Les conditions sont évidemment nécessaires, car un sous-$A$-module libre de $V$ ayant même rang que $V$ engendre $V$. Inversement, si $KM = V$, $M$ contient une base $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $V$ sur $K$, donc il contient le sous-$A$-module libre $L_1$ engendré par les $a_i$; d’autre part, si $M \subset M_1$, où $M_1$ est un sous-$A$-module de $V$ engendré par un nombre fini d’éléments $b_j$ et si $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une base de $V$ sur $K$, il existe un élément $s \neq 0$ de $A$ tel que chacun des $b_j$ soit combinaison linéaire des $s^{-1} e_i$ à coefficients dans $A$; si $L_2$ est le sous-$A$-module libre de $V$ engendré par les $s^{-1} e_i$, on a donc $M \subset L_2$.

En effet, si $L_1, L_2$ sont deux réseaux libres de $V$ tels que $L_1 \subset M \subset L_2$, les relations $xM \subset M_1 \subset yM$ entraînent $xL_1 \subset M_1 \subset yL_2$ et $xL_1$ et $yL_2$ sont des réseaux libres; inversement, si $M_1$ est un réseau et $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ une base de $L_2$ sur $A$, la relation $KM_1 = V$ entraîne l’existence de $x = a/s \in K^*$ (où $a$ et $s$ sont des éléments non nuls de $A$) tel que $xe_i \in M_1$ pour tout $i$, d’où $xM \subset xL_2 \subset M_1$, et $a$ fortiori $aM \subset M_1$; échangeant les rôles de $M$ et $M_1$, on montre de même l’existence de $b \neq 0$ dans $A$ tel que $bM_1 \subset M$.

(ii) Si $W$ est un sous-espace vectoriel de $V$, et si $M$ est un réseau de $V$, $M \cap W$ est un réseau de $W$.

(iii) Soient $V, V_1, \ldots, V_k$ des espaces vectoriels de rang fini sur $K$, et soit $f : V_1 \times \cdots \times V_k \to V$ une application multilinéaire dont l’image engendre $V$. Si $M_i$ est un réseau de $V_i$ pour $1 \leq i \leq k$, le sous-A-module de $V$ engendré par $f(M_1 \times \cdots \times M_k)$ est un réseau de $V$.

(iv) Soient $V$ et $W$ deux espaces vectoriels de rang fini sur $K$, $M$ un réseau de $V$, $N$ un réseau de $W$. Le sous-A-module $N : M$ de $\operatorname{Hom}_K(V, W)$, formé des applications $K$-linéaires $f$ telles que $f(M) \subset N$, est un réseau de $\operatorname{Hom}_K(V, W)$.

(i) En vertu de la prop. 2, il existe $a$ et $b$ non nuls dans $A$ et tels que $aM_1 \subset M_2 \subset b^{-1}M_1$; on en conclut que $M_1 \cap M_2$ et $M_1 + M_2$ sont compris entre $aM_1$ et $b^{-1}M_1$, donc sont des réseaux en vertu de la prop. 2.

(ii) Soient S un supplémentaire de W dans V, L_w un réseau libre de W, L_s un réseau libre de S, de sorte que L = L_w ⊕ L_s est un réseau libre de V. Il existe donc x, y dans K* tels que xL ⊂ M ⊂ yL. On en déduit xL_w ⊂ M ∩ W ⊂ yL_w, ce qui montre que M ∩ W est un réseau de W (prop. 2).

(iii) Comme KM_i = V_i, il est clair par linéarité que f(M_1 × ... × M_k) engendre le K-espace vectoriel V; d’autre part, pour tout i, il existe un sous-A-module N_i de type fini de V_i tel que M_i ⊂ N_i; le sous-A-module N de V engendré par f(N_1 × ... × N_k) est de type fini et contient M, donc M est un réseau de V (prop. 1).

(iv) Soit P (resp. Q) un réseau libre de V (resp. W), contenant M (resp. contenu dans N); on a évidemment N : M ⊃ Q : P. Or il est immédiat que Q : P est isomorphe à Hom_A(P, Q), donc est un A-module libre de rang (rg_A P)(rg_A Q) (Alg., chap. II, 3e éd., § 1, n° 6, cor. 1 de la prop. 6), et par suite un réseau de Hom_K(V, W). De même, si P' (resp. Q') est un réseau libre de V (resp. W) contenu dans M (resp. contenant N), on a Q' : P' ⊃ N : M, et Q' : P' est un réseau de Hom_K(V, W); d’où la conclusion.

