Faisant tendre $r$ vers $+\infty$, il vient $f(1 + x) \leq 1 + f(x)$ pour tout $x \in K$; appliquant cette inégalité en remplaçant $x$ par $xy^{-1}$ (pour $y \neq 0$) et tenant compte de (VA$_{\text{II}}$), on obtient la relation (VA$_{\text{III}}$), ce qui prouve la proposition.

C’est nécessaire, car (VA$_{\text{III}}$) entraîne

Inversement, supposons que $f$ vérifie (VA$_{\text{I}}$), (VA$_{\text{II}}$) et (U$_2$); pour tout entier $n > 0$, soit $r$ le plus petit entier tel que $2^r \geq n$; si dans (1) on remplace $A$ par 2, les $x_i$ d’indice $i \leq n$ par 1 et les $x_i$ d’indice $i > n$ par 0, on obtient $f(n.1) \leq 2^r < 2n$; on peut alors appliquer la prop. 2 avec $C = 2$, donc $f$ est une valeur absolue.

En effet, dire que $f$ vérifie (U$_A$) équivaut à dire que $f^s$ vérifie (U$_{A^s}$); comme il existe $s > 0$ tel que $A^s \leq 2$, le cor. 1 montre que pour une telle valeur de $s$, $f^s$ est une valeur absolue.

a) $f$ est une valeur absolue ultramétrique.

b) Il existe une valuation $v$ de $K$, à valeurs dans $\mathbf{R}$, et un nombre réel $a$ tels que $0 < a < 1$ et $f = a^v$.

c) $f$ appartient à $\mathscr{V}(K)$ et l’on a $f(n.1) \leq 1$ pour tout entier $n > 0$.

d) Pour tout $s > 0$, $f^s$ est une valeur absolue. Pour tout nombre réel $c$ tel que $0 < c < 1$, l’application $t \to c^t$ est un isomorphisme du groupe ordonné $\mathbf{R}$ (muni de l’ordre opposé à l’ordre usuel) sur le groupe ordonné $\mathbf{R}_+^*$; cela montre l’équivalence de a) et b). Il est clair que a) implique $c);$ c) entraîne d), car on déduit de c) que $(f(n.1))^s \leqslant 1 \leqslant n$ pour tout entier $n > 0$ et la prop. 2 du no 1 montre que $f^s$ est une valeur absolue. Enfin d) entraîne a): en effet, si $f^s$ est une valeur absolue, elle vérifie $(\mathrm{U}_2)$, donc $f$ vérifie $\mathrm{U}_{2^{1/s}}$ pour tout $s > 0$, et par suite aussi $(\mathrm{U}_1)$ en faisant tendre $s$ vers $+ \infty$.

En effet, tout élément $z = n.1$ (n entier $> 0$) non nul appartient au sous-corps premier $\mathbf{F}_p$ de $K$, donc vérifie la relation $z^{p-1} = 1$, ce qui entraîne $f(z) = 1$ et l’on peut appliquer la prop. 3, c).

Étant donné un nombre réel $c$ tel que $0 < c < 1$, les formules

établissent donc une correspondance biunivoque entre valeurs absolues ultramétriques sur $K$ et valuations de $K$ à valeurs réelles. À la valeur absolue impropre (Top. gén., chap. IX, § 3, no 2) correspond la valuation impropre. Soient $v_1, v_2$ deux valuations de $K$ à valeurs réelles, et $f_1, f_2$ les valeurs absolues correspondantes; pour que $v_1$ et $v_2$ soient équivalentes, il faut et il suffit que $f_1$ et $f_2$ le soient : en effet, dire que $v_1$ et $v_2$ sont équivalentes revient à dire que les relations $v_1(x) \geqslant 0$ et $v_2(x) \geqslant 0$ sont équivalentes, ou encore que les relations $f_1(x) \leqslant 1$ et $f_2(x) \leqslant 1$ sont équivalentes; il suffit donc d’appliquer la prop. 5 de Top. gén., chap. IX, § 3, no 2. En outre (loc. cit.) pour que les topologies définies sur $K$ par $f_1$ et $f_2$ soient identiques, il faut et il suffit que $f_1$ et $f_2$ soient équivalentes.

