a) A est un anneau de Dedekind ; b) A est un anneau de Krull, et toute valuation non impropre de K qui est positive sur A est équivalente à une valuation essentielle de A ; c) A est un anneau de Krull, et tout idéal fractionnaire $\mathfrak{J} \neq (0)$ de A est divisoriel ; d) tout idéal fractionnaire $\mathfrak{J} \neq (0)$ de A est inversible ; e) A est noethérien, intégralement clos, et tout idéal premier non nul de A est maximal ; f) A est noethérien, et, pour tout idéal maximal m de A, $A_m$ est un corps ou un anneau de valuation discrète ; g) A est noethérien, et, pour tout idéal maximal m de A, $A_m$ est principal.

Démontrons d’abord l’équivalence de a) et de b). Le cor. 2 du th. 3, , n° 6, montre aussitôt que $a)$ implique $b$. Inversement $b)$ implique $a$), car, pour tout idéal premier $p$ de $A$, il existe un anneau de valuation pour $K$ qui domine $A_p$ (chap. VI, § 1, n° 2, cor. du th. 2)

Le reste de la démonstration se fait suivant le schéma logique

Si $A$ est un anneau de Dedekind, et si $b$ est un idéal fractionnaire non nul, on a $bA_p = \tilde{b}A_p$ pour tout idéal maximal $p$ ($§ 1$, n° 4, prop. 7), donc $b = \tilde{b}$ (chap. II, § 3, n° 3, cor. 3 du th. 1); ainsi a) implique $c$).

Montrons que c) implique d). Si c) est vraie, l’application $a \to \operatorname{div} a$ est une bijection de $I(A)$ sur $D(A)$ (cf. § 1, n° 1); comme c’est un homomorphisme ($§ 1$, n° 2) et que $D(A)$ est un groupe, tout élément de $I(A)$ est bien inversible.

Montrons que d) implique e). Si d) est vraie, tout idéal entier $\neq (0)$ de $A$ est de type fini (chap. II, § 5, n° 6, th. 4), donc $A$ est noethérien; comme $I(A)$ est un groupe, $D(A)$ est un groupe, et $A$ est donc complètement intégralement clos ($§ 1$, n° 2, th. 1). Enfin, si $p$ est un idéal premier non nul de $A$, et si $m$ est un idéal maximal de $A$ contenant $p$, l’anneau $A_m$ est principal (chap. II, § 5, n° 6, th. 4); comme $pA_m$ est premier non nul, on a nécessairement $pA_m = mA_m$ (un anneau principal étant un anneau de Dedekind), d’où $p = m$ (chap. II, § 2, n° 5, prop. 11), et $p$ est maximal.

Montrons que e) implique f). En effet, si $m$ est un idéal maximal de $A$, et si e) est vraie, $A_m$ est un anneau noethérien intégralement clos, et son idéal maximal $mA_m$ est, ou bien $(0)$, ou bien le seul idéal premier non nul de $A_m$; donc $A_m$ est un corps ou un anneau de valuation discrète d’après la prop. 11 du § 1, n° 7.

Le fait que f) implique g) est évident.

Montrons enfin que g) implique a). Comme $A$ est l’intersection des $A_m$, où $m$ parcourt l’ensemble des idéaux maximaux (chap. II, § 3, n° 3, cor. 4 du th. 1), g) implique que $A$ est intégralement clos et noethérien, donc que $A$ est un anneau de Krull ($§ 1$, n° 3, cor. du th. 2). D’autre part, on montre que tout idéal premier non nul de $A$ est maximal comme dans la démonstration de $d) \Rightarrow e)$.

C.Q.F.D.

Soient $A$ un anneau de Dedekind semi-local, $K$ son corps des fractions, $p_1, \ldots, p_n$ ses idéaux maximaux, et $v_1, \ldots, v_n$ les valuations essentielles correspondantes; ce sont les seules valuations essentielles de A. Soit $\alpha$ un idéal entier non nul de A. Puisqu’il est divisoriel, il existe ($§ 1$, no 4, prop. 5) des entiers $q_1, \ldots, q_n$ tels que $\alpha$ soit l’ensemble des $x \in K$ tels que $v_i(x) \geq q_i$ pour $1 \leq i \leq n$. Soit $x_0$ un élément de K tel que $v_i(x_0) = q_i$ pour $1 \leq i \leq n$ (chap. VI, $§ 7$, no 2, cor. 1 du th. 1). Alors $\alpha$ est l’ensemble des $x \in K$ tels que $v_i(xx_0^{-1}) \geq 0$ pour $1 \leq i \leq n$. Ainsi $\alpha = Ax_0$.

