b) le groupe ordonné des idéaux principaux fractionnaires non nuls de $A$ est somme directe de groupes isomorphes à $\mathbf{Z}$ (ordonnée par l’ordre produit); c) la condition (M) est satisfaite, et l’intersection de deux idéaux principaux de $A$ est un idéal principal; d) la condition (M) est satisfaite, et, pour tout élément extrémal $p$ de $A$, l’idéal $Ap$ est premier; e) $A$ est un anneau de Krull, et tout idéal premier de hauteur 1 est principal.

Nous noterons $K$ le corps des fractions de $A$, et $\mathscr{P}^*$ (ou $\mathscr{P}^*(A)$) le groupe ordonné des idéaux principaux fractionnaires non nuls de $A$. Nous ferons la démonstration suivant le schéma logique:

Montrons que a) implique b): en effet, si $A$ est factoriel, $\mathscr{P}^*$ est isomorphe au groupe des diviseurs de $A$, donc à une somme directe de groupes $\mathbf{Z}$ ($§ 1$, no 3, th. 2).

Notons maintenant que la relation « l’intersection de deux idéaux principaux entiers de $A$ est un idéal principal » veut dire que tout couple d’éléments de $A$ admet un p.p.c.m., c’est-à-dire que $\mathscr{P}^*$ est un groupe réticulé (Alg., chap. VI, $§ 1$, no 9, prop. 8). Le fait que b) implique c) (et lui est même équivalent) résulte donc d’*Alg.*, chap. VI, $§ 1$, no 13, th. 2. Le fait que c) implique d) résulte d’*Alg.*, chap. VI, $§ 1$, no 13, prop. 14, (DIV).

Le fait que d) implique b) résulte d’*Alg.*, chap. VI, $§ 1$, no 13, th. 2 appliqué au groupe $\mathscr{P}^*$.

Montrons que b) implique e). Si b) est vérifiée, on a un isomorphisme de $\mathscr{P}^*$ sur $\mathbf{Z}^{(l)}$; notons $(v_i(x))_{i \in I}$ l’élément de $\mathbf{Z}^{(l)}$ correspondant à l’idéal $Ax$ ($x \in K^*$). On voit aussitôt que chaque $v_i$ est une valuation discrète de $K$, que $A$ est l’intersection des anneaux des $v_i$, et que, pour $x \in K^*$, on a $v_i(x) = 0$ sauf pour un nombre fini d’indices $i$; donc $A$ est un anneau de Krull. D’autre part, soit $q$ un idéal premier de hauteur 1 de $A$; il contient un élément non nul $a$, nécessairement non inversible, donc aussi (par définition d’un idéal premier) l’un des éléments extrémaux $p$ de $A$; comme $Ap$ est premier non nul, on a $q = Ap$, ce qui montre bien que $q$ est principal.

Montrons enfin que e) implique a). Soit $a$ un idéal divisoriel de A. Il existe des idéaux premiers $p_i$ de hauteur 1 de A tels que $\operatorname{div}\alpha = \sum_i n_i \operatorname{div} p_i$ avec $n_i \in \mathbf{Z}$. Si e) est satisfaite, $p_i$ est de la forme $Ap_i$, d’où $\operatorname{div}\alpha = \operatorname{div}\left( \prod_i Ap_i^{n_i} \right)$, donc $\alpha = \prod_i Ap_i^{n_i}$ puisque $\alpha$ est divisoriel.

C.Q.F.D.