Dans le cas (iii), pour que $f$ soit une valeur absolue sur $\mathbf{Q}$, il faut et il suffit que $0 < s \leq 1$.

Supposons d’abord que l’on ait $f(n) \leq 1$ pour tout entier $n > 0$. En vertu de la prop. 3 du no 2, il existe un nombre réel $b$ et une valuation $v$ de $\mathbf{Q}$ tels que $0 < b < 1$ et $f = b^v$. Or, on sait ($§ 3$, no 4, Exemple 4) que les seules valuations sur $\mathbf{Q}$ sont (à équivalence près) la valuation impropre et les valuations $p$-adiques $v_p$; on est donc dans l’un des cas (i) ou (ii).

Supposons désormais qu’il existe un entier $h > 0$ tel que $f(h) > 1$; en vertu du no 1, cor. 2 de la prop. 2, il existe un nombre $\rho > 0$ tel que $f^\rho$ soit une valeur absolue; posons

pour tout nombre rationnel $x \neq 0$. Soient $a, b$ deux entiers $\geq 2$; pour tout entier $n \geq 2$, notons $q(n)$ la partie entière de $n.\log a/\log b$, autrement dit le plus petit entier $m$ tel que $a^n < b^{m+1}$; le développement de $a^n$ de base $b$ est donc

avec $0 \leq c_i < b$ pour $0 \leq i \leq q(n)$. Comme $f^\rho$ est une valeur absolue, on a $f^\rho(c_i) \leq c_i \leq b$, et l’on déduit donc de (2) que

Prenant les logarithmes des deux membres de cette inégalité et divisant par $n.\log a$, on obtient

Notons maintenant que lorsque $n$ tend vers $+\infty$, $q(n)/n$ tend vers $\log a/\log b$; par suite $q(n)$ tend vers $+\infty$ et

tend vers 0 (Fonct. var. réelle, chap. III, § 2, no 1). Passant à la limite dans (3), il vient

Mais l’on a $f(h) > 1$, d’où $g(h) > 0$; si l’on remplace $a$ par $h$ dans (4), on obtient $\sup (0, g(b)) > 0$, donc

Quels que soient les entiers $a, b$ au moins égaux à 2, on a donc $g(a) \leq g(b)$, et par suite $g(a) = g(b)$ en échangeant les rôles de $a$ et $b$. Autrement dit, il existe une constante $\lambda$ telle que $g(a) = \lambda$ pour tout entier $a \geq 2$; si l’on pose $s = \lambda / \rho$, on a donc $f(a) = |a|^s$ pour tout entier $a \geq 2$. Comme $f(xy) = f(x)f(y)$ et $f(-x) = f(x)$, on a $f(x) = |x|^s$ pour tout $x \in \mathbf{Q}$. Enfin, si $0 < s \leq 1$, on sait que $x \to |x|^s$ est une valeur absolue ($Top.$ gén., chap. IX, , no 2); réciproquement, si $s$ est tel que $x \to |x|^s$ soit une valeur absolue sur $\mathbf{Q}$, on a $(1 + 1)^s \leq 1^s + 1^s$, c’est-à-dire $2^s \leq 2$, d’où $s \leq 1$

C.Q.F.D.

1° $K$ est un corps (non nécessairement commutatif).

2° Il existe sur $K$ une norme $x \to ||x||$ compatible avec la structure d’algèbre de $K$ (Top. gén., chap. IX, § 3, no 7, déf. 9). Alors l’algèbre $K$ est isomorphe à l’une des algèbres $\mathbf{R}, \mathbf{C}$ ou $\mathbf{H}$.

Rappelons (loc. cit.) que l’on peut toujours supposer que l’on a $||xy|| \leq ||x||.||y||$ quels que soient $x, y$ dans $K$. Nous munirons $K$ de la topologie (compatible avec la structure d’algèbre) définie par la norme.