Si A est un anneau de Dedekind, on a vu, dans la démonstration du th. 1, que le groupe D(A) des diviseurs de A s’identifie au groupe I(A) des idéaux fractionnaires $\alpha \neq (0)$ (comme A est noethérien, tout idéal fractionnaire non nul est de type fini). Le groupe C(A) des classes de diviseurs de A ($§ 1$, no 2) s’identifie alors au groupe des classes d’idéaux $\neq 0$ de A (défini au chap. II, $§ 5$, no 7).

En remplaçant au besoin les $n_i$ par des entiers qui leur sont supérieurs, on peut les supposer tous positifs. Examinons d’abord le cas où les $x_i$ sont dans A; tout revient évidemment à trouver un $x \in A$ vérifiant les congruences

et l’existence de x résulte alors du chap. II, § 1, n° 2, prop. 5.

Passons au cas général. On peut écrire $x_i = s^{-1} y_i$ avec s, $y_i$ dans A; posant $x = s^{-1} y$, tout revient à trouver un $y \in A$ tel que l’on ait, d’une part, $v_{p_i}(y - y_i) \geq n_i + v_{p_i}(s)$, et, d’autre part, $v_p(y) \geq v_p(s)$ pour tout $p \in P$ distinct des $p_i$; comme $v_p(s) = 0$ sauf pour un nombre fini d’indices $p$, on est ainsi ramené au cas précédent; d’où la proposition.

La proposition 2 peut s’interpréter comme un théorème de densité. De façon précise, pour tout $p \in P$, soit $\hat{K}_p$ (resp. $\hat{A}_p$) le complété de $K$ (resp. $A$) pour la valuation discrète $v_p$, et considérons le produit $\prod_{p \in P} \hat{K}_p$; on dit qu’un élément $x = (x_p)$ de ce produit est un adèle restreint de $A$ si l’on a $x_p \in \hat{A}_p$ pour tout $p \in P$ à l’exception d’un nombre fini d’entre eux. Il est clair que l’ensemble $A$ des adèles restreints est un sous-anneau de $\prod_{p \in P} \hat{K}_p$, qui contient l’anneau produit $A_0 = \prod_{p \in P} \hat{A}_p$. Considérons sur $A_0$ la topologie produit, pour laquelle $A_0$ est complet; il y a sur $A$ une topologie et une seule $\mathscr{T}$, compatible avec sa structure de groupe additif, pour laquelle les voisinages de 0 dans $A_0$ forment un système fondamental $\mathfrak{S}$ de voisinages de 0. La topologie $\mathscr{T}$ est compatible avec la structure d’anneau de $A$; en effet, il est clair que l’axiome (AV$_{\text{II}}$) de Top. Gén., chap. III, 3$^e$ éd., , n° 3 est vérifié, la topologie induite par $\mathscr{T}$ sur $A_0$ étant compatible avec la structure d’anneau de $A_0$. D’autre part, pour tout $x \in A$ il existe une partie finie $J$ de $P$ telle que si on pose $J' = P - J$, $K_J = \prod_{p \in J} \hat{K}_p$, $A_{J'} = \prod_{p \in J'} \hat{A}_p$, on ait $x \in K_J \times A_{J'}$, et comme $\hat{A}_p$ est ouvert dans $\hat{K}_p$ pour tout $p$, $\mathfrak{S}$ est un système fondamental de voisinages de 0 pour la topologie produit de $K_J \times A_{J'}$; cette dernière étant compatible avec la structure d’anneau de ce produit, on voit que l’axiome (AV$_I$) de Top. Gén., chap. III, 3$^e$ éd., loc. cit. est aussi vérifié, ce qui prouve notre assertion. Il est clair que $A_0$ est un sous-anneau ouvert de $A$, donc $A$ est aussi un anneau complet (Top. Gén., chap. III, 3$^e$ éd., § 3, n° 3, prop. 4)

Pour tout $x \in K$, soit $\Delta(x)$ l’élément $(x_p) \in \prod_{p \in P} \hat{K}_p$ tel que $x_p = x$ pour tout $p \in P$; comme $x_p \in \hat{A}_p$ sauf pour un nombre fini de valeurs de $p$, on a $\Delta(x) \in A$; on définit donc ainsi un homomorphisme $\Delta : K \to A$, qui est injectif si $P \neq \emptyset$ (c’est-à-dire si $A$ n’est pas un corps); les éléments de $\Delta(K)$ sont dits adèles restreints principaux, et il est clair que $\Delta(A) \subset A_0$. Dans la suite de ce numéro, nous supposerons que $A$ n’est pas un corps.

