Các điều kiện rõ ràng là cần thiết, vì một môđun con-A tự do của V có cùng hạng với V sinh ra V. Ngược lại, nếu KM = V, M chứa một cơ sở $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ của V trên K và do đó nó chứa môđun con-A tự do L, sinh bởi các $a_i$; mặt khác, nếu $M \subset M_1$, trong đó M, là một môđun con-A của V được sinh bởi một số hữu hạn phần tử b, và $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của V trên K, tồn tại một phần tử s $\neq 0$ của A sao cho mỗi b, là một tổ hợp tuyến tính của các $s^{-1}e_i$ với các hệ số trong A; nếu L, là các môđun con-A tự do của V được sinh bởi các $s^{-1}e_i$, thì $M \subset L_2$.

Nhận xét (1). Nhắc lại rằng với mọi môđun con-A M của V, ánh xạ chính tắc $M \otimes_A K \to V$ là đơn ánh và có ảnh KM (Đại số, Chương II, § 7, no. 10, Mệnh đề 26); nói rằng KM = V có nghĩa là do đó ánh xạ này là song ánh.

Nếu $L_1, L_2$ là hai dàn tự do của V sao cho $L, \subset M \subset L,$, các quan hệ $xM \subset M_1 \subset yM$ kéo theo $xL_1 \subset M, \subset yL_2$ và $xL_1$ và $yL_2$ là các dàn tự do; ngược lại, nếu M, là một dàn và $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của L, trên A, thì quan hệ KM, = V kéo theo sự tồn tại của $x = a/s \in K^*$ (trong đó a và s là các phần tử khác không của A) sao cho $xe_i \in M,$ với mọi $i$, do đó $xM \subset xL_2 \subset M_1$ và a fortiori $aM \subset M,$; khi đổi vai trò của M và M, cũng có thể chứng minh tương tự rằng tồn tại $b \neq 0$ trong A sao cho $bM_1 \subset M$.

(ii) Nếu W là một không gian con vectơ của V và M là một dàn của V, thì $M \cap W$ là một dàn của W.

(iii) Cho $V, V_1, \ldots, V_k$ là các không gian vectơ hạng hữu hạn trên $K$ và cho

là một ánh xạ đa tuyến tính mà ảnh sinh ra $V$. Nếu $M_i$ là một dàn của $V_i$ với $1 \leq i \leq k$, thì A-môđun con của $V$ sinh bởi $f$ ($(M, x \ldots x M_k)$) là một dàn của $V$.

(iv) Cho $V$ và $W$ là hai không gian vectơ hạng hữu hạn trên $K$, $M$ là một dàn của $V$ và $N$ là một dàn của $W$. A-môđun con $N$: $M$ của $\mathrm{Hom}_K(V, W)$, gồm các ánh xạ K-tuyến tính $f$ sao cho $f(M) \subset N$, là một dàn của $\mathrm{Hom}_K(V, W)$.

(i) Chiếu theo Mệnh đề 2, tồn tại các phần tử khác không $a$ và $b$ trong $A$ sao cho $aM_1 \subset M_2 \subset b^{-1}M_1$; ta kết luận rằng $M, \cap M,$ và $M, + M_2$ nằm giữa $aM_1$ và $b^{-1}M_1$ và do đó là các dàn, chiếu theo Mệnh đề 2.

(ii) Cho $S$ là một phần bù của $W$ trong $V$, $L_w$ một dàn tự do của $W$ và $L_s$ một dàn tự do của $S$, sao cho $L = L_w \oplus L_s$ là một dàn tự do của $V$. Khi đó tồn tại $x, y$ trong $K^*$ sao cho $xL \subset M \subset yL$. Suy ra $xL_w \subset M \cap W \subset yL_w$, điều này cho thấy $M \cap W$ là một dàn của $W$ (Mệnh đề 2).

(iii) Vì $KM, = V,$ nên rõ ràng do tính tuyến tính $f$ ($M, x \ldots x M,$) sinh không gian vectơ trên K là $V$; mặt khác, với mọi $i$, tồn tại một A-môđun con sinh hữu hạn $N_i$ của $V$, sao cho $M, \subset N_i;$ A-môđun con $N$ của $V$ sinh bởi $f(N_1 x \ldots x N_n)$ là sinh hữu hạn và chứa $M$, do đó $M$ là một dàn của $V$ (Mệnh đề 1).