Supposons que tout idéal divisoriel de A soit inversible; comme $A_m$ est un anneau de Krull (§ 1, n° 4, prop. 6), tout idéal divisoriel $\alpha$ de $A_m$ est intersection de deux idéaux fractionnaires principaux (§ 1, n° 5, cor. 2 de la prop. 9); donc $\alpha = bA_m$, où b est un idéal divisoriel de A (chap. II, § 2, n° 4); comme b est inversible par hypothèse, on déduit du chap. II, § 5, n° 6, th. 4 que $\alpha$ est principal, donc $A_m$ est un anneau factoriel (n° .1, déf. 1). Inversement, si tous les $A_m$ sont factoriels, et si c est un idéal divisoriel de type fini de A, $cA_m$ est un idéal divisoriel de $A_m$, comme il résulte du § 1, n° 5, cor. 2 de la prop. 9 et du chap. II, § 2, n° 4; par hypothèse $cA_m$ est principal, donc il résulte du chap. II, § 5, n° 6, th. 4 que c est inversible.

Si P vérifie cette condition, il est clair que tous ses éléments sont extrémaux, et que tout élément extrémal de A est associé à un élément de P et à un seul. Rappelons qu’on dit alors que P est un système représentatif d’éléments extrémaux de A (Alg., chap. VII, , n° 3, déf. 2)

Supposons toujours A factoriel. On a vu (n° 2, th. 1) que le groupe $\mathscr{P}^*$ est réticulé. On peut donc appliquer les résultats d’Alg., chap. VI, § 1, n°s 9 à 13. En particulier, tout élément de K* s’écrit, d’une façon et essentiellement d’une seule, sous forme de fraction irréductible. Deux éléments quelconques $a, b$ de K* ont un p.g.c.d. et un p.p.c.m.; si $a = u \prod_{p \in P} p^{n(p)}$ et $b = u' \prod_{p \in P} p^{m(p)}$ sont des décompositions de $a$ et $b$ en produits d’éléments extrémaux, on a:

(1) $\text{p.g.c.d. } (a, b) = w \prod_{p \in P} p^{\inf(m(p), n(p))}$

(2) $\text{p.p.c.m. } (a, b) = w' \prod_{p \in P} p^{\sup(m(p), n(p))}$

avec $w, w'$ dans U. On retrouve, en particulier, les résultats d’Alg., chap. VII, § 1, n° 3.

Pour tout $p \in P$, l’application $a \to n(p)$ est une valuation discrète $v_p$ de K, dont l’anneau est évidemment $A_{A_p}$. Il résulte du th. 1, e) que les $v_p$ ne sont autres que les valuations essentielles de A, et que les idéaux $Ap$ ($p \in P$) ne sont autres que les idéaux premiers de hauteur 1 de A.

Cela résulte aussitôt de la déf. 1 du n° 1 et du § 1, n° 10, prop. 17.

On peut aussi utiliser la prop. 18 du § 1, n° 10, pour montrer que A[X] est un anneau factoriel si et seulement si A est factoriel.

Ce corollaire s’étend au cas d’une famille infinie d’indéterminées (cf. exerc. 2).

COROLLAIRE . — Si le complété d’un anneau local noethérien $\mathbf{A}$ est factoriel, $\mathbf{A}$ est factoriel.

Dans l’anneau $E[[X_1, \ldots, X_n]]$, soit $\alpha$ l’idéal des séries formelles sans terme constant. Si $w_1, \ldots, w_n$ sont des éléments de $\alpha$, rappelons que l’application $f(X_1, \ldots, X_n) \to f(w_1, \ldots, w_n)$ est l’unique endomorphisme $s$ de l’anneau $E[[X_1, \ldots, X_n]]$ tel que $s(X_i) = w_i$ pour $1 \leq i \leq n$ (chap. III, § 4, no 5, prop. 6).

Prenons $w_1 = X_1 + X_n^{u(1)}, \ldots, w_{n-1} = X_{n-1} + X_n^{u(n-1)}, w_n = X_n$, où les $u(i)$ sont des entiers $\geq 1$. Soit $s'$ l’endomorphisme de $E[[X_1, \ldots, X_n]]$ qui transforme $X_1$ en $X_1 - X_n^{u(1)}, \ldots, X_{n-1}$ en $X_{n-1} - X_n^{u(n-1)}$, et $X_n$ en $X_n$. On a $s'(s(X_i)) = X_i$ pour $1 \leq i \leq n$, donc $s' \circ s$ est l’automorphisme identique; de même $s \circ s'$. Donc $s$ est un automorphisme.