Soit $s_f : U \to \operatorname{Hom}_K(V, W)$ l’application $K$-linéaire associée à gauche à $f$ (Alg., chap. IX, loc. cit.), telle que $s_f(x)$ soit l’application linéaire $y \to f(x, y)$; rappelons que dire que $f$ est non dégénérée à gauche signifie que $s_f$ est injective. En vertu de la prop. 3, (iv), $N : M$ est un réseau de $\operatorname{Hom}_K(V, W)$; comme on a $N :_f M = s_f^{-1}(N : M)$ et que $s_f$ est injective, le corollaire résulte de la prop. 3, (ii).

(i) Pour tout réseau $M$ de $V$ par rapport à $A$, l’image $BM$ de $M_{(B)} = M \otimes_A B$ dans $V_{(L)} = V \otimes_K L$ est un réseau de $V_{(L)}$ par rapport à $B$.

(ii) Supposons de plus que B soit un A-module plat. Alors l’application canonique $M_{(B)} \to BM$ est bijective. Si en outre B est fidèlement plat, l’application qui, à tout réseau M de V par rapport à A, fait correspondre le réseau BM de $V_{(L)}$ par rapport à B, est injective.

(i) Comme $KM = V$, il est clair que $L.(BM) = V_{(L)}$; d’autre part M est contenu dans un sous-A-module de type fini $M_1$ de V, donc BM est contenu dans $BM_1$, qui est un B-module de type fini; d’où l’assertion (i) (prop. 1).

(ii) On a $V_{(L)} = V \otimes_K L = V \otimes_A L$ (chap. II, § 2, n° 7, prop. 18), et comme L est un B-module plat, c’est aussi un A-module plat (chap. I, § 2, n° 7, cor. 3 de la prop. 8). Comme B est un A-module plat, l’application canonique $M \otimes_A B \to V \otimes_A B$ est injective; d’autre part, V étant un K-module libre et K un A-module plat, V est un A-module plat (chap. I, § 2, n° 7, cor. 3 de la prop. 8), donc l’application canonique $V \otimes_A B \to V \otimes_A L$ est injective, ce qui établit la première assertion. Pour voir en outre que la relation $BM_1 = BM_2$ implique $M_1 = M_2$ pour deux réseaux $M_1, M_2$ de V par rapport à A lorsque B est un A-module fidèlement plat, notons d’abord que l’on a $BM_1 \cap BM_2 = B(M_1 \cap M_2)$ (chap. I, § 2, n° 6, prop. 6); on peut donc se borner au cas où $M_1 \subset M_2$, et notre assertion résulte alors du chap. I, § 3, n° 1, prop. 3, appliqué à l’injection canonique $M_1 \to M_2$.

Si L est un réseau libre de V, les réseaux $aL$ (pour $a \in A$, $a \neq 0$) forment un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie $\mathscr{T}$ sur V (compatible avec sa structure de A-module), qui (lorsqu’on prend une base de L sur A) s’identifie à la topologie produit sur $K^n$; en vertu de la prop. 2, un système fondamental de voisinages de 0 pour $\mathscr{T}$ est encore formé de tous les réseaux de V par rapport à A ; il est clair que $\hat{V}$ est le complété de V pour $\mathscr{T}$. En outre, si m est l’idéal maximal de A, la topologie $\mathscr{T}$ induit sur tout réseau M de V par rapport à A la topologie m-adique puisque M est un A-module de type fini (chap. III, § 3, n° 2, th. 2), et $\hat{A}M$ est le complété de $M$ pour cette topologie (chap. III, § 2, n° 12, prop. 16); d’ailleurs, comme $M$ est ouvert (et par suite fermé) dans $V$, on a $\hat{A}M \cap V = M$, ce qui démontre à nouveau le fait que $\varphi$ est injective (qui découle directement de la prop. 4, (ii), puisque $\hat{A}$ est un $A$-module fidèlement plat). Enfin, si $M'$ est un réseau de $\hat{V}$ par rapport à $\hat{A}$, $M = M' \cap V$ est un réseau de $V$ par rapport à $A$, car tout élément de $\hat{A}$ est produit d’un élément de $A$ et d’un élément inversible de $\hat{A}$, donc il résulte de la prop. 2 qu’il existe $a, b$ dans $A - \{0\}$ tels que $a\hat{A}L \subset M' \subset b\hat{A}L$, d’où $aL \subset M' \cap V \subset bL$. En outre, $M'$ est ouvert dans $V$, et comme $V$ est dense dans $\hat{V}$, $M'$ est la complétion de $M' \cap V = M$; cela prouve que $\varphi$ est surjective, d’où le corollaire.