(iv) Cho $P$ (resp. $Q$) là một dàn tự do của $V$ (resp. $W$) chứa $M$ (resp. được chứa trong $N$); hiển nhiên $N : M \supset Q : P$. Bây giờ ngay lập tức có được rằng $Q : P$ đẳng cấu với $\mathrm{Hom}_A(P, Q)$, do đó là một A-môđun tự do có hạng $(\mathrm{rg}_A P)(\mathrm{rg}_A Q)$ (Đại số, Chương II, § 1, no. 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 6) và vì thế là một dàn của $\mathrm{Hom}_K(V, W)$. Tương tự, nếu $P'$ (resp. $Q'$) là một dàn tự do của $V$ (resp. $W$) được chứa trong $M$ (resp. chứa $N$), thì $Q' : P' \supset N : M$ và $Q' : P'$ là một dàn của $\mathrm{Hom}_K(V, W)$; do đó kết luận.

Nhận xét (2) Mệnh đề 3 (i) cho thấy tập $R(V)$ các dàn của $V$ là có thứ tự dàn đối với quan hệ bao hàm; hơn nữa, nếu $M$ là một dàn cố định của $V$, thì các $xM$, với $x$ chạy qua $K^*$, tạo thành một tập con của $R(V)$ vừa đồng đầu vừa đồng cuối (Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 1, no. 7).

(3) Với các ký hiệu của Mệnh đề 3 (iv), ánh xạ chính tắc

ánh xạ mỗi ánh xạ K-tuyến tính $f \in N : M$ tới ánh xạ A-tuyến tính từ $M$ vào $N$ có cùng đồ thị như $f|_M$, là song ánh, vì mọi ánh xạ A-tuyến tính $g : M \to N$ đều có thể được nhúng vào một ánh xạ K-tuyến tính

và ta đã thấy rằng $M \otimes_A K$ và $N \otimes_A K$ được đồng nhất tương ứng với $V$ và $W$.

Đặc biệt, nếu ta lấy $W = K$, $N = A$, thì $\operatorname{Hom}_K(V, W)$ chính là không gian vectơ K đối ngẫu $V^*$ của $V$ và $A$: $M$ được đồng nhất với A-môđun đối ngẫu $M^*$ của $M$; từ nay về sau ta sẽ thực hiện sự đồng nhất này và ta sẽ nói rằng $M^*$ là dàn đối ngẫu của $M$: do đó nó là tập hợp các $x^* \in V^*$ sao cho $\langle x, x^* \rangle \in A$ với mọi $x \in M$.

(4) Cho $S$ là một đại số trên K (không nhất thiết kết hợp) hạng hữu hạn có một phần tử đơn vị; khi đó ánh xạ song tuyến tính $(x, y) \mapsto xy$ từ $S \times S$ đến $S$ là không suy biến (trái và phải). Nếu $M$ và $N$ là các dàn của $S$ đối với $A$, thì $M.N$ (Mệnh đề 3 (iii)) và tập hợp các $x \in S$ sao cho $xM \subset N$ (Hệ quả của Mệnh đề 3) cũng vậy. Chú ý rằng tồn tại một đại số con trên A của $S$ chứa phần tử đơn vị của $S$ và là một dàn của $S$; thật vậy, xét một cơ sở $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ của $S$ sao cho $e_1$ là phần tử đơn vị của $S$ và đặt $e_i e_j = \sum_k c_{ijk} e_k$ là bảng phép nhân của $S$ ($1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n$), sao cho $c_{1jk} = \delta_{jk}, c_{i1k} = \delta_{ik}$ (các ký hiệu Kronecker). Cho $s \in A$ là khác không và sao cho $c'_{ijk} = s \cdot c_{ijk} \in A$ với mọi bộ ba chỉ số $(i, j, k)$; nếu ta viết $e'_i = s^{-1} e_i$ với $i \geq 2$, thì

với $i \geq 2$ và $j \geq 2$; dàn của $S$ có cơ sở là $e_1$ và các $e'_i$ ($2 \leq i \leq n$) là một đại số con trên A của $S$ có phần tử đơn vị $e_1$.