En effet, on a $g(0, ..., 0, X_n) = f(X_n^{u(1)}, ..., X_n^{u(n-1)}, X_n)$. Le lemme 3 est donc une conséquence du lemme 2.

a) Montrons que $fB \cap M = (0)$. Supposons que l’on ait une relation :

(3) $\left( \sum_{i=0}^{\infty} b_i X^i \right) f = r_0 + r_1 X + \cdots + r_{s-1} X^{s-1} \quad (b_i \in A, r_j \in A)$.

Montrons que les $b_i$ (donc les $r_j$) sont tous nuls, ce qui prouvera en particulier que $f$ n’est pas diviseur de zéro dans B. Puisque A est séparé, il suffit de montrer que $b_i \in m^n$ pour tout $i \geq 0$ et tout $n \geq 0$. C’est évident pour $n = 0$. Nous raisonnons par double récurrence : nous supposerons qu’on a $b_i \in m^{n-1}$ pour tout $i$ et $b_i \in m^n$ pour $i < k$, et nous démontrerons que ceci implique $b_k \in m^n$. Pour cela, posons $f = \sum_{i=1}^{\infty} a_i X^i$, et comparons les coefficients de $X^{s+k}$ dans (3); il vient :

(4)

Les termes de la première parenthèse appartiennent à $m^n$ puisque $b_i \in m^n$ pour $i < k$; il en est de même de ceux de la seconde, puisque $b_i \in m^{n-1}$ pour tout $i$ et que $a_i \in m$ pour $i \leq s - 1$. Donc $b_k a_s \in m^n$, et, comme $a_s$ est un élément inversible de A, on a bien $b_k \in m^n$.

b) Montrons que $fB + M = B$. Posons

c’est un élément inversible de B. On a si donc on pose $fg^{-1} - X^s = (f - X^s g) g^{-1} = -h$, les coefficients de $h$ appartiennent à $m$. Ceci posé, soit $r$ un élément de B. Par récurrence sur $n$, définissons une suite $(q^{(n)})$ d’éléments de B : on prend pour $q^{(0)}$ l’unique série vérifiant : (5) posant $h = \sum_{i=0}^{\infty} h_i X^i$ et $q^{(n)} = \sum_{i=0}^{\infty} q_i^{(n)} X^i$, les $q_i^{(n)}$ sont définis par : (6) Il résulte aussitôt de (6) qu’on a : (7) Comme on a $h_j \in m$ pour tout $j$, il résulte aussi de (6), par récurrence sur $n$, qu’on a $q_i^{(n)} \in m^n$ pour tout $i$ et pour tout $n$. Comme $A$ est complet, il s’ensuit que la série $q^{(0)} + q^{(1)} + \cdots + q^{(n)} + \cdots$ converge vers un élément $q$ de $B$. D’après (5) et (7), on a :

(8)

Comme $M$ est fermé, (8) donne à la limite $r \equiv (X^s - h)q \pmod{M}$, c’est-à-dire $r \in f g^{-1}q + M \subset fB + M$.

C.Q.F.D.

On peut aussi utiliser les résultats du chap. III, § 2, pour démontrer la relation $B = fB + M$ (cf. exerc. 12): La méthode suivie ici a l’avantage de s’appliquer aux séries convergentes.

