Nếu $B$ là một vành sao cho $A \subset B \subset K$ và $x \in K - B$, thì $x \in K - A$, do đó $x^{-1} \in m(A) \subset B$, điều này chứng minh cả rằng $B$ là một vành định giá của $K$ và rằng $m(B) \subset m(A)$; vì $m(B) = m(B) \cap A$ là một iđêan nguyên tố của $A$, ta đã chứng minh (a) và (b). Hơn nữa, $A_{m(B)} \subset B$; ngược lại, nếu $x \in B - A$, thì $x^{-1} \in A$ và $x^{-1} \notin m(B)$ và do đó $x \in A_{m(B)}$; vậy $A_{m(B)} = B$. Cuối cùng cho $\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố của $A$; ta viết $B = A_{\mathfrak{p}}$; khi đó $m(B) \cap A = \mathfrak{p}$. (Chương II, § 2, no. 5, Mệnh đề 11) và $m(B) \subset A$ theo (b); do đó $m(B) = \mathfrak{p}$, điều này cho thấy các ánh xạ $\mathfrak{p} \mapsto A$, và $B \mapsto m(B)$ của mệnh đề là các song ánh ngược.

Tập hợp các iđêan nguyên tố của $A$ được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ bao hàm ($\S$ 1, no. 2, Định lý 1 (e)) và ánh xạ $\mathfrak{p} \mapsto A_{\mathfrak{p}}$ đảo ngược các quan hệ bao hàm.

Nếu $A \in \mathscr{A}$, thì $h_B(A) \in \mathscr{A}'$: thật vậy nếu $x' = h_B(x)$ (trong đó $x \in B$) là một phần tử của $\kappa(B) - h_B(A)$, thì $x \notin A$, do đó $x^{-1} \in A$ và $h_B(x)^{-1} \in h_B(A)$. Mặt khác, với $A \in \mathscr{A}$, $A \supset m(B)$ (Mệnh đề 1 (b)) và do đó ánh xạ,

$A \mapsto h_B(A)$ là đơn ánh. Cuối cùng, cho $A' \in \mathscr{A}'$ và $A = h_B(A') \subset B$; ta sẽ chứng minh, điều này sẽ hoàn tất chứng minh, rằng $A \in \mathscr{A}$; nếu $x \in K - A$, thì hoặc $x \notin B$, hoặc $x \in B$; nếu $x \notin B$, thì $x^{-1} \in m(B) \subset A$; nếu $x \in B$, thì $h_B(x) \in \kappa(B)$ và $h_B(x) \notin A$, do đó $h_B(x^{-1}) \in A$ và ta lại kết luận rằng $x^{-1} \in A$; do đó $A \in \mathscr{A}$.

Vì vành địa phương $A'$ là một thương của vành địa phương $A$, nên các trường thặng dư của chúng đẳng cấu chính tắc và phương trình $h_A(x) = h_{A'}(h_B(x))$ đúng với $x \in A$. Mặt khác, nếu $x \in B - A$, thì $h_B(x) \notin A'$ và hai vế của phương trình bằng $\infty$; điều tương tự đúng nếu $x \in K - B$.

(a) Hạt nhân của một đồng cấu tăng từ $G$ vào một nhóm có thứ tự là một nhóm con cô lập của $G$.

(b) Ngược lại, cho $H$ là một nhóm con cô lập của $G$ và $g$ là đồng cấu chính tắc của $G$ lên $G/H$. Khi đó $g(P)$ là tập hợp các phần tử dương của một cấu trúc nhóm có thứ tự trên $G/H$. Hơn nữa, nếu $G$ được sắp thứ tự toàn phần, thì $G/H$ cũng vậy.

(a) Cho $f$ là một đồng cấu tăng từ $G$ vào một nhóm có thứ tự; gọi $H$ là hạt nhân của f. Nếu $0 \leq y \leq x$ và $x \in H$, thì $0 \leq f(y) \leq f(x) = 0$, do đó $f(y) = 0$, nghĩa là $y \in H$. Suy ra $H$ là cô lập.

(b) Cho $H$ là một nhóm con cô lập của $G$ và $g : G \to G/H$. Đặt $P' = g(P)$. Rõ ràng $P' + P' \subset P'$. Ngoài ra

vì, nếu $x$ và $y$ là các phần tử của $P$ sao cho $g(x) = -g(y)$, thì $x + y \in H$, do đó $x \in H$ và $y \in H$ vì $H$ là cô lập; suy ra $g(x) = g(y) = 0$. Vậy $P'$ là tập hợp các phần tử dương của một cấu trúc nhóm có thứ tự trên $G/H$ (Đại số, Chương VI, § 1, no. 3, Mệnh đề 3). Cuối cùng, nếu $G$ được sắp thứ tự toàn phần, thì $P \cap (-P) = G$, do đó $P' \cup (-P') = G/H$ và vì thế $G/H$ được sắp thứ tự toàn phần (loc. cit.).

