b) Soient $a, b$ dans $I(A)$. Pour que div $a = \mathrm{div}\ b$, il faut et il suffit que $A : a = A : b$.

c) Pour tout $a \in I(A)$, on $a\ \tilde{a} = A : (A : a)$.

L’assertion a) résulte aussitôt de la formule (1) puisque, si b est divisoriel, il en est de même de $bx^{-1}$ pour tout $x \neq 0$.

Pour démontrer b), notons $P(a)$ l’ensemble des idéaux principaux fractionnaires contenant $a$; la relation $Ax \in P(a)$ équivaut à $x^{-1}a \subset A$, donc à $x^{-1} \in A : a$. Comme la relation div $a = \mathrm{div}\ b$ est par définition équivalente à $P(a) = P(b)$, elle est aussi équivalente à $A : a = A : b$.

Enfin, comme $a(A : a) \subset A$, on a $a \subset A : (A : a)$. Remplaçant $a$ par $A : a$ dans cette formule, on voit que $A : a \subset A : (A : (A : a))$; d’autre part, la relation $a \subset A : (A : a)$ implique

On a donc $A : a = A : (A : (A : a))$, et il résulte de b) que div $a = \mathrm{div}(A : (A : a))$. Comme $A : (A : a)$ est divisoriel en vertu de a), on a bien $\tilde{a} = A : (A : a)$, ce qui prouve c).

(ii) Dans $D(A)$, tout ensemble minoré non vide admet une borne inférieure. Plus précisément, si $(\alpha_i)$ est une famille minorée non vide d’éléments de $I(A)$, on a

(iii) L’ensemble $D(A)$ est réticulé.

Soit $(\alpha_i)$ une famille majorée non vide d’éléments de $I(A)$. Dire qu’un idéal divisoriel $b$ majore cette famille revient à dire qu’il est contenu dans tous les $\tilde{\alpha}_i$, c’est-à-dire que $b$ est contenu dans $\bigcap_i \tilde{\alpha}_i$. On a donc $\bigcap_i \tilde{\alpha}_i \neq (0)$, et $\bigcap_i \tilde{\alpha}_i$ est par suite un idéal divisoriel, ce qui démontre (i).

Soit maintenant $(\alpha_i)$ une famille minorée non vide d’éléments de $I(A)$. Dire qu’un idéal divisoriel $b$ minore cette famille veut dire qu’il contient tous les $\tilde{a}_i$, c’est-à-dire (puisque $b$ est divisoriel) qu’il contient tous les $a_i$, ou encore qu’on $a \supset b \supset \sum_i a_i$. Ceci démontre (ii).

Enfin, pour prouver (iii), il suffit, en vertu de (i) et (ii), de prouver que, si $a, b$ sont dans $I(A)$, l’ensemble $\{ a, b \}$ est à la fois majoré et minoré dans $I(A)$; or il est majoré par $a \cap b$ (qui est différent de (0)). Il est minoré par $a + b$, car on a $a + b \in I(A)$: en effet, si $d$ et $d'$ sont des éléments non nuls de $A$ tels que $da \subset A$ et $d'b \subset A$, on a $dd'(a + b) \subset A$.

C.Q.F.D.

Il résulte de la prop. 3 que la multiplication dans $I(A)$ définit, par passage au quotient, une loi de composition dans $D(A)$, qui est évidemment associative et commutative. On la note additive-ment, de sorte qu’on peut écrire:

(2)

pour $a, b$ dans $I(A)$. Il est clair que $\mathrm{div}(1)$ est un élément neutre pour cette addition; on note cet élément 0. La prop. 3 prouve en outre que la structure d’ordre sur $D(A)$ est compatible avec cette addition (Alg., chap. VI, § 1, n° 1), et de façon plus précise, on a (n° 1, prop. 2, (ii)): Pour qu’un idéal fractionnaire $a \neq 0$ soit tel que $\mathrm{div}\, a \geq 0$ dans $D(A)$, il faut et il suffit que $a \subset A$ (autrement dit, que $a$ soit un idéal entier de $A$).