(1)

dans $\mathrm{Hom}_K(V, W)$.

Il est clair que le premier membre de (1) est contenu dans le second. Réciproquement, soit $f \in S^{-1}N : S^{-1}M$, et soit $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ un système de générateurs de $M$. Il existe $s \in S$ tel que $f(x_i) \in s^{-1}N$ pour tout $i$, donc $sf \in N : M$, ce qui démontre la proposition.

Il est clair que M* est contenu dans chacun des M_p*. Inversement, supposons que x* ∈ $\bigcap_{p \in P} M_p^*$; si x ∈ M, on a $\langle x, x^* \rangle \in \bigcap_{p \in P} A_p$, et comme A = $\bigcap_{p \in P} A_p$ (§ 1, n° 6, th. 4), on a bien x* ∈ M*.

En effet, le th. 1 appliqué à M* montre que M = $\bigcap_{p \in P} M_p^{**}$. Mais comme A_p est un anneau principal (§ 1, n° 6, th. 4), M_p est un A_p-module libre de type fini, donc M_p s’identifie canoniquement à M_p (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, n° 7, prop. 14), d’où le corollaire.

Pour un réseau quelconque M par rapport à A, l’application canonique c_M : M → M (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, n° 7) identifie un élément x ∈ M à lui-même, car x est l’unique élément y de V = V tel que $\langle x, x^* \rangle = \langle y, x^* \rangle$ pour tout x* ∈ M*, puisque M* engendre V*. Nous dirons que M est réflexif si M** = M (loc. cit.). Comme on a vu plus haut que M* = (M*)**, on voit que le dual d’un réseau quelconque M est toujours réflexif.

L’équivalence de a) et b) résulte du cor. du th. 1. Si b) est vérifiée, $V/M$ s’identifie canoniquement à un sous-A-module du produit $\prod_{p \in P} (V/M_p)$; mais en fait, il est contenu dans la somme directe $\bigoplus_{p \in P} (V/M_p)$: en effet, si $L \subset M$ est un réseau libre et $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ une base de $L$, chacune des coordonnées $x_i$ d’un point $x \in V$ par rapport à $(e_i)$ appartient à $A_p$ sauf pour un nombre fini de valeurs de $p$ (§ 1, n° 6, th. 4), donc $x \in L_p \subset M_p$ sauf pour un nombre fini de valeurs de $p \in P$. La relation $V/M \subset \bigoplus_{p \in P} (V/M_p)$ entraîne alors:

Comme $V/M_p$ est un $A_p$-module, un élément de $A - p$ ne peut annuler un élément $\neq 0$ de $V/M_p$, puisque les éléments de $A - p$ sont inversibles dans $A_p$; les éléments de $\operatorname{Ass}(V/M_p)$ sont donc contenus dans $p$ et sont $\neq 0$, puisque $V/M_p$ est un $A_p$-module de torsion; comme $p$ est de hauteur 1, on a nécessairement $\operatorname{Ass}(V/M_p) = \{p\}$ si $V/M_p \neq \{0\}$, et $\operatorname{Ass}(V/M_p) = \phi$ si $V/M_p = \{0\}$; donc $\operatorname{Ass}(V/M) \subset P$.

Enfin, si la condition c) est vérifiée, on a

D’autre part, si $p \in P$, on a vu dans la démonstration du cor. du th. 1 que l’on a $M_p^{**} = M_p$, d’où $p \notin \operatorname{Ass}(M^{**}/M)$ (chap. IV, § 1, n° 3, cor. 1 de la prop. 7). On en conclut que l’on a $\operatorname{Ass}(M^{**}/M) = \phi$ d’où $M^{**} = M$ (chap. IV, § 1, n° 1, cor. 1 de la prop. 2).

