Soient $\alpha \in G,$ et $V'_\alpha$ l’ensemble des $x \in K$ tels que $v(x) \geq \alpha.$ Si $\beta < \alpha,$ on a $V_\beta \supset V'_\alpha \supset V_\alpha.$ Si $v$ n’est pas impropre, on voit donc que les $V'_\alpha$ forment un système fondamental de voisinages de 0 pour $\mathscr{T}_v.$ Les $V_\alpha$ et les $V'_\alpha$ sont des sous-groupes additifs ouverts, donc fermés de $K,$ donc le corps topologique $K$ est totalement discontinu. Comme tout idéal non nul de l’anneau de $v$ contient un $V_\alpha,$ il est ouvert et fermé dans $K.$ La topologie quotient du corps résiduel de $v$ est donc discrète. Soit $A$ l’anneau de $v.$ Si $v$ est discrète, la prop. 8 du § 3, n° 6, montre que la topologie induite par $\mathscr{T}_v$ sur $A$ est la topologie $m(A)$-adique. Il n’en est pas de même en général (exerc. 4).

(i) K est complet; (ii) $v$ est discrète; (iii) le corps résiduel $\kappa(A)$ est fini. S’il en est ainsi, A est compact.

Supposons K localement compact. Il est alors complet (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 3, no 3, cor. 1 de la prop. 4); de plus il existe un voisinage compact de 0, qui contient un voisinage $V'_\alpha$, où $\alpha$ appartient au groupe des valeurs de $v$; autrement dit, il existe $a \neq 0$ dans $K^*$ tel que $A.a$ soit compact, et il en résulte que $A = (A.a)a^{-1}$ est compact. Comme tout idéal $b \neq (0)$ de A est ouvert, $A/b$ est compact et discret (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 2, no 5, prop. 14), donc fini, et en particulier $\kappa(A) = A/m$ est fini. En outre, pour $y \neq 0$ dans m, l’anneau $A/Ay$ étant fini, il n’y a qu’un nombre fini d’idéaux de A contenant $Ay$, et l’ensemble P des éléments de la forme $v(x)$ tels que

est fini; comme $v(K^*)$ est totalement ordonné, P a un plus petit élément $\gamma$. Pour tout $x \in A$ tel que $v(x) > 0$, on a donc, soit $v(x) > v(y) \geq \gamma$, soit $v(x) \leq v(y)$ et alors $v(x) \geq \gamma$ par définition, si bien que $\gamma$ est le plus petit des éléments $> 0$ de $v(K^*)$. Comme P est fini, il y a un plus grand entier $m \geq 0$ tel que $m\gamma \in P$, d’où $m\gamma \leq v(y) < (m+1)\gamma$. On en déduit $0 \leq v(y) - m\gamma < \gamma$, et par définition de $\gamma$, cela entraîne $v(y) = m\gamma$. On a donc $v(K^*) = \mathbf{Z}.\gamma$ et la valuation $v$ est discrète.

Réciproquement, supposons les conditions (i), (ii), (iii) vérifiées. On peut se borner au cas où $v$ est normée; soit u une uniformisante pour $v$. On a $\kappa(A) = A/Au$, donc $A/Au$ est fini. Comme $x \to xu^n$ définit par passage aux quotients un isomorphisme de groupe additif de $A/Au$ sur $Au^n/Au^{n+1}$, $A/Auj$ est fini pour tout $j \geq 0$. Comme A est fermé dans K, il est complet, donc isomorphe à la limite projective des $A/Auj$ (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 7, no 3, prop. 2), et par conséquent compact. Puisque A est ouvert dans K, on voit donc que K est localement compact.

Cette application est un isomorphisme algébrique continu. Il suffit de montrer qu’elle est bicontinue. Soit $\alpha \in G$. Il s’agit de montrer qu’il existe un voisinage V de 0 dans E tel que la relation $ax_0 \in V$ entraîne $v(a) > \alpha$. Soit $a_0 \in K^*$ tel que $v(a_0) = \alpha$. Comme E est séparé, il existe un voisinage W de 0 dans E tel que $a_0x_0 \notin W$. Comme $v$ n’est pas impropre, il existe un voisinage $W'$ de 0 dans E et un élément $\beta$ de G tels que les relations $y \in W', \ v(a) \geq \beta$ entraînent $ay \in W$. Soit $a_1 \in K^*$ tel que $v(a_1) = -\beta$. Les relations $ax_0 \in a_1^{-1}W'$ et $v(a) \leq \alpha$ entraînent $a_1ax_0 \in W'$ et $v(a_0a^{-1}a_1^{-1}) = \alpha + \beta - v(a) \geq \beta$, donc $a_0x_0 = a_0a^{-1}a_1^{-1}(a_1ax_0) \in W$, ce qui est absurde; autrement dit, la relation $ax_0 \in a_1^{-1}W'$ entraîne $v(a) > \alpha$.

Compte tenu des prop. 1 et 3, la démonstration est la même que celle d’Esp. Vect. Top., chap. I, § 2, cor. 2 du th. 1.

Compte tenu de la prop. 3 et de son corollaire, la démonstration est la même que celle d’Esp. Vect. Top., chap. I, , th. 2

a) L’anneau complété $\hat{K}$ de K (muni de $\mathscr{T}_v$) est un corps topologique.

b) L’application $v : K^* \to G$ se prolonge de manière unique en une application continue $\hat{v} : \hat{K}^* \to G$. L’application $\hat{v}$ (prolongée par $\hat{v}(0) = +\infty$) est une valuation de $\hat{K}$ et $\hat{v}(\hat{K}^*) = v(K^*)$.

c) La topologie de $\hat{K}$ est la topologie définie par la valuation $\hat{v}$.

d) Pour tout $\alpha \in G$, soient $V_\alpha, V'_\alpha$ les sous-groupes de K définis par les conditions $v(x) > \alpha, v(x) \geq \alpha$. Alors les adhérences $\overline{V_\alpha}, \overline{V'_\alpha}$ de $V_\alpha, V'_\alpha$ dans $\hat{K}$ sont définies par les conditions $\hat{v}(x) > \alpha, \hat{v}(x) \geq \alpha$ respectivement.

e) L’anneau de $\hat{v}$ est le complété $\hat{A}$ de l’anneau A de $v$; l’idéal de $\hat{v}$ est le complété $\hat{m}$ de l’idéal m de $v$.

f) On a $\hat{A} = A + \hat{m}$; le corps résiduel de $\hat{v}$ s’identifie canoniquement à celui de $v$.

Pour prouver a), il suffit (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 6, no 8, prop. 7) de démontrer ceci : soit $\mathfrak{F}$ un filtre de Cauchy (pour la structure uniforme additive) sur $K^*$ auquel 0 n’est pas adhérent; alors l’image de $\mathfrak{F}$ par la bijection $x \to x^{-1}$ est un filtre de Cauchy (pour la structure uniforme additive). En effet, puisque 0 n’est pas adhérent à $\mathfrak{F}$, il existe $M \in \mathfrak{F}$ et $\beta \in G$ tels que $\beta$ soit un majorant de $v(M)$. Soit $\alpha \in G$. Si $M'$ est un élément de $\mathfrak{F}$ contenu dans M et tel que $v(x - y) > \sup (\alpha + 2\beta, \beta)$ pour $x \in M'$ et $y \in M'$, on a $v(x^{-1} - y^{-1}) > \alpha$ pour $x \in M'$ et $y \in M'$ (no 1, lemme 1). D’où a).

D’après la prop. 1 du no 1, $v|K^*$ est une représentation continue de $K^*$ dans $G$, donc se prolonge de manière unique en une représentation continue $\hat{v}$ de $\hat{K}^*$ dans $G$. La relation

est vraie dans $K^*$, donc reste vraie dans $\hat{K}^*$ par continuité. Ainsi $\hat{v}$ (prolongée par $\hat{v}(0) = +\infty$) est une valuation de $\hat{K}$, et b) est démontré.

Démontrons d). Soient $\alpha \in G$ et $x \in \overline{V}_\alpha - \{0\}$. Pour $y$ dans $V_\alpha$ assez voisin de $x$, on a $\hat{v}(x) = \hat{v}(y) = v(y)$, donc $\hat{v}(x) > \alpha$. Réciproquement, soit $x \in \hat{K}^*$ tel que $\hat{v}(x) > \alpha$; pour $y$ dans $K^*$ assez voisin de $x$, on a $v(y) = \hat{v}(y) = \hat{v}(x)$, donc $y \in V_\alpha$, d’où $x \in \overline{V}_\alpha$. Ainsi $\overline{V}_\alpha$ est l’ensemble des $x \in \hat{K}$ tels que $\hat{v}(x) > \alpha$. On raisonne de façon analogue pour $V'_\alpha$. Ceci prouve d).

Compte tenu de la prop. 7 de Top. gén., chap. III, 3e éd., § 3, no 4, l’assertion c) est une conséquence de d). L’assertion e) est un cas particulier de d). Enfin, soit $x \in \hat{A}$; il existe $y \in A$ tel que $\hat{v}(x - y) > 0$; alors $z = x - y \in \hat{m}$, donc $x = y + z \in A + \hat{m}$; ainsi $\hat{A} = A + \hat{m}$, ce qui démontre f).