Pour deux éléments $x, y$ de $K^*$, la relation $\mathrm{div}(x) = \mathrm{div}(y)$ est équivalente à $Ax = Ay$; l’ensemble des diviseurs principaux de $A$ muni de la relation d’ordre et de la loi de monoïde induite par celles de $D(A)$, est un groupe ordonné, canoniquement isomorphe au groupe multiplicatif des idéaux principaux fractionnaires, ordonné par la relation d’ordre opposée à l’inclusion ($Alg.$, chap. VI, , no 5). La relation $S$ entre deux éléments $P, Q$ de $D(A)$

« il existe $x \in K^*$ tel que $P = Q + \mathrm{div}(x)$ »

est donc une relation d’équivalence, puisque la relation $P = Q + \mathrm{div}(x)$ est équivalente à $Q = P + \mathrm{div}(x^{-1})$; si $P$ et $Q$ sont congrus modulo $S$, on dit que ce sont des diviseurs équivalents de $A$. Il est clair en outre que la relation $S$ est compatible avec la loi du monoïde $D(A)$, et cette dernière définit donc, par passage aux quotients, une structure de monoïde sur $D(A)/S$; on dit que ce monoïde est le monoïde des classes de diviseurs de $A$.

En effet, si $\mathrm{div}\ b = \mathrm{div}\ a + \mathrm{div}(x)$ pour un $x \in K^*$, on a $\mathrm{div}\ b = \mathrm{div}(xa)$ et comme $b$ et $xa$ sont divisoriels, on a $b = xa$, ce qui prouve la proposition.

Soit $a$ un idéal fractionnaire inversible (chap. II, § 5, no 6); on a alors $a = A : (A : a)$ (loc. cit., prop. 10), donc $a$ est divisoriel (no 1, prop. 1). Le groupe $J(A)$ des idéaux fractionnaires inversibles s’identifie donc à un sous-groupe du monoïde $D(A)$, et l’image canonique de $J(A)$ dans $D(A)/S$ au groupe des classes des $A$-modules projectifs de rang 1 (chap. II, § 5, no 7, cor. 2 de la prop. 12 et Remarque 1).

Supposons que $D(A)$ soit un groupe. Soit $x \in K$; supposons que $A[x]$ soit contenu dans un sous-A-module de type fini de $K$. Alors, on a vu (no 1) que $a = A[x]$ est un élément de $I(A)$. On a $xa \subset a$, donc $\mathrm{div}(x) + \mathrm{div}\ a \geqslant \mathrm{div}\ a$. Puisque $D(A)$ est un groupe ordonné, on en conclut que $\mathrm{div}(x) \geqslant 0$, d’où $x \in A$. Ainsi $A$ est complètement intégralement clos (chap. V, § 1, no 4, déf. 5).

Réciproquement, supposons $A$ complètement intégralement clos. Soit $a$ un idéal divisoriel. Nous allons montrer que $\operatorname{div} a + \operatorname{div}(A : a) = 0$, ce qui prouvera que $D(A)$ est un groupe. Comme on a $a(A : a) \subset A$, il suffit (n° 1) de voir que tout idéal principal fractionnaire $Ax^{-1}$ qui contient $a(A : a)$ contient aussi $A$. Or, pour $y \in K^*$, la relation $Ay \supset a$ entraîne $y^{-1} \in A : a$, d’où $y^{-1}a \subset a(A : a) \subset Ax^{-1}$, donc $xa \subset Ay$. Comme $a$ est divisoriel, on en déduit $xa \subset a$, d’où $x^n a \subset a$ pour tout $n \in \mathbf{N}$. Il existe des éléments $x_0, x_1$ de $K^*$ tels que $Ax_0 \subset a \subset Ax_1$; on a donc $x^n x_0 \in Ax_1$, d’où $x^n \in Ax_1 x_0^{-1}$. Comme $A$ est complètement intégralement clos, on a $x \in A$, c’est-à-dire $Ax^{-1} \supset A$, ce qui achève la démonstration.

On notera que si $A$ est complètement intégralement clos (et même noethérien), un idéal divisoriel de $A$ n’est pas nécessairement inversible, autrement dit, on a en général $J(A) \neq D(A)$ (exerc. 2 et § 3, n° 2, prop. 1).

