Ta có $x^{-1} - y^{-1} = x^{-1}(y - x)y^{-1}$ và do đó

Nếu $v(x - y) > v(y)$, thì Mệnh đề 1 của § 3, no. 1 suy ra rằng $v(x) = v(y)$, vì $x = y + (x - y)$. Hơn nữa, nếu $v(x - y) > a + 2v(y)$, thì

Cho $x \in K^*$ và $a = v(x)$; khi đó $x \notin V_a$ điều này cho thấy $\mathscr{T}_v$ là Hausdorff. Với mọi $x_0 \in K$ và $a \in G$, tồn tại $\beta \in G$ sao cho $x_0 V_\beta \subset V_\alpha$ và $V_\beta x_0 \subset V$, (chỉ cần lấy $\beta \geqslant a - v(x_0)$). Mặt khác, nếu $a \geqslant 0$, thì $V_\alpha V_\alpha \subset V_v$. Như vậy các tiên đề (AV_I) và (AV_{II}) của General Topology, Chapter III, § 6, no. 3 được thỏa mãn, nên $\mathscr{T}_v$ tương thích với cấu trúc vành trên $K$. Cho $x_0 \in K^*$; nếu $x \in K^*$ thỏa mãn $v(x - x_0) > \sup(\alpha + 2v(x_0), v(x_0))$, thì $v(x^{-1} - x_0^{-1}) > a$ (Bổ đề 1), điều này cho thấy $x \mapsto x^{-1}$ là liên tục và do đó $\mathscr{T}_v$ tương thích với cấu trúc trường trên $K$. Sau cùng, chỉ riêng điều kiện $v(x - x_0) > v(x_0)$ đã suy ra $v(x) = v(x_0)$ ($§ 3$, no. 1, Proposition 1) và vì thế ánh xạ $v : K^* \to G$ là liên tục nếu $G$ được cho tôpô rời rạc.

Cho $\alpha \in G$ và $V'_\alpha$ là tập hợp các $x \in K$ sao cho $v(x) \geq \alpha$. Nếu $\beta < a$, thì $V_\beta \supset V'_\alpha \supset V_v$. Vì vậy, nếu $v$ không không thực sự, ta thấy rằng các $V'_\alpha$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0 đối với $\mathscr{T}_v$.

Các $V_v$ và các $V'_\alpha$ là những nhóm con cộng tính mở và do đó đóng trong $K$, vì thế trường tôpô $K$ là hoàn toàn không liên thông. Vì mọi iđêan khác không của vành của $v$ đều chứa một $V_v$, nên nó mở và đóng trong $K$. Do đó tôpô thương trên trường thặng dư của $v$ là rời rạc.

Đặt $A$ là vành của $u$. Nếu $v$ là rời rạc, Mệnh đề 8 của $§ 3$, no. 6 cho thấy rằng tôpô cảm sinh bởi $\mathscr{T}_v$ trên $A$ là tôpô $m(A)$-adic. Nói chung điều này không đúng (Bài tập 4).

(i) $K$ là đầy đủ; (ii) $v$ là rời rạc; (iii) trường thặng dư $\kappa(A)$ là hữu hạn.

Nếu vậy, $A$ là compắc.

Giả sử $K$ là địa phương compắc. Khi đó nó là đầy đủ (General Topology, Chương 111, $§ 3$, no. 3, Hệ quả 1 của Mệnh đề 4); hơn nữa tồn tại một lân cận compắc của 0, lân cận này chứa một lân cận $V'_a$, trong đó $a$ thuộc nhóm giá trị của $v$; nói cách khác, tồn tại $a \neq 0$ trong $K^*$ sao cho $A . a$ là compắc và suy ra $A = (A . a)a^{-1}$ là compắc. Vì mọi iđêan $b \neq (0)$ của $A$ đều mở, nên $A/b$ là compắc và rời rạc (General Topology, Chương III, $§ 2$, no. 5, Mệnh đề 14) và do đó hữu hạn, đặc biệt $\kappa(A) = A/m$ là hữu hạn. Hơn nữa, với $y \neq 0$ trong $m$, do vành $A/Ay$ là hữu hạn, chỉ có hữu hạn iđêan của $A$ chứa $Ay$ và tập hợp $P$ các phần tử có dạng $v(x)$ sao cho