(5) Cho $V$ là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên $K$ và $f$ là một dạng song tuyến tính không suy biến trên $V$. Nếu $M$ là một dàn của $V$, thì từ Hệ quả của Mệnh đề 3 suy ra rằng tập $M^*_f$ các $x \in V$ sao cho $f(x, y) \in A$ với mọi y $\in M$ cũng là một dàn của $V$; nếu $s_f: V \to V^*$ là ánh xạ tuyến tính trái liên kết với $f$ (là song ánh), thì $s_f(M^*_f)$ chính là dàn đối ngẫu $M^*$ của $M$.

(i) Với mọi dàn $M$ của $V$ đối với $A$, ảnh $BM$ của $M_{(B)} = M \otimes_A B$ trong $V_{(L)} = V \otimes_K L$ là một dàn của $V_{(L)}$ đối với $B$.

(ii) Giả sử thêm rằng $B$ là một $A$-môđun phẳng. Khi đó ánh xạ chính tắc $M_{(B)} \to BM$ là song ánh. Nếu thêm nữa $B$ phẳng trung thành, ánh xạ gửi mỗi dàn $M$ của $V$ đối với $A$ tới dàn $BM$ của $V_{(L)}$ đối với $B$ là đơn ánh.

(i) Vì $KM = V$, rõ ràng $L . (BM) = V_{(L)}$; mặt khác $M$ được chứa trong một môđun con-$A$ sinh hữu hạn $M_1$ của $V$ và do đó $BM$ được chứa trong $BM_1$ là một $B$-môđun sinh hữu hạn; do đó mệnh đề (i) (Mệnh đề 1).

(ii) $V_{(L)} = V \otimes_K L = V \otimes_A L$ (Chương II, § 2, no. 7, Mệnh đề 18) và, vì $L$ là một $B$-môđun phẳng, nó cũng là một $A$-môđun phẳng (Chương I, § 2, no. 7, Hệ quả 3 của Mệnh đề 8). Vì $B$ là một $A$-môđun phẳng, ánh xạ chính tắc $M \otimes_A B \to V \otimes_A B$ là đơn ánh; mặt khác, vì $V$ là một $K$-môđun tự do và $K$ là một $A$-môđun phẳng, $V$ là một $A$-môđun phẳng (Chương I, § 2, no. 7, Hệ quả 3 của Mệnh đề 8) và do đó ánh xạ chính tắc $V \otimes_A B \to V \otimes_A L$ là đơn ánh, điều này chứng minh mệnh đề thứ nhất. Để thấy thêm rằng quan hệ $BM_1 = BM_2$ kéo theo $M_1 = M_2$ đối với hai dàn $M_1, M_2$ của $V$ đối với $A$ khi $B$ là một $A$-môđun phẳng trung thành, trước hết chú ý rằng $BM_1 \cap BM_2 = B(M_1 \cap M_2)$ (Chương I, § 2, no. 6, Mệnh đề 6); vì vậy ta có thể chỉ xét trường hợp $M_1 \subset M$, và khi đó mệnh đề của ta suy ra từ Chương I, § 3, no. 1, Mệnh đề 3 áp dụng cho đơn ánh chính tắc $M_1 \to M_2$.

Nếu $L$ là một dàn tự do của $V$, thì các dàn $aL$ (với $a \in A, a \neq 0$) tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0 đối với một tôpô $\mathscr{T}$ trên $V$ (tương thích với cấu trúc $A$-môđun của nó), tôpô này (khi chọn một cơ sở của $L$ trên $A$) được đồng nhất với tôpô tích trên $K^n$); nhờ Mệnh đề 2, một hệ cơ bản các lân cận của 0 đối với $\mathscr{T}$ cũng gồm tất cả các dàn của $V$ đối với $A$; rõ ràng $\hat{V}$ là bổ sung của $V$ đối với $\mathscr{T}$. Hơn nữa, nếu $m$ là iđêan cực đại của $A$, thì tôpô $\mathscr{T}$ cảm sinh trên mọi dàn $M$ của $V$ đối với $A$ tôpô $m$-adic vì $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn (Chương III, § 3, no. 2, Định lý 2) và $\hat{A}M$ là bổ sung của $M$ đối với tôpô này (Chương III, § 2, no. 12, Mệnh đề 16); hơn nữa, vì $M$ là mở (và do đó đóng) trong $V$, nên $\hat{A}M \cap V = M$, điều này lại chứng minh rằng $\dagger$ là đơn ánh (điều này suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 4, (ii), vì $A$ là một $A$-môđun phẳng trung thành). Cuối cùng, nếu $M'$ là một dàn của $\hat{V}$ đối với $\hat{A}$, thì $M = M' \cap V$ là một dàn của $V$ đối với $A$, vì mọi phần tử của $\hat{A}$ là tích của một phần tử của $A$ và một phần tử khả nghịch của $\hat{A}$, và do đó từ Mệnh đề 2 suy ra rằng tồn tại $a, b$ trong $A - \{0\}$ sao cho $a \hat{A}L \subset M' \subset b \hat{A}L$, nên $aL \subset M' \cap V \subset bL$. Hơn nữa $M'$ là mở trong $V$ và, vì $V$ là trù mật trong $\hat{V}$, $M'$ là bổ sung của $M' \cap V = M$; điều này chứng minh rằng $\phi$ là toàn ánh, do đó có hệ quả.