En vertu de la formule (1) du n° 1, on a :

compte tenu de la prop. 2 et du fait que les idéaux fractionnaires $y^{-1} a$ sont divisoriels. Mais puisque $D(A)$ est un groupe ordonné, on a (Alg., chap. VI, § 1, n° 8) :

a) A est complètement intégralement clos; b) toute famille non vide d’idéaux entiers divisoriels de A admet un élément maximal (pour la relation $\subset$).

En outre, si P(A) est l’ensemble des éléments extrémaux de D(A), P(A) est alors une base du $\mathbf{Z}$-module D(A) et les éléments positifs de D(A) sont les combinaisons linéaires des éléments de P(A) à coefficients $\geq 0$.

Soit A un anneau de Krull. Il est complètement intégralement clos (chap. VI, § 4, n° 5, cor. de la prop. 9). Soit $(v_i)_{i \in I}$ une famille de valuations du corps des fractions K de A vérifiant (AK_I), (AK_{II}) et (AK_{III}). On peut supposer les $v_i$ normées (chap. VI,

on a $v_i(a) \in \mathbf{Z}$, car si $a$ est un élément non nul de $a$, la relation $Ax \supset Aa$ implique $v_i(x) \leq v_i(a)$ (d’après (AK$_{II}$)), ce qui montre que la famille des $v_i(x)$ ($a \subset Ax$) est majorée. Etablissons les propriétés suivantes :

1) *Soit $a$ un idéal fractionnaire divisoriel ; pour que $y \in a$, il faut et il suffit que $v_i(y) \geq v_i(a)$ pour tout $i \in I$.

En effet, comme $a$ est divisoriel, la relation $y \in a$ équivaut à la relation « $a \subset Ax$ implique $y \in Ax$ ». Or, en vertu de (AK$_{II}$), la relation $y \in Ax$ équivaut à « $v_i(y) \geq v_i(x)$ pour tout $i \in I$ ». D’où 1).

2) *Soient $a$ et $b$ deux idéaux fractionnaires divisoriels de $A$; pour que $a \subset b$, il faut et il suffit que $v_i(a) \geq v_i(b)$ pour tout $i \in I$.

Ceci résulte aussitôt de la propriété 1).

3) *Si $x \in K^*$, on a $v_i(Ax) = v_i(x)$.

En effet, si $Ay \supset Ax$, on a $v_i(y) \leq v_i(x)$ d’après (AK$_{II}$), et la valeur maximum de $v_i(y)$ est prise pour $y = x$.

4) *Pour tout $a \in I(A)$, les indices $i \in I$ tels que $v_i(a) \neq 0$ sont en nombre fini.

En effet, il existe $x, y$ dans $K^*$ tels que $Ax \subset a \subset Ay$. D’après les propriétés 2) et 3), on a $v_i(x) \geq v_i(a) \geq v_i(y)$ pour tout $i \in I$. Il suffit alors d’appliquer (AK$_{III}$).

Nous avons donc démontré le lemme suivant :

Cela étant, tout ensemble non vide d’éléments positifs de $\mathbf{Z}^{(I)}$ possède un élément minimal (Alg., chap. VI, § 1, n° 13, th. 2). Donc $A$ vérifie bien la propriété b) de l’énoncé.

Réciproquement, soit $A$ un anneau intègre vérifiant les propriétés a) et b) de l’énoncé. Puisque $A$ est complètement intégralement clos, $D(A)$ est un groupe ordonné (n° 2, th. 1). Ce groupe est réticulé (n° 1, prop. 2). D’après la condition b) de l’énoncé, toute famille non vide d’éléments positifs de $D(A)$ possède un élément minimal. Soit $P(A)$ l’ensemble des éléments extrémaux de D(A). Alors (Alg., chap. VI, 2e éd., , n° 13, th. 2), P(A) est une base du Z-module D(A), et les éléments positifs de D(A) sont les combinaisons linéaires à coefficients entiers positifs des éléments de P(A)

Ainsi, pour $x \in K^*$, on définit des entiers rationnels $v_P(x)$ (pour $P \in P(A)$) en posant:

Posons aussi $v_P(0) = + \infty$. Des relations

et

pour $x, y$ et $x + y$ dans $K^*$, on déduit que les $v_P$ sont des valuations discrètes sur $K$. Pour que $x \in A$, il faut et il suffit que $\text{div}(x) \geq 0$, c’est-à-dire que $v_P(x) \geq 0$ pour tout $P \in P(A)$. Ainsi les $v_P$ vérifient les conditions (AK_I) et (AK_II), et évidemment aussi (AK_III).

C.Q.F.D.

En effet un anneau noethérien intégralement clos est complètement intégralement clos (chap. V, § 1, n° 4).

Il y a des anneaux de Krull non noethériens, par exemple l’anneau de polynômes $K[X_n]_{n \in \mathbf{N}}$ sur un corps $K$, à une infinité d’indéterminées (cf. exerc. 8).

Soit $x \in K^*$. Pour que $x \in a$, il faut et il suffit que $Ax \subset a$, donc que $\operatorname{div}(x) \geq \operatorname{div} a$, donc, d’après (4), que $v_P(x) \geq n_P$ pour tout $P \in P(A)$.

Posons $B = \bigcap_{i \in J} A_i$. On a $S^{-1} \subset B$ et $A \subset B$, donc $S^{-1}A \subset B$. Inversement, soit $x \in B$. Notons $J'$ l’ensemble fini des indices $i$ tels que $v_i(x) < 0$. Si $i \in J'$, on a $x \notin A_i$, donc $i \notin J$, donc il existe $s_i \in S$ tel que $v_i(s_i) > 0$. Soit $n(i)$ un entier $> 0$ tel que $v_i(s_i^{n(i)}x) \geq 0$; posons $s = \prod_{i \in J'} s_i^{n(i)}$. On a alors $v_i(sx) \geq 0$ pour tout $i \in I$, donc $sx \in A$, et $x \in S^{-1}A$. Ainsi $B = S^{-1}A$.

Soit $S = A - p$. D’après la prop. 5, $v_p$ est nulle dans $S$ et $> 0$ dans $p$. Donc $p$ est l’intersection de $A$ et de l’idéal de $v_p$, et par suite est premier. D’autre part, pour tout diviseur extrémal $Q \neq P$, on a $Q \not\supseteq P$, donc l’idéal divisoriel $q$ correspondant à $Q$ n’est pas contenu dans $p$; ainsi $q \cap S \neq \emptyset$, donc, d’après la prop. 5, $v_Q$ n’est pas nulle dans $S$. Ceci étant, le corollaire résulte de la prop. 6 et du chap. II, § 3, n° 1, prop. 3.

Soient $P$ un diviseur extrémal de $A$, et $p$ l’idéal divisoriel correspondant. D’après le cor. 1, la prop. 5, le lemme 1 et l’assertion 1) dans la démonstration du th. 2, n° 3, il existe $t \in I$ tel que l’anneau $A_t$ de $v_t$ contienne l’anneau $A_p$ de $v_p$. Comme $v_t$ et $v_p$ sont de hauteur 1, elles sont donc équivalentes (chap. VI, , n° 5, prop. 6)

Comme $a = \sum_{x \in a} Ax$, la prop. 2, b) (n° 1) montre qu’on a $\operatorname{div}(a) = \inf_{x \in a} (\operatorname{div}(Ax))$, d’où notre première assertion. La seconde s’en déduit aussitôt, puisque $\operatorname{div} \tilde{a} = \operatorname{div} a$ et que $A_p$ est l’anneau de la valuation discrète $v_p$.

a) Soient P un diviseur extrémal de A et $p$ l’idéal premier divisoriel correspondant; pour $n \in \mathbf{N}$. posons $p^{(n)} = p^n A_p \cap A$; alors $p^{(n)}$ est l’ensemble des $x \in A$ tels que $v_p(x) \geq n$, et est un idéal $p$-primaire.

b) Soient $a$ un idéal entier divisoriel, $n_1 P_1 + \cdots + n_r P_r$ le diviseur de $a$ (les $P_i$ étant des diviseurs extrémaux distincts), et $p_i$ l’idéal premier divisoriel correspondant à $P_i$. Alors $a = \bigcap_{i=1}^r p_i^{(n_i)}$ est l’unique décomposition primaire réduite de $a$ et les $p_i$ sont non immergés.

D’après le cor. 1 de la prop. 6, la relation $x \in p^n A_p = (pA_p)^n$ équivaut à $v_p(x) \geq n$; d’autre part, comme $A_p$ est un anneau de valuation discrète, $(pA_p)^n$ est $(pA_p)$-primaire (chap. IV, § 2, n° 1, Exemple 4), donc $p^{(n)}$ est $p$-primaire (chap. IV, § 2, n° 1, prop. 3); ceci démontre a). La prop. 5 montre qu’on a bien $a = \bigcap_{i=1}^r p_i^{(n_i)}$. Comme on a $p_i \not\subset p_j$ pour $i \neq j$ cette décomposition primaire est réduite: en effet, si on avait $p_i^{(n_i)} \supset \bigcap_{j \neq i} p_j^{(n_j)} \supset \prod_{j \neq i} p_j^{n_j}$, $p_i$ contiendrait l’un des $p_j$ pour $j \neq i$ (chap. II, § 1, n° 1, prop. 1). L’unicité résulte du chap. IV, § 2, n° 3, prop. 5.

Soient, en effet, $p_1, \ldots, p_r$ les idéaux divisoriels de $\mathbf{A}$ correspondant aux valuations $v_1, \ldots, v_r$. Il existe $y \in \mathbf{K}$ tel que $v_i(y) = n_i$ pour $1 \leq i \leq r$ (chap. VI, § 7, n° 2, cor. 1 du th. 1). Les valuations essentielles $w_1, \ldots, w_s$ de $\mathbf{A}$ distinctes des $v_i$ pour lesquelles l’entier $w_j(y) = -m_j$ est $< 0$ sont en nombre fini ; soient $q_1, \ldots, q_s$ les idéaux divisoriels correspondants. Il n’existe aucune relation d’inclusion entre $p_1, \ldots, p_r, q_1, \ldots, q_s$ puisque ces idéaux correspondent à des diviseurs extrémaux, et ces idéaux sont premiers (cor. 1 de la prop. 6). Donc l’idéal entier $a = q_1^{m_1} \ldots q_s^{m_s}$ n’est contenu dans aucun des $p_i$ (chap. II, § 1, n° 1, prop. 1), et n’est par conséquent pas contenu dans leur réunion (loc. cit., prop. 2). Par suite, il existe $z \in a$ tel que $z \notin p_i$ pour $1 \leq i \leq r$; on a $v_1(z) = \ldots = v_r(z) = 0$, et $w_j(z) \geq m_j$ pour $1 \leq j \leq s$; donc l’élément $x = yz$ répond à la question.

En effet, soit $(v_\iota)_{\iota \in I}$ la famille des valuations essentielles de $\mathbf{A}$, et soit $(m_\iota)$ (resp. $(n_\iota), (p_\iota)$) la famille d’entiers rationnels (nuls sauf pour un nombre fini d’indices) telle que $a$ (resp. $b, c$) soit l’ensemble des $x \in \mathbf{K}$ pour lesquels $v_\iota(x) \geq m_\iota$ (resp. $n_\iota, p_\iota$), quel que soit $\iota \in I$ (prop. 5, n° 4). L’ensemble $J$ des $\iota \in I$ tels que $m_\iota > n_\iota$ est fini. Comme on a $p_\iota = m_\iota = 0$ sauf pour un nombre fini d’indices, la prop. 9 montre qu’il existe $x \in \mathbf{K}^*$ tel que $v_\iota(x^{-1}) + m_\iota = p_\iota$ pour $\iota \in J$ et $v_\iota(x^{-1}) + m_\iota \geq p_\iota$ pour $\iota \in I - J$. On a alors, pour tout $\iota \in I$, $m_\iota = \sup(n_\iota, v_\iota(x) + p_\iota)$. D’où $a = b \cap xc$.