Ví dụ (2) Nếu xét lại ví dụ trong đó $G$ là một tích từ điển $A \times B$ và $H = B$, thì nhóm có thứ tự $G/H$ được đồng nhất một cách chính tắc với $A$.

Cho $H$, $v_B$ được xác định tới tương đương và do đó $B$ được xác định duy nhất. Mặt khác, cho $H$ là một nhóm con cô lập của $\Gamma_A$; xét $\Gamma_A / H$ như một nhóm có thứ tự toàn phần (Mệnh đề 3), ánh xạ hợp thành

là một định giá trên $K$ có vành chứa $A$.

Mệnh đề 5 của no. 4 chỉ ra rằng (a) kéo theo (b) và Mệnh đề 1 của no. 1 chỉ ra rằng (b) kéo theo (c). Còn phải chứng minh rằng (c) kéo theo (a). Giả sử A là cực đại trong các vành con của K phân biệt với K. Gọi m là một iđêan cực đại của A và V là một vành định giá của K trội hơn A,, (§ 1, no. 2, Hệ quả của Định lý 2); vì m(V) ∩ A = m và m ≠ (0) (vì A không là một trường), V ≠ K, do đó V = A, điều này chứng tỏ rằng A không phải là vành của một định giá v trên K. Như vậy, v có cấp 1 theo các Mệnh đề 1 (no. 1) và 5 (no. 4).

Điều này thực ra suy ra từ mệnh đề sau:

Cho x là một phần tử dương của G và gọi H, là tập hợp các y ∈ G sao cho tồn tại một số nguyên n ≥ 0 thỏa mãn |y| ≤ nx. Dễ dàng kiểm tra rằng H, là một nhóm con cô lập của G và mọi nhóm con cô lập của G chứa x đều chứa H,. Do đó điều kiện (a) tương đương với “H, = G với mọi x > 0”, nghĩa là với điều kiện (b).

Rõ ràng (c) kéo theo (b). Ngược lại, giả sử điều kiện (b) đúng và gọi Q là tập hợp các phần tử >0 của G. Trước hết giả sử Q có một phần tử nhỏ nhất x; với mọi y ∈ Q, gọi n là số nguyên nhỏ nhất sao cho y ≤ nx; nếu y < nx, thì cũng có nx − y ≥ x, do đó y ≤ (n − 1)x trái với lựa chọn n; vậy y = nx, điều này chỉ ra rằng G = \mathbf{Z}x đẳng cấu với \mathbf{Z} ⊂ \mathbf{R}. Bây giờ giả sử Q không có phần tử nhỏ nhất; ta áp dụng cho tập hợp có thứ tự P = Q ∪ (0) Mệnh đề 1 của Tôpô đại cương, Chương V, § 2 (điều này có thể thực hiện được, vì điều kiện (b) chính là “tiên đề Archimedes”); ta thấy rằng tồn tại một ánh xạ tăng ngặt f của P vào \mathbf{R}_+ sao cho

với x ∈ P và y ∈ P; theo tính tuyến tính f có thể được mở rộng thành một đẳng cấu của G lên một nhóm con của $\mathbf{R}$, điều này chứng minh rằng (b) kéo theo (c).

Giả sử v có cấp 1. Cho x ∈ K sao cho các x^n (n ≥ 0) đều được chứa trong một môđun con-A sinh hữu hạn của K. Tồn tại d ∈ A − {0} sao cho dx^n ∈ A với mọi n ≥ 0. Khi đó v(d) + nv(x) ≥ 0, nghĩa là n(−v(x)) ≤ v(d) với mọi $n \geqslant 0$, do đó $-v(x) \leqslant 0$ (Mệnh đề 8 (b)) và $x \in A$. Vậy A đóng toàn nguyên.

Bây giờ giả sử v không có cấp 1. Khi đó tồn tại $y \in m(A)$ và $t \in A$ sao cho $nv(y) < v(t)$ với mọi $n \geqslant 0$ (Mệnh đề 8 (b)). Khi đó $ty^{-n} \in A$ với mọi $n \geqslant 0$, nhưng $y^{-1} \notin A$. Do đó A không đóng toàn nguyên.

Một miền đóng toàn nguyên không phải lúc nào cũng là một giao của các vành định giá cấp 1 (Bài tập 6).