Munissons en effet le $B'$-module $B$ de la filtration (T)-adique, qui est formée des $f^n B$ pour $n \geqslant 0$ (chap. III, § 2, n° 1). Alors $B/fB$ est un module libre sur l’anneau $A = B'/TB'$, et les images des $X^i$ ($0 \leqslant i \leqslant s-1$) dans cet $A$-module en forment une base (prop. 5); comme en outre $f$ n’est pas diviseur de zéro dans $B$ (prop. 5), $Bf^n/Bf^{n+1}$ est aussi un $(B'/TB')$-module libre de rang $s$, de sorte que la condition (GR) du chap. III, § 2, n° 8 est satisfaite (en y remplaçant $A$ par $B'$ et $M$ par $B$). D’autre part, puisque $B'$ est séparé et complet pour la filtration (T)-adique, et que $\mathrm{gr}(B)$ est un $\mathrm{gr}(B')$-module de type fini en vertu de ce qui précède, on voit d’abord (chap. III, § 2, n° 9, cor. 1 de la prop. 12) que $B$ est un $B'$-module de type fini. La première assertion du corollaire résulte alors du chap. III, § 2, n° 9, prop. 13. La seconde s’en déduit aussitôt.

Posons $F = X^s + G$, avec $G = g_0 + \cdots + g_{s-1}X^{s-1}$ ($g_i \in \mathbf{A}$). La relation $f = uF$ équivaut à $F = u^{-1}f$, c’est-à-dire à $X^s = u^{-1}f - G$. Donc la prop. 5 montre l’unicité de $G$ et de $u^{-1}$, et par suite de $F$ et de $u$. Elle montre aussi qu’il existe $v \in \mathbf{B}$, et un polynôme $G = g_0 + \cdots + g_{s-1}X^{s-1}$ ($g_i \in \mathbf{A}$) tels que $X^s = vf - G$; il reste à démontrer que $v$ est inversible dans $\mathbf{B}$, et qu’on a $g_i \in m$ pour tout $i$. Or, en notant $\bar{g}_i$ l’image canonique de $g_i$ dans $k$, et $\bar{f}, \bar{v}$ les séries réduites de $f, g$, on a:

puisque $\bar{f}$ est d’ordre $s$, on a $\bar{g}_i = 0$ pour tout $i$, et $\bar{v}$ est d’ordre 0, donc $v$ est inversible.

C.Q.F.D.

En effet, les séries réduites de $g$ et $h$ sont $\neq 0$; donc, d’après la prop. 6, il existe des éléments inversibles $u, v$ de $\mathbf{B}$ tels que $ug$ et $vh$ soient des polynômes distingués. Alors $uvF = (ug)(vh)$ est un polynôme distingué, et $uv$ est inversible. Par passage aux séries réduites, on voit aussitôt que $F$ et $uvF$ ont même ordre réduit, c’est-à-dire même degré. L’assertion d’unicité dans la prop. 6 montre donc qu’on a $F = uvF$, d’où $uv = 1$.

Supposons que $F$ ne soit pas extrémal dans $\mathbf{A}[X]$, de sorte que l’on a $F = f_1f_2$, où $f_1$ et $f_2$ sont des éléments non inversibles de $\mathbf{A}[X]$; le produit des coefficients dominants de $f_1$ et $f_2$ étant égal à 1, ces coefficients sont inversibles dans $\mathbf{A}$, et l’hypothèse entraîne que $f_1$ et $f_2$ sont de degrés $> 0$ et $< s$; comme les polynômes réduits $\bar{f}_1, \bar{f}_2$ sont tels que $\bar{f}_1\bar{f}_2 = X^s$, ni $\bar{f}_1$ ni $\bar{f}_2$ ne peut être inversible dans $k[[X]]$, car si $\bar{f}_1$ était inversible, $\bar{f}_2$ serait d’ordre $s$, ce qui est absurde. A fortiori, ni $f_1$ ni $f_2$ n’est inversible dans B, et F est non extrémal dans B.

Réciproquement, si F n’est pas extrémal dans $A[[X]]$, on a $F = gh$, où ni g ni h n’est inversible dans B ; leurs ordres réduits sont donc $\geqslant 1$; alors les polynômes distingués $ug$ et $u^{-1}h$ de la prop. 7 ne sont pas constants, ce qui montre que F n’est pas extrémal dans $A[X]$.

Soient $\mathfrak{p}$ l’idéal maximal de C, et $\pi$ un générateur de $\mathfrak{p}$ (si C est un corps, on a $\pi = 0$). Munissons C de la topologie $\mathfrak{p}$-adique, qui est séparée. Comme C est un anneau local noethérien, $B = C[[X_1, \ldots, X_n]]$ est un anneau local noethérien, et son complété est $\hat{C}[[X_1, \ldots, X_n]]$ (chap. III, § 2, n° 6, prop. 6). D’après le cor. de la prop. 4 (n° 6), il suffit de prouver que $\hat{C}[[X_1, \ldots, X_n]]$ est factoriel. Or, si C est un corps, on a $\hat{C} = C$; si C est un anneau de valuation discrète, il en est de même de $\hat{C}$ (chap. VI, § 5, n° 3, prop. 5). Nous supposerons donc, dans la suite de la démonstration, que C est complet.

Raisonnant par récurrence à partir du cas trivial $n = 0$, nous supposerons démontré que $A = C[[X_1, \ldots, X_{n-1}]]$ est factoriel. Nous identifierons B à $A[[X_n]]$, et nous noterons m l’idéal maximal de A (engendré par $\pi, X_1, \ldots, X_{n-1}$). Nous démontrerons que tout élément non nul g de B est, de façon essentiellement unique, produit d’éléments extrémaux.

Soit K le corps $C/C\pi$; comme $B/B\pi$ s’identifie à $K[[X_1, \ldots, X_n]]$, l’idéal $B\pi$ est premier, et $\pi$ est extrémal. Si $\pi \neq 0$, $B_{B\pi}$ est donc l’anneau d’une valuation discrète normée w (chap. VI, § 3, n° 6, prop. 9); tout élément non nul g de B s’écrit donc $g = \pi^{w(g)}f$, avec $f \in B$ et $f$ non multiple de $\pi$. Il suffira donc de démontrer que $f$ est, de façon essentiellement unique, produit d’éléments extrémaux. Or l’image canonique de $f$ dans $K[[X_1, \ldots, X_n]]$ n’est pas nulle; le lemme 3 (n° 7) montre donc qu’il existe un automorphisme de B qui transforme $f$ en un élément $f'$ tel que les coefficients de $f'(0, \ldots, 0, X_n)$ ne soient pas tous dans $C\pi$; ceci veut dire que les coefficients de la série $f'$, considérée comme série formelle en

X_n, ne sont pas tous dans m. Il suffira de démontrer notre assertion pour $f'$.

Dans la suite, tous les éléments de B seront considérés comme des séries formelles en $X_n$ à coefficients dans A. D’après la prop. 6 du n° 8 (applicable puisque C, et donc A, sont séparés et complets, et que la série réduite de $f'$ est $\neq 0$), $f'$ est associée, dans B, à un polynôme distingué et à un seul F. D’après la prop. 7 du n° 8, toute série qui divise $f'$ (ou, ce qui revient au même, qui divise F) est associée à un polynôme distingué qui divise F, et toute décomposition de $f'$ est, à des facteurs inversibles près, de la forme $f' = u F_1 \ldots F_q$, où $u$ est inversible et où les $F_i$ sont des polynômes distingués extrémaux (dans B) tels que $F = F_1 \ldots F_q$. D’après le cor. de la prop. 7 du n° 8, les $F_i$ sont aussi extrémaux dans $A[X_n]$. Or, comme A est factoriel d’après l’hypothèse de récurrence, il en est de même de $A[X_n]$ (th. 2, n° 5); donc, puisqu’ils sont unitaires, les $F_i$ sont déterminés de façon unique par F (à une permutation près). Ceci montre l’unicité de la décomposition $f' = u F_1 \ldots F_q$; son existence résulte du fait que B est noethérien ce qui termine la démonstration.