A) Premier cas: $K$ est commutatif et il existe $j \in K$ tel que $j^2 = -1$. Il existe alors un isomorphisme $\sigma$ du corps $\mathbf{C}$ sur un sous-corps de $K$ tel que $\sigma(\xi + i\eta) = \xi . 1 + \eta . j$ pour $\xi, \eta$ dans $\mathbf{R}$. Nous allons prouver par l’absurde que l’on a $K = \sigma(\mathbf{C})$. Supposons donc qu’il existe $x \in K - \sigma(\mathbf{C})$; pour tout $z \in \mathbf{C}$, $x - \sigma(z)$ est donc inversible dans $K$; posons $F(z) = (x - \sigma(z))^{-1}$; comme $\sigma$ est continue et que l’inverse est continu dans $K$ (Top. gén., chap. IX, § 3, no 7, prop. 13 appliquée à l’algèbre complétée de $K$), $F$ est une application continue de $\mathbf{C}$ dans $K$. On peut d’ailleurs écrire, pour $z \neq 0$,

Mais comme $(\sigma(z))^{-1} = \sigma(z^{-1})$ tend vers 0 lorsque $z$ tend vers l’infini dans $\mathbf{C}$, on voit que $F(z)$ tend alors vers 0; autrement dit, $z \to ||F(z)||$ est une fonction numérique continue et $\geqslant 0$ dans $\mathbf{C}$, tendant vers $0$ au point à l'infini, et qui peut par suite être considérée comme une fonction continue sur l'espace compact $\overline{\mathbf{C}}$ obtenu par adjonction à $\mathbf{C}$ d'un point à l'infini. La borne supérieure $\alpha$ de $||F||$ dans $\mathbf{C}$ est donc finie et $> 0$, et l'ensemble $P$ des nombres complexes $z$ tels que $||F(z)|| = \alpha$ est fermé et non vide (Top. gén., chap. IV, , n° 1, th. 1)

Soit $z \in P$; posons $y = x - \sigma(z)$ et soit $t$ un nombre complexe $\neq 0$ tel que $||\sigma(t)|| < \alpha^{-1}$, d’où $||\sigma(t).y^{-1}|| < 1$ par définition de $\alpha$. La suite des $(\sigma(t)y^{-1})^n$ et celle des $n(\sigma(t)y^{-1})^n$ tendent donc vers $0$ dans $K$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, car il en est ainsi des suites des normes correspondantes dans $\mathbf{R}$.

Notons d’autre part que pour tout polynôme $H(T) = \prod_{k=1}^p (T - \sigma(c_k))$ où les $c_k$ sont des nombres complexes deux à deux distincts, on a, dans le corps $K(T)$ des fractions rationnelles

Appliquons cette formule au polynôme

où $\omega_n = \exp(2\pi i / n)$, et substituons à $T$ l’élément $y \in K$, qui est distinct de tous les $\sigma(\omega_n^k t)$. Il vient (dans le corps commutatif $K$)

Compte tenu des définitions de $F$ et de $y$, on obtient

Mais en vertu du choix de $t$ et des remarques faites plus haut, le dernier membre de (7) tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$; donc

Or on a $||\mathbf{F}(z)|| = \alpha$ et $||\mathbf{F}(z + \omega_n^{k t})|| \leq \alpha$ par définition de $\alpha$, d’où

En vertu de (8), on a par suite, en faisant tendre $n$ vers $+\infty$, $||\mathbf{F}(z + t)|| \geq \alpha$, et par définition de $\alpha$ cela entraîne

autrement dit $z + t \in \mathbf{P}$. Cela prouve que l’ensemble $\mathbf{P}$ est ouvert dans $\mathbf{C}$; comme il est aussi fermé et non vide et que $\mathbf{C}$ est connexe, on a $\mathbf{P} = \mathbf{C}$ et $||\mathbf{F}||$ est donc constante dans $\mathbf{C}$; comme cette fonction tend vers 0 au point à l’infini, on a $||\mathbf{F}(z)|| = 0$ dans $\mathbf{C}$, et en particulier $||\mathbf{F}(0)|| = ||x^{-1}|| = 0$, ce qui est absurde.

B) Deuxième cas : K est commutatif, et $-1$ n’est pas le carré d’un élément de K.