Ví dụ (6) Cho $S$ là một tập con nhân tính của $A$ không chứa 0; ta áp dụng Mệnh đề 4 cho $B = S^{-1}A$; khi đó $L = K$, $BM = S^{-1}M$; do đó $S^{-1}M$ là một dàn của $V$ đối với $S^{-1}A$. Hơn nữa:

(1)

trong $\operatorname{Hom}_K(V, W)$.

Rõ ràng vế trái của (1) được chứa trong vế phải. Ngược lại, cho $f \in S^{-1}N : S^{-1}M$ và cho $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một hệ sinh của $M$. Tồn tại $s \in S$ sao cho $f(x_i) \in s^{-1}N$ với mọi $i$ và do đó $sf \in N : M$, điều đó chứng minh mệnh đề.

Rõ ràng $M^*$ được chứa trong mỗi $M_p^*$. Ngược lại, giả sử rằng $x^* \in \bigcap M_p^*$; nếu $x \in M$, thì $\langle x, x^* \rangle \in \bigcap_{p \in P} A_p$ và, vì $A = \bigcap_{p \in P} A_p$ (§ 1, no. 6, Định lý 4), $x^* \in M^*$.

Áp dụng Định lý 1 cho $M^*$ cho thấy rằng $M^{**} = \bigcap_{p \in P} M_p^{**}$. Nhưng vì $A$, là một miền iđêan chính ($§ 1$, no. 6, Định lý 4), $M$, là một $A$-môđun tự do sinh hữu hạn và do đó $M_p^{**}$ được đồng nhất một cách chính tắc với $M$, (Đại số, Chương II, $§ 2$, no. 7, Mệnh đề 14), do đó có hệ quả.

Với mọi dàn $M$ đối với $A$, ánh xạ chính tắc $c_M : M \to M^{**}$ (Đại số, Chương 11, $§ 2$, no. 7) đồng nhất một phần tử $x \in M$ với chính nó, vì $x$ là phần tử duy nhất $y$ của $V = V^{**}$ sao cho $\langle x, x^* \rangle = \langle y, x^* \rangle$ với mọi $x^* \in M^*$, vì $M^*$ sinh $V^*$. Ta sẽ nói rằng $M$ là phản xạ nếu $M^{**} = M$ (loc. cit.). Vì ở trên ta có $M^* = (M^*)^{**}$, suy ra rằng đối ngẫu của mọi dàn $M$ luôn luôn phản xạ.

Nhận xét (1) Cho $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn; ngay lập tức thấy rằng đối ngẫu $M^*$ của $M$, được đồng nhất với một môđun con-$A$ của $\operatorname{Hom}_A(M, K)$, là một dàn của không gian vectơ $K$ $\operatorname{Hom}_A(M, K)$; đặc biệt, mọi $A$-môđun phản xạ sinh hữu hạn đều đẳng cấu với một dàn của một không gian vectơ $K$ thích hợp.