La condition est évidemment nécessaire, et si elle est remplie, on a $\bigcap_{p \in P} M_p \subset \bigcap_{p \in P} N_p = N$. Comme $M \subset M^{**} = \bigcap_{p \in P} M_p$, on a bien $M \subset N$.

(ii) Si $W$ est un sous-espace vectoriel de $V$ et si $M$ est un réseau réflexif de $V$, $M \cap W$ est un réseau réflexif de $W$.

(iii) Soient $V, W$ deux espaces vectoriels de rang fini sur $K$, $M$ (resp. $N$) un réseau de $V$ (resp. $W$). Si $N$ est réflexif, le réseau $N : M$ de $\mathrm{Hom}_K(V, W)$ (n° 1, prop. 3) est réflexif.

(i) On a $(M_1 \cap M_2)_p = (M_1)_p \cap (M_2)_p$ pour tout $p \in P$ (chap. II, § 2, n° 4, th. 1). Si $M_1 = \bigcap_{p \in P} (M_1)_p$ et $M_2 = \bigcap_{p \in P} (M_2)_p$, on a donc $M_1 \cap M_2 = \bigcap_{p \in P} (M_1 \cap M_2)_p$, d’où la conclusion en vertu du th. 2.

(ii) De la même manière, on a $(M \cap W)_p = M_p \cap W_p = M_p \cap W$, d’où $M \cap W = \bigcap_{p \in P} (M \cap W)_p$, ce qui prouve (ii).

(iii) Comme $M$ est de type fini, il résulte du n° 1, prop. 5 que l’on a $(N : M)_p = N_p : M_p$; en outre, la relation $N = \bigcap_{p \in P} N_p$ entraîne:

En effet, si $f \in \bigcap_{p \in P} (N_p : M_p)$ et si $x \in M$, on a $f(x) \in \bigcap_{p \in P} N_p = N$, d’où $f \in N : M$; cela démontre que $N : M$ est réflexif.

(i) Si $M$ est réflexif, on a $\mathrm{Ass}(Q) \subset P \cup \{\{0\}\}$ (autrement dit, tout idéal associé à $Q$ est, soit $(0)$, soit de hauteur 1).

(ii) Réciproquement, si $N$ est réflexif et si $\mathrm{Ass}(Q) \subset P \cup \{\{0\}\}$, alors $M$ est réflexif.

Comme $A$ est noethérien, $M$ est aussi de type fini ; si on pose $V = M_{(K)}, \ W = N_{(K)}, \ M$ (resp. $N$) s’identifie canoniquement à un réseau de V (resp. W) (n° 1, prop. 1). Considérons les deux suites exactes:

(i) On en déduit (chap. IV, § 1, n° 1, prop. 3):

Si M est réflexif, on a $\operatorname{Ass}(V/M) \subset P$ (th. 2); d’autre part, il est clair que $\operatorname{Ass}(W/V)$ est, soit vide, soit réduit à $\{0\}$; d’où (i).

(ii) On a de même:

Les hypothèses entraînent donc $\operatorname{Ass}(V/M) \subset P \cup \{\{0\}\}$. Mais $V/M$ est un A-module de torsion, donc $\{0\} \notin \operatorname{Ass}(V/M)$; le th. 2 montre alors que M est réflexif.

On sait (chap. I, § 2, n° 10, prop. 11) qu’il existe un isomorphisme canonique $\omega_M : (M^*)_{(S)} \to (M_{(S)})^*$, tel que

pour $x \in M, x^* \in M^*$. Comme M est quotient d’un R-module libre L de type fini, $M^*$ est isomorphe à un sous-R-module du dual $L^*$, et $L^*$ est libre de type fini; puisque R est noethérien, $M^*$ est donc aussi un R-module de type fini, d’où un isomorphisme $\omega_{M^*} : (M^{**})_{(S)} \to ((M^*)_{(S)})^*$ tel que pour $x^* \in M^*$ et $x^{**} \in M^{**}$. D’autre part, on a un isomorphisme $' \omega_M : (M_{(S)})^{**} \to ((M^*)_{(S)})^*$, d’où par composition un isomorphisme canonique: tel que l’on ait, avec les notations précédentes: Considérons alors l’homomorphisme canonique $c_M : M \to M^{**},$ et montrons que l’homomorphisme composé :

(2) $\psi : M_{(S)} \xrightarrow{c_M \otimes 1} (M^{**})_{(S)} \to (M_{(S)})^{**}$

n’est autre que l’homomorphisme canonique $c_{M_{(S)}}$. Cela résulte aussitôt de (1) qui donne les relations :

et du fait que les éléments $\omega_M(x^* \otimes 1)$ engendrent $(M_{(S)})^*$. Cela étant, l’hypothèse que $M$ est réflexif signifie que $c_M$ est bijectif, donc il en est de même de $c_M \otimes 1$, et par suite $\psi = c_{M_{(S)}}$ est bijectif, ce qui démontre la proposition.