Soit L le corps commutatif obtenu par adjonction à K d’une racine $j$ de $T^2 + 1$; L est un espace vectoriel sur K admettant $(1, j)$ pour base, et L est évidemment une algèbre sur $\mathbf{R}$. Il est clair que la fonction $x + yj \to ||x|| + ||y||$ est une norme sur L compatible avec sa structure d’espace vectoriel sur $\mathbf{R}$; d’autre part, pour $z = x + yj,\ z' = x' + y'j$ dans L, on a

La norme ainsi définie est par suite compatible avec la structure de R-algèbre de L. En vertu du cas A), L est une R-algèbre isomorphe à $\mathbf{C}$; or la seule sous-R-algèbre de $\mathbf{C}$ distincte de $\mathbf{C}$ est $\mathbf{R}$, donc K est isomorphe à $\mathbf{R}$.

C) Troisième cas : K est non commutatif.

Soient Z le centre de K, $x$ un élément de K non dans Z; le sous-corps $Z(x)$ de K est commutatif et la norme induite par celle de K est compatible avec la structure de R-algèbre de $Z(x)$; comme $Z \neq Z(x)$ et que Z et $Z(x)$ sont des R-algèbres isomorphes à $\mathbf{R}$ ou à $\mathbf{C}$ en vertu de A) et B), Z est nécessairement isomorphe à $\mathbf{R}$ et $Z(x)$ à $\mathbf{C}$. Pour tout $x \in K$, $Z(x)$ est donc de rang $\leq 2$ sur Z. Or on a le lemme suivant :

On peut évidemment se borner au cas où $D \neq L$. Il existe alors dans D une extension commutative algébrique séparable E de L, de degré fini $> 1$ (Alg., chap. VIII, § 10, no 3, lemme 1); comme $E = L(x)$ pour un $x$ convenable dans E (Alg., chap. V, § 7, no 7, prop. 12 et chap. VII, § 5, no 7), on a par hypothèse $[E : L] \leq m$. Supposons l’extension séparable E prise telle que $[E : L]$ soit fini et le plus grand possible, et considérons le commutant $E' \supset E$ de E dans D, qui est un corps de centre E, tel que

(Alg., chap. VIII, § 10, no 2, th. 2). Si l’on avait $E \neq E'$, il existerait dans $E'$ une extension algébrique séparable F de E, de degré fini $> 1$ (Alg., chap. VIII, § 10, no 3, lemme 1); F serait donc une extension algébrique séparable de L (Alg., chap. V, § 7, no 4, prop. 7) de degré fini $> [E : L]$, contrairement à la définition de E; on a donc $E' = E$, d’où $[D : L] = [D : E][E : L] \leq m^2$.

Appliquant ce lemme à K avec $m = 2$, on voit que K est un surcorps non commutatif de rang fini de $\mathbf{R}$, donc nécessairement isomorphe au corps de quaternions $\mathbf{H}$ (Alg., chap. VIII, § 11, no 2, th. 2).

C.Q.F.D.

Remarque 1). — Indiquons le principe d’une démonstration plus courte du th. de Gelfand-Mazur, valable lorsque, au lieu de $2^o$, on suppose seulement qu’il existe sur K une topologie localement convexe séparée compatible avec sa structure de corps : on se ramène (comme dans les cas B) et C)) au cas où K est une algèbre commutative sur $\mathbf{C}$; si $x \in K - \mathbf{C}.1$, on considère comme plus haut l’application $z \to (x - z.1)^{-1}$ de $\mathbf{C}$ dans K, qui est continue et dérivable dans $\mathbf{C}$. Pour tout élément $x'$ du dual $K'$ de l’espace localement convexe K, $z \to \langle (x - z.1)^{-1}, x' \rangle$ est donc une fonction entière et bornée dans $\mathbf{C}$, donc constante en vertu du th. de Liouville, et l’on conclut, comme dans la partie A) de la démonstration du th. 1, que cela implique nécessairement $\langle (x - z.1)^{-1}, x' \rangle = 0$ pour tout $z \in \mathbf{C}$ et tout $x' \in K'$; le th. de Hahn-Banach montre que cette conclusion est absurde, puisque $(x - z.1)^{-1} \neq 0$. On notera que le raisonnement de la partie A) de la démonstration du th. 1 ne diffère du précédent qu’en apparence, car ce raisonnement n’est en fait qu’un cas particulier de celui qui sert à prouver le principe du maximum pour les fonctions analytiques, la sommation sur les racines de l’unité et le passage à la limite équivalant au calcul de l’intégrale $\int_{\gamma} \frac{F(z + t)}{t} dt$ le long d’un cercle de centre 0, et l’utilisation de la formule de Cauchy étant ici évitée grâce à la forme particulière de la fonction F.