Tính tương đương của (a) và (b) suy ra từ Hệ quả của Định lý 1. Nếu (b) đúng, $V/M$ được đồng nhất một cách chính tắc với một A-môđun con của tích $\prod_{p \in P} (V/M_p)$; nhưng thực ra nó được chứa trong tổng trực tiếp $\bigoplus_{p \in P} (V/M_p)$: thật vậy, nếu $L \subset M$ là một dàn tự do và $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của $L$, thì mỗi tọa độ $x_i$ của một điểm $x \in V$ đối với $(e_i)$ đều thuộc $A$, trừ ra đối với một số hữu hạn giá trị của $p \in P$. Khi đó quan hệ $V/M \subset \bigoplus_{p \in P} (V/M_p)$ kéo theo:

Vì $V/M_p$ là một $A_p$-môđun, một phần tử của $A - p$ không thể triệt tiêu một phần tử $\neq 0$ của $V/M_p$, vì các phần tử của $A - p$ là khả nghịch trong $A$; do đó các phần tử của $\operatorname{Ass}(V/M_p)$ đều được chứa trong $p$ và đều $\neq 0$, vì $V/M_p$ là một A-môđun xoắn; vì $p$ có chiều cao 1, tất yếu $\operatorname{Ass}(V/M_p) = \{ p \}$ nếu $V/M_p \neq (0)$ và $\operatorname{Ass}(V/M_p) = \varnothing$ nếu $V/M_p = (0)$; do đó $\operatorname{Ass}(V/M) \subset P$.

Cuối cùng, nếu điều kiện (c) đúng, thì

Mặt khác, nếu $p \in P$, thì trong chứng minh của Hệ quả của Định lý 1 đã thấy rằng $M_p^{**} = M_p$, do đó $p \notin \operatorname{Ass}(M^{**}/M)$ (Chương IV, $§ 1$, no. 3, Hệ quả 1 của Mệnh đề 7). Ta kết luận rằng Ass(M/M) = ∅, do đó M = M (Chương IV, § 1, no. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 2).

Điều kiện ấy hiển nhiên là cần, và nếu nó được thỏa mãn, thì

Vì M ⊂ M** = \bigcap_p M_p, hiển nhiên M ⊂ N.

Ví dụ (1) Mọi dàn tự do đều phản xạ. (2) Lấy V = K. Để một iđêan phân thức a của K là một dàn phản xạ, điều kiện cần và đủ là nó là một iđêan chia được, theo tiêu chuẩn (b) của Định lý 2 và § 1, no. 4, các Mệnh đề 5 và 7. (3) Cho M là một dàn đối với A; nếu S là một tập con nhân tính của A không chứa 0, Mệnh đề 5 của no. 1 chỉ ra rằng S^{-1}(M*) = (S^{-1}M)*; do đó nếu M phản xạ, thì S^{-1}M là một dàn phản xạ đối với S^{-1}A.

(i) (M, n M_2)_p = (M_1)_p n (M_2)_p với mọi p ∈ P (Chương II, § 2, no. 4, Định lý 1). Nếu M_1 = \bigcap_{p \in P} (M_1)_p và M_2 = \bigcap_{p \in P} (M_2)_p, thì

do đó có kết luận theo Định lý 2. (ii) Tương tự, (M n W)_p = M_p n W_p = M_p n W, do đó

điều này chứng minh (ii). (iii) Vì M sinh hữu hạn, từ no. 1, Mệnh đề 5 suy ra rằng (N: M)_p = N_p M_p; hơn nữa, quan hệ N = \bigcap_{p \in P} N_p kéo theo:

Thật vậy, nếu $f \in \bigcap_{p \in P} (N_p : M_p)$ và $x \in M$, thì $f(x) \in \bigcap_{p \in P} N_p = N$, do đó $f \in N : M$; điều này chỉ ra rằng $N : M$ là phản xạ.

Nhận xét (2) Nếu $M_1$ và $M_2$ là các dàn phản xạ của $V$, thì dàn $M_1 + M_2$ không nhất thiết là phản xạ (xem § 1, Bài tập 2). (3) Nếu $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn và $T$ là môđun con xoắn của nó, thì đối ngẫu $M^*$ của $M$ cũng chính là đối ngẫu của $M/T$, vì với mọi dạng tuyến tính $f$ trên $M$, ảnh $f(T)$ là một môđun con xoắn của $A$ và do đó bằng không. Vì $M/T$ đẳng cấu với một dàn của một không gian vectơ trên $K$, ta thấy rằng đối ngẫu của mọi $A$-môđun sinh hữu hạn đều là phản xạ.