(i) Soit $N$ un réseau de $V$ par rapport à $A$; alors, pour tout idéal premier $p$ de $A$, $N_p$ est un réseau de $V$ par rapport à $A_p$, et pour presque tout $p \in P$, on a $N_p = M_p$.

(ii) Réciproquement, supposons donné pour tout $p \in P$ un réseau $N(p)$ de $V$ par rapport à $A_p$ tel que $N(p) = M_p$ pour presque tout $p \in P$. Alors $N = \bigcap_{p \in P} N(p)$ est un réseau réflexif de $V$ par rapport à $A$, et c’est le seul réseau réflexif $N'$ de $V$ par rapport à $A$ tel que $N'_p = N(p)$ pour tout $p \in P$.

(i) La première assertion résulte du n° 1, prop. 4. En outre, il existe $x, y$ dans $K^*$ tels que $xN \subset M \subset yN$ (n° 1, prop. 2); on sait que pour presque tout $p \in P$, on a $v_p(x) = v_p(y) = 0$ (§ 1, n° 6, th. 4), ce qui montre que $x$ et $y$ sont inversibles dans $A_p$, donc $M_p = N_p$.

(ii) Quitte à remplacer $M$ par $x^{-1}M$ avec $x \neq 0$ dans $A$, on peut supposer que l’on a $N(p) \subset M_p$ pour tout $p \in P$. Soient $p_1, \ldots, p_h$ les éléments de $P$ tels que $N(p) = M_p$ pour $p$ distinct des $p_i$ ($1 \leq i \leq h$); posons :

Comme chacun des $N(p_i)$ contient un réseau libre par rapport à $A_{p_i}$, il contient a fortiori un réseau de $V$ par rapport à $A$, donc $Q$ contient un réseau de $V$ par rapport à $A$ (n° 1, prop. 3), et comme $Q$ est contenu dans $M$, $Q$ est un réseau par rapport à $A$. Pour prouver que $Q_p = N(p)$ pour tout $p \in P$, nous utiliserons le lemme suivant:

Soit $S$ la partie multiplicative $(A - p)(A - p')$ de $A$; en vertu du chap. II, § 2, n° 3, prop. 7, on a $(E_p)_{p'} = S^{-1}E$. De plus, on a $A \subset S^{-1}A \subset K$; les idéaux premiers de $S^{-1}A$ correspondent aux idéaux premiers $q$ de $A$ tels que $q \cap S = \phi$ (chap. II, § 2, n° 5, prop. 11), et par hypothèse (0) est le seul idéal premier de $A$ ne rencontrant pas $S$; donc $S^{-1}A = K$ et $S^{-1}E = \mathrm{K.E.}$.

Revenons maintenant à la démonstration de (ii). Si $p \in P$ est distinct des $p_i$ ($1 \leq i \leq h$), le lemme 1 appliqué à $N(p_i)$ donne $(N(p_i))_p = ((N(p_i))_{p_i})_p = K \cdot N(p_i) = V$, puisque les $p_i$ et $p$ sont de hauteur 1. On a alors:

(chap. II, § 2, n° 4). D’autre part, si $p$ est égal à $p_i$ ($1 \leq i \leq h$), on a $(N(p_i))_{p_j} = V$ pour $i \neq j$ par le même raisonnement que ci-dessus, et $(N(p_i))_{p_i} = N(p_i)$, d’où:

On a donc prouvé que $Q_p = N(p)$ quel que soit $p \in P$. Alors $N = Q^{**} = \bigcap_{p \in P} Q_p$ est réflexif et vérifie les relations $N_p = Q_p = N(p)$ pour tout $p \in P$; la propriété d’unicité découle aussitôt du th. 2 du n° 2.