là hữu hạn; vì $v(K^*)$ được sắp thứ tự toàn phần, $P$ có một phần tử nhỏ nhất $y$. Khi đó với mọi $x \in A$ sao cho $v(x) > 0$, hoặc $v(x) > v(y) \geq y$, hoặc $v(x) \leq v(y)$ và khi đó $v(x) \geq y$ theo định nghĩa, vì thế $y$ là phần tử nhỏ nhất trong các phần tử > 0 của $v(K^*)$. Vì $P$ là hữu hạn, tồn tại một số nguyên lớn nhất $m \geq 0$ sao cho $my \in P$, do đó my \leq v(y) < (m+1)\gamma. Ta suy ra rằng 0 \leq v(y) - my < y và theo định nghĩa của y điều này suy ra $v(y) = my$. Vậy $v(K^*) = \mathbf{Z}.\gamma$ và valuation $v$ là rời rạc.

Ngược lại, giả sử các điều kiện (i), (ii), (iii) được thỏa mãn. Ta có thể chỉ xét trường hợp $v$ được chuẩn hóa; gọi $u$ là một phần tử đều hóa đối với $v$. Khi đó $\kappa(A) = A/Au$ và vì thế $A/Au$ là hữu hạn. Vì $x \mapsto xu^n$ xác định, bằng cách lấy thương, một đẳng cấu của nhóm cộng $A/Au$ lên $Au^n/Au^{n+1}$, nên $A/Au^j$ là hữu hạn với mọi $j \geq 0$. Vì $A$ đóng trong $K$, nó là đầy đủ và do đó đẳng cấu với giới hạn ngược của các $A/Au^j$ (Tôpô đại cương, Chương 111, § 7, no. 3, Mệnh đề 2) và vì thế compact. Vì $A$ mở trong $K$, do đó thấy rằng $K$ là compact địa phương.

Ánh xạ này là một đẳng cấu đại số liên tục. Chỉ cần chứng minh rằng nó là song liên tục. Cho $\alpha \in G$. Ta phải chứng minh rằng tồn tại một lân cận $V$ của 0 trong $E$ sao cho quan hệ $ax_0 \in V$ kéo theo $v(a) > a$. Lấy $a, \in K^*$ sao cho $v(a_0) = a$. Vì $E$ là Hausdorff, tồn tại một lân cận $W$ của 0 trong $E$ sao cho $a_0x_0 \notin W$. Vì $v$ không phải là không chính quy, tồn tại một lân cận $W'$ của 0 trong $E$ và một phần tử $\beta$ của $G$ sao cho các quan hệ $y \in W'$, $v(a) \geq \beta$ kéo theo $ay \in W$. Lấy $a, \in K^*$ sao cho $v(a_1) = -\beta$. Các quan hệ $ax_0 \in a_1^{-1}W'$ và $v(a) \leq a$ kéo theo $a_1ax_0 \in W$ và $v(a_0a^{-1}a_1^{-1}) = \alpha + \beta - v(a) \geq \beta$ và do đó $a_0x_0 = a_0a^{-1}a_1^{-1}(a_1ax_0) \in W$, điều này là vô lý; nói cách khác, quan hệ $ax, \in a_1^{-1}W$ kéo theo $v(a) > a$.

Có tính đến các Mệnh đề 1 và 3, chứng minh giống hệt chứng minh của Không gian Vectơ Tôpô, Chương I, § 2, Hệ quả 2 của Định lý 1.

Có tính đến Mệnh đề 3 và hệ quả của nó, chứng minh giống hệt chứng minh của Không gian Vectơ Tôpô, Chương I, § 2, Định lý 2.

$F$ là đầy đủ.

(a) Vành hoàn thành $\hat{K}$ của $K$ (với $\mathscr{T}_v$) là một trường tôpô.

(b) Ánh xạ $v : K^* \to G$ có thể được mở rộng duy nhất thành một ánh xạ liên tục $8 : \hat{K}^* \to G$. Ánh xạ $0$ (được mở rộng bởi $\hat{v}(0) = +\infty$) là một định giá trên $\hat{K}$ và $\hat{v}(\hat{K}^*) = v(K^*)$.

