Exercice 15, § 4

Soient A un anneau, a un idéal de type fini de A. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : α) $a^2 = a$ ; β) a est engendré par un idempotent ; γ) V(a) est à la fois ouvert et fermé dans X = Spec(A) et a est minimal parmi les idéaux b tels que r(b) = r(a) (utiliser le § 2, cor. 3 de la prop. 4). Donner un exemple où $a^2 = a$, a n’est pas de type fini et ne contient pas d’idempotent ≠ 0 (cf. § 2, exerc. 15).