Il est immédiat que la topologie considérée sur $A$ (ou $K$) est séparée. Compte tenu du n° 3, l’assertion relative à $A_0$ résulte du chap. III, , n° 13, prop. 17. Cela montre donc que $\Delta(A)$ est dense dans $A_0$; pour voir de même que $\Delta(K)$ est dense dans $A$, on remarque que pour tout $x = (x_p) \in A$, il n’y a qu’un nombre fini de $p \in P$ tels que $v_p(x_p) < 0$; en vertu du § 1, n° 5, prop. 9, il y a donc un $s \in K$ tel que $sx_p \in \hat{A}_p$ pour tout $p \in P$, autrement dit $\Delta(s)x \in A_0$, et comme la multiplication par $\Delta(s)$ est un homéomorphisme de $A$ sur lui-même, il suffit d’appliquer le fait que $\Delta(A)$ est dense dans $A_0$ pour en déduire que $\Delta(K)$ est dense dans $A$

On pourrait naturellement aussi prouver que $\Delta(K)$ est dense dans $A$ en utilisant la prop. 2.

Considérons maintenant le groupe multiplicatif $SL(n, A)$, formé des matrices $U \in M_n(A)$ telles que $\det(U) = 1$; si on munit $M_n(A) = A^{n^2}$ de la topologie produit, elle induit sur $SL(n, A)$ une topologie compatible avec la structure de groupe de $SL(n, A)$. En effet, il suffit de voir que l’application $U \to U^{-1}$ est continue dans $SL(n, A)$; mais comme $U$ est unimodulaire, on sait (Alg., chap. III, § 6, n° 5, formule (17)) que les éléments de $U^{-1}$ sont des mineurs de $U$, donc des polynômes en les éléments de $U$, ce qui prouve notre assertion. Si on identifie $K$ à un sous-anneau de $A$ au moyen de $\Delta$, le groupe $SL(n, K)$ est un sous-groupe de $SL(n, A)$.

Soit $G$ l’adhérence de $SL(n, K)$ dans $SL(n, A)$; comme $K$ est dense dans $A$ (prop. 3), $G$ contient toutes les matrices de la forme $I + a . E_{ij}$ pour $i \neq j$ et $a \in A$. Pour tout $p \in P$ et tout $\lambda \in \hat{K}_p$, soit $\lambda(p)$ l’adèle restreint $x = (x_q)_{q \in P}$ tel que $x_p = \lambda$ et $x_q = 0$ pour $q \neq p$; ce qui précède montre que $G$ contient les matrices $I + \lambda(p)E_{ij}$ pour $i \neq j$. Mais, on sait que les matrices de la forme $I + \lambda E_{ij}$, pour $\lambda \in \hat{K}_p$, engendrent le groupe $SL(n, \hat{K}_p)$ (Alg., chap. III, 3e éd.) Pour toute matrice $U \in SL(n, A)$, désignons par $U_p$ l’image canonique de $U$ dans $SL(n, \hat{K}_p)$; on voit donc que pour tout $p \in P$, $G$ contient les matrices $U \in SL(n, A)$ telles que $U_q = I$ pour tout $q \neq p$. Puisque $G$ est un groupe, il contient aussi toutes les matrices $U \in SL(n, A)$ telles que $U_p = I$ sauf pour un nombre fini de $p \in P$; or, la définition de la topologie de $A$ montre aussitôt que l’ensemble de ces matrices est dense dans $SL(n, A)$.

En effet, comme $M$ est un module de torsion, tout idéal premier associé à $M$ est $\neq (0)$, donc maximal. Le lemme résulte alors du chap. IV, § 2, n° 5, prop. 7.

On a $\operatorname{long}_A(T_j) \leq \operatorname{long}_A(T)$ pour tout $j$. Le lemme est évident si aucun entier ne majore les $\operatorname{long}_A(T_j)$, les deux membres étant alors infinis. Sinon, soit $i_0$ un indice pour lequel $\operatorname{long}_A(T_{i_0})$ prenne sa plus grande valeur; on a $T_{i_0} = T$ puisque la famille $(T_j)$ est filtrante; d’où notre assertion dans ce cas.