(c) Tôpô trên $\hat{K}$ là tôpô được xác định bởi định giá $0$.

(d) Với mọi $a \in G$ gọi $V_\alpha, V'_\alpha$ là các nhóm con của $K$ được xác định bởi các điều kiện $v(x) > a, v(x) \geq a$. Khi đó các bao đóng $\overline{V}_\alpha, \overline{V}'_\alpha$ của $V_\alpha, V'_\alpha$ trong $\hat{K}$ lần lượt được xác định bởi các điều kiện $\hat{v}(x) > a, \hat{v}(x) \geq a$.

(e) Vành của $0$ là hoàn thành $\hat{A}$ của vành $A$ của $v$; iđêan của $0$ là hoàn thành $\hat{m}$ của iđêan $m$ của $v$.

(f) $\hat{A} = A + m$; trường thặng dư của $8$ được đồng nhất một cách chính tắc với trường thặng dư của $v$.

Để chứng minh (a), chỉ cần (Tôpô đại cương, Chương III, § 6, no. 8, Mệnh đề 7) chỉ ra điều sau đây: giả sử $\mathfrak{F}$ là một bộ lọc Cauchy (đối với cấu trúc đều cộng tính) trên $K^*$ mà đối với nó $0$ không phải là một điểm tụ; khi đó ảnh của $\mathfrak{F}$ dưới song ánh $x \mapsto x^{-1}$ là một bộ lọc Cauchy (đối với cấu trúc đều cộng tính). Thật vậy, vì $0$ không phải là một điểm tụ của $\mathfrak{F}$, tồn tại $M \in \mathfrak{F}$ và $\beta \in G$ sao cho $\beta$ là một cận trên của $v(M)$. Cho $a \in G$. Nếu $M'$ là một phần tử của $\mathfrak{F}$ được chứa trong $M$ và sao cho $v(x - y) > \sup(\alpha + 2\beta, \beta)$ với $x \in M'$ và $y \in M'$, thì $v(x^{-1} - y^{-1}) > a$ với $x \in M'$ và $y \in M'$ (no. 1, Bổ đề 1). Do đó suy ra (a).

Theo Mệnh đề 1 của no. 1, $v|K^*$ là một đồng cấu liên tục từ $K^*$ vào $G$ và do đó có thể được mở rộng duy nhất thành một đồng cấu liên tục $0$ từ $K^*$ vào $G$. quan hệ

đúng trong $K^*$ và do đó cũng đúng trong $\hat{K}^*$ theo tính liên tục. Vậy 0 (mở rộng bởi $\hat{v}(0) = +\infty$) là một định giá trên $\mathbf{K}$ và (b) được chứng minh.

Bây giờ ta chứng minh (d). Cho $a \in G$ và $x \in \mathscr{S}, -\{0\}$. Với $y$ trong $V$, đủ gần $x$, ta có $\hat{v}(x) = \hat{v}(y) = v(y)$ và do đó $\hat{v}(x) > a$. Ngược lại, cho $x \in \hat{K}^*$ sao cho $\hat{v}(x) > a$; với $y$ trong $K^*$ đủ gần $x$, ta có $v(y) = \hat{v}(y) = \hat{v}(x)$ và vì thế $y \in V$, do đó $x \in \mathscr{S}$. Vậy $\mathscr{S}$ là tập hợp các $x \in \hat{K}$ sao cho $\hat{v}(x) > a$. Lập luận là tương tự đối với $V'_a$. Điều này chứng minh (d).

Có tính đến Mệnh đề 7 của Tôpô đại cương, Chương III, § 3, no. 4, mệnh đề (c) là một hệ quả của (d). Mệnh đề (e) là một trường hợp riêng của (d). Cuối cùng, cho $x \in \hat{A}$; tồn tại $y \in A$ sao cho $\hat{v}(x - y) > 0$; khi đó $z = x - y \in \hat{m}$ và do đó $x = y + z \in A + \hat{m}$; vậy $\hat{A} = A + \hat{m}$, điều này chứng tỏ (f).