En vertu du no 2, cor. de la prop. 3, K est de caractéristique 0, donc une algèbre sur $\mathbf{Q}$; pour tout $x \in \mathbf{Q}$, posons $h(x) = f(x.1)$; il est clair que $h \in \mathscr{V}(\mathbf{Q})$, et l’on peut donc appliquer la prop. 4 du no 3; on ne peut être dans le cas (i) ou (ii) de l’énoncé de cette proposition, car cela entraînerait $f(n.1) \leq 1$ pour tout entier $n > 0$, et f serait une valeur absolue ultramétrique en vertu du no 2, prop. 3. Il existe donc un nombre réel $s > 0$ tel que $h(x) = |x|^s$ pour tout $x \in \mathbf{Q}$, c’est-à-dire $f(x.1) = |x|^s$; posons $g = f^{1/s}$. Alors on a $g \in \mathscr{V}(K)$ et $g(n.1) = n$ pour tout entier $n > 0$; la prop. 2 du no 1 montre par suite que g est une valeur absolue sur K.

Pour $x \in \mathbf{Q}$ et $y \in K$, on a $g(xy) = |x|g(y)$, donc g est une norme sur K compatible avec sa structure de $\mathbf{Q}$-algèbre (pour la valeur absolue usuelle sur $\mathbf{Q}$). Le complété $\hat{K}$ de K est par suite une algèbre normée sur $\hat{\mathbf{Q}} = \mathbf{R}$ (Top. gén., chap. IX, § 3, no 7); soit $\hat{g}$ la norme sur $\hat{K}$, prolongement continu de g. Comme g est une valeur absolue sur K, $\hat{K}$ est un corps et $\hat{g}$ une valeur absolue sur $\hat{K}$ (Top. gén., chap. IX, § 3, no 3, prop. 6). En vertu du th. 1, il existe un isomorphisme $\hat{j}$ de $\mathbf{R}$-algèbres de $\hat{K}$ sur l’un des corps $\mathbf{R}, \mathbf{C}$ ou $\mathbf{H}$, et $g'(x) = |\hat{j}(x)|$ est par suite une valeur absolue sur $\hat{K}$; comme $\hat{K}$ est de dimension finie sur $\mathbf{R}$, et que $g'$ et $\hat{g}$ coïncident dans le sous-corps $\mathbf{R}.1$ de $\hat{K}$, on a $g' = \hat{g}$ en vertu du lemme suivant:

(*) Sur $\mathbf{H}$, on pose $|z|^2 = z.\overline{z} = \overline{z}.z$, $\overline{z}$ étant le quaternion conjugué de z.

Comme la topologie définie par $g$ est séparée et compatible avec la structure de $K$-espace vectoriel à gauche de $L$, la première assertion résulte de Esp. vect. top., chap. I, § 2, no 3, th. 2. En outre les topologies sur $L$ définies par $g$ et $g'$ sont identiques (loc. cit.); il existe par suite un nombre réel $s > 0$ tel que $g' = g^s$ (Top. gén., chap. IX, § 3, no 2, prop. 5). Soit $x$ un élément de $K$ tel que $f(x) \neq 1$; l’égalité $g'(x) = g(x)$ prouve que $s = 1$.

Revenant à la démonstration du th. 2, on voit que si l’on note $j$ la restriction de $\hat{j}$ à $K$, $j$ est un isomorphisme de $K$ sur un sous-corps partout dense de $\mathbf{R}, \mathbf{C}$ ou $\mathbf{H}$ et l’on a $g(x) = |j(x)|$ pour $x \in K$, d’où $f(x) = |j(x)|^s$.

Notons enfin que si $f$ est une valeur absolue sur $K$, $h$ est une valeur absolue sur $\mathbf{Q}$ et l’on a $s \leq 1$ en vertu du no 3, prop. 4; réciproquement, si $s \leq 1$, $f = g^s$ est une valeur absolue sur $K$ puisqu’il en est ainsi de $g$ (Top. gén., chap. IX, § 3, no 2); cela prouve la dernière assertion de l’énoncé. C.Q.F.D.