Le lemme 1 montre que $\operatorname{long}_A(A/Aa)$ est finie. Démontrons d’abord (6) dans le cas où $M$ est de type fini. Comme $M$ est sans torsion et de rang $r$, il existe un sous-module $L$ de $M$ isomorphe à $A'$ et tel que $Q = M/L$ soit un $A$-module de torsion de type fini, donc de longueur finie (lemme 1). Pour tout entier $n \geq 1$, le noyau de la surjection canonique $M/a^nM \to Q/a^nQ$ est égal à $(L + a^nM)/a^nM$, isomorphe à $L/(a^nM \cap L)$; comme $a^nL \subset a^nM \cap L$, on a donc

Or, puisque $M$ est sans torsion, la multiplication par $a$ définit un isomorphisme de $M/aM$ sur $aM/a^2M$; de même pour $L$; d’où, par récurrence sur $n$, les formules :

Tenant compte de (7), on en déduit:

pour tout $n > 0$; comme $L$ est isomorphe à $A'$, on a $\operatorname{long}_A(L/aL) = r \operatorname{long}_A(A/Aa)$; d’où (6) en faisant tendre $n$ vers l’infini dans (9).

Passons maintenant au cas général. Soit $(M_i)$ la famille des sous-modules de type fini de $M$. Le module $T = M/aM$ est réunion des sous-modules $T_i = (M_i + aM)/aM = M_i/(M_i \cap aM)$. Or, $T_i$ est isomorphe à un quotient de $M_i/aM_i$, donc

en vertu de ce qu’on vient de prouver. D’où

d’après le lemme 2.

C.Q.F.D.

Soit $b$ un idéal non nul de $B$. Nous allons montrer que $B/b$ est un $A$-module de longueur finie (donc, $a$ fortiori, un $B$-module de longueur finie), et que $b$ est un $B$-module de type fini.

Un élément non nul $y$ de $b$ vérifie une équation de la forme:

Cette équation montre que $a_0 \in By \subset b$. En appliquant le lemme 3 à $M = B$, on voit que $B/a_0B$ est un $A$-module de longueur finie; il en est de même de $B/b$, qui en est un module quotient. De plus le $B$-module $b$ contient, comme sous-module, $a_0B$ qui est de type fini; comme $b/a_0B$ est de longueur finie (en tant que sous-module de $B/a_0B$), donc de type fini, $b$ est bien un $B$-module de type fini.

Ce qui précède montre d’abord que $B$ est noethérien. D’autre part, si $p$ est un idéal premier non nul de $B$, l’anneau $B/p$ est intègre et de longueur finie, donc est un corps ($Alg.$, chap. VIII, § 6, n° 4; prop. 9), de sorte que $p$ est maximal.

C.Q.F.D.

Supposons d’abord $p = (0)$; alors le seul idéal premier $q$ de $B$ tel que $q \cap A = (0)$ est $(0)$; sinon, en posant $S = A - \{0\}$, $S^{-1}q$ serait un idéal premier non nul de $S^{-1}B$ (chap. II, § 2, no 5, prop. 11), et $S^{-1}B$ n’est autre que le corps des fractions de $B$, car c’est un sous-anneau de $L$ contenant $K$ (Alg., chap. V, § 3, no 2, prop. 3); d’où une conclusion absurde. Si maintenant $p \neq (0)$, il résulte de la prop. 5 que $B/pB$ est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps $A/p$, donc un anneau artinien, et par suite n’a qu’un nombre fini d’idéaux premiers (chap. IV, § 2, no 5, prop. 9), ce qui prouve qu’il n’y a qu’un nombre fini d’idéaux premiers de $B$ contenant $p$.

Cette fermeture intégrale est, en effet, un anneau noethérien intégralement clos dont les idéaux premiers non nuls sont maximaux ; il suffit donc d’appliquer le th. 1 du no 2.

En particulier :

a) les idéaux premiers de $B$ au-dessus de $p$ sont les $p_i$ tels que $e(i) > 0$;

b) les valuations $v_i$ de $L$ correspondant à ces idéaux $p_i$ sont, à une équivalence près, les valuations de $L$ prolongeant $v$;

c) on a $[B/p_i : A/p] = f(v_i/v)$;

d) on a $e(i) = e(v_i/v)$ (cf. chap. VI, § 8, no 1, déf. 1 et 2).

a) Dire qu’un idéal premier $q$ de $B$ est au-dessus de $p$ revient à dire que $q \supset p$, donc que $q \supset Bp$, donc que $q$ contient l’un des $p_i$ tels que $e(i) > 0$ (chap. II, § 1, no 1, prop. 1).

c) Le corps résiduel de $v$ s’identifie à $A/\mathfrak{p}$, et celui de $v_i$ à $B/\mathfrak{p}_i$ ($§ 1$, n° 4, cor. 1 de la prop. 6).

d) Soit $a$ (resp. $a_i$) une uniformisante pour $v$ (resp. $v_i$). On a

puisque $p_j B_{\mathfrak{p}_i} = B_{\mathfrak{p}_i}$ pour $j \neq i$; d’où $d$), puisque $e(v_i/v) = v_i(a)$.