Vì $A$ là Noether, $M$ cũng sinh hữu hạn; nếu ta viết $V = M_{(K)}$, $W = N_{(K)}$, thì $M$ (tương ứng $N$) được đồng nhất một cách chính tắc với một dàn của $V$ (tương ứng của $W$) (no. 1, Mệnh đề 1). Xét hai dãy khớp:

(i) Ta suy ra (Chương IV, § 1, no. 1, Mệnh đề 3) rằng: Nếu $M$ phản xạ, thì $\operatorname{Ass}(V/M) \subset P$ (Định lý 2); mặt khác, rõ ràng $\operatorname{Ass}(W/V)$ hoặc rỗng, hoặc thu về $\{0\}$; do đó có (i). (ii) Tương tự: Do đó các giả thiết kéo theo $\operatorname{Ass}(V/M) \subset P \cup \{\{0\}\}$. Nhưng $V/M$ là một $A$-môđun xoắn và vì thế $\{0\} \notin \operatorname{Ass}(V/M)$; khi đó Định lý 2 cho thấy rằng $M$ phản xạ.

với x \in M, x^* \in M^*. Vì M là một thương của một R-môđun tự do sinh hữu hạn L, M* đẳng cấu với một môđun con-R của đối ngẫu L* và L* là tự do và sinh hữu hạn; do $\mathbf{R}$ là Noether, nên M* vì thế cũng là một R-môđun sinh hữu hạn, do đó có một đẳng cấu $\omega_{M^*}: (M^{**})_{(S)} \to ((M^*)_{(S)})^*$ sao cho

với $x^* \in M$ và $x^{**} \in M^{**}$. Mặt khác, có một đẳng cấu $^t\omega_M: (M_{(S)})^{**} \to ((M^*)_{(S)})^*$, do đó bởi hợp thành có một đẳng cấu chính tắc:

sao cho, theo ký hiệu trên:

(1)

Bây giờ ta xét đồng cấu chính tắc $c_M: M \to M^{**}$ và chứng minh rằng đồng cấu hợp thành:

(2)

chính là đồng cấu chính tắc $c_{M_{(S)}}$. Điều này suy ra ngay lập tức từ (1), cho các hệ thức:

và từ sự kiện rằng các phần tử $\omega_M(x^* \otimes 1)$ sinh ra $(M_{(S)})^*$. Như vậy, giả thiết rằng M là phản xạ có nghĩa là $c_M$ là song ánh, nên $c_M \otimes 1$ cũng vậy và do đó $\psi = c_{M_{(S)}}$ là song ánh, điều đó chứng tỏ mệnh đề.

(i) Cho N là một dàn của V đối với A; khi đó, với mọi iđêan nguyên tố p của A, $N_p$ là một dàn của V đối với A, và, với hầu hết $p \in P, N_p = M_p$.

(ii) Ngược lại, giả sử đã cho với mọi $p \in P$ một dàn $N(p)$ của V đối với A, sao cho $N(p) = M_p$ với hầu hết $p \in P$. Khi đó $N = \bigcap N(p)$ là một dàn phản xạ của A đối với A và đó là dàn phản xạ duy nhất $N'$ của V đối với A sao cho $N'_p = N(p)$ với mọi $p \in P$.

(i) Mệnh đề thứ nhất suy ra từ no. 1, Mệnh đề 4. Hơn nữa, tồn tại $x, y$ trong $\mathbf{K}^*$ sao cho $xN \subset M \subset yN$ (no. 1, Mệnh đề 2); ta biết rằng, với hầu hết $p \in P, v_p(x) = v_p(y) = 0$ ($§ 1$, no. 6, Định lý 4), điều đó cho thấy rằng $x$ và $y$ là khả nghịch trong $A$, và do đó $M_p = N_p$.

(ii) Ta có thể thay thế $M$ bởi $x^{-1}M$ với $x \neq 0$ trong $A$ và giả sử rằng $N(p) \subset M$, với mọi $p \in P$. Gọi $p_1, \ldots, p_h$ là các phần tử của $P$ sao cho $N(p) = M$, với $p$ phân biệt với các $p_i$ ($1 \leq i \leq h$); ta viết:

Vì mỗi $N(p_i)$ chứa một mạng tự do đối với $A_{p_i}$, nên nó chứa a fortiori một mạng của $V$ đối với $A$, do đó $Q$ chứa một mạng của $V$ đối với $A$ (no. 1, Mệnh đề 3) và, vì $Q$ được chứa trong $M$, $Q$ là một mạng đối với $A$. Để chứng minh rằng $Q_p = N(p)$ với mọi $p \in P$, ta sẽ dùng bổ đề sau: