẫn có thể được xác nhận ([35], p. 270).

Còn lại cho chúng ta là phác họa ngắn gọn lịch sử những nỗ lực của Hilbert và trường phái của ông. Tuy lý thuyết chứng minh không được đề cập trong bộ này, nhưng cũng không phải là không thú vị khi phác lại đại cương không chỉ sự tiến triển của các ý tưởng cuối cùng dẫn tới kết quả phủ định của Gödel và biện minh a posteriori cho sự hoài nghi của Hadamard, mà còn toàn bộ những tiến bộ đã dẫn tới sự hiểu biết cơ chế của lập luận toán học, và đã nâng siêu toán học hiện đại lên vị thế của một khoa học tự trị có tầm quan trọng không thể phủ nhận.

Năm 1904, trong một bài diễn thuyết tại Đại hội Quốc tế ([30], pp. 247-261), Hilbert đã đặt ra bài toán tính không mâu thuẫn của số học. Trước hết, ông chứng minh rằng không thể có được một chứng minh tính không mâu thuẫn bằng cách viện đến một “mô hình” [^72], và ông đã phác ra đại cương nguyên lý của một phương pháp khác. Ông đề nghị xem các mệnh đề đúng của số học hình thức hóa như những dãy ký hiệu không mang ý nghĩa nào và chỉ ra rằng, bằng cách dùng các quy tắc chi phối sự hình thành và sự ghép đặt của các dãy ký hiệu ấy, không bao giờ có thể thu được một dãy ký hiệu vừa là một mệnh đề đúng lại vừa có phủ định của nó cũng là một mệnh đề đúng. Ông phác thảo một chứng minh kiểu này cho một hình thức luận ít phức tạp hơn số học; nhưng, như H. Poincaré đã nhận xét không lâu sau đó ([33 c], p. 185), chứng minh này đã sử dụng một cách cốt yếu nguyên lý quy nạp, và vì thế dường như dựa trên một vòng luẩn quẩn. Hilbert không trả lời ngay lời phê bình này, và mười lăm năm trôi qua trước khi có ai thử phát triển các ý tưởng của ông. Chỉ đến năm 1917, ông mới lại dành mình cho bài toán nền móng của toán học, do mong muốn đáp lại các cuộc công kích của các nhà trực giác luận, và từ đó về sau nó liên tục chiếm giữ ông cho đến cuối sự nghiệp khoa học của ông. Trong công trình về chủ đề này, kéo dài từ 1920 đến khoảng 1930, và trong đó cả một trường phái các nhà toán học trẻ (Ackermann, Bernays, Herbrand, von Neumann) tham gia tích cực, Hilbert dần dần rút ra các nguyên lý của “lý thuyết chứng minh” của mình một cách chính xác hơn. Nhận rõ ngầm tính đúng đắn của lời phê bình của Poincaré, ông thừa nhận rằng trong siêu toán học, các lập luận số học được dùng chỉ có thể dựa trên trực giác của chúng ta về các số nguyên (và không dựa trên số học hình thức hóa). Vì vậy dường như cần thiết phải hạn chế các lập luận ấy vào những “thủ tục hữu hạn” (finte Prozesse) thuộc loại được các nhà trực giác luận cho phép. Chẳng hạn, một chứng minh bằng reductio ad absurdum không thể thiết lập sự tồn tại siêu toán học của một dãy ký hiệu hay một dãy các dãy ký hiệu; cần phải cho một luật dựng tường minh [^73]. Hơn nữa, Hilbert đã mở rộng chương trình ban đầu của mình theo hai hướng; ông không những tấn công bài toán tính không mâu thuẫn của số học, mà còn hy vọng chứng minh tính không mâu thuẫn của lý thuyết số thực và thậm chí của lý thuyết tập hợp [^74]. Ngoài các bài toán về tính không mâu thuẫn, còn có các bài toán về tính độc lập của các tiên đề, về tính phân loại, và bài toán quyết định. Chúng tôi sẽ điểm qua ngắn gọn các câu hỏi khác nhau này và nêu những nghiên cứu chủ yếu mà chúng đã gợi ra.

Một chứng minh về tính độc lập của một hệ các mệnh đề $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ gồm ở chỗ chỉ ra rằng, với mỗi chỉ số $i$, $A_i$ không phải là một định lý trong lý thuyết $\mathscr{T}_i$ thu được bằng cách lấy các $A_j$ với $j \neq i$ làm tiên đề. Ta chỉ cần tìm một lý thuyết không mâu thuẫn $\mathscr{T}'_i$ trong đó các $A_j$ $(j \neq i)$ là các định lý, cùng với "không phải $A_i$"; vì thế ta có thể xét bài toán dưới hai khía cạnh tùy theo ta có hay không giả sử rằng một số lý thuyết (như số học hay lý thuyết tập hợp) là không mâu thuẫn. Trong trường hợp sau, ta có một bài toán về tính không mâu thuẫn “tuyệt đối”. Ngược lại, kiểu bài toán thứ nhất được giải quyết, cũng như các bài toán về tính không mâu thuẫn “tương đối”, bằng việc xây dựng các “mô hình” thích hợp, và nhiều chứng minh loại này đã được nghĩ ra từ lâu trước khi toán học mang một diện mạo hoàn toàn hình thức hóa. Ta có thể nêu làm ví dụ các mô hình của hình học phi Euclid, các câu hỏi về tính độc lập của các tiên đề của hình học sơ cấp được Hilbert xét trong Grundlagen der Geometrie [30], công trình của Steinitz về tiên đề hóa đại số, và công trình của Hausdorff cùng những người kế tục ông về tiên đề hóa tôpô.

Một lý thuyết $\mathscr{T}$ được gọi là phân loại nếu, với mọi mệnh đề A trong $\mathscr{T}$ không chứa chữ nào khác ngoài các hằng của $\mathscr{T}$, một trong hai mệnh đề A, (không phải A) là một định lý trong $\mathscr{T}$ [^75]. Ngoài một ít hình thức luận rất sơ đẳng mà tính phân loại của nó dễ dàng được chứng minh ([32], p. 35; cf. Chương I, Phụ lục, Bài tập 7), các kết quả thu được trong lĩnh vực này về cơ bản là phủ định. Quan trọng nhất là của K. Gödel, người đã chỉ ra rằng nếu $\mathscr{T}$ không mâu thuẫn và nếu các tiên đề của số học hình thức hóa là các định lý trong $\mathscr{T}$, thì $\mathscr{T}$ không phân loại. Ý tưởng cơ bản của phương pháp tài tình của ông nằm ở việc thiết lập một sự tương ứng một-một (dĩ nhiên, bằng các “thủ tục hữu hạn”) giữa các phát biểu siêu toán học và một số mệnh đề của số học hình thức hóa. Ở đây chúng tôi chỉ phác họa đại cương của lập luận [^76]. Với mỗi dãy ký hiệu A là một số hạng hay một quan hệ trong $\mathscr{T}$, ta gán (bằng một thủ tục dựng tường minh có thể được áp dụng gần như máy móc) một số nguyên $g(A)$ theo tương ứng một-một. Tương tự, với mỗi chứng minh D trong $\mathscr{T}$ (xét như một sự kế tiếp của các dãy ký hiệu; cf. Chương I, § 2, no. 2) ta có thể gán một số nguyên $h(D)$ theo tương ứng một-một. Sau cùng, ta có thể cho một thủ tục tường minh để dựng một quan hệ $P\{x,y,z\}$ trong $\mathscr{T}$ [^77] sao cho, trong $\mathscr{T}$, $P\{x,y,z\}$ suy ra rằng $x,y,z$ là các số nguyên, và thỏa mãn hai điều kiện sau :

(1) Nếu D là một chứng minh của $A\{\lambda\}$, trong đó $A\{x\}$ là một quan hệ trong $\mathscr{T}$, và $\lambda$ là một số nguyên xác định (tức là một số hạng trong $\mathscr{T}$ là một số nguyên), thì

là một định lý trong $\mathscr{T}$.

(2) Nếu số nguyên xác định $\mu$ không có dạng $h(D)$, hoặc nếu $\mu=h(D)$ và D không phải là một chứng minh $A\{\lambda\}$, thì (not $P\{\lambda,g(A\{x\}),\mu\}$) là một định lý trong $\mathscr{T}$.

Bây giờ hãy để $S\{x\}$ là quan hệ (not $(\exists z)P\{x,x,z\}$), và để $\gamma=g(S\{x\})$, vốn là một số hạng trong $\mathscr{T}$. Nếu $\mathscr{T}$ không mâu thuẫn, thì không có chứng minh nào của mệnh đề $S\{\gamma\}$ trong $\mathscr{T}$. Vì nếu D là một chứng minh như thế, thì

sẽ là một định lý trong $\mathscr{T}$. Quan hệ này chính là $P\{\gamma,\gamma,h(D)\}$, và do đó $(\exists z)P\{\gamma,\gamma,z\}$ cũng sẽ là một định lý trong $\mathscr{T}$; nhưng vì quan hệ cuối cùng này tương đương với (not $S\{\gamma\}$), nên $\mathscr{T}$ sẽ mâu thuẫn. Hơn nữa, điều vừa nói cho thấy rằng, với mỗi số nguyên xác định $\mu$, (not $P\{\gamma,\gamma,\mu\}$) là một định lý trong $\mathscr{T}$. Suy ra rằng không có chứng minh nào trong $\mathscr{T}$ của mệnh đề (not $S\{\gamma\}$), vì quan hệ này tương đương với $(\exists z)P\{\gamma,\gamma,z\}$, và sự tồn tại của một số nguyên $\mu$ sao cho $P\{\gamma,\gamma,\mu\}$ sẽ kéo theo rằng $\mathscr{T}$ mâu thuẫn, do nhờ lập luận trên [^78]. Định lý siêu toán học này của Gödel sau đó đã được khái quát hóa theo nhiều hướng khác nhau ([48], Chương XI) [^79].

¶ Quan hệ $S \{ \gamma \}$ trong $\mathscr{T}$, như vậy đã được chỉ ra là có tính chất không có chứng minh nào trong $\mathscr{T}$, dù là của nó hay của phủ định của nó, hiển nhiên đã được chế tạo để phù hợp với các yêu cầu của lập luận và không liên quan theo bất kỳ cách tự nhiên nào đến một bài toán toán học nào. Điều thú vị hơn nhiều là sự kiện rằng, nếu $\mathscr{T}$ ký hiệu lý thuyết tập hợp (với hệ tiên đề của von Neumann-Bernays), thì cả giả thuyết continuum lẫn phủ định của nó đều không thể chứng minh được trong $\mathscr{T}$. Kết quả đáng chú ý này đã được thiết lập qua hai bước : năm 1940, Gödel đã chứng minh rằng lý thuyết thu được bằng cách thêm vào $\mathscr{T}$ giả thiết $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ là không mâu thuẫn [44b]; và khá gần đây. P. Cohen đã chứng minh rằng điều tương tự xảy ra khi quan hệ $2^{\aleph_0} = \aleph_2$ (hoặc $2^{\aleph_0} = \aleph_n$ đối với bất kỳ số nguyên $n > 1$ nào) được thêm vào $\mathscr{T}$ [49].

Bài toán quyết định (Entscheidungsproblem) chắc chắn là tham vọng nhất trong tất cả các bài toán của siêu toán học. Bài toán là: đối với một ngôn ngữ hình thức cho trước, có thể hình dung một "quy trình phổ quát" gần như cơ học hay không, sao cho khi áp dụng cho bất kỳ quan hệ nào trong hệ hình thức đang xét, nó sẽ cho biết trong một số hữu hạn thao tác liệu quan hệ đó đúng hay không. Việc giải bài toán này từng là một phần đáng kể trong những dự án lớn của Leibniz, và dường như vào một thời điểm nào đó trường phái Hilbert đã tin rằng họ ở rất gần một lời giải. Thực tế là có thể mô tả những quy trình như thế cho các hệ hình thức chứa ít ký hiệu nguyên thủy và tiên đề ([48], pp. 136-141; cf. Chương I, Phụ lục, Bài tập 7). Nhưng các nỗ lực làm chính xác bài toán quyết định bằng cách định nghĩa chính xác phải hiểu thế nào là "quy trình phổ quát" cho đến nay chỉ dẫn tới các kết quả phủ định ([48], pp. 432-439). Hơn nữa, lời giải của bài toán quyết định cho một lý thuyết $\mathscr{T}$ sẽ cho biết ngay lập tức $\mathscr{T}$ có mâu thuẫn hay không, vì "quy trình phổ quát" có thể được áp dụng cho một quan hệ trong $\mathscr{T}$ và phủ định của nó; và, như ta sẽ thấy, khả năng giải quyết câu hỏi theo cách này bị loại trừ, xét đối với các lý thuyết toán học thông thường [^80].[^80] Thực ra, chính trong câu hỏi về tính nhất quán của các lý thuyết toán học — nguồn gốc và chính trái tim của toán học — mà các kết quả đã hóa ra là đánh lừa nhất. Trong những năm 1920-1930, Hilbert và trường phái của ông đã phát triển những phương pháp mới để tấn công các vấn đề này. Sau khi chứng minh tính nhất quán của một số hệ hình thức bộ phận, bao trùm một phần số học (cf. [42], [43 c]), họ nghĩ rằng mình đang ở sát mép chiến thắng và rằng họ sẽ thành công trong việc chứng minh tính nhất quán không chỉ của số học mà còn của lý thuyết tập hợp, thì Gödel đã dùng tính không phân loại của số học để suy ra rằng không thể chứng minh, bằng các "thủ tục hữu hạn" của Hilbert, tính nhất quán của bất kỳ lý thuyết E nào chứa số học [^81].[^81] Tuy nhiên, định lý của Gödel không hoàn toàn khép lại mọi nỗ lực chứng minh tính nhất quán, với điều kiện là các hạn chế của Hilbert liên quan đến "thủ tục hữu hạn" được từ bỏ (ít nhất là một phần). Vì vậy, năm 1936, Gentzen [47] đã thành công trong việc chứng minh tính nhất quán của số học hình thức bằng cách sử dụng "trực giác" quy nạp siêu hạn cho tới thứ tự đếm được $\varepsilon_0$ (Chương III, § 6, Bài tập 14) [^82].[^82] Mức độ "chắc chắn" có thể gán cho một lập luận như thế chắc chắn thấp hơn so với những lập luận thỏa mãn các hạn chế nguyên thủy của Hilbert, và về thực chất là một vấn đề tùy thuộc vào tâm lý cá nhân của từng nhà toán học. Nhưng cũng không kém phần đúng là những "chứng minh" tương tự, dùng quy nạp siêu hạn "trực giác" đến một thứ tự nào đó cho trước, sẽ được coi là một bước tiến quan trọng nếu chúng có thể được áp dụng, chẳng hạn, cho lý thuyết số thực hoặc cho một phần quan trọng của lý thuyết tập hợp.

Furthermore, trong bản thân lý thuyết tập hợp còn có nhiều vấn đề về tính nhất quán "tương đối" liên thông với nhiều "giả thiết" rộng rãi trong lý thuyết. Kết quả đáng chú ý nhất trong lĩnh vực này lại là của Gödel. Năm 1940, ông đã chứng minh rằng, nếu lý thuyết mà các tiên đề của nó là các tiên đề của hệ von Neumann-Bernays, trừ tiên đề lựa chọn, là nhất quán, thì lý thuyết thu được bằng cách thêm vào các tiên đề ấy một dạng rất mạnh của tiên đề lựa chọn (thuộc kiểu mà việc dùng ký hiệu $\tau$ cho ta) và giả thiết liên tục tổng quát cũng là nhất quán [44 b]. Gần đây hơn, I. Novak-Gal đã chỉ ra rằng tính nhất quán của hệ Zermelo-Fraenkel kéo theo tính nhất quán của hệ von Neumann-Bernays-Gödel [^83].

Thư mục

1. O. Neugebauer, Vorlesungen über die Geschichte der antiken Mathematik, Vol. I, Vorgriechische Mathematik, Berlin (Springer), 1934.

2. The Works of Aristotle, translated under the editorship of J. A. Smith and W. D. Ross (12 volumes, Oxford, 1908-1952).

2 (bis). T. L. Heath, Mathematics in Aristotle, Oxford (Clarendon Press), 1949.

3. T. L. Heath, The Thirteen Books of Euclid's Elements..., 3 volumes, Cambridge, 1908.

4. Archimedis Opera Omnia, 3 volumes, edited by J. L. Heiberg, 2nd edition, 1913-1915.

4 (bis). T. L. Heath, The Method of Archimedes, Cambridge, 1912.

5. J. M. Bochenski, Ancient Formal Logic, Studies in Logic, Amsterdam (North Holland Publ. Co.), 1951.

6. P. Böhner, Medieval Logic, an Outline of its Development from 1250 to ca. 1400, Chicago, 1952.

7. D. Francisci Maurolyci, Abbatis Messamensis, Mathematici Celeberrimi, Arithmeticorum Libri Duo, Venice, 1575.

8. Galileo Galilei, Opere, Ristampa della Edizione Nazionale, 20 volumes, Florence (Barbara), 1929-39.

9. A. GIRARD, Invention nouvelle en l'Algèbre, 1629 (new edition, Bierens de Haan, 1884). 10. R. DESCARTES, Œuvres, edited by C. Adam and P. Tannery, 11 volumes, Paris (L. Cerf), 1897-1909. 11. B. PASCAL, Œuvres, edited by Brunschvicg, 14 volumes, Paris (Hachette), 1904-1914. 12. G. W. LEIBNIZ : (a) Mathematische Schriften, edited by C. I. Gerhardt, 7 volumes, Berlin-Halle (Asher-Schmidt), 1849-1863; (b) Philosophische Schriften, edited by C. I. Gerhardt, 7 volumes, Berlin, 1840-1890; (c) Opuscules et fragments inédits, edited by L. Couturat, Paris (Alcan), 1903. 12 (bis). L. COUTURAT, La logique de Leibniz d'après des documents inédits, Paris (Alcan), 1901. 13. D'ALEMBERT, Encyclopédie, Paris, 1751-1765, articles "Négatif", "Imaginaire", "Définition". 14. C. F. GAUSS, Werke, 12 volumes, Göttingen, 1870-1927. 15. N. LOBATSCHEVSKY, Pangeometrie, Ostwald's Klassiker, no. 130, Leipzig (Engelmann), 1902. 16. G. BOOLE : (a) The Mathematical Analysis of Logic, Cambridge-London, 1847 (= Collected Logical Works, edited by P. Jourdain, Chicago-London, 1916, vol. I); (b) An Investigation of the Laws of Thought, Cambridge-London, 1854 (= Collected Logical Works, vol. II). 17. H. GRASSMANN, Gesammelte Werke, 6 volumes, Leipzig (Teubner), 1894. 18. B. BOLZANO, Paradoxien des Unendlichen, Leipzig, 1851. 19. B. RIEMANN, Gesammelte mathematische Werke, 2nd edition, Leipzig (Teubner), 1892. 20. H. HANKEL, Theorie der complexen Zahlensysteme, Leipzig (Voss), 1867. 21. A. DE MORGAN : (a) "On the syllogism (III)", Trans. Camb. Phil. Soc., 10 (1858), pp. 173-230; (b) "On the syllogism (IV) and on the logic of relations", Trans. Camb. Phil. Soc., 10 (1860) pp. 331-358. 22. C. S. PEIRCE, (a) "Upon the logic of mathematics", Proc. Amer. Acad. Arts and Sci., 7 (1865-1868), pp. 402-412; (b) "On the algebra of logic", Amer. Journ. of Math., 3 (1880), pp. 49-57; (c) "On the algebra of logic", Amer. Journ. of Math., 7 (1884), pp. 190-202. 23. E. SCHRÖDER, Vorlesungen über die Algebra der Logik, 3 volumes, Leipzig (Teubner), 1890. 24. G. FREGE, (a) Begriffsschrift eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle, 1879; (b) Die Grundlagen der Arithmetik, 2nd edition with an English translation by J. L. Austin, New York, 1950; (c) Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, 2 volumes, Jena, 1893-1903. 25. G. CANTOR, Gesammelte Abhandlungen, Berlin (Springer), 1932. 25 (bis). G. CANTOR, R. DEDEKIND, Briefwechsel, edited by J. Cavaillès and E. Noether, Act. Sci. et Ind., no. 518, Paris (Hermann), 1937.

26. R. DEDEKIND, Gesammelte mathematische Werke, 3 volumes, Braunschweig (Vieweg), 1932. 27. C. HERMITE, T. STIELTJES, Correspondance, 2 volumes, Paris (Gauthier-Villars), 1905. 28. M. PASCH und M. DEHN, Vorlesungen über neuere Geometrie, 2nd edition, Berlin, (Springer), 1926. 29. G. PEANO, (a) Arithmeticae principia, novo modo exposita, Turin, 1889; (b) I principii di Geometria, logicamente espositi, Turin, 1889; (c) Formulaire de Mathematiques, 5 volumes, Turin, 1895-1905. 30. D. HILBERT, Grundlagen der Geometrie, 7th edition, Leipzig-Berlin (Teubner), 1930. 31. D. HILBERT, Gesammelte Abhandlungen, vol. III, Berlin (Springer), 1935. 32. D. HILBERT, W. ACKERMANN, Grundzüge der theoretischen Logik, 3rd edition, Berlin (Springer), 1949. 33. H. POINCARÉ : (a) Science et hypothèse, Paris (Flammarion), 1906; (b) La valeur de la science, Paris (Flammarion), 1905; (c) Science et méthode, Paris (Flammarion), 1920. 34. J. RICHARD, "Les principes des mathématiques et le problème des ensembles", Rev. Gen. des Sci. Pures et Appl., 16 (1905), pp. 541-543. 35. R. BAIRE, E. BOREL, J. HADAMARD, H. LEBESGUE, "Cinq lettres sur la théorie des ensembles", Bull. Soc. Math. de France, 33 (1905), pp. 261-273. 36. E. ZERMELO, (a) "Beweis dass jede Menge wohlgeordnet werden kann", Math. Ann., 59 (1904), pp. 514-516; (b) "Neuer Beweis fur die Möglichkeit einer Wohlordnung", Math. Ann., 65 (1908), pp. 107-128; (c) "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre", Math. Ann., 65 (1908), pp. 261-281. 37. B. RUSSELL and A. N. WHITEHEAD, Principia Mathematica, 3 volumes, Cambridge, 1910-1913. 38. L. E. J. BROUWER, (a) "Intuitionism and formalism", Bull. Amer. Math. Soc., 20 (1913), pp. 81-96; (b) "Zur Begründung des intuitionistischen Mathematik", Math. Ann., 93 (1925), pp. 244-257; 95 (1926), pp. 453-473; 96 (1926), pp. 451-458. 39. T. SKOLEM, "Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre", Wiss. Vorträge, 5 Kongress Skand. Math., Helsingfors, 1922. 40. K. KURATOWSKI, "Une méthode d'élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques", Fund. Math., 5 (1922), pp. 76-108. 41. A. FRAENKEL : (a) "Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre", Math. Ann., 86 (1922), pp. 230-237; (b) Zehn Vorlesungen über die Grundlgaung der Mengenlehre, Wiss. und Hypothese vol. 31, Leipzig-Berlin, 1927; (c) Einleitung in die Mengenlehre, 3rd edition, Berlin (Springer), 1928.

42. J. HERBRAND, "Recherches sur la théorie de la démonstration", Trav. Soc. Sci. et Lett. Varsovie, cl. II (1930), pp. 33-160.

43. J. VON NEUMANN : (a) "Eine Axiomatisierung der Mengenlehre", Crelle, 154 (1925), pp. 219-240; (b) "Die Axiomatisierung der Mengenlehre", Math. Zeitschr., 27 (1928), pp. 669-752; (c) "Zur Hilbertschen Beweistheorie", Math. Zeitschr., 26 (1927), pp. 1-46.

44. K. GÖDEL : (a) "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme", Monatsh. für Math. u. Phys., 38 (1931), pp. 173-198; (b) The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis, Ann. of Math. Studies, no. 3, Princeton, 1940.

45. M. ZORN, "A remark on method in transfinite algebra", Bull. Amer. Math. Soc., 41 (1935), pp. 667-670.

46. A. HEYTING, Mathematische Grundlagenforschung. Intuitionismus. Beweistheorie, Ergebnisse der Math., vol. 3, Berlin (Springer), 1934.

47. G. GENTZEN, Die gegenwartige Lage in der mathematischen Grundlagenforschung. Neue Fassung des Widerspruchfreiheitsbeweises für die reine Zahlentheorie, Forschungen der Logik..., Heft 4, Leipzig (Hirzel), 1938.

48. S. KLEENE, Introduction to Metamathematics, New York, 1952.

49. P. J. COHEN, "The independence of the continuum hypothesis", Proc. Nat. Acad. Sci., 50 (1963), pp. 1143-1148 and 51 (1964), pp. 105-110.

[^1]: Đáng chú ý là Democritus, người mà Archimedes gán cho việc phát hiện ra công thức tính thể tích của một hình chóp ([4 bis], p. 13). Sự ám chỉ này nên được đối chiếu với một đoạn văn nổi tiếng được gán cho Democritus (nhưng tính xác thực đáng ngờ) trong đó ông tuyên bố : “không ai từng vượt qua tôi trong phép dựng các hình bằng các chứng minh, ngay cả người Ai Cập gọi là ‘harpedonaptes’” (H. Diels, Die Fragmente der Vorsokratiker, bản thứ 2, tập I, p. 439 và tập II.1, pp. 727-728, Berlin (Weidmann), 1906-1907). Nhận xét của Archimedes, và sự kiện rằng các văn bản Ai Cập đã truyền lại cho chúng ta không chứa chứng minh nào (theo nghĩa cổ điển), khiến chúng ta nghĩ rằng các “chứng minh” mà Democritus ám chỉ khi ấy không còn được coi là chứng minh trong thời kỳ cổ điển nữa, và ngày nay cũng sẽ không được coi như vậy. [^2]: Ví dụ cổ điển đẹp nhất của reductio ad absurdum trong toán học là chứng minh rằng $\sqrt{2}$ là vô tỉ, điều mà Aristotle ám chỉ trong nhiều dịp. Nhưng các chuyên gia đã không thành công trong việc xác định một niên đại chính xác cho phát hiện này; có người đặt nó vào đầu thế kỷ thứ năm TCN và có người lại đặt đúng vào cuối thế kỷ thứ năm TCN (xem Ghi chú lịch sử của Tôpô đại cương, Chương IV, và các tài liệu tham khảo ở đó). [^3]: Mặc dù các quy tắc lôgic do Aristotle phát biểu có vẻ đơn giản và “hiển nhiên” đối với chúng ta, chỉ cần đặt chúng vào bối cảnh lịch sử của chúng là ta có thể thấy được những khó khăn trên đường đi tới một quan niệm chính xác về các quy tắc ấy, và hiểu được nỗ lực mà hẳn Aristotle đã phải bỏ ra để vượt qua những khó khăn đó. Plato, trong các đối thoại của mình, vốn được viết cho một công chúng có học, cho các nhân vật của ông vướng vào những câu hỏi sơ đẳng như mối quan hệ giữa phủ định của $A \subset B$ và $A \cap B = \varnothing$ (theo ngôn ngữ hiện đại) trước khi đưa ra câu trả lời đúng (cf. R. Robinson, “Plato’s consciousness of fallacy”, Mind, vol. 51 (1942), pp. 97-114). [^4]: Các phát biểu tương ứng ở Aristotle là “mọi A đều là B” và “có một số A là B”. Trong ký hiệu này, A (chủ thể) và B (vị ngữ) biểu thị các khái niệm, và nói rằng “mọi A đều là B” có nghĩa là ta có thể gán khái niệm B cho mọi thực thể mà khái niệm A có thể được gán cho (A là khái niệm “người” và B là khái niệm “phàm nhân” trong các ví dụ cổ điển). Cách diễn giải mà chúng tôi đưa ra trong bộ này gồm việc xét các tập hợp những thực thể mà các khái niệm A và B lần lượt áp dụng cho; đó là quan điểm “ngoại diên” và Aristotle đã biết nó. Nhưng Aristotle xét quan hệ “mọi A là một B” từ một quan điểm khác, quan điểm “nội hàm”, trong đó B được xem như một trong những khái niệm theo một nghĩa nào đó cấu thành nên khái niệm phức tạp hơn A, hay như Aristotle nói, “thuộc” về A. Nhìn bề ngoài, hai quan điểm này dường như đều tự nhiên như nhau; nhưng quan điểm “nội hàm” đã là một nguồn gốc thường xuyên của khó khăn trong sự phát triển của lôgic (nó có vẻ xa trực giác hơn quan điểm trước, và khá dễ dẫn đến sai lầm, nhất là trong các sơ đồ có chứa phủ định; xem [12 bis], tr. 21-32).

[^5]: Để xem một bàn luận phê phán về tam đoạn luận và những thiếu sót của nó, chẳng hạn, xem [12 bis], tr. 432-441, hoặc [32], tr. 44-50.

[^6]: Việc vắng mặt các lượng từ thực sự (theo nghĩa hiện đại) cho đến cuối thế kỷ XIX là một trong những nguyên nhân của sự trì trệ của lôgic hình thức.

[^7]: Có thể nhắc rằng trong một bài giảng gần đây ở Princeton, người ta kể rằng một học giả danh tiếng đã nói trước mặt Gödel rằng từ thời Aristotle đến nay chẳng có gì mới được làm trong lôgic cả!

[^8]: Dĩ nhiên, Descartes và (ở mức độ thấp hơn) Pascal đã dành một phần các tác phẩm triết học của mình cho nền tảng của toán học, nhưng đóng góp của họ cho sự tiến bộ của lôgic hình thức là không đáng kể. Chắc chắn nguyên nhân của giới hạn này nằm ở khuynh hướng căn bản trong tư tưởng của họ, tức là giải phóng mình khỏi ách kinh viện, và điều đó dẫn họ đến chỗ bác bỏ mọi thứ gắn với triết học kinh viện, trước hết là lôgic hình thức. Trong Réflexions sur l’esprit géométrique, về thực chất Pascal chỉ giới hạn mình - như chính ông cũng nhận ra - ở việc đúc kết thành những công thức nổi bật các nguyên lý đã biết của các chứng minh của Euclid (chẳng hạn, mệnh lệnh nổi tiếng “Luôn luôn thay thế trong tâm trí các định nghĩa vào chỗ các điều được định nghĩa” ([11], t. IX, p. 280) trước đó đã được Aristotle biết đến ([2], Topics, VI, 4; [2 bis], p. 87)). Còn đối với Descartes, các quy tắc lập luận mà ông nêu ra, trước hết là những mệnh lệnh tâm lý (và khá mơ hồ) hơn là các tiêu chuẩn lôgic; và như Leibniz nói ([12 bis], tr. 94 và 202-203), do đó giá trị của chúng chỉ là chủ quan.

[^9]: Dĩ nhiên, ích lợi của một hệ ký hiệu như thế đã không thoát khỏi các tiền bối của Leibniz, xét về mặt toán học. Chẳng hạn, Descartes đã khuyên thay thế các hình trọn vẹn “bằng những ký hiệu rất ngắn” (XVI^e Règle pour la direction de l’esprit; [10], t. X, p. 454). Nhưng trước Leibniz, không ai đã nhấn mạnh mạnh mẽ đến như vậy về phạm vi áp dụng phổ quát của nguyên lý này.

[^10]: Thật đáng chú ý là Leibniz nêu, như những ví dụ về lập luận “hình thức”, “un compte de receveur” hoặc thậm chí một văn bản pháp lý ([12 b], t. IV, p. 295).

[^11]: Quan niệm này về một “cỗ máy lôgic” ngày nay được dùng trong siêu toán học với hiệu quả lớn ([48], Chương VIII).

[^12]: Ý tưởng này đã được Gödel tiếp nhận thành công, dưới một dạng hơi khác, trong các công trình siêu toán học của ông (xem [44a] và [48], p. 254).

[^13]: Leibniz không tìm cách đưa phép tuyển vào phép tính của mình, trừ trong một hay hai mảnh rời rạc (ở đó nó được ký hiệu bằng $\mathrm{A} + \mathrm{B}$), và dường như đã không thành công trong việc xử lý đồng thời phép toán này và phép hội một cách thỏa đáng ([12 bis], p. 363).

[^14]: Leibniz hiểu rất rõ rằng lôgic Aristotle là không đủ để chuyển các văn bản toán học sang ngôn ngữ hình thức, nhưng bất chấp nhiều cố gắng ông chưa bao giờ thành công trong việc cải tiến nó về mặt này ([12 bis], tr. 435 và 560).

[^15]: Đây là những cái gọi là “các quy tắc chuyển đổi”, dựa trên tiền đề rằng “mọi A đều là B” suy ra “có một số A là B”, điều này dĩ nhiên giả thiết rằng A không rỗng.

[^16]: Ảnh hưởng của Kant, từ giữa thế kỷ XVIII trở đi, chắc chắn một phần chịu trách nhiệm cho việc thiếu quan tâm đối với lôgic hình thức trong thời kỳ này. Kant cho rằng “chúng ta không cần bất kỳ phát minh mới nào trong lôgic”, vì dạng do Aristotle đặt ra là đủ cho mọi ứng dụng có thể có (Werke, t. VIII, Berlin (B. Cassirer), 1923, p. 340). Về các quan niệm giáo điều của Kant đối với toán học và lôgic, xem bài của L. Couturat, Revue de Métaph. et de Morale, t. 12 (1904) tr. 321-383.

[^17]: Lưu ý đặc biệt rằng Boole dùng tính phân phối của giao đối với hợp, điều dường như lần đầu tiên được J. Lambert nhận thấy.

[^18]: Cần lưu ý rằng những mệnh đề tương đương với các quy tắc này có thể thấy trong các trước tác của một số triết gia kinh viện ([6], tr. 67-ff).

[^19]: Tuy nhiên, khái niệm “tích Đề-các” của hai tập hợp tùy ý dường như lần đầu tiên được G. Cantor đưa vào ([25], p. 286), người cũng là người đầu tiên định nghĩa phép lũy thừa $A^B$ (loc. cit., p. 287). Khái niệm tổng quát về tích vô hạn là của A. N. Whitehead (Amer. Jour. of Math. 24 (1902), p. 369). Việc sử dụng đồ thị của các quan hệ là khá gần đây; tất nhiên, ngoài trường hợp cổ điển của các hàm giá trị thực của biến thực, chúng xuất hiện trước hết trong công trình của các nhà hình học Ý, nhất là C. Segre, trong việc nghiên cứu các tương ứng đại số. [^20]: Đối với mỗi quan hệ thu được từ một hay nhiều quan hệ đã cho bằng cách áp dụng các lượng từ của chúng ta, trong phép tính này, cần phải đưa vào một ký hiệu ad hoc kiểu $G^{-1}$ và $G_1 \circ G_2$ (xem chẳng hạn [22 b]).

[^21]: Điều đó cho thấy, ngay cả trong Peano, thói quen cũ suy nghĩ theo “nội hàm” hơn là theo “mở rộng” đã ăn sâu đến mức nào.

[^22]: Việc đưa vào khái niệm này dường như là do Dedekind, trong tác phẩm Was sind und was sollen die Zahlen của ông, mà sau này chúng ta sẽ đến với ([26], vol. III, p. 348).

[^23]: Cần nhận thấy rằng cái mà Hilbert ký hiệu bằng $\tau_x(\mathrm{A})$ trong ngữ cảnh này lại được ký hiệu bằng $\tau_x(\text{không phải A})$ trong Chương I.

[^24]: “Những người đã cho chúng ta các phương pháp”, ông nói trong ngữ cảnh này, “chắc chắn đã cho chúng ta những quy tắc tốt, nhưng không cho chúng ta phương tiện để tuân theo chúng” ([12 b], vol. VII, p. 21); Ở nơi khác, chế giễu các quy tắc của Descartes, ông so sánh chúng với các công thức của các nhà giả kim : “Hãy lấy điều cần thiết, hãy làm như anh nên làm, và anh sẽ thu được điều anh mong muốn!” ([12 b], vol. IV, p. 329).

[^25]: Về điểm này, Leibniz vẫn chịu ảnh hưởng của các nhà kinh viện; ông luôn nghĩ các mệnh đề như là xác lập một quan hệ “chủ từ” với “vị từ” giữa các khái niệm. Ngay khi các khái niệm đã được quy về các khái niệm “nguyên thủy” (điều mà, như ta đã thấy, là một trong những ý tưởng cơ bản của ông), thì đối với Leibniz, mọi sự đều quy về một bài toán kiểm tra các quan hệ “bao hàm” bằng cái mà ông gọi là các “tiên đề đồng nhất” (về bản chất là các mệnh đề $A = A$ và $A \subset A$) và nguyên lý “phép thế các tương đương” (nếu $A = B$, ta có thể thay thế $A$ ở mọi nơi bởi $B$, đó là lược đồ S6 của Chương I, § 5) ([12 bis], pp. 184-206). Liên quan đến điều này, thật thú vị khi lưu ý rằng, phù hợp với mong muốn của ông là quy mọi thứ về logic và “chứng minh tất cả những gì có thể chứng minh”, Leibniz đã chứng minh tính đối xứng và tính bắc cầu của quan hệ đẳng thức, khởi đầu từ tiên đề $A = A$ và nguyên lý phép thế các tương đương; các chứng minh mà ông thu được về cơ bản là những chứng minh chúng ta đã đưa ra trong Chương I, § 5 ([12 a], vol. VII, pp. 77-78).

[^26]: Xem B. L. van der Waerden, “Die Arithmetik der Pythagoreer”, Math. Ann. 120 (1947) pp. 127-153.

[^27]: Trong luận án nhậm chức của mình, ông đã “chứng minh” rằng chỉ có thể có bảy hành tinh, đúng vào năm mà một hành tinh thứ tám được phát hiện.

[^28]: Xem các lập luận của Poincaré ủng hộ “sự đơn giản” và “sự tiện lợi” của hình học Euclid ([33 a], p. 67), và sự phân tích mà nhờ đó, ít lâu sau, ông đi tới kết luận rằng kinh nghiệm không cung cấp một tiêu chuẩn tuyệt đối cho việc lựa chọn một hình học hơn một hình học khác làm khuôn khổ cho các hiện tượng tự nhiên.

[^29]: Một lần nữa, từ này chỉ được biện minh đối với $n \leq 3$; đối với các giá trị lớn hơn của $n$ thì thực ra điều được dùng là lập luận theo phép tương tự.

[^30]: Tuy nhiên cần lưu ý rằng, ngay từ thế kỷ mười sáu, một nhà chú giải Euclid, J. Peletier, đã phản đối phương pháp chứng minh này, bằng những lời lẽ gần với lời của các nhà phê bình hiện đại ([3], vol. I, p. 249).

[^31]: Điều dường như gây ấn tượng mạnh nhất đối với những người cùng thời với Hilbert là hình học “phi Archimedes”, tức là hình học trên một trường cơ sở có thứ tự phi Archimedes (hoặc vành chia), trường hợp giao hoán của nó đã được Veronese đưa vào vài năm trước đó (Fondamenti di geometria, Padova, 1891).

[^32]: J. STIRLING, Lineae tertii ordinis Newtonianae... (1717).

[^33]: Về phương diện này nữa, Leibniz đã tỏ ra là người đi trước. “Toán học phổ quát”, ông nói, “là, có thể nói như vậy, logic của trí tưởng tượng”, và phải quan tâm đến “mọi thứ trong lĩnh vực trí tưởng tượng có khả năng được xác định khớp” ([12 c], p. 348; xem [12 bis], pp. 290-291). Theo ông, viên đá then chốt của toán học được quan niệm như vậy là cái mà ông gọi là “nghệ thuật các công thức”, tức là, về thực chất, khoa học về các quan hệ trừu tượng giữa các đối tượng toán học. Nhưng trong khi vào thời ấy thực tế chỉ có các quan hệ về độ lớn được xét đến trong toán học (đẳng thức, bất đẳng thức, tỉ lệ), Leibniz đã hình dung nhiều loại quan hệ khác, mà theo ông, các nhà toán học nên nghiên cứu một cách có hệ thống, chẳng hạn như bao hàm, hay cái mà ông gọi là quan hệ của sự (đơn trị hay đa trị) “xác định” (tức là các khái niệm ánh xạ và sự tương ứng) ([12 bis], pp. 307-310). Nhiều ý tưởng hiện đại khác cũng xuất hiện dưới ngòi bút của ông trong ngữ cảnh này; ông nhận thấy rằng các quan hệ tương đương khác nhau trong hình học cổ điển có chung các tính chất đối xứng và tính bắc cầu; ông hình thành khái niệm về một quan hệ tương thích với một quan hệ tương đương, và còn nhận thấy rõ ràng rằng một quan hệ tùy ý không nhất thiết có tính chất này ([12 bis], pp. 313-315). Dĩ nhiên, ở đây cũng như ở mọi nơi, ông chủ trương dùng một ngôn ngữ hình thức hóa và thậm chí còn đưa vào một ký hiệu nhằm ký hiệu một quan hệ chưa xác định ([12 bis], p. 301).

[^34]: Cần lưu ý rằng ngôn ngữ gần như triết học của ông hầu như không thể thu hút đa số các nhà toán học, những người cảm thấy không thoải mái khi đứng trước một mệnh đề như sau : “Toán học thuần túy là khoa học về cái tồn tại riêng biệt trong chừng mực nó được tư tưởng tạo ra” (die Wissenschaft des besonderen Seins als eines durch das Denken gewordenen). Nhưng từ ngữ cảnh thì rõ ràng rằng cái mà Grassmann hoàn toàn nghĩ đến là toán học tiên đề theo nghĩa hiện đại (chỉ có điều, khá lạ là, ông theo Leibniz khi cho rằng cơ sở của “khoa học hình thức” này, như ông gọi, là các định nghĩa chứ không phải các tiên đề). Dù sao đi nữa, giống như Boole, ông nhấn mạnh rằng “tên gọi khoa học về độ lớn không phải là một tên thích hợp cho toàn bộ toán học” ([17], vol. I₁, pp. 22-23). [^35]: Theo một giai thoại nổi tiếng, Hilbert thường diễn đạt ý này bằng cách nói rằng các từ “điểm”, “đường thẳng”, và “mặt phẳng” có thể được thay bằng “bàn”, “ghế”, và “cốc bia” mà không làm thay đổi hình học dù chỉ một chút. Thật thú vị khi thấy ở d’Alembert một sự báo trước của lối ví von này (theo nghĩa cũ của từ): “Chúng ta có thể gán cho các từ bất kỳ nghĩa nào ta muốn”, ông viết trong Encyclopédie ([13], s.v. DEFINITION); “(chúng ta có thể) xây dựng các yếu tố của Hình học một cách hoàn toàn chặt chẽ bằng cách gọi một tam giác là cái thường được gọi là một đường tròn”.

[^36]: Số học, tuy nhiên, vẫn nằm ngoài sự tổng hợp này. Vì thế Euclid, sau khi phát triển lý thuyết tổng quát về tỉ số giữa các đại lượng tùy ý, rồi phát triển lý thuyết về các số hữu tỉ một cách độc lập với khái niệm tỉ số giữa các đại lượng.

[^37]: Khá thú vị, trong mối liên hệ này, khi thấy Descartes so sánh số học với “các tổ hợp của các số”, và các “nghệ thuật... trong đó trật tự chi phối, như nghề dệt và nghề dệt thảm, những người phụ nữ thêu và làm ren” ([10], vol. X, p. 403), như thể báo trước các nghiên cứu hiện đại về đối xứng và mối liên hệ của nó với khái niệm nhóm (cf. H. WEYL, Symmetry, Princeton University Press, 1952).

[^38]: Từ “isomorphism” đã được đưa vào lý thuyết nhóm vào cùng thời kỳ ấy. Nhưng ban đầu nó cũng được dùng để chỉ các đồng cấu toàn ánh, những cái được gọi là “meriedric isomorphisms”, đối lập với “holoedric isomorphisms”, là các đẳng cấu theo nghĩa hiện đại của từ. Thuật ngữ này vẫn còn được dùng cho đến thời E. Noether.

[^39]: Như những ví dụ về các phép toán không giao hoán, ông đã nêu phép trừ, phép chia, và phép lũy thừa ([12 b], vol. VII, p. 31). Có một thời ông thậm chí còn cố đưa những phép toán như vậy vào phép tính lôgic của mình ([12 bis], p. 353).

[^40]: Xem H. FREUDENTHAL, Zur Geschichte der vollständigen Induktion, Arch. Int. Hist. Sci., 33 (1953), p. 17.

[^41]: Chúng tôi đã nói ở trên rằng Boole không ngần ngại đưa vào phép tính lôgic của mình “Universe” (ký hiệu bằng 1), tập hợp của mọi đối tượng. Dường như quan niệm này đã không bị phê phán vào thời đó, mặc dù nó đã bị Aristotle bác bỏ, người đã đưa ra một chứng minh khá tối nghĩa nhằm chứng minh tính phi lý của nó ([21], Met. B, 3, 998 b).

[^42]: Frege dường như là một trong số ít các nhà toán học đương thời đã, không phải không có lý do, phản đối làn sóng các “định nghĩa” tương tự ([24 c], vol. I, p. 2).

[^43]: Một ví dụ điển hình của quan niệm này là mệnh đề của Euclid: “Đối với mọi số lượng đã cho của các số nguyên tố, luôn có một số lớn hơn tất cả chúng”, điều mà ngày nay chúng ta sẽ diễn đạt bằng cách nói rằng tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.

[^44]: Theo cách cổ điển, dĩ nhiên, đúng là nói rằng một điểm thuộc về một đường thẳng, nhưng suy ra rằng một đường thẳng là “được cấu thành bởi các điểm” sẽ vi phạm điều cấm kỵ của “vô hạn hiện thực”, và Aristotle đã dành những đoạn dài để biện minh cho lệnh cấm này. Có lẽ để tránh mọi phản bác kiểu này, nhiều nhà toán học thế kỷ XIX đã tránh nói đến tập hợp, và suy luận một cách hệ thống theo thuật ngữ “bao hàm”; chẳng hạn, Galois không nói đến một trường số, mà chỉ nói đến các tính chất chung của mọi phần tử của một trường như vậy. Ngay cả Pasch và Hilbert, trong các trình bày tiên đề của họ về hình học Euclid, vẫn còn tránh nói rằng các đường thẳng và mặt phẳng là các tập hợp các điểm; Peano là người duy nhất tự do dùng ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp trong hình học sơ cấp.

[^45]: Lý do của sự kiện này chắc chắn là ở chỗ các tập hợp được xét trong toán học cổ điển thuộc về một số ít kiểu riêng biệt, và phần lớn có thể được mô tả hoàn toàn bằng một số hữu hạn các “tham số” số học, sao cho việc xét chúng quy về việc xét một tập hợp hữu hạn các số (điều này, chẳng hạn, đúng với các đường cong và mặt cong đại số, vốn trong một thời gian dài hầu như chỉ là các “hình” của hình học cổ điển). Trước khi sự tiến triển của giải tích trong thế kỷ XIX dẫn tới việc xét các tập con tùy ý của đường thẳng và $\mathbf{R}^n$, người ta hiếm khi gặp các tập hợp không phù hợp với các kiểu trên. Chẳng hạn, Leibniz, vốn vẫn độc đáo như mọi khi, xem đĩa đóng bỏ đi tâm của nó như một “quỹ tích hình học”, hoặc (do một linh cảm kỳ lạ về lý thuyết iđêan) cho rằng trong số học một số nguyên là “kiểu” của tập hợp các bội của nó, và nhận xét rằng tập hợp các bội của 6 là giao của tập hợp các bội của 2 và tập hợp các bội của 3 ([12 b], vol. VII, p. 292). Từ đầu thế kỷ XIX, các tập hợp thuộc kiểu sau này trở nên quen thuộc trong đại số và trong lý thuyết số: chẳng hạn, các lớp của các dạng toàn phương, do Gauss đưa vào, và các trường và các iđêan, do Dedekind định nghĩa trước cuộc cách mạng Cantor.

[^46]: Đó là các tập hợp $E \subset \mathbf R$ có tính chất rằng nếu một chuỗi lượng giác

[^47]: “Tôi thấy nó, nhưng tôi không tin nó”, ông đã viết cho Dedekind ([25 bis], p. 34; bằng tiếng Pháp trong nguyên văn).

[^48]: Những người đương thời với Kronecker thường xuyên ám chỉ đến lập trường học thuyết của ông về nền tảng của toán học; vì thế có thể suy đoán rằng ông đã bày tỏ mình tường minh hơn trong các tiếp xúc cá nhân so với trong các công trình xuất bản của mình (những công trình này, xét về vai trò của các số nguyên tự nhiên, không chứa gì hơn ngoài những nhận xét về “số học hóa”, mà đến năm 1880 đã trở nên khá tầm thường) (cf. H. Weber, “Leopold Kronecker”, Math. Ann., 43 (1893), pp. 1-25, đặc biệt pp. 14-15).

[^49]: Đối với giai đoạn này trong cuộc đời Cantor, xem A. Schoenflies, Acta Math. 50 (1928), pp. 1-23. [^50]: Định lý này đã được Dedekind chứng minh từ năm 1887, nhưng ông đã không công bố chứng minh của mình ([26], vol. III, p. 447). [^51]: Một khái niệm có liên quan mật thiết với điều này tạo thành cơ sở cho chứng minh thứ hai của Zermelo về định lý của ông ([36 b]; xem Chương III, § 2, Bài tập 6). [^52]: Như chúng ta đã thấy, Bolzano đã nhận ra đặc trưng hóa này của các tập hợp vô hạn, nhưng công trình của ông (dường như không được biết đến nhiều trong các giới toán học) vào thời điểm Dedekind viết Was sind und was sollen die Zahlen thì chưa được biết đến. [^53]: Một phương pháp khác để định nghĩa khái niệm số nguyên tự nhiên và suy ra các tính chất cơ bản của nó đã được Frege đề xuất vào năm 1884 [24 b]. Trước hết, ông tìm cách đem lại cho khái niệm lực lượng của một tập hợp một ý nghĩa chính xác hơn Cantor; vào thời điểm đó, Cantor mới chỉ định nghĩa các khái niệm tập hợp đẳng lực và một tập hợp có lực lượng không lớn hơn lực lượng của một tập hợp khác, và định nghĩa về "số lực lượng" mà sau này ông đưa ra ([25], p. 282) mơ hồ và không dùng được như định nghĩa của Euclid về một đường thẳng. Frege, với sự cẩn trọng thường thấy về tính chính xác, có ý định lấy làm định nghĩa của lực lượng của một tập hợp A là tập hợp của mọi tập hợp đẳng lực với A ([24 b], § 68); rồi, sau khi đã định nghĩa $\varphi(\mathfrak{a}) = \mathfrak{a} + 1$ cho mọi lực lượng $\mathfrak{a}$ (§ 76), ông xét tập hợp C của mọi lực lượng, và định nghĩa quan hệ "$\mathfrak{b}$ là một $\varphi$-kế tiếp của $\mathfrak{a}$" để có nghĩa là $\mathfrak{b}$ thuộc giao của mọi tập hợp $X \subset C$ sao cho $\varphi(\mathfrak{a}) \in X$ và $\varphi(X) \subset X$ (§ 79). Cuối cùng, ông định nghĩa một số nguyên tự nhiên là một $\varphi$-kế tiếp của 0 (§ 83; dĩ nhiên mọi định nghĩa này đều được Frege diễn đạt bằng Begriffsschrift của ông). Tiếc thay, sau này người ta nhận thấy phép dựng này là sai, vì tập hợp C và tập hợp của mọi tập hợp đẳng lực với một tập hợp A là "nghịch lý" (xem bên dưới). [^54]: Thật thú vị khi lưu ý rằng Cantor sẽ không bao giờ thừa nhận sự tồn tại của các nhóm có thứ tự "không Archimedes", vì chúng đưa vào khái niệm "vô cùng bé thực" ([25], pp. 156 và 172). Những quan hệ thứ tự như vậy xuất hiện một cách tự nhiên trong các nghiên cứu của Du Bois-Reymond về các bậc vô hạn và đã được Veronese nghiên cứu một cách hệ thống (Fundamenta di Geometria, Padova, 1891). [^55]: Năm 1874 Weierstrass đã thông báo, trong một bức thư gửi Du Bois-Reymond, một ứng dụng của định lý của Cantor về khả năng sắp xếp các số hữu tỉ thành một dãy đối với các hàm của một biến thực (Acta Math. 30 (1924), pp. 206). [^56]: Vì lý do này, tầm quan trọng gắn cho các số thứ tự của Cantor đã giảm đi đáng kể; và nói chung, nhiều kết quả của Cantor và các người kế tục ông về số học của các số thứ tự và lực lượng không đếm được cho đến nay vẫn còn hơi tách biệt. [^57]: Đại hội Toán học Quốc tế lần thứ nhất (Zurich, 1897) có thể được xem là sự thừa nhận chính thức của lý thuyết tập hợp; nhân dịp này Hadamard và Hurwitz đã công bố những ứng dụng quan trọng của lý thuyết tập hợp vào giải tích. Ảnh hưởng ngày càng tăng của Hilbert trong thời kỳ này đã góp phần rất lớn vào sự truyền bá các ý tưởng của Cantor, đặc biệt ở Đức. [^58]: C. Burali-Forti, "Sopra un teorema del Sig. G. Cantor", Atti Accad. Torino, 32 (1896-7), pp. 229-237. Nhận xét này Cantor đã nêu ra từ năm 1896 rồi (trong một bức thư chưa công bố gửi Hilbert). [^59]: Lập luận của Russell cần được so sánh với các nghịch lý cổ điển kiểu "kẻ nói dối", vốn là đối tượng của vô số chú giải trong logic hình thức cổ điển; câu hỏi là liệu một người nói "Tôi đang nói dối" có nói thật hay không khi anh ta thốt ra những lời ấy (cf. A. Rüstow, Der Lügner, Diss. Erlangen, 1910). [^60]: Sự khác nhau giữa hai trường phái này chủ yếu thuộc về phương diện triết học, và chúng ta không thể ở đây đi sâu thêm về chủ đề này. Điểm cốt yếu đối với chúng ta là họ đồng ý với nhau về các câu hỏi toán học thuần túy. Chẳng hạn, Hadamard (một đại diện điển hình của phe “duy tâm”) đã chấp nhận một quan điểm rất gần với quan điểm của các nhà hình thức, xét về tính hợp lệ của các lập luận của lý thuyết tập hợp, nhưng không diễn đạt bằng những thuật ngữ tiên đề ([35], p. 271). [^61]: Chẳng hạn, nghịch lý của Russell sẽ chỉ đúng trong hệ của Zermelo nếu quan hệ $(\exists z)((x\notin x)\Rightarrow(x\in z))$ được chứng minh. Dĩ nhiên, một chứng minh như vậy, nếu tìm ra được, sẽ kéo theo như một hệ quả ngay lập tức sự cần thiết phải sửa đổi đáng kể hệ đang xét. [^62]: Skolem [39] và Fraenkel [41] cũng đã nhận thấy rằng các tiên đề của Zermelo là không đủ để chứng minh, chẳng hạn, sự tồn tại của các lực lượng không đếm được $m$ sao cho $2^n < m$ với mọi lực lượng $n < m$. Như chúng ta đã thấy (Chương III, §6, Bài tập 21), sự tồn tại của các lực lượng như vậy có thể được chứng minh bằng cách tăng cường tiên đề chọn lựa (lược đồ S8, Chương II, § 1, no. 6); tiên đề do đó được đưa vào là một biến thể của những tiên đề do Skolem và Fraenkel đề xuất. [^63]: Hilbert, ít ra, dường như luôn tin vào một “chân lý” toán học khách quan ([30], pp. 315 và 323). Ngay cả một số nhà hình thức, như H. Curry, cũng đã đứng ở một lập trường rất gần với lập trường mà chúng tôi vừa tóm tắt, bác bỏ với một thứ phẫn nộ ý tưởng rằng toán học có thể chỉ được xem như một trò chơi, và nhấn mạnh rằng nó là một “khoa học khách quan” (H. CURRY, Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics, Amsterdam (North Holland Publ. Co.), 1951, p. 57). [^64]: Thật ra, đây chỉ là khởi đầu của việc phân loại các “kiểu”, việc không thể mô tả chính xác mà không đi vào những giải thích rất dài dòng. Độc giả nào muốn có một trình bày chi tiết hơn có thể tham khảo đặc biệt phần mở đầu của Tập II của Principia Mathematica [37]. [^65]: Trong hệ của Russell và Whitehead, do đó quan hệ $x\in x$ không thể được viết một cách hợp lệ, trái lại chẳng hạn với hệ Zermelo-Fraenkel (cf. Chương II, § 1, no. 4).

[^66]: Chẳng hạn, đẳng thức không phải là một khái niệm nguyên thủy trong hệ Principia; hai đối tượng $a$, $b$ là bằng nhau nếu, với mọi tính chất P $\{x\}$, P $\{a\}$ và P $\{b\}$ là những mệnh đề tương đương. Nhưng định nghĩa này vô nghĩa trong lý thuyết kiểu. Để nó có nghĩa, ít nhất cũng cần phải xác định “thứ tự” của P, và như vậy sẽ bị dẫn đến việc phân biệt một số vô hạn các quan hệ đẳng thức! Zermelo đã ghi nhận vào năm 1908 [36 b] rằng nhiều định nghĩa của toán học cổ điển (chẳng hạn, định nghĩa cận dưới lớn nhất của một tập trong $\mathbf{R}$) không tuân theo “nguyên lý vòng luẩn quẩn”, và việc chấp nhận nguyên lý này vì thế có nguy cơ đặt ra một lệnh cấm đối với những phần quan trọng của các lý thuyết toán học truyền thống nhất.

[^67]: Russell và Whitehead (cũng như Frege) theo lập trường cổ điển đối với các công thức toán học, mà đối với họ bao giờ cũng có một “ý nghĩa” liên hệ với một hoạt động nền tảng của tâm trí.

[^68]: Poincaré thậm chí đi xa đến mức nói, về thực chất, rằng không thể định nghĩa một cấu trúc thỏa mãn mọi tiên đề của Peano trừ nguyên lý quy nạp toán học ([33 a], p. 65). Ví dụ (do Padoa nêu) về các số nguyên với ánh xạ $x \to x + 2$ thay cho $x \to x + 1$ cho thấy mệnh đề này là sai. Lạ thay, ví dụ này đã có ở Frege, gần như bằng chính những lời ấy ([24 b], p. 21 e).

[^69]: Năm 1890, Peano, trong khi chứng minh định lý của mình về sự tồn tại của các tích phân của phương trình vi phân, nhận xét rằng ông đã bị dẫn một cách tự nhiên đến “áp dụng vô hạn lần một luật tùy ý gắn với một lớp một phần tử riêng lẻ của lớp đó”; nhưng ông lập tức thêm rằng theo ông, một lập luận như thế là không thể chấp nhận được (Math. Ann., 37 (1890), p. 210). Năm 1902, B. Levi ghi nhận rằng cùng một lập luận đã được F. Bernstein sử dụng một cách ngầm ẩn trong một chứng minh thuộc lý thuyết số lực lượng (Ist. Lombardo Sci. Lett., Rend. (2) 35 (1902), p. 863).

[^70]: Cái gọi là sự “chọn” một phần tử trong một tập thực ra không liên quan gì đến tiên đề chọn; đó chỉ là một cách nói, và mỗi khi ta dùng cách diễn đạt này thì thực ra ta đang dùng phương pháp của hằng phụ (Chương I, § 3, no. 3) vốn chỉ phụ thuộc vào các luật lôgic sơ đẳng nhất (không dùng đến ký hiệu $\tau$). Dĩ nhiên, việc áp dụng phương pháp này cho một tập A đòi hỏi phải đã chứng minh rằng $A\ne\varnothing$; đó là điểm trong lập luận của Lebesgue, vì với ông một chứng minh như thế không có giá trị trừ khi một phần tử của A đã được “đặt tên”. Chẳng hạn, Lebesgue không thừa nhận là hợp lệ lập luận của Cantor chứng minh sự tồn tại của các số siêu việt; đối với ông, sự tồn tại của chúng chỉ được chứng minh vì có thể “đặt tên” những số siêu việt riêng biệt, chẳng hạn các số của Liouville $e$ hoặc $\pi$.

[^71]: Theo học thuyết duy hình thức thuần túy, các từ “tồn tại” trong một văn bản đã hình thức hóa không có nhiều “ý nghĩa” hơn bất kỳ từ nào khác, và trong các chứng minh đã hình thức hóa cũng không có kiểu “tồn tại” nào khác cần được xét đến.

[^72]: Những “mô hình” do các định nghĩa của Dedekind và Frege cung cấp chỉ dùng để chuyển vấn đề sang tính nhất quán của lý thuyết tập hợp, điều chắc chắn là một bài toán khó hơn tính nhất quán của số học, và vào thời kỳ này hẳn còn có vẻ như vậy hơn nữa, khi chưa có nỗ lực nghiêm túc nào nhằm vượt qua các “nghịch lý” được đề xuất.

[^73]: Để có một mô tả chi tiết và chính xác về các thủ tục hữu hạn được cho phép trong siêu toán học, độc giả có thể xem, chẳng hạn, luận án của Herbrand [42].

[^74]: Khi ta nói về tính nhất quán của lý thuyết số thực, ta giả thiết rằng lý thuyết này đã được định nghĩa theo tiên đề mà không dựa vào lý thuyết tập hợp (hoặc ít nhất không dựa vào một số tiên đề của lý thuyết sau, chẳng hạn tiên đề chọn lựa hoặc tiên đề của tập hợp các tập con).

[^75]: Điều này thường được diễn đạt bằng cách nói rằng nếu A không phải là một định lý trong $\mathscr{T}$, thì lý thuyết $\mathscr{T}'$ thu được bằng cách thêm A vào các tiên đề của $\mathscr{T}$ là mâu thuẫn.

[^76]: Để biết thêm chi tiết, xem [44 a] hoặc [48], tr. 181-258.

[^77]: Mô tả chi tiết của $g(A)$, $h(D)$, và $P\{x,y,z\}$ dài và rườm rà đến mức cực độ, và để viết ra $P\{x,y,z\}$ sẽ đòi hỏi một số lượng ký hiệu lớn đến mức về thực tế là không thể thực hiện được. Chính kiểu khó khăn này chúng tôi đã bàn trong Lời mở đầu, nhưng không một nhà toán học nào sẽ cho rằng điều đó làm giảm đi chút nào tính hợp lệ của các cấu tạo này.

[^78]: Thật vậy, phần cuối của lập luận này giả thiết nhiều hơn một chút so với tính nhất quán của $\mathscr{T}$, cụ thể là cái gọi là tính $\omega$-nhất quán của $\mathscr{T}$. Điều này có nghĩa là không có quan hệ $R\{x\}$ nào trong $\mathscr{T}$ sao cho $R\{x\}$ kéo theo $x\in\mathbf{N}$ và sao cho, với mỗi số nguyên xác định $\mu$, $R\{\mu\}$ là một định lý trong $\mathscr{T}$, mặc dù $(\exists x)(x\in\mathbf{N}$ và (không $R\{x\}$)) cũng là một định lý trong $\mathscr{T}$. Tuy nhiên, Rosser đã chỉ ra rằng lập luận của Gödel có thể được sửa đổi để chỉ đòi hỏi tính nhất quán của $\mathscr{T}$ ([48], p. 208). [^79]: Người đọc có lẽ đã nhận thấy phép tương tự giữa lập luận của Gödel và ngụy biện của kẻ nói dối: mệnh đề $S\{\gamma\}$ hàm ý chính sự sai của nó khi được hiểu theo các thuật ngữ siêu toán học! Cũng nên lưu ý rằng mệnh đề $(\forall z)((z\in\mathbf{N})\Rightarrow(\text{không }P\{\gamma,\gamma,z\}))$ là đúng theo trực giác, vì chúng ta có một chứng minh của "không $P \{ \gamma, \gamma, \mu \}$" trong $\mathscr{T}$ đối với mỗi số nguyên xác định $\mu$. Tuy nhiên mệnh đề này không thể chứng minh được trong $\mathscr{T}$. Tình huống trên nên được so sánh với một kết quả thu được trước đó bởi Lowenheim và Skolem (xem [39]). Skolem định nghĩa theo siêu toán học một quan hệ giữa hai số nguyên tự nhiên $x$, $y$ mà, khi viết là $x \in y$, thỏa mãn các tiên đề của lý thuyết tập hợp von Neumann. Vì vậy, thoạt nhìn, ta có một "nghịch lý" mới, vì trong "mô hình" này mọi tập hợp vô hạn đều đếm được, trái với bất đẳng thức của Cantor $\mathfrak{m} < 2^{\mathfrak{m}}$. Nhưng, thực ra, quan hệ do Skolem định nghĩa không thể được viết trong lý thuyết tập hợp đã hình thức hóa cũng như "định lý" khẳng định rằng tập hợp các tập con của một tập vô hạn chỉ có một vô hạn đếm được các "phần tử". Rốt cuộc, "nghịch lý" này chỉ là một dạng tinh vi hơn của nhận xét tầm thường rằng ta chỉ có thể viết ra một số hữu hạn các dãy ký hiệu trong một lý thuyết đã hình thức hóa, và vì thế thật phi lý khi quan niệm một tập hợp không đếm được các ký hiệu của lý thuyết — một nhận xét song song với nhận xét đã dẫn đến "nghịch lý Richard". Các lập luận tương tự cho thấy việc hình thức hóa lý thuyết tập hợp là không thể thiếu nếu chúng ta muốn bảo toàn những điểm cốt yếu của công trình Cantor. Các nhà toán học nhất trí rằng hầu như không có gì hơn một sự tương ứng hời hợt giữa các quan niệm "trực giác" của chúng ta về khái niệm tập hợp hay số nguyên, và các hình thức hóa vốn được cho là để giải thích chúng; sự bất đồng bắt đầu từ câu hỏi chọn lựa giữa chúng.

[^80]: Bài toán quyết định cần được phân biệt cẩn thận với niềm tin, được nhiều nhà toán học và đặc biệt là Hilbert thường xuyên phát biểu một cách mạnh mẽ, rằng việc một mệnh đề toán học cho trước là đúng, sai, hay không quyết định được rốt cuộc sẽ luôn được giải quyết. Đây chỉ là một hành vi thuần túy của đức tin, và nằm ngoài cuộc bàn luận của chúng ta.

[^81]: Với ký hiệu đã được đưa vào ở trên, kết quả chính xác của Gödel là như sau. Nói rằng $\mathscr{T}$ không mâu thuẫn có nghĩa là không có chứng minh nào, trong $\mathscr{T}$, của quan hệ $0 \neq 0$. Điều này suy ra, đối với mỗi số nguyên xác định $\mu$, rằng (không $\mathrm{P}\}0$, $g(x \neq x)$, $\mu\{$) là một định lý trong $\mathscr{T}$. Xét mệnh đề

[^82]: Gentzen gán cho mỗi chứng minh D trong số học đã hình thức hóa một số thứ tự $\alpha(\mathrm{D}) < \varepsilon_0$. Ông cũng mô tả một thủ tục mà, bắt đầu từ bất kỳ chứng minh D nào dẫn đến một mâu thuẫn, sẽ tạo ra một chứng minh $\mathrm{D}'$ cũng dẫn đến một mâu thuẫn và sao cho $\alpha(\mathrm{D}') < \alpha(\mathrm{D})$. Lý thuyết về các tập hợp được sắp tốt khi đó cho phép ông kết luận rằng một chứng minh như thế D không tồn tại (một kiểu lập luận mở rộng phép "giáng vô hạn" cổ điển của lý thuyết số).

[^83]: I. Novak-Gal, "Một phép dựng cho các mô hình của các hệ không mâu thuẫn", Fund. Math., 37 (1950